DOSSIER N 88. Présenter un choix d exercices sur le thème suivant :

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1 DOSSIER N 88 Question : Présenter un choix d exercices sur le thème suivant : Exemples de problèmes conduisant à la résolution, pour u et v entiers relatifs, d équations du type au + bv = k, où a, b et k sont des entiers relatifs. Pour au moins l un de ces exercices, la résolution doit faire appel à l utilisation d une calculatrice. Consignes de l épreuve : Pendant votre préparation (deux heures), vous devez rédiger sur les fiches mises à votre disposition, un résumé des commentaires que vous développerez dans votre exposé et les énoncés de vos exercices. La qualité de ces fiches interviendra dans l appréciation de votre épreuve. Le terme exercice est à prendre au sens large ; il peut s agir d applications directes du cours, d exemples ou contre-exemples venant éclairer une méthode, de situations plus globales ou plus complexes utilisant éventuellement des notions prises dans d autres disciplines. Vous expliquerez dans votre exposé (25 minutes maximum) la façon dont vous avez compris le sujet et les objectifs recherchés dans les exercices présentés : acquisition de connaissances, de méthodes, de techniques, évaluation. Vous analyserez la pertinence des différents outils mis en jeu. Cet exposé est suivi d un entretien (20 minutes minimum). Annexes : Vous trouverez page suivante, en annexe, quelques références aux programmes ainsi qu une documentation conseillée. Ces indications ne sont ni exhaustives, ni impératives ; en particulier, les références au programme ne constituent pas le plan de l exposé. 1

2 2 ANNEXE DU DOSSIER N 92 Références aux programmes : Extraits de programmes de Terminales : Terminale S : Division euclidienne. Algorithme d Euclide pour le calcul du PGCD. (...) Entiers premiers entre eux. Théorème de Bezout, théorème de Gauss. On étudiera quelques algorithmes simples et on les mettra en oeuvre sur calculatrice ou tableur : recherche d un PGCD,... (...) Exemples simples d équations diophantiennes. Applications élémentaires au codage est la la cryptographie. Application : petit théorème de Fermat. L arithmétique est un domaine avec lequel l informatique interagit fortement ; on veillera à équilibrer l usage de divers moyen de calcul : à la main, à l aide d un tableur ou d une calculatrice. Emploi des calculatrices programmables : l emploi des calculatrices programmables (...) en Mathématiques a pour objectif, non seulement d effectuer des calculs, mais aussi de controler des résultats, d alimenter le travail de recherche et de favoriser une bonne approche de l informatique. Les élèves doivent savoir utiliser leur matériel personnel dans les situations liées au programme de la classe. Cet emploi combine les capacités suivantes qui constituent un savoir-faire de base et sont seules exigibles : Savoir effectuer les opérations arithmétiques sur les nombre et savoir comparer des nombres ; (...) ; Savoir recourir à une instruction séquentielle ou conditionnelle et, en classe, de Terminale, à une instruction itérative, comportant éventuellement un test d arrêt (...). Documentation conseillée : Manuels de Terminales S, annales de baccalauréat.

3 3 Il ne s agit en aucun cas d une correction, mais seulement de mon point de vue sur le sujet. Tout comme pour la géométrie plane, les objets d étude de l arithmétique nous sont familiers. La base d axiomes sur lesquels nous pouvons nous appuyer est simple et intuitive. De ce fait, les argumentations que l on y fait sont souvent astucieuses et utilisent toutes les formes de raisonnements (contraposition, absurde, récurrence...). Cela semble faire de l arithmétique et de la géométrie deux lieux privilégiés de l apprentissage des mathématiques et du raisonnement. Une chose distingue cependant ces deux disciplines : la géométrie possède de nombreux outils de démonstrations élémentaires ; ceux de l arithmétique nécessitent souvent des concepts plus abstraits (congruence, groupe,... ). Et si les sujets de la première semble aujourd hui épuisés (dans le monde de la recherche tout du moins), la difficulté de la seconde en fait un domaine de recherche en pleine activité. De fait, de nombreuses conjectures (Goldbach,...) dont les énoncés sont accessibles à tous n ont toujours pas trouvées de réponse. Celle de Fermat a attendu 1993 pour en avoir une. De plus, si Leibniz vouait l arithmétique à l honneur de l esprit humain, cette dernière, jusque dans ses développements récents, trouve de nombreuses applications dans les problèmes de cryptographie et de codage. Si l arithmétique, avec les problèmes de numération, est une des sciences les plus anciennes, elle reste parfaitement d actualité et trouve des applications qui touchent notre quotidien. Dans ce dossier, nous devons proposer des exemples de problèmes conduisant à des équations du type ax+by = c avec a, b et c entiers. Il s agit donc de déterminer les points à coordonnées entières sur une droite à pente rationnelle. Mon choix d exercices a été guidé par l intérêt théorique des problèmes conduisant à ces équations (théorème chinois et cryptologie), mais aussi par le caractère ludique des situations (premier exercice). Dans la plupart des exercices, les contraintes qui pèsent sur les variables imposent l unicité de la solution, mais cette unicité ne doit pas devenir un réflexe. Avant de présenter les exercices, je vais rappeler la méthode de résolution de ce type d équations. Condition nécessaire d existence de solution. L équation ax + by = c possède des solutions si et seulement si le PGCD de a et b divise c. Résolution de l équation homogène ax + by = 0. On peut se ramener au cas où a et b sont premiers entre eux et auquel cas, le lemme de Gauss nous permet de conclure que x = kb et y = ka avec k Z Un solution particulière. Pour obtenir une solution particulière, on remonte l algorithme d Euclide pour exprimer d, le PGCD de a et b, comme combinaison linéaire à coefficients entiers de a et b. On multiplie ensuite ces coefficients par c/d. Notons que pour obtenir cette solution particulière, on peut programmer, dans l algorithme d Euclide, un

