Chapitre 1. Les modèles linéaires

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1 Chapitre 1. Les modèles linéaires 1. Structure d'un fichier : Un exemple À titre d exemple on utilisera le modèle «Les chaises de M. Eugène» tiré de La recherche opérationnelle, 3 e édition de Nobert, Ouellet et Parent (voir section 2.1.1, page 30). Max z = 450 x A x B sous les contraintes : x A 42 (1) x B 53 (2) x A 100 (3) x B 100 (4) 1,5 x A + 2 x B 250 (5) 0,5 x A + 0,75 x B 100 (6) 2 x A + 3 x B 327 (7) x A, x B 0 (8) x A, x B entiers (9) Il existe plusieurs façons de présenter dans une feuille de calcul EXCEL l'information associée à un modèle linéaire. L approche retenue dans ce texte est de calquer le modèle mathématique à l aide d une stucture générale simple qui s applique à tout modèle linéaire. Nous décrivons dans cette première section le fichier Chaises.xls associé au modèle ci-dessus. (On indiquera en section 1.4 comment créer un tel fichier.) Pour les modèles de réseau et de transport, le fichier sera construit autrement, de façon à mettre en évidence la structure particulière de ces modèles. Éléments de la feuille de calcul La figure 1-1 présente les éléments de la feuille de calcul Chaises.xls décrivant le modèle linéaire «Les chaises de M. Eugène». Ce fichier se trouve dans le sous-répertoire s/2e, où s dénote le répertoire La ligne 1 donne le titre du problème. La ligne 3 indique si l on cherche à maximiser ou à minimiser la fonction-objectif z. La ligne 5 contient les dimensions du problème, soit le nombre m de contraintes technologiques et le nombre n de variables de décision.

2 Janvier 2004 Chapitre 1. Les modèles linéaires Page 1.2 Figure 1-1 La feuille de calcul décrivant le modèle linéaire «Les chaises de M. Eugène» La ligne 8 énumère les noms des variables de décision. La ligne 10 contient les coefficients des variables de décision dans la fonction-objectif z, ainsi que la valeur courante 1 de z. Le bloc des lignes 12 à 19 décrit les contraintes technologiques (1)-(7) du modèle linéaire : à chacune est associée une ligne où sont donnés le nom, les coefficients associés aux diverses variables de décision dans cette contrainte, le signe de la contrainte (>=, <= ou =), ainsi que la valeur du membre droit. Comme nous le verrons en section 1.2, les membres gauches des contraintes, placés en colonne D mais masqués ici pour fin de présentation, doivent être calculés avant de résoudre le modèle. La ligne Valeurs des variables xj contient les valeurs courantes 1 des variables de décision. La ligne 24 décrit le type de chaque variable de décision du modèle. Nous utilisons les abréviations suivantes : P (variable non négative), IP (variable entière et non négative), 0-1 (variable binaire). Lorsque des bornes sont imposées à certaines variables, des lignes Bornes inférieures et Bornes supérieures seront ajoutées au fichier EXCEL associé. Nous indiquons en section 1.6 comment procéder dans un tel cas. 1 Les valeurs affichées en blanc sur fond noir à la figure 1-1 représentent les valeurs des variables de décision et de la fonction-objectif z dans la solution finale trouvée par le solveur d EXCEL.

