Propositions d ateliers MATh.en.JEANS

Transcription

1 Propositions d ateliers MATh.en.JEANS Charles SUQUET Université-Lille 1 Sciences et Technologies & CNRS UMR 8524 Carvin, 29 septembre 2014 Ch. Suquet (Lille 1) Propositions d ateliers MATh.en.JEANS Carvin / 10

2 Qu est-ce que MATh.en.JEANS? MATh.en.JEANS est une méthode qui, depuis 1989, vise à faire vivre les mathématiques par les jeunes, selon les principes de la recherche mathématique. Elle permet aux jeunes de rencontrer des chercheurs et de pratiquer une authentique démarche scientifique, avec ses dimensions aussi bien théoriques qu appliquées et si possible en prise avec des thèmes de recherche actuels. L association MeJ impulse et coordonne des ateliers de recherche qui fonctionnent en milieu scolaire, de l école primaire jusqu à l université et qui reconstituent en modèle réduit la vie d un laboratoire de mathématiques. En fin d année scolaire, les élèves présentent leurs travaux à un congrès et rédigent parfois des publications. Ch. Suquet (Lille 1) Propositions d ateliers MATh.en.JEANS Carvin / 10

3 Ateliers précédents Carvin : nager dans le brouillard. Carvin : deux camions et une radio. Ch. Suquet (Lille 1) Propositions d ateliers MATh.en.JEANS Carvin / 10

4 Proposition 1 : assurances maritimes Assurances maritimes Une compagnie d assurances assure une flotte de 500 navires de pêche valant chacun 1 million d euros. Le risque assuré est la perte totale du navire qui est un événement de probabilité 0,001 pour une année. Les naufrages des différents navires sont considérés comme indépendants. On note X la variable aléatoire égale au nombre de navires perdus en une année. Ch. Suquet (Lille 1) Propositions d ateliers MATh.en.JEANS Carvin / 10

5 1 Quelle est la loi de X? 2 Calculer numériquement P(X = 0), P(X = 1), P(X = 2), P(X = 3). Que remarque-t-on? 3 On a besoin d évaluer numériquement P(X = k) pour k entier entre 0 et 500. À partir d une certaine valeur de k, ces probabilités sont trop petites pour qu il soit vraiment utile de les calculer. Chercher une formule permettant de majorer P(X > k) en fonction de P(X = k). 4 La compagnie rembourse le 31 décembre, sur ses réserves, la valeur des bateaux assurés ayant fait naufrage dans l année. À combien doivent s élever ces réserves financières pour qu elle puisse effectuer la totalité de ces remboursements avec une probabilité supérieure à 0,999? 5 La compagnie fusionne avec une autre compagnie identique (500 navires assurés). Reprendre la question 4) et commenter le résultat obtenu. Généralisation? 6 Étudier par simulation l évolution de la situation financière de la compagnie en choisissant le capital de départ, le montant des cotisations annuelles et le nombre de bateaux assurés. 7 Vos propres questions? Ch. Suquet (Lille 1) Propositions d ateliers MATh.en.JEANS Carvin / 10

6 Probabilités géométriques Deux exemples de problèmes. La tige brisée, un grand classique On choisit deux points au hasard sur un segment et on le découpe suivant ces deux points. Quelle est la probabilité que l on puisse construire un triangle avec les 3 morceaux obtenus? Galette des rois, d après G. Castellan, Lille 1 Je fais une galette des rois de 30 cm de diamètre et c est mon fils qui y place une fève ronde de 2 cm de diamètre (en forme de couronne) au hasard sur la galette (il n a pas encore bien compris qu il vaut mieux la mettre au bord!). Je coupe la galette en 4 parts égales (en partant du centre de la galette). Quelle est la probabilité que le couteau touche la fève? Ch. Suquet (Lille 1) Propositions d ateliers MATh.en.JEANS Carvin / 10

7 Proposition 2 : découpage aléatoire d un carré. Découpage aléatoire d un carré On choisit deux points A et B au hasard sur les côtés d un carré et on découpe ce carré suivant le trait AB. Ch. Suquet (Lille 1) Propositions d ateliers MATh.en.JEANS Carvin / 10

8 Ch. Suquet (Lille 1) Propositions d ateliers MATh.en.JEANS Carvin / 10

9 On peut alors se poser plusieurs questions (liste non close) : 1 Quelle est la probabilité d avoir un triangle et un pentagone?, deux trapèzes? deux triangles? deux rectangles? un carré? 2 Quelle est la probabilité que le plus gros des deux morceaux ait une aire au moins double de l autre? 3 Quelle est la probabilité que la longueur AB soit supérieure au côté du carré? 4 Si on trace un deuxième trait de coupe par le même procédé, quelles sont les probabilités des différents découpages possibles (nombres de morceaux, types de polygones obtenus)? 5 Vos propres questions... Ch. Suquet (Lille 1) Propositions d ateliers MATh.en.JEANS Carvin / 10

10 Ch. Suquet (Lille 1) Propositions d ateliers MATh.en.JEANS Carvin / 10