Arithmétique. 1 Nombres entiers, divisibilité. 1.1 Nombres entiers. Université Paris XI PCS0 Arithmétique 2011/2012

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1 Université Paris XI PCS0 Arithmétique 2011/2012 Arithmétique 1 Nombres entiers, divisibilité 1.1 Nombres entiers On aelle N l ensemble des nombres entiers ositifs 0, 1, 2, 3,.... Cet ensemble est infini. La somme et le roduit de deux éléments de N est un élément de N. En revanche, la différence et le quotient de deux éléments de N n est as en général un élément de N. Exemle : 5-12=-7 n est as dans N. L ensemble des nombres entiers..., 3, 2, 1, 0, 1,... s aelle Z. Cet ensemble contient N et est donc infini. La somme, le roduit et la différence de deux nombres entiers est un entier. En revanche, le quotient de deux nombres entiers n est as en général un nombre entier. Exemle : 3/4 n est as dans Z. Lorsque le quotient d un entier b ar un entier a non-nul est lui-même un entier, on dit que a divise b et on écrit a b. Comme b a = n imlique, en multiliant à gauche et à droite ar a, que b = an l entier a divise l entier b si et seulement s il existe un entier n Z tel que b uisse s écrire b = an. Si a ne divise as b, on écrit a b. Remarquons que si a b et si a et b sont strictement ositifs, alors a b. Exemle : 3 divise 6, 12 ne divise as 25. Voici quelques roriétés élémentaires de la relation de divisibilité. Lemme L entier 1 divise tous les entiers. 2. Tout entier non-nul divise Un entier a non-nul se divise lui-même. 4. Si a divise b, alors a divise b et a divise b. 5. Si a b et a c alors a (b + c). 6. Si a b et b a alors a = ±b. 1

2 7. Si a b et b c, alors a c. Démonstration. 1. Soit a Z. Alors a s écrit a = a 1 donc 1 a. 2. Soit a Z non-nul. Alors 0 s écrit 0 = a 0 donc a Soit a Z. Alors a s écrit a = a 1 donc a a. 4. Soit a et b deux entiers avec a b. Alors b s écrit b = na avec n Z. Donc b = ( n)( a) donc a b et b = ( n)a donc a b. 5. Soit a, b, c trois entiers avec a b et a c. Alors b s écrit b = na avec n Z et c s écrit c = ma avec m Z donc b + c s écrit b + c = ma + na = (m + n)a et (m + n) Z. 6. Soit a et b deux entiers avec a b et b a. Alors b s écrit b = na avec n Z et a s écrit a = mb avec m Z. Donc b s écrit b = nmb. Comme b 0, on eut diviser des deux côtés de cette égalité ar b et l on obtient nm = 1. Les seuls entiers dont le roduit est 1 sont 1 et 1 ou bien 1 et 1. Donc a = ±b. 7. Soit a, b, c trois entiers avec a b et b c. Alors b s écrit b = na avec n Z et c s écrit c = mb avec m Z. Donc c s écrit c = mna avec mn Z donc a c. Si b est un entier ositif et si a est un entier ositif vérifiant a b, on dit que a est un diviseur de b. A art l entier 0, tous les entiers ositifs ont un nombre fini de diviseurs et en ont au moins 1. Ceci ermet de définir quatre grandes catégories d entiers ositifs : 0 (qui a un nombre infini de diviseurs), 1 (qui n a qu un seul diviseur, lui-même), les nombres remiers et les nombres comosés. Un entier ositif est dit remier si et seulement s il a exactement deux diviseurs (1 et lui-même). Un entier ositif est dit comosé si et seulement s il a strictement lus de deux diviseurs. Les 15 remiers nombres remiers sont : Les 15 remiers nombres comosés sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25 Lemme 1.2. Tout entier non-nul eut s écrire comme le roduit de ±1 et un