3 Janvier 2004 Chapitre 1. Les modèles linéaires Page Résolution d un fichier pré-existant La résolution par EXCEL d'un modèle linéaire comprend deux étapes. La première consiste à créer un fichier EXCEL qui traduise le modèle : il s agit d abord, tel qu illustré à la figure 1-1, d entrer toutes les données numériques pertinentes; il faut ensuite relier ces données à l'aide de formules de calcul (qui seront décrites en section 1.4). La deuxième étape consiste à utiliser l'outil «solveur» pour obtenir une solution «finale», qui sera, on le souhaite, optimale. Considérons, à titre d exemple, le fichier Chaises.xls illustré à la figure 1-1. Toute les données nécessaires à la résolution du modèle linéaire représenté ont déjà été entrées dans le fichier. La 1 re des 2 étapes mentionnées ci-dessus est donc automatiquement complétée. Pour la 2 e étape, il faut lancer le solveur : cliquer sur le menu Outils, puis sur la commande Solveur de ce menu. La boîte de dialogue «Paramètres du solveur» affichée devrait ressembler à celle de la figure 1-2 et fournir 4 types d informations : la cellule à optimiser, le sens de l optimisation (max, min ou valeur), la plage des valeurs des variables de décision, une description des contraintes technologiques et d'intégrité Les paramètres du solveur Figure 1-2 La boîte de dialogue «Paramètres du solveur» 2 L'adresse ou le nom de la cellule contenant la fonction-objectif doit apparaître dans la zone de texte Cellule cible à définir. Dans le fichier Chaises.xls, nous avons choisi d entrer un nom 3, plutôt qu une adresse : le nom z réfère ici à la cellule F22, qui contient, tel qu indiqué précédemment, la valeur de la fonction-objectif z. En 2 e lieu, nous avons coché l'option Max, car, dans le modèle, il est spécifié de maximiser z. Le 3 e élément d'information exigé par le solveur est la liste des cellules où seront conservées les valeurs des variables de décision. Cette liste sera placée dans la zone Cellules variables. Cette fois encore, nous avons choisi d entrer un nom xj, qui correspond à la plage B22 : C22. 2 Dans la boîte de dialogue «Paramètres du solveur», les références affichent des signes $ avant la lettre de la colonne et le numéro de la ligne, ce qui en fait des références absolues. Les signes $ seront omis dans le texte pour en faciliter la lecture. 3 Nous indiquons en section 1.4 comment définir un nom de cellule ou un nom de plage de cellules.

4 Janvier 2004 Chapitre 1. Les modèles linéaires Page 1.4 Le 4 e et dernier élément d'information exigé est une description des contraintes technologiques et d'intégrité, description qui apparaîtra dans la zone de texte Contraintes. Il est recommandé de spécifier en une formule unique les contraintes technologiques reliées à une même catégorie. Par exemple, les contraintes (1) et (2) de commande sont traduites par la formule D13:D14 >= F13:F14 qui exige à la fois que D13 F13 et que D14 F14. (Rappelons que la cellule D13, qui est masquée, contient la valeur du membre gauche de la contrainte (1); que F13 contient la valeur du membre droit de cette même contrainte.) De même, la formule D17:D19 <= F17:F19 résume les 3 contraintes (5), (6) et (7) de disponibilité pour les opérations de brasage, laquage et capitonnage. Enfin, les contraintes (9) d'intégrité sont spécifiées par la formule xj = entier le nom xj référant à la plage B22:C22 réservée aux valeurs des variables de décision, Note. Les contraintes (8) de non-négativité sont entrées en cliquant sur le bouton Options et en cochant une case dans la boîte qui s affiche alors. Les options du solveur sont décrites plus loin, en section 1.5. Calcul d une solution optimale Pour résoudre le modèle, cliquer sur le bouton Résoudre de la boîte de dialogue «Paramètres du solveur». Le message «Mise en place du problème» s'affiche sur la barre d'état pendant que le solveur analyse le modèle. Il recherche ensuite la solution, puis affiche la boîte de dialogue «Résultat du solveur» lorsqu'il a terminé sa recherche. Dans le cas considéré ici, le message apparaissant au haut de la boîte (voir figure 1-3) indique que le solveur a trouvé une solution optimale. Figure 1-3 La boîte de dialogue «Résultat du solveur» L'option Garder la solution du solveur, qui est cochée par défaut, permet de sauvegarder la solution trouvée dans les zones Cellules variables et Cellule cible spécifiées dans la boîte de dialogue «Paramètres du solveur». La boîte «Résultat du solveur» offre également de créer divers rapports, qui sont décrits à la section suivante. Note. La plupart des fichiers du site ont déjà été résolus par le solveur d EXCEL et affichent les valeurs de la solution optimale obtenue dans la plage xj, ainsi que la valeur optimale de z dans la cellule z, car l option Garder la solution du solveur, qui est cochée par défaut, a généralement été maintenue. Le solveur d EXCEL donne parfois des messages inexacts; ce problème est traité en section 1.5

