4.1 Définitions et notations 1 CHAPITRE 4. Matrices Définitions et notations

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "4.1 Définitions et notations 1 CHAPITRE 4. Matrices Définitions et notations"

Transcription

1 4 Définitions et notations CHAPITRE 4 Matrices 4 Définitions et notations On désigne par K un des deux ensembles R ou C et par n et p deux entiers strictement positifs 4 Matrices Définition On appelle matrice à coefficients dans K à n lignes et p colonnes, toute application de [, n] [, p] à valeurs dans K On parle aussi de matrice (n, p ou matrice n p à coefficients dans K Les entiers n et p sont les dimensions de la matrice On note K n,p ou M n,p (K l ensemble des matrices n p à coefficients dans K Cette définition n est que la formalisation mathématique de la notion de tableau à n lignes et p colonnes, à coefficients dans K Comme pour les suites, on utilisera un double indice plutôt que la notation fonctionnelle pour représenter les éléments de la matrice : si A est une matrice n p, alors l élément de la i-ème ligne j-ème colonne est noté a i,j et on notera A = (a i,j i n j p ou bien A = a, a, a,j a,p a, a, a,j a,p a i, a i, a i,j a i,p a n, a n, a n,j a n,p On appelle i-ème ligne de A le vecteur (a i,, a i,,, a i,p de K p, j-ème colonne de A le vecteur (a,j, a,j,, a n,j de K n, que l on notera le plus souvent a,j a,j sous forme de colonne a n,j si n = on dit que A est une matrice ligne, si p = on dit que A est une matrice colonne La transposée de A, notée A t ou bien t A, est une matrice (p, n dont l élément générique b i,j est a j,i Elle est obtenue à partir de A en permutant les lignes et colonnes On a bien sûr (A t t = A Dans la pratique, pour alléger les notations, on omettra le plus souvent la virgule entre les deux indices et on écrira a plutôt que a, L éventuelle ambiguité sera levée par le contexte Pierre Puiseux

2 Chapitre 4 Matrices Fig Différentes régions d une matrice 4 Matrices carrées si n = p on dit que A est une matrice carrée Lorsque A est une matrice carrée, on dit qu elle est : triangulaire inférieure si (i, j, i < j a i,j = ; elle est de la forme : a, A = a n, a n,n triangulaire supérieure si (i, j, i > j a i,j = ; elle est de la forme : a, a,n A = a n,n diagonale si (i, j, i j a i,j = ; elle est de la forme λ A = λ n et on la note Diag (λ,, λ n Pour k [ n, n], la k-ème diagonale de A est le vecteur (éventuellement vide de coordonnées (a i,i+k max( k, i min(n k,p A est symétrique si et seulement si A est carrée et si A = A t ; A est antisymétrique si et seulement si A est carrée et si A t = A ; la matrice I n = Diag (,, K n,n est appelée matrice identité ; la matrice K n,n qui ne contient que des zéros est appelée matrice nulle ; On pourra démontrer à titre d exercice les propriétés suivantes : une matrice A est diagonale si et seulement si elle est triangulaire supérieure et triangulaire supérieure A est triangulaire supérieure si et seulement si A t est triangulaire inférieure

3 4 Opérations sur les matrices 3 la k-ème diagonale de A est également l ensemble des coefficients {a i,j, i n, j n, j i = k} 4 Addition de deux matrices 4 Opérations sur les matrices Définition Soient A = (a ij i n K n,p et B = (b ij i n K n,p deux matrices de mêmes j p j p dimensions On définit la somme C = A + B par Exemple ( ( 3 C = (c ij i n j p c i,j = a i,j + b i,j = ( 4 Produit de deux matrices Définition Etant données deux matrices et A = (a ik i m K m,n k n B = (b kj k n K n,p j p le produit A B est la matrice C = (c ij i m K m,p avec j p c ij = a ik b kj Remarque k n ( Comme on le fait pour le produit de deux réels, en l absence d ambiguïté, on notera AB ou AB au lieu de A B ( Pour pouvoir effectuer le produit de deux matrices A et B, il faut que les dimensions soient compatibles Un moyen efficace pour mémoriser la règle : le produit de deux matrices (m, n (n, p est une matrice (m, p, le produit «mange» la dimension intermédiaire, cette dimension doit être comestible! (3 Même si les deux produits sont définis, en général A B B A (4 Si A = (a i,k i m R m,n et X = (x i, i n R n,, alors en notant x i au lieu de x i, la i- k n ème coordonnée de X, le produit A X est la matrice A X = a x + a x + + a n x n a x + a x + + a n x n a m x + a m x + + a mn x n de R m, que l on peut confondre avec le vecteur de R m de même coordonnées (5 Pour des raison typographiques de commodité, les vecteurs colonne, c est à dire les éléments x de R n,, seront souvent notés X = (x, x,, x n T x plutôt que X = (6 Pratiquement, pour calculer le produit de deux matrices, on dispose les deux matrices de la manière suivantes : x n