roduit fini de nombres remiers. Démonstration. Soit a un entier non-nul. Si a < 0, alors on ose a = a. Il suffit de démontrer le résultat our a. Il n y a donc as de erte de généralités à suoser que a > 0. Le résultat est alors vrai our a = 1 car 1 s écrit comme le roduit de 1 et de zéro nombres remiers. Soit n un entier strictement suérieur à 1. Suosons le résultat vrai our tous les entiers strictement ositifs strictement inférieur à n. Si n est remier, alors n s écrit n = n donc est un roduit fini de nombres remiers. Sinon, n a au moins un diviseur qui ne soit ni 1 ni n. Donc n eut s écrire n = ab avec a Z et b Z. Les entiers a et b sont lus etits que n donc euvent s écrire a = 1 s et b = q 1 q t où les i et les q j sont des nombres remiers. Donc n = 1 s q 1 q t donc s écrit comme un nombre fini de nombres remiers. 2

3 1.2 Division euclidienne La roosition suivante caractérise de façon fondamentale l arithmétique des nombres entiers. Proosition 1.3. Soit a un entier et b un entier strictement ositif. Il existe un unique coule d entiers (q, r) tel que a = bq + r avec 0 r < b. Démonstration. Considérons l ensemble des entiers de la forme a xb avec x Z. Cet ensemble contient des éléments ositifs, et contient un unique élément ositif de taille minimal que nous notons r. Soit q Z tel que a qb = r. Alors a s écrit a = bq + r avec 0 r. Il suffit donc de démontrer que r < b et que (q, r) est le seul coule d entiers vérifiant cette roriété. Les inégalités imliquent : a xb b > 0 0 a (x + 1)b < a xb L élément r, qui est minimal armi les a xb, est donc strictement inférieur à b. Si (q, r ) est un autre coule d entiers tel que a = q b + r et 0 r < b, alors q b + r = qb + r donc b(q q) = r r donc b divise r r et r r. L un des deux entiers r r et r r est ositif, disons r r. L entier r r est une différence ositive d entiers strictement inférieurs à b. C est donc un entier strictement inférieur à b. Le seul entier strictement inférieur à b que b divise est 0 donc r = r. Donc b(q q ) = 0 donc q = q. L entier q s aelle le quotient et l entier r s aelle le reste de la division euclidienne de a ar b. Remarque : Si l on veut faire la division euclidienne de a ar b avec b < 0, il suffit de réaliser la division euclidienne de a ar b our d écrire a = q( b) + r uis de remarquer que cela signifie que a = ( q)b + r. On se ermettra donc de réaliser des division euclidiennes sans toujours vérifier le signe de b. On remarque que dans tous les cas 0 r < b. 1.3 Plus grand diviseur commun Soit a, b Z deux entiers. On note (a) l ensemble des nombres entiers qui euvent s écrire sous la forme ax avec x Z. C est donc aussi l ensemble des entiers que a divise. On note (a, b) l ensemble des nombres entiers qui euvent s écrire sous la forme ax + by avec x, y Z. Lemme (a, 0) = (a). 2. (a, b) = (±a, ±b). 3. (a, b) = (a) si et seulement si a b. 4. (a, 1) = Z. 5. (a, a + b) = (a, b). 6. Soit a, b Z. Soit r le reste de la division euclidienne de a ar b. Alors (a, b) = (b, r). Démonstration. 1. L ensemble des nombres entiers qui euvent s écrire sous la forme ax + y0 avec x, y Z est l ensemble des nombres entiers qui euvent s écrire sous la forme ax avec x Z. 3