5 Janvier 2004 Chapitre 1. Les modèles linéaires Page Rapports et interprétation des résultats La boîte de dialogue «Résultat du solveur» offre 3 types de rapports : - Réponses : un rapport sommaire des résultats; - Sensibilité : ce rapport donne les intervalles de variation des paramètres c j et b i associés à la solution de base optimale obtenue par le solveur; - Limites : ce rapport donne les plus petites et les plus grandes valeurs possibles des variables de décision. Le solveur ne produit toutefois pas les rapports Sensibilité et Limites pour les problèmes comportant des contraintes d'intégrité. Le dernier de ces rapports est rarement utile et ne sera pas commenté. La description du rapport Sensibilité est reportée au chapitre 2 consacré aux modèles linéaires continus. Pour obtenir un rapport sommaire des résultats, sélectionner l option Réponses dans la section Rapports de la boîte de dialogue «Résultat du solveur», puis cliquer sur OK. Le message «Mise en forme du rapport des réponses» apparaît très brièvement sur la barre d'état, puis la feuille de calcul réapparaît. Mais une nouvelle feuille intitulée Rapport des réponses 1 a été insérée avant la feuille de calcul. Sélectionner cette feuille pour obtenir la figure 1-4. Cellule cible (Max) Cellule Nom Valeur initiale Valeur finale $F$10 z Cellules variables Cellule Nom Valeur initiale Valeur finale $B$22 xa 0 42 $C$22 xb 0 81 Contraintes Cellule Nom Valeur Formule État Marge $D$13 Commande A 42 $D$13>=$F$13 Lié 0 $D$14 Commande B 81 $D$14>=$F$14 Non lié 28 $D$15 Demande A 42 $D$15<=$F$15 Non lié 58 $D$16 Demande B 81 $D$16<=$F$16 Non lié 19 $D$17 Disp Bras 225 $D$17<=$F$17 Non lié 25 $D$18 Disp Laqu 81,75 $D$18<=$F$18 Non lié 18,25 $D$19 Disp Capi 327 $D$19<=$F$19 Lié 0 $B$22 xa 42 $B$22=entier Lié 0 $C$22 xb 81 $C$22=entier Lié 0 Figure 1-4 Le rapport Réponses 4 4 Les Noms des cellules B22 et C22 ont été abrégés, afin d alléger la figure et d en faciliter la lecture.

6 Janvier 2004 Chapitre 1. Les modèles linéaires Page 1.6 Interprétation du rapport des réponses Le rapport des réponses décrit succinctement la solution finale trouvée par le solveur, laquelle est dans cet exemple une solution optimale du modèle. Il comporte 3 sections : La 1 re traite de la fonction-objectif : elle donne son adresse, son nom, sa valeur «initiale» 5 ainsi que sa valeur dans la solution finale déterminée par le solveur. La 2 e traite des variables de décision du modèle : à chacune est associée une ligne où sont donnés son adresse, son nom, sa valeur «initiale», ainsi que sa valeur dans la solution finale. La 3 e traite des contraintes technologiques et d'intégrité du modèle. À chacune des contraintes technologiques est associée une ligne où sont donnés l'adresse du membre gauche, le nom de la contrainte, la valeur du membre gauche, la formule associée à la contrainte dans la zone Contraintes de la boîte de dialogue «Paramètres du solveur», l état de la contrainte (lié pour active et non lié pour inactive) et enfin la valeur de la variable d écart ou d excédent associée. (Les variables x A et x B prennent les valeurs 42 et 81 respectivement dans la solution décrite à la figure 1-4; le membre gauche de la contrainte «Disp Bras» vaut donc (1,5 42) + (2 81) = 225, ce qui représente un écart de = 25 avec le membre droit ). De même, à chacune des contraintes d'intégrité est associée une ligne où sont donnés divers éléments d'information. 4. Saisie des données Nous indiquons maintenant comment créer une feuille de calcul EXCEL. Convenons d'utiliser à nouveau le modèle «Les chaises de M. Eugène» décrit en section 1.1. Il est recommandé d'entrer les éléments de la feuille de calcul selon l'ordre suivant : les entrées de texte : le titre du fichier, les noms des diverses lignes, des variables de décision, des contraintes technologiques, ainsi que le type de chaque variable; les données numériques du modèle : le nombre m de contraintes technologiques, le nombre n de variables de décision, les coefficients des variables de décision dans la fonction-objectif z, les coefficients associés à chacune des variables dans les contraintes technologiques, les membres droits des contraintes technologiques, et les bornes inférieure et supérieure des variables de décision, s'il y a lieu; les noms des paramètres : des noms descriptifs seront attribués à des cellules ou à des plages de cellules; on se servira de ces noms chaque fois qu on devra référer à ces cellules ou plages dans une commande, une formule ou une fonction; le tableau 1-1 ci-dessous dresse la liste des paramètres auxquels sera attribué un nom; les formules : avant d'activer le solveur, il faut calculer l'expression du membre gauche de chaque contrainte technologique de même que celle de la fonction-objectif. 5 Il s agit de la valeur numérique qui était dans la cellule associée au paramètre z avant que l on clique sur le bouton Résoudre.