4 4 Chapitre 4 Matrices Exemple ( ( 3 3 = ( ( 3 = (3 ( = ( à comparer avec le résultat précédent ( ( 3 (4 Vérifier que AB BA : A = B = (5 Soit D n (pour être complet il faudrait parler de D n (K l ensemble des matrices diagonales (à coefficients dans K et soient A D n et B D n Montrer que AB D n et que AB = BA Posons AB = C K n,n Pour i, j n, on a c i,j = k n a i,kb k,j Or les seuls termes a i,k [respb k,j ] non nuls sont ceux pour lesquels i = k [respk = j] Par conséquent, si i j alors au moins un des deux termes a i,k ou b k,j est nul donc c i,j = Si i = j, il ne subsiste dans la somme que le terme c i,i = a i,i b i,i D où le résultat (6 Soit T n (K (T n en abrégé l ensemble des matrices triangulaires supérieures (à coefficients dans K et soient A T n et B T n (a Montrer que AB T n (Difficile (b Donner un exemple montrant que la multiplication n est pas commutative dans T n (7 Le produit de deux matrices symétriques est-il symétrique? Non car (AB t = B t A t = BA AB ( (8 Soit A = trouver une matrice B R,, non nulle, telle que AB = Calculer BA ( ( ( 4 La matrice B = convient car AB = et BA = 43 Produit d une matrice par un scalaire On dit que la multiplication est une opération interne sur Dn On dit que la multiplication des matrices est une opération commutative sur Dn

5 43 Propriétés 5 Définition Soit λ K et A = (a ij i m une matrice de K m,n Le produit du scalaire λ par la j n matrice A est la matrice λa = (λa ij i m j n Remarque Comme pour le produit de deux matrices, on notera souvent λa au lieu de λa Exemple = 43 Propriétés A, B et C désignent trois matrices quelconques dont les dimensions sont compatibles avec les égalités écrites λ et µ sont deux scalaires de K 43 Distributivité ( A (B + C = A B + A C, A R m,n, B et C R n,p ( (A + B C = A C + B C, A et B R m,n, C R n,p (3 λ (A + B = λa + λb, A et B R m,n (4 (λ + µ A = λa + µa, A R m,n 43 Associativité ( A + (B + C = (A + B + C, A, B et C R m,n ( A (B C = (A B C, A R m,n, B R n,p, C R p,q (3 A (λb = (λa B = λ (A B, A R m,n, B R n,p 433 Commutativité ( A + B = B + A, A et B R m,n ( A B B A, A R m,n, B R n,p 434 Elément neutre pour l addition m,n La matrice nulle m,n K m,n est la matrice ne contenant que des zéros Elle est élément neutre pour l addition des matrices dans K m,n, c est à dire A K m,n, A + m,n = m,n + A = A 435 Elément neutre pour la multiplication : I m,n ( La matrice identité, I n K n,n est élément neutre (à droite et à gauche pour la multiplication des matrices dans K n,n, c est à dire A K n,n, A I n = I n A = A ( Pour les matrices de K m,n : I n est élément neutre à droite et I m élément neutre à gauche pour la multiplication C est à dire : A K m,n A = A I n = I m A