4 4 affichage des coefficients des combinaisons linéaires entières en a et b des reste successifs obtenus, voire du dernier seulement. Comme pour toutes les équations affines (linéaires avec second membre), une solution de l équation générale est la somme d une solution particulière et d une solution de l équation homogène. L algorithme d Euclide avec remontée : 1- On demande A et B (dont on veut le PGCD et une identité de Bezout). 2- On pose U = 1, V = 0, W = 0, X = On pose Q = E(A/B) et R = A QB. 4- B va dans A, puis R va dans B. 5- On pose Y = U QW et Z = V QX. 6- W va dans U, puis Y va dans W. 7- X va dans V, puis Z va dans X. 8- Si B 0 on retourne au point On affiche A, U et V. Pour une Casio fx-7900gc, ça donne :? A :? B : 1 U : 0 V : 0 W : 1 X : Lbl 0 : Int (A B) Q: A-Q B R : B A : R B : U-Q W Y : V-Q X Z : W U : Y W : X V : Z X : B 0 Goto 0 : A U V L algorithme de la différence avec remontée : 1- On demande A et B (dont on veut le PGCD et une identité de Bezout). 2- On pose U = 1, V = 0, W = 0, X = Si UA + V B = 0, on affiche W A + XB, W et X et on sort du programme. 4- Si W A + XB = 0, on affiche UA + V B, U et V et on sort du programme. 5- Si 0 < UA + V B < W A + XB alors on met U V W X 6- Si 0 < W A + XB < UA + V B, alors on met U V W X 7- On retourne au point 3-. dans dans Les deux algorithmes ci-dessus affichent successivement D, le PGCD de A et B, puis des coefficients U et V tels que AU+BV=D. U V W X U V W X

5 5 EXERCICES : Exercice 1 : Mensurations. Terracher TS spé 98, n 102 page 57. Vous dites à un ami de multiplier son poids (en nombre entier de kg) et sa taille (en nombre entier de cm) respectivement par 231 et 115, puis d ajouter les résultats obtenus. Il vous donne ensuite le résultat. 1-) Pourquoi vous est-il possible de retrouver les deux nombres? 2-) Si le résultat est , quelles sont les mensurations de votre interlocuteur? Exercice 2 : Théorème Chinois. Terracher 02, Terminale S, n 95 page 360. Résoudre dans Z, 1-) 3x 1 mod(5), 2-) 5x 1 mod(7) 3-) le système formé des deux équations précédentes. Exercice 3 : Chiffrement affine. Bréal 02, Terminale S spé, page 78. On assimile les lettres de l alphabet A, B,..., Z aux entiers naturels 0, 1,..., 25 et les symboles de ponctuation,. ; et l espace au nombres 26, 27, 28, 29. A un nombre x compris entre 0 et 29 on associe : f(x) = 17x + 3. ceci nous permet de crypter les lettres de l alphabet et les symboles de ponctuation de la façon suivante : à la xième lettre ou symbole de ponctuation, on associe la lettre ou le symbole correspondant au reste de la division f(x) par 30. On crypte ensuite un message symbole par symbole. 1-) Coder le mot BIZARRE. 2-) On cherche à décoder l expression HDQDKBWJ. On commence par la première lettre. Montrer que décoder H conduit à l équation : 17x + 30y = 4 avec x compris entre 0 et 29 et y dans Z. 3-) Déterminer dans Z 2 une solution de l équation : 17x + 30y = 1 telle que 0 x ) Pourquoi le reste de la division de 23(x 3) par 26 nous permettra-t il de décoder la xième lettre de l alphabet? 5-) Décoder l expression du 2-).

6 6 Exercice 4 : Le chiffrement de Lester Hill. Terracher 02, Terminale S, n 98 page 360 ; Bréal 02, Terminale S spé, page 79. Etant donné un message en toute lettre, on supprime espacement et signes de ponctuation. Puis on regroupe les lettres deux par deux, quitte à rajouter la lettre x au message si il contient un nombre de lettres impair. A chaque couple de lettres, on associe alors le couple d entiers compris entre 0 et 25 correspondant à la place de ces lettres dans l alphabet. On crypte alors message en chiffrant successivement les couples d entiers de la façon suivante : à on couple d entiers (x, y) on associe le couple { x = reste de la division de 5x + 11y par 26 y = reste de la division de 8x + 3y par 26 Au couple d entiers ainsi obtenu, on associe le couple de lettres correspondant. Le message transmis est alors obtenu par juxtaposition des résultats obtenus pour les couples de lettres successifs du message initial. 1-) Crypter de cette façon le mot REQUIN. 2-) Soit (x, y) un couple d entiers tel que précédemment et (x, y ) le couple d entiers qui lui est associe. Montrer que : { 3x + 11y 73x mod(26) 8x 5y 73y mod(26) 3-) Résoudre dans Z 2 l équation 73x + 26y = 1 avec 0 < x ) Décoder le mot AUBY. Exercice 5 : La méthode sac à dos. Bréal 02, Terminale S spé, page 80. On considère la liste d entiers L = (2, 5, 8, 16, 37, 70), w = 111 et m = ) Vérifier que w et m sont premiers entre eux. 2-) Déterminer la liste L obtenue en prenant les restes par la division par m des entiers de L multipliés par w. 3-) Résoudre dans Z 2 l équation 111u+139v = 1 et en donner une solution (u 0, v 0 ) telle que 0 < u 0 < ) Comment peut-on retrouver L à partir de L? Une somme partielle d éléments de L à partir de la somme partielle d éléments de L correspondante?