7 Janvier 2004 Chapitre 1. Les modèles linéaires Page 1.7 Paramètre Nombre de contraintes technologiques (à l exclusion des contraintes de bornes) Nombre de variables de décision Valeur de la fonction-objectif Valeurs des variables de décision Coefficients des variables dans la fonction-objectif Membres droits des contraintes technologiques Bornes inférieures des variables Bornes supérieures des variables Nom m n z xj cj bi B.inf B.sup Tableau 1-1 Noms des paramètres Les entrées de texte Tout d'abord, ouvrir un nouveau classeur, puis entrer les titres, les noms des contraintes technologiques, ainsi que les noms et les types des variables de décision. Le résultat devrait coïncider avec la feuille illustrée à la figure 1-5. Figure 1-5 Feuille de calcul avec les entrées de texte

8 Janvier 2004 Chapitre 1. Les modèles linéaires Page 1.8 Les données numériques du modèle Entrer les données numériques du modèle dans n'importe quel ordre, jusqu'à ce que la feuille de calcul soit identique à celle représentée à la figure 1-6. Figure 1-6 Feuille de calcul avec les entrées de texte et les entrées numériques Les noms des paramètres Attribuer ensuite un nom à chacun des paramètres du modèle. Pour l exemple traité ici, les adresses des plages ou cellules où seront conservées les valeurs de ces paramètres sont données dans le tableau 1-2. Cellule ou plage B5 C5 F10 B22:C22 B10:C10 F13:F19 Nom m n z xj cj bi Tableau 1-2 Noms des cellules ou plages de cellules

9 Janvier 2004 Chapitre 1. Les modèles linéaires Page 1.9 Par exemple, pour attribuer le nom bi à la plage F13 : F19, sélectionner les cellules F13 à F19 à l aide de la souris; cliquer alors sur le menu Insertion, puis sur les commandes Nom et Définir. La boîte de dialogue «Définir un nom» apparaît alors à l'écran (figure 1-7). La zone de texte Fait référence à: affiche la référence de plage de cellules sélectionnée. Figure 1-7 La boîte de dialogue «Définir un nom» Inscrire le nom bi dans la zone Noms dans le classeur :. Compléter la commande en cliquant sur l un des boutons Ajouter ou OK (utiliser le premier tant qu il reste des constantes à définir). On entrera ainsi les noms un à un, jusqu'à ce que la zone de liste sous la zone Noms dans le classeur : contienne les noms de tous les paramètres apparaissant dans le tableau 1-2. Les formules Les membres gauches des contraintes technologiques doivent être calculés dans des cellules avant d'activer le solveur. Puisque ces membres gauches s'écrivent comme des sommes dont chaque terme est le produit d'un coefficient a ij et de la variable x j correspondante, nous utiliserons la fonction SOMMEPROD qui permet de calculer un produit scalaire. Par exemple, pour la contrainte «Disp Bras», inscrire dans la cellule D17 la formule =SOMMEPROD(B17:C17; xj) qui est équivalente à 1,5 x A + 2 x B. On peut copier cette formule pour les autres contraintes technologiques. De même, inscrire dans la cellule F10 la formule =SOMMEPROD(cj; xj) qui est équivalente à la fonction-objectif z = 450 x A x B. Options de présentation La figure 1-8 présente l état de la feuille, une fois complétée. La figure incorpore également divers éléments de présentation : les signes des contraintes technologiques sont donnés en colonne E; des bordures ont été ajoutées à certaines cellules ou plages de cellules, afin d indiquer