6 6 Chapitre 4 Matrices 436 Divers ( Le produit de deux matrices diagonales D = Diag (d, d,, d n et D = Diag (d, d,, d n est la matrice diagonale D D = Diag (d d, d d,, d n d n ( Transposition (AB t = B t A t, A R m,n, B R n,p 437 L espace vectoriel (K m,n, +, Certaines propriétés de l ensemble des matrices K m,n peuvent être résumées en Théorème 4 (K m,n, +, est un espace vectoriel, c est à dire : (K m,n, + est un groupe commutatif ; le produit par un scalaire vérifie λ, µ K et A, B K m,n : λ (µa = (λµ A λ (A + B = λa + λb 438 L anneau des matrices carrées d ordre n Pour les matrices carrées d ordre n, les propriétés précédentes peuvent se résumer en : Théorème 4 (K n,n, +, est un anneau (unitaire, c est à dire : (K n,n, + est un groupe commutatif d élément neutre n La loi est interne, associative, et distributive par rapport à +, et elle admet un élément neutre I n 439 Matrice et application linéaire Définition 4 Une application u : R n R m est linéaire, si et seulement si X, Y R n, λ, µ R, u (λx + µy = λu (X + µu (Y Proposition 4 Toute application linéaire u : R n R m peut s écrire, pour tout X = (x, x,, x n T R n u (X = a x + a x + + a n x n a x + a x + + a n x n a m x + a m x + + a mn x n que l on peut condenser en u (X = AX avec A = (a ij i m j n Rm et X = (x, x, x n T Démonstration Admis Définition 4 La matrice A est appelée la matrice de l application linéaire u (sous entendu dans les bases canoniques de R n et R m Le «point» dans cette écriture correspond au produit matriciel On voit que les vecteurs colonnes de la matrice A sont les coordonnées des images des vecteurs de la base canonique de R n : pour e i = (δ ij j n, i-ème vecteur de la base canonique de R n, on a u (e i = (a i, a i,, a mi T qui est bien le i-ème vecteur colonne de A Théorème 43 Si u et v sont deux applications linéaires u : R n R m et v : R p R n de matrices A R m,n et B R n,p (dans les bases canoniques, alors l application linéaire u v : R p R m a pour matrice A B (dans la base canonique de R m,p

7 44 Inverse d une matrice 7 Démonstration X désignant les coordonnées du vecteur x dans la base canonique de R p, on a u v (x = u (v (x = u (B X = A (B X et par associativité de, on obtient le résultat Exemple 4 La matrice I n,n est la matrice de l application linéaire identité de R n : Id R n : X R n X R n { si i + j = n + La matrice A = (a ij i n définie par a ij = à l allure suivante A = j n sinon, elle est associée à la permutation u : R n R n (x, x,, x n (x n, x n,, x 43 Matrice d un système linéaire Un système d équations linéaires (ou plus simplement système linéaire à n inconnues x, x,, x n et m équations est une système d équations de la forme : ( a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b a m x + a m x + + a mn x n = b m On peut écrire ce système u (X = B où u est une application linéaire de R n dans R m, de matrice a a a n a a a n A = Rm,n, où X est le vecteur colonne X = (x, x,, x n T a m a m a mn R n et B est le vecteur colonne B = (b,, b m T R m Le système linéaire ( s écrit donc matriciellement : AX = B 44 Inverse d une matrice Définition 43 Une matrice carrée A K n,n est dite inversible s il existe une matrice B K n,n vérifiant Si elle existe l inverse de A R n,n l ensemble R n,n AB = BA = I n est unique, elle est notée A, et appartient elle aussi à Démonstration Supposons que A admette deux inverses B et B alors AB = AB = I n En posant C = B B, et en utilisant les propriétés de distributivité, on obtient AC = n On multiplie cette équation à gauche par B et il vient B (AC = (BA C = n et comme (BA C = I n C = C on en déduit C = n c est à dire B = B, ce qui prouve l unicité

