Brevet blanc 2012 La rédaction et la présentation seront notées sur 4 points. L'emploi de la calculatrice est autorisé.

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1 Activités numériques (12 points) Brevet blanc 2012 La rédaction et la présentation seront notées sur 4 points. L'emploi de la calculatrice est autorisé. Exercice 1 :(détailler chacun des calculs suivants) 1. Calculer A= Calculer B= : 3 5 et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible. 3. Calculer C= , et donner le résultat sous forme scientifique. Exercice 2 : Soit l expression E= 2 x 6 2 x 6 2 x 10 et F = 2 x 3 4 x 5 2 x Développer E et F pour montrer que E=F quel que soit x. 2. Calculer E et F pour x= 3. Exercice 3 : On considère le programme de calcul suivant: Choisir un nombre Ajouter - 3 Calculer le carré du résultat obtenu Lui soustraire le carré du nombre choisi au départ Ecrire le résultat final. 1. Vérifier que lorsque le nombre de départ est 4, le résultat final est Lorsque le nombre de départ est -2, quel résultat final obtient-on? 3. Le nombre de départ étant x, quel résultat obtient-on en fonction de x?( on donnera le résultat sous forme développée et réduite). Exercice 4: On considère A= x 3 2 x 5 3 x 2 2 x Développer A. 2. Factoriser A. 3. Calculer A pour x = 5 2. Exercice 5: 1. Calculer le PGCD des nombres 238 et 170 par la méthode de votre choix (on écrira les étapes de calculs) Ecrire sous forme irréductible la fraction (on indiquera le détail des calculs). 238

2 Activités Géométriques (12 points) Exercice 1: L'unité de longueur est le centimètre. On sait que les droites (BD) et (CE) sont parallèles. On donne OB = 7,2 ; OC = 10,8 ; OD = 6 et CE = 5,1. B C F O D E G On ne demande pas de faire une figure en vraie grandeur. 1. Calculer OE puis BD. 2. On donne OG = 2,4 et OF = 2. Démontrer que (GF) et (BD) sont parallèles. Exercice 2: On donne BD = 4 cm; BA = 6 cm et DBC = 60. On ne demande pas de faire une figure en vraie grandeur. 1. Montrer que BC = 8 cm. 2. Calculer CD. Donner la valeur arrondie au dixième. 3. Calculer AC. 4. Quelle est la valeur de tan BAC? 5. En déduire la valeur arrondie au degré de BAC. C A D 60 4 cm B 6 cm Problème (12 points) ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 3 cm et AC = 4 cm. M est un point de [BC]. La perpendiculaire à (AB) passant par M coupe (AB) en P. La perpendiculaire à (AC) passant par M coupe (AC) en Q. P B M A Q C

3 Justifier que: 1. BC = 5 cm. 2. Le quadrilatère APMQ est un rectangle. BP 3. = BM = PM On suppose dans cette question que BM = 2 cm. 1. Calculer BP, PM puis en déduire AP. 2. Calculer l'aire du rectangle APMQ. Partie A Partie B Partie C On suppose dans cette partie que BM = x cm avec 0 < x < En utilisant la question 3. de la partie A, exprimer BP et PM en fonction de x. 2. En déduire AP en fonction de x. 3. Pour quelle valeur de x, APMQ est-il un carré? 4. On note A(x) l'aire, en cm² du rectangle APMQ. Justifier que A(x) = 2,4x 0,48x². 5. On donne la représentation graphique de l'aire du rectangle APMQ en fonction de x cidessous: (a) En s'aidant du graphique, trouver le(s) valeur(s) de x pour lesquelles l'aire du rectangle APMQ est de 1 cm². (b) Déterminer graphiquement la valeur de x pour laquelle l'aire de APMQ est maximale. Donner cette aire maximale.

4 Correction du brevet blanc 2012 Activités numériques Exercice n 1 : 1) A= ; A= ; A= ; A=13. 3) C= , ; C= 6 6 1, ; 10 8 C= ; C=2, ) B= : 3 5 ; B= B= ; B= ; B= Exercice n 2: 1) E= 2 x 6 2 x 6 2 x 10 ; E=4 x x 20 ; E=4 x 2 2 x 16. F = 2 x 3 4 x 5 2 x 1 2 ; F =8 x 2 10 x 12 x 15 4 x 2 4 x 1 ; F =4 x 2 2 x 16. On a bien E=F. 2) Pour x= 3, E=F = = =14. Exercice n 3: 1) En prenant 4 comme nombre de départ, le résultat final est obtenu en effectuant les calculs suivants: = 15. 2) En prenant 2 comme nombre de départ, le résultat final est : =21. x 3 2 x 2 = 6 x 9. Exercice n 4 : 1) A= x 3 2 x 5 3 x 2 2 x 5 ; A=2 x 2 5 x 6 x 15 6 x 2 15x 4 x 10 ; A=8 x 2 10 x 25. 2) A= x 3 2 x 5 3 x 2 2 x 5 A= 2 x 5 [ x 3 3 x 2 ]; A= 2 x 5 4 x 5. 3) Pour x= 5 2, A= =0.

5 Exercice n 5 : 1) Calcul du PGCD de 238 et de 170 par divisions successives : 238 : 170 = 1 reste 68; 170 : 68 = 2 reste 34; 68 : 34 = 2 reste 0. Le PGCD de 238 et de 170 est le dernier reste non nul, c'est donc 34. 2) Pour rendre la fraction 170 irréductible, il suffit de la simplifier par le PGCD de 170 et de 238, c'est à dire 34. On obtient alors: = 5 7. Activités géométriques 238 Exercice n 1 : 1) Dans le triangle OEC, D est sur le côté [OE], B est sur le côté [OC] et les droites (BD) et (CE) sont parallèles. On peut donc utiliser le théorème de Thalès, on écrit alors: OC OB = OE OD = CE BD. D'où 10,8 7,2 = OE 6 = 5,1 BD. On en déduit : OE= 10,8 7,2 6=9 ; OE=9 cm. 7,2 De plus : BD = 10,8 5,1=3,4 ; BD=3,4 cm. 2) OG OB = 2,4 7,2 =1 OF et 3 OD = 2 6 = 1 3. Les droites (FD) et (BG) se coupent en O et OG OB = OF. D'après la réciproque du théorème de OD Thalès, on en déduit que les droites (FG) et (BD) sont parallèles. Exercice n 2 : 1) Le triangle BCD est rectangle en D, on peut donc écrire : cos CBD = BD CB ; cos 60 = 4 CB ; 4 CB= = 8; d'où CB=8 cm. cos 60 2) Le triangle BCD est rectangle en D, l'égalité de Pythagore est vérifiée, on a donc : CB 2 =CD 2 BD 2 ; CD 2 = ; CD 2 =48 ; CD 6,9 cm. 3) Le triangle ABC est rectangle en B, l'égalité de Pythagore est vérifiée, on a donc : AC 2 =AB 2 BC 2 ; AC 2 = ; AC 2 =100 ; AC = 100 ; AC =10 cm. 4) Le triangle ABC est rectangle en B, on peut donc écrire : tan BAC = BC BA = 8 6 = ) BAC tan ,13.

6 Problème Partie A 1) ABC est un triangle rectangle en A, l'égalité de Pythagore est vérifiée, on a donc : BC 2 = AB 2 AC 2 ; BC 2 = ; BC 2 =25 ; BC= 25 ; BC=5 cm. 2) Le quadrilatère APMB possède 3 angles droits, c'est donc un rectangle. 3) Dans le triangle ABC, P est sur le côté [AB], M est sur le côté [BC] et la droite (PM) est parallèle à la droite (AC) car APMB est un rectangle. On peut donc appliquer le théorème de Thalès dans ce triangle, et on a : BP BA = BM BC = PM AC ; D'où : BP 3 = BM 5 = PM 4. Partie B 1) En utilisant l'égalité précédente, on peut écrire : BP=3 2 5 =6 5 =1,2. Donc BP=1,2cm. De même, PM =4 2 5 =8 5 =1,6. Donc PM =1,6 cm. AP= AB BP ; AP=3 1,2=1,8 ; Donc AP=1,8 cm. 2) Aire du rectangle APMQ : PA PM =1,8 1,6=2,88. Donc l'aire du rectangle APMQ est de 2,88 cm 2. Partie C BM = x. 1) BP=3 x 5 = 3 x=0,6 x. 5 PM =4 x 5 = 4 x=0,8 x. 5 2) AP= AB BP ; AP=3 0,6 x. 3) APMQ est un carré lorsque sa longueur et sa largeur sont égales. On en déduit que x doit vérifier l'équation : AP=PM. C'est à dire : 3 0,6 x=0,8 x ; D'où : 3=0,8 x 0,6 x ; 3=1,4 x ; 3 1,4 =x ; x= 15 7.

7 APMQ est un carré pour x= 15 7 cm. 4) Aire du rectangle APMQ : PA PM = 3 0,6 x 0,8 x=2,4 x 0,48 x². 5) 3 0,45 4,55 2,5 a) On peut lire sur le graphique que l'aire du rectangle APMQ est égale à 1 cm 3 pour x valant environ 0,45cm et 4,55cm. b) On peut lire sur le graphique que l'aire du rectangle APMQ est maximale pour x=2,5cm. Dans ce cas, l'aire du rectangle APMQ est égale à 3 cm².

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