10 Janvier 2004 Chapitre 1. Les modèles linéaires Page 1.10 explicitement le regroupement naturel des données; enfin, la cellule F10 et la plage B22:C22 où apparaîtront les résultats du solveur ont été tramées en noir. La colonne D, qui est masquée dans la figure 1-1, ne l est pas ici, car elle sera utile plus tard, au moment de fournir au solveur les informations dont il a besoin. Figure 1-8 La feuille de calcul une fois complétée 5. Le solveur Les paramètres du solveur Une fois la feuille de calcul complétée, sélectionner l'option Solveur du menu Outils pour entrer les paramètres du solveur. La boîte de dialogue initiale devrait ressembler à celle de la figure 1-9. La boîte de dialogue «Paramètres du solveur» permet de fournir au solveur les 4 éléments d'information suivants: La cellule à maximiser ou à minimiser : dans la zone de texte Cellule cible à définir:, entrer le nom z qui réfère à la cellule F22 contenant la formule définissant la fonction-objectif. Le sens de l optimisation : l'objectif du modèle considéré consistant à maximiser z, il n'est pas nécessaire de modifier la case Max cochée par défaut.

11 Janvier 2004 Chapitre 1. Les modèles linéaires Page 1.11 Figure 1-9 La boîte de dialogue «Paramètres du solveur» La plage des variables de décision : dans la zone Cellules variables:, entrer le nom xj correspondant à l'adresse de la plage B22:C22 associée aux variables de décision. Les contraintes technologiques et d'intégrité : il faut compléter la zone Contraintes: de la façon indiquée maintenant. Il reste donc à décrire les diverses contraintes du modèle au solveur. Cliquer d abord sur le bouton Ajouter à droite de la zone Contraintes:. La boîte de dialogue affichée devrait ressembler à celle de la figure Figure 1-10 La boîte de dialogue «Ajouter une contrainte» Convenons de regrouper en 3 catégories les contraintes technologiques (1)-(7) du modèle «Les chaises de M. Eugène» : les contraintes de commande, celles de demande et celles de disponibilité pour les opérations de brasage, de laquage et de capitonnage. Chaque groupe sera spécifié en bloc au solveur. Nous indiquons d abord comment entrer les deux contraintes «Commande A» et «Commande B». Dans la zone de texte Cellule:, entrer D13:D14 (il s agit, rappelons-le, des adresses des membres gauches des 2 contraintes de commande). Ouvrir le menu déroulant du bouton et sélectionner le signe (commun) des contraintes.

12 Janvier 2004 Chapitre 1. Les modèles linéaires Page 1.12 Dans la zone de texte Contrainte:, entrer F13:F14, (cette plage contient les membres droits des contraintes de commande). Cliquer ensuite sur le bouton Ajouter. Répéter ces étapes pour spécifier d abord les contraintes de demande, puis celles de disponibilité de temps pour les 3 opérations. Notes. Pour spécifier les plages des membres gauches ou droits, on peut, au lieu de taper les adresses, placer le curseur dans la zone de texte correspondante de la boîte «Ajouter une contrainte», puis sélectionner la plage pertinente dans la feuille. Les signes des contraintes technologiques apparaissant dans la colonne E de la feuille de calcul ne sont pas utilisés par le solveur, mais servent uniquement à documenter le modèle. Pour spécifier les contraintes d'intégrité, cliquer sur le bouton Ajouter et entrer le nom xj dans la zone de texte Cellule:. Choisir ent dans le menu déroulant du bouton. Puis cliquer sur OK. La boîte de dialogue «Paramètres du solveur» devrait ressembler à celle de la figure Figure 1-11 La boîte de dialogue «Paramètres du solveur» une fois complétée Les options du solveur Certaines options doivent être spécifiées au solveur avant de résoudre le modèle. Cliquer sur le bouton Options de la boîte de dialogue «Paramètres du solveur». La boîte de dialogue «Options du solveur» s'affiche à l'écran avec les valeurs par défaut illustrées à la figure Nous recommandons de modifier trois de ces valeurs par défaut. Tolérance : inscrire 0 dans la zone Tolérance:. Modèle supposé linéaire : cocher la case «Modèle supposé linéaire». Supposé non-négatif : cocher la case «Supposé non-négatif» pour spécifier que toutes les variables de décision sont soumises à des contraintes de non-négativité.

13 Janvier 2004 Chapitre 1. Les modèles linéaires Page 1.13 Figure 1-12 La boîte de dialogue «Options du solveur» avec les valeurs par défaut Résolution du modèle Après avoir modifié les valeurs par défaut, cliquer sur OK pour revenir à la boîte de dialogue «Paramètres du solveur», puis sur le bouton Résoudre situé dans le coin supérieur droit de cette boîte. EXCEL tente alors de calculer une solution optimale du modèle linéaire. Dans le présent exemple, il affichera la boîte «Résultats du solveur» de la figure 1-3. Il est recommandé de sauvegarder le fichier avant de le fermer. Note 1. Tous les éléments d'information entrés dans la boîte de dialogue «Paramètres du solveur» sont sauvegardés en même temps que le fichier. Note 2. À cause de la représentation sous forme binaire des nombres en mémoire, il est possible que, pour certaines variables de décision ou certains membres gauches des contraintes technologiques, les valeurs optimales affichées soient légèrement inexactes. Considérons, à titre d exemple, le fichier Accel-PT.xls du sousrépertoire s/34568e: après la résolution de ce fichier, la cellule K28 affiche «2E-15», alors que la valeur exacte est zéro. L erreur d arrondi n est pas grande ici et il en est de même dans presque tous les cas. Note 3. On peut réduire le temps de calcul d un modèle en nombres entiers si on est prêt à accepter une solution qui soit sous-optimale mais ne diffère pas trop de l'optimum. Il suffit de spécifier une marge d'erreur tolérée non nulle dans la zone de texte Tolérance:. Le solveur compare alors chaque solution admissible obtenue à une borne qu il calcule (borne supérieure dans le cas d un modèle de maximisation, et inférieure dans un cas de minimisation) et s arrête quand l écart entre la solution admissible courante et cette borne est inférieur à la tolérance spécifiée. Supposons à titre d exemple que l on ait indiqué 1% comme tolérance; le solveur, dès qu il a obtenu une solution admissible qui diffère de la borne de 1% ou moins, s arrête et identifie cette solution comme satisfaisante; noter que la solution trouvée peut être à seulement 0,2% du véritable optimum, ou même être optimale. Le paramètre d erreur de la zone Tolérance: est actif seulement si le modèle admet au moins une contrainte d intégrité.

14 Janvier 2004 Chapitre 1. Les modèles linéaires Page 1.14 Les messages inexacts du solveur Le solveur d EXCEL présente quelquefois des messages inexacts. Considérons, à titre d exemple, le modèle linéaire suivant. Max z = 10 x x x x 4 sous les contraintes : 3 x x x x x x x x 4 5 x 1, x 2, x 3, x 4 0 et entiers dont la solution optimale est : x 1 = 2 et x 2 = x 3 = x 4 = 0. EXCEL, lorsqu on lui demande de résoudre ce modèle, affiche la boîte de résultat reproduite à la figure Cependant, si on clique sur le bouton OK, la solution trouvée par le solveur et gardée dans la plage xj coïncide avec la solution optimale du modèle. Le même problème se retrouve dans le cas du fichier Chais-C1.xls du sous-répertoire s/2e, qui représente le 1 er modèle de la section de La recherche opérationnelle, 3 e édition. À nouveau, il suffit de cliquer sur le bouton OK pour obtenir une solution non seulement admissible, mais également optimale. Évidemment, le message «Le solveur ne peut pas trouver de solution réalisable» le plus souvent est fondé et correspond à un modèle n admettant réellement aucune solution admissible. Figure 1-13 Un message inexact d EXCEL 6. Fichier avec bornes : Deux exemples Un premier exemple : Les chaises de M. Eugène Nous illustrons l'utilisation des bornes à l'aide de l'exemple «Les chaises de M. Eugène» considéré en section 1.1. Les contraintes (1) et (3) signifient que la variable x A appartient à l intervalle fermé [42; 100] et peuvent être remplacées dans le modèle par (10), où 42 x A 100 (10) De même, (2) et (4) sont équivalentes à (11), où 53 x B 100 (11) B La figure 1-14 décrit la feuille de calcul associée au modèle linéaire (5)-(11). Noter que les bornes de (10) et (11) apparaissent dans la plage B22:C23 et non dans la section Contraintes technologiques.