8 8 Chapitre 4 Matrices Exemple ( La matrice I n est ( inversible, elle est sa propre inverse car ( I n I n = I n ( La matrice A = admet pour inverse A = Proposition 4 Soient A R n,n une matrice, x = (x, x, x n T R n, et b = (b, b, b n T R,n deux vecteurs On considère le système linéaire de n équations à n inconnues Ax = b Si A est inversible, alors ce système admet la solution unique x = A b Démonstration Si Ax = b et A est inversible, alors A Ax = A b donc I n x = A b donc x = A b Réciproquement si x = A b alors Ax = AA b = I n b = b Proposition Une matrice A K n,n est inversible si et seulement si x K n, Ax = x = Une matrice diagonale D = Diag (d, d,, d n est inversible si et seulement si( ses coefficients diagonaux sont tous non nuls, c est à dire d d d n Dans ce cas D = Diag d, d,, d n Démonstration admis Remarque Soit A R n,n une matrice inversible On se donne Y = y y n R n, quelconque Considérons l équation AX = Y dont l inconnue est la matrice X R n, Comme A est inversible, on peut écrire A (AX = A Y c est à dire, en utilisant l associativité de la multiplication : ( A A X = A Y soit finalement Y = AX X = A Y Donc si l on sait calculer une solution X de l équation AX = Y, cette solution dépend de Y, et cette dépendance fournit très précisément la matrice A comme le montre l équivalence ci dessus ( Exemple Soit A = ( A est inversible car ( Calculons son inverse : { x + x AX = = = x = ( = X = AX = Y { x + x = y x = y on en déduit que A = ( { x = y y x = y ( X = Y

9 44 Inverse d une matrice 9 ( ( ( (3 On vérifie (facultatif que l on a bien trouvé l inverse : = ( ( = Pour calculer l inverse d une matrice A R n,n, on résoud le système d équations linéaires AX = Y où Y = y R n, est quelconque La solution y n x est X = R n, dépend linéairement des y i, une dépendance de la x n forme matricielle X = BY On obtient alors A = B Méthode du pivot de Gauss pour le calcul de l inverse d une matrice : on écrit côte à côte la matrice carrée à inverser et la matrice identité Par des combinaisons linéaires de lignes, on introduit des dans la partie triangulaire inférieure de la matrice A On effectue les mêmes opérations sur la matrice identité On procède colonne par colonne Par exemple : ( (, on normalise les lignes l des deux matrices en les divisant par, de sorte à avoir sur la diagonale principale de A : ( (, on remplace la ligne l par l l dans les deux matrices, de sorte à mettre un zéro dans la première colonne de A : ( (, On continue à introduire des zéros sur toute la première colonne, puis sur la seconde colonne, dans la partie triangulaire inférieure de A Pour la colonne j, on utilise la ligne j, après l avoir normalisée, afin que le terme diagonal a jj soit égal à 3 On normalise la ligne l de A en la multipliant par 3 ( diagonale principale de A : ( A finir, 3 = 3 3 de sorte qu apparaisse un sur la

Calcul matriciel. 1.1 Définitions Matrices carrées particulières... 3

Calcul matriciel. 1.1 Définitions Matrices carrées particulières... 3 Chapitre 10 Calcul matriciel 1 Généralités 2 11 Définitions 2 12 Matrices carrées particulières 3 2 Opérations sur les matrices 4 21 L espace vectoriel M np (R 4 22 Produit de deux matrices 5 23 Transposée

Plus en détail

Calcul matriciel. 1.1 Définitions Matrices carrées particulières... 3

Calcul matriciel. 1.1 Définitions Matrices carrées particulières... 3 Chapitre 10 Calcul matriciel 1 Généralités 2 11 Définitions 2 12 Matrices carrées particulières 3 2 Opérations sur les matrices 4 21 L espace vectoriel M np (R 4 22 Produit de deux matrices 5 23 Transposée

Plus en détail

Matrices. 1 Matrices rectangulaires. 1.2 L espace vectoriel M n,p (K) Dans tout ce chapitre, K désigne R ou C.

Matrices. 1 Matrices rectangulaires. 1.2 L espace vectoriel M n,p (K) Dans tout ce chapitre, K désigne R ou C. Matrices Dans tout ce chapitre, K désigne R ou C Matrices rectangulaires Soient n, p deux nombres entiers non-nuls On appelle matrice à n lignes et p colonnes à coefficients dans K tout tableau rectangulaire

Plus en détail

Maths en PCSI Année Chapitre n 12. Calcul matriciel

Maths en PCSI Année Chapitre n 12. Calcul matriciel Chapitre n 12 Calcul matriciel Dans tout ce chapitre, K désigne R ou C, et n, p et q des entiers naturels non nuls Les éléments de K seront aussi appelés des scalaires 1 Ensembles de matrices Définition