4 2. L ensemble des nombres entiers qui euvent s écrire sous la forme ax + by avec x, y Z est égal à l ensemble des nombres entiers qui euvent s écrire sous la forme ( a)x + ( b)y avec x, y Z. 3. Si a b, alors b = na donc l ensemble des nombres entiers qui euvent s écrire sous la forme ax + by avec x, y Z est égal à l ensemble des nombres entiers qui euvent s écrire sous la forme ax + nay = a(x + ny) = az. Si (a, b) = (a), alors b aartient à (a) donc b eut s écrire b = na donc a b. 4. D arès l assertion récédente, (a, 1) = (1) = Z. 5. L ensemble des nombres entiers qui euvent s écrire sous la forme ax+(a+b)y avec x, y Z est égal à l ensemble des nombres entiers qui euvent s écrire sous la forme a(x+y)+by = az +by avec z, y Z, donc à (a, b). 6. D arès les assertions récédentes, (a, b) = (a b, b) = (a 2b, b) = = (a qb, b) = (b, r). Proosition 1.5. Soit a, b Z. Soit c le lus etit élément strictement ositif de (a, b). Alors (a, b) = (c). Démonstration. L entier c aartient à (a, b) donc eut s écrire sous la forme ax 0 +by 0. Tout élément de la forme cz avec z Z eut donc s écrire sous la forme ax 0 z + by 0 z et aartient donc à (a, b). Il suffit donc de montrer réciroquement que tout élément de la forme ax + by avec x, y Z s écrit sous la forme cz avec z Z. Écrivons la division euclidienne de ax + by ar c. ax + by = qc + r, 0 r < c Donc r s écrit r = ax + by q(ax 0 + by 0 ) = a(x qx 0 ) + b(y qy 0 ) donc aartient à Z. Comme r < c, r est nul. Donc ax + by = qc donc ax + by aartient à (c). Lemme 1.6. Soit a, b Z et soit c l entier ositif tel que (c) = (a, b). L entier c est le lus grand entier divisant à la fois a et b. Démonstration. Tout d abord, a (c) et b (c) donc c a et c b. Soit d un diviseur commun à a et b. Alors d divise a et d divise b donc c = ax 0 + by 0 eut s écrire c = dnx 0 + dmy 0 = d(nx 0 + my 0 ) donc d divise c. L entier c s aelle le lus grand diviseur commun de a et b. On eut aussi le noter a b. Lorsque a b = 1, on dit que a et b sont remiers entre eux. Exemles : 5 et 23 sont remiers entre eux, 6 et 35 sont remiers entre eux, 26 et 91 ne sont as remiers entre eux (car = 13). Deux nombres remiers distincts sont remiers entre eux. Lemme 1.7. Soit a, b, c Z. Suosons que a bc et que a b = 1. Alors a c. En articulier, si est un nombre remier et si ab alors a ou b. Si a et si b alors ab Démonstration. De a b = 1, on déduit qu il existe des entiers x, y tels que ax + by = 1. Donc c = axc + byc. De a bc, on déduit que bc eut s écrire bc = an. Donc c = axc + any = a(xc + ny). Donc a c. La deuxième assertion découle de la remière et du fait que si est remier, alors a = 1 ou a =. La troisième assertion est une reformulation de la deuxième. Soit a, b Z et d = a b. Écrivons a = da et b = db. Alors a b = 1. En effet, d eut s écrire d = ax + by donc 1 = a x + b y. 4

5 1.4 Le théorème fondamental de l arithmétique Théorème 1. Tout nombre entier non-nul eut s écrire de manière unique (à l ordre rès) comme un roduit d un signe et d un roduit fini de nombres remiers. Démonstration. Soit n un entier. Si n = ±1, alors n s écrit comme dans le théorème. Nous savons déjà que n eut s écrire sous la forme : n = ( 1) ɛ i ni i Dans le roduit ci-dessus, les i sont des nombres remiers distincts. Suosons que n s écrive également sous la forme : n = ( 1) ɛ j Soit q l un des q j. Alors q n. Comme q m n = 1 si q, l un des i est égal à q et ni i est divisible ar q m. Donc les q j sont des i et les n i sont inférieurs aux m j. Par symétrie, les i sont des q j et n i = m j. L écriture d un entier comme roduit de nombres remiers eut aussi se résenter sous la forme suivante : n = ( 1) α n Ici, le roduit est ris sur tous les nombres remiers, mais les n sont tous égaux à zéro sauf un nombre fini. Corollaire 1.8. Soit n et m deux entiers dont les écritures en roduit de nombres remiers s écrivent : n = ( 1) α n, m = ( 1) β m q mj j 1. L entier n est un diviseur de m si et seulement si n m our tout nombre remier. 2. Pour tout nombre remier, on dénote ar d le minimum de n et m. L entier n m s écrit alors : n m = d Démonstration. 1. Si n m our tout, alors n = ( 1) α+β m n est un entier qui vérifie nn = m. Réciroquement, si m s écrit m = nn et si n s écrit n = ( 1) α n alors m s écrit : m = ( 1) α n ( 1) γ n = ( 1) α+α n+n Par unicité de l écriture en roduit de nombres remiers, on a α = β α et n = m n. Donc m n 0 our tout. 5

6 2. L entier d = d divise n et m d arès la remière assertion. Si d n et d m, alors d n et d m our tout donc d min(n, m ) our tout donc d d d arès la remière assertion. Donc d = n m. 2 L algorithme d Euclide et l équation ax + by = c 2.1 L algorithme d Euclide Soit a, b Z. Soit (q, r) le quotient et le reste de la division euclidienne de a ar b. Nous avons déjà vu que (a, b) = (b, r). Ceci suggère l algorithme suivant our calculer a b. L algorithme rend en entrée un coule d entiers (a, b). 1. Réaliser la division euclidienne de a ar b. Ceci roduit des entiers q et r. 2. Si r = 0, alors rendre comme résultat b. 3. Sinon, remlacer a ar b et b ar r. 4. Retourner en 1. Exemle : Calculons ar ce rocédé. L algorithme rend donc (51, 85) comme entrée. Arès la remière étae, ceci roduit les entiers q = 0 et r = 51. La troisième étae roduit alors (187, 51). On retourne à la remière étae qui roduit q = 3 et r = 34. La troisième étae roduit alors (51, 34). La remière étae roduit alors q = 1 et r = 17. La troisième étae roduit alors (34, 17). La remière étae roduit alors q = 2 et r = 0. La deuxième étae rend alors comme résultat L équation ax + by = c Soit a, b, c trois entiers. Suosons que l on souhaite trouver tous les coules d entiers (x, y) tel que ax + by = c. Remarque : L ensemble des oints (x, y) du lan (identifié avec R 2 ) qui vérifient ax + by = c est une droite. La question que l on se ose est donc de trouver les oints à coordonnées entières sur les droites. Par définition, si l équation ax + by = c admet des solutions avec x, y entiers, alors c aartient à (a, b) = (a b). Donc a b divise c. Réciroquement, si a b divise c, alors c s écrit c = nd et d = ax 0 + by 0 donc nax 0 + nbx 0 = c est une solution entière de l équation ax + by = c. Proosition 2.1. Soit a, b, c trois entiers et d = a b. Si d c, alors l équation ax+by = c n admet as de solution entière. Si d c, écrivons a = a d, b = b d et c = c d. Soit (x 0, y 0 ) une solution de a x 0 + b y 0 = 1. Les solutions de l équation ax + by = c sont : {(c x 0 + kb, y 0 ka ) k Z} 6

7 Démonstration. Nous avons déjà vu que si d c, alors l équation ax+by = c n admet as de solution entière. Suosons donc d c. Un coule d entier (x, y) est une solution de ax+by = c si et seulement si c est une solution de a x + b y = c. Une solution est donc donnée ar (c x 0, c y 0 ). Soit (x 1, y 1 ) une autre solution. Alors : a x 1 a c x 0 = b c y 0 b y 1 Soit encore : a (x 1 c x 0 ) = b (c y 0 y 1 ) Donc a divise b (c y 0 y 1 ). Comme a b = 1, a divise c y 0 y 1. Il existe donc k Z tel que y 1 = c y 0 ka. Mais alors (x 1 c x 0 ) = kb. Finalement, x 1 = c x 0 + kb et y 1 = c y 0 ka. Réciroquement, le coule (c x 0 + kb, y 1 = c y 0 ka ) avec k entier est bien une solution. Pour comléter la roosition récédente, il suffit de détermine un moyen de trouver une solution entière à l équation ax + by = d lorsque d = a b. Nous allons our cela adater l algorithme d Euclide. Ce nouvel algorithme rend en entrée un coule d entier (a, b). 1. Initialiser n à la valeur 0. Transformer le coule (a, b) en quintulet : (r 0, r 1, q 0, u 0, u 1, v 0, v 1 ) = (a, b, 0, 1, 0, 0, 1) 2. Réaliser la division euclidienne de r n ar r n+1. Ceci roduit des entiers q n+1 et r n+2. Transformer le quintulet (r n, r n+1, q n, u n, u n+1, v n, v n+1 ) en : (r n+1, r n+2, q n+1, u n+1, u n q n+1 u n+1, v n+1, v n q n+1 v n+1 ) 3. Si le deuxième terme de ce quintulet est nul, alors rendre comme résultat le trilet (r n+1, u n+1, v n+1 ). 4. Sinon, ajouter 1 à n et retourner en 2. Lemme 2.2. Dans l algorithme récédent, on a our tout n, r n = au n + bv n. En articulier, le résultat rendu vérifie a b = au + bv. Démonstration. Si n = 0, r 0 = a, u 0 = 1 et v 0 = 0 donc l égalité est vérifiée. Si n = 1, r 1 = b, u 1 = 0 et v 1 = 1 donc l égalité est vérifiée. Si la relation est vraie our n et n 1, alors r n 1 = q n r n + r n+1 donc : r n+1 = r n 1 q n r n = au n 1 + bv n 1 q n au n + q n bv n = a(u n 1 q n u n ) + b(v n 1 q n v n ) = au n+1 + bv n+1 Aliquer ceci au dernier reste non-nul démontre la deuxième assertion. On eut de façon commode résenter les calculs dans un tableau de la manière suivante : q 1 q 2 q n 1 q n r 0 = a r 1 = b r 2 r n 1 r n 1 0 u 2 u n 1 u n 0 1 v 2 v n 1 v n 7

8 Exemle : Calculons d = ainsi qu une relation 17640a + 525b = d. Donc d = 105. Donc = = = = = En ratique, our des etits entiers (disons lus etits que ), il est en général lus raide de calculer la lus grand diviseur commun de deux entiers en utilisant la décomosition en facteurs remiers qu en utilisant l algorithme d Euclide. L avantage de l algorithme d Euclide est de roduire une solution à l équation ax + by = d. En revanche, our des entiers lus grands (ou même our des entiers relativement etit si l on a as de chance), l algorithme d Euclide est considérablement lus raide. 3 Z/nZ 3.1 Définition Soit n un entier strictement ositif. L ensemble Z/nZ est l ensemble Z dans lequel on décide que deux entiers x et y sont égaux si et seulement si x y est divisible ar n. On écrit x y mod n et l on dit que x et y sont égaux modulo n ou encore que x modulo n est égal à y. Exemles : Le calcul modulo 12 (ou 24) est relativement commun : on sait bien que 5 heures arès 20 heures, il est 1 heure du matin, et non 25 heures. De la même façon, le calcul modulo 7 eut s interréter comme le calcul du jours de la semaine : si le remier janvier tombe un dimanche (comme ce sera le cas en 2012), cela imlique qu il était tombé un samedi en 2011 et qu il tombera un mardi en 2013 (car 2012 est une année bisextile). Proosition 3.1. Soit a un entier et n un entier strictement ositif. 1. Soit r le reste de la division euclidienne de a ar n. Alors a r mod n. 2. Il existe n entiers x 1,, x n que l on eut choisir égaux à 0,, n 1 tels que our tout x Z, il existe un x i avec x x i mod n. Démonstration. 1. En effet, a r s écrit a r = qn donc n (a r). 2. D arès la remière assertion, on eut rendre our les x i les restes ossibles de la division euclidienne ar n. 8

9 3.2 Comatibilité avec les oérations usuelles Proosition 3.2. Soit (a, b) Z 2 deux entiers et n un entier strictement ositif. Suosons a x mod n et b x mod n. Alors a + b x + y mod n et ab xy mod n. En articulier a s x s mod n our tout s 0. L équation ax b mod n admet des solutions si et seulement si a n divise b. Démonstration. Par définition, n (a x) et n (b y). Donc n (a + b x y). Écrivons x et y en fonction de a, b et n. a = qn + x b = q n + y Alors ab = n(qq n + xq + yq) + xy. Donc n (ab xy). En aliquant de façon réétée ce résultat, on obtient que a s x s mod n. L équation ax b mod n admet des solutions si et seulement si ax ny = b admet des solutions. Nous savons que cela est le cas si et seulement si a n divise b. Ceci ermet de calculer modulo n, ou dans Z/nZ, comme si on calculait dans Z, mais en simlifiant grandement les oérations. 3.3 Preuves ar 3, 9, 11, n Soit n un entier strictement ositif. Soit x = c s c s 1 c 0 un entier écrit en base 10. Par définition, x = 10 s c s + 10 s 1 c s c 1 + c 0. Pour calculer x mod n, il suffit donc de calculer les c i mod n et les 10 si mod n. Donnons quelques exemles. Le cas n = 2, 5 Dans ce cas, 10 si mod n est égal à zéro dès que s i 0. Donc x c 0 mod n. Ceci imlique que x est air si et seulement si c 0 est air et que x est divisible ar 5 si et seulement si c 0 est divisible ar 5. Le cas n = 4, 25 Dans ce cas, 10 si mod n est égal à zéro dès que s i 1. Donc x c 1 c 0 mod n. Ceci imlique que x est divisible ar 4 si et seulement si c 1 c 0 est divisible ar 4 et que x est divisible ar 25 si et seulement si c 1 c 0 est divisible ar 25. Le cas n = 3, 9 Dans ce cas, 10 1 mod n donc 10 s 1 mod n our tout s 0 donc x c s + c s c 1 + c 0. Ceci imlique qu un entier moins la somme de ses chiffres est divisible ar 9. En comarant ces résultats avec la roosition 3.2, on en déduit qu une addition, une multilication ou une soustraction ne eut être juste que si elle est juste sur les deux derniers chiffres (reuve ar 4) et si elle demeure juste lorsque que l on l effectue sur la somme des chiffres (reuve ar 9). Le cas n = 11 Dans ce cas, 10 1 mod n donc 10 s ( 1) s mod n our tout s 0 donc x ( 1) s c s + ( 1) s 1 c s 1 + c 1 + c 0. Ceci imlique qu un entier est divisible ar 11 si et seulement si la somme alternée de ses chiffres est divisible ar 11. 9

10 Le cas général Proosition 3.3. Soit n > 0 un entier remier à 10. Il existe un entier s > 0 tel que 10 s 1 mod n. Soit t un entier et r(t) le reste de la division euclidienne de t ar s. Alors 10 t 10 r mod n. Donc x c t 10 r(t) + c t 1 10 r(t 1) c 1 + c 0 mod n. Démonstration. Les uissances successives de 10 sont congrues à des éléments de Z/nZ. Parmi les n+1 remières uissances de 10-à savoir 1, 10,, 10 n -deux sont nécessairement égales. Disons que 10 s 10 s mod n avec s > s. L équation 10z 1 mod n admet une solution donc, en multiliant ar z s à gauche et à droite, 10 s s 1 mod n. Donc 10 t 10 qs+r(t) (10 s ) q 10 r(t) 10 r(t) mod n. Traitons le cas n = mod mod mod mod mod mod 7 Donc 10 t 10 t mod 6 mod 7. Donc x c s 10 s mod c 2 + 3c 1 + c 0 mod 7. Pour x = , ar exemle, on obtient : x mod mod 7 0 mod 7 10