15 Janvier 2004 Chapitre 1. Les modèles linéaires Page Figure 1-14 Le modèle «Les chaises de M. Eugène» avec bornes Convenons d attribuer les noms B.inf et B.sup respectivement aux plages B22:C22 et B23:C23 où apparaissent les valeurs numériques des bornes inférieures et supérieures des variables de décision. Les inéquations doubles (10) et (11) sont spécifiées au solveur de la façon illustrée à la figure Noter que, dans la 1 re ligne de la zone Contraintes:, le nom bi réfère à la plage F13:F15, car le modèle ne comporte que les trois contraintes technologiques (5)-(7) de disponibilité pour les trois opérations. Figure 1-15 La boîte de dialogue «Paramètres du solveur» avec contraintes de bornes

16 Janvier 2004 Chapitre 1. Les modèles linéaires Page 1.16 Un second exemple Pour les problèmes où l'on impose des bornes à certaines variables, l'approche que nous avons retenue exige que si une borne inférieure (ou supérieure) est utilisée, toutes les variables soient soumises à une borne inférieure (ou supérieure). Dans les cas des bornes inférieures, on ajoute la valeur 0 par défaut. Quand il s agit de bornes supérieures, on ajoute une valeur qui ne risque pas d'être dépassée dans une éventuelle solution optimale. On utilisera un exemple tiré de La recherche opérationnelle, 3 e édition de Nobert, Ouellet et Parent. Le modèle linéaire retenu se trouve à la page 90, à la fin de la section 2.3.6, «Les fonctions linéaires par parties : les escomptes sur quantité». Le fichier associé est nommé Escomp-d.xls et apparaît dans le sous-répertoire s/2e. Max z = 1,40 x Af + 1,40 x Bf + 1,60 x Ag + 1,60 x Bg 1,75 y 1 1,85 y 2 2,05 y 3 sous les contraintes : x Af + x Ag y 1 + y 2 + y 3 (12) x Bf + x Bg 9000 (13) 0,5 x Af 0,5 x Bf 0 (14) 0,4 x Ag 0,6 x Bg 0 (15) y h 5000 h = 1, 2, 3 (16) x I j, y h 0 I = A, B et j = f, g; h = 1, 2, 3 (17) La figure 1-16 présente la feuille de calcul associée à ce modèle. Les contraintes (16) imposent une borne supérieure de à chacune des variables y h. Les contraintes technologiques (12) et (13) permettent ensuite de déterminer des bornes supérieures pour les autres variables de décision. De (12) et (16), on déduit aisément celles de x Af et x Ag : on note d abord que c'est-à-dire que il en résulte que x Af + x Ag y 1 + y 2 + y x Af + x Ag ; x Af et x Ag De façon analogue, (13) et (16) permettent d obtenir des bornes supérieures pour les variables x Bf et x Bg : x Bf et x Bg Noter que les cellules B23 et D23 de la figure 1-16 contiennent la formule = , et non la valeur résultante , afin d indiquer explicitement comment a été obtenue cette borne supérieure.

17 Janvier 2004 Chapitre 1. Les modèles linéaires Page 1.17 Figure 1-16 La feuille du fichier Escomp-d.xls décrivant le modèle du 2 e exemple Note. Il est parfois difficile de déterminer des bornes supérieures pour certaines variables. Il est alors recommandé de spécifier les contraintes de bornes une à une, plutôt que globalement, ce qui permet d imposer des bornes supérieures seulement aux variables pour lesquelles on dispose de bornes évidentes. Dans l exemple traité ci-dessus, on pourrait attribuer le nom B.sup à la plage F23:H23 et spécifier les contraintes de bornes de la façon illustrée à la figure 1-17 : les seules variables soumises à des contraintes de bornes seraient alors celles associées aux colonnes F, G et H, soit les variables y 1, y 2 et y 3. On évite ainsi d avoir à rechercher des bornes supérieures pour les x I j. Figure 1-17 Spécification d un groupe limité de bornes