Plus en détail

Définition (Rappel) On appelle matrice à n lignes et p colonnes, ou matrice n p un tableau d éléments de K que l on note

Définition (Rappel) On appelle matrice à n lignes et p colonnes, ou matrice n p un tableau d éléments de K que l on note Chapitre Matrices Matrices Règles de calcul Définition Rappel On appelle matrice à n lignes et p colonnes, ou matrice n p un tableau d éléments de K que l on note On note en abrégé a i,j i n j n a, a,

Plus en détail

Matrices. Chapitre V. 1 Révisions. a) Généralités

Matrices. Chapitre V. 1 Révisions. a) Généralités Chapitre V Matrices 1 Révisions a) Généralités Définitions Soient m, n et un corps commutatif Une matrice de type m, n à coefficients dans est un tableau de mn éléments de à m lignes et n colonnes, que

Plus en détail

Chapitre 3. Matrices. Définition 1.1. Un tableau rectangulaire de la forme ci-dessous est appelé matrice : a 11 a a. 1q a 21 a 22...

Chapitre 3. Matrices. Définition 1.1. Un tableau rectangulaire de la forme ci-dessous est appelé matrice : a 11 a a. 1q a 21 a 22... Chapitre 3 Matrices 1 Définitions et généralités Définition 11 Un tableau rectangulaire de la forme ci-dessous est appelé matrice : a 11 a 12 a 1q a 21 a 22 a 2q A a p1 a p2 a ps Les coefficients a ij,

Plus en détail

Al 6 -Systèmes linéaires - Calcul matriciel

Al 6 -Systèmes linéaires - Calcul matriciel Al 6 -Systèmes linéaires - Calcul matriciel Dans ce chapitre K désignera R ou C, et n, p, q, r désigneront des entiers naturels non nuls 1 Matrices Définition 1 1 On appelle matrice de taille n p à coefficients

Plus en détail

Chapitre 10. Matrices Définitions

Chapitre 10. Matrices Définitions Chapitre 10 Matrices Nous allons dans ce chapitre découvrir la notion fondamentale de matrice Dans ce chapitre, on note K = R ou C 101 Définitions Définition 1011 On appelle matrice à n lignes et p colonnes

Plus en détail

Matrices. () Matrices 1 / 45

Matrices. () Matrices 1 / 45 Matrices () Matrices 1 / 45 1 Matrices : définitions 2 Calcul matriciel 3 Opérations élémentaires sur les lignes d une matrice 4 Transposition On va principalement travailler avec R Mais on peut remplacer

Plus en détail

Chapitre 3 : Matrices

Chapitre 3 : Matrices Chapitre 3 : Matrices Sommaire I Notion de matrice et vocabulaire II Opérations de base sur les matrices 3 1 Addition de matrices et multiplication d un réel par une matrice 3 Multiplication matricielle

Plus en détail

Chapitre 3 : Matrices

Chapitre 3 : Matrices Chapitre 3 : Matrices Sommaire I Notion de matrice et vocabulaire II Opérations de base sur les matrices 3 1 Addition de matrices et multiplication d un réel par une matrice 3 Multiplication matricielle

Plus en détail

Lycée Dominique Villars ECE 1 CALCUL MATRICIEL

Lycée Dominique Villars ECE 1 CALCUL MATRICIEL Lycée Dominique Villars ECE 1 COURS CALCUL MATRICIEL 1 Définitions et Notations Soit n N et m N On appelle matrice à n lignes et m colonnes tout tableau de la forme suivant : a 1,1 a 1,2 a 1,m a 2,1 a

Plus en détail

Calcul matriciel. 1 Ensemble des matrices Définitions Opérations sur les matrices Matrices carrées... 7

Calcul matriciel. 1 Ensemble des matrices Définitions Opérations sur les matrices Matrices carrées... 7 Chapitre 2 Calcul matriciel Ensemble des matrices 2 Définitions 2 2 Opérations sur les matrices 3 3 Matrices carrées 7 2 Opérations élémentaires de pivot et calcul matriciel 2 Matrices d opérations élémentaires

Plus en détail

Matrice et vocabulaire associé

Matrice et vocabulaire associé I Matrice et vocabulaire associé I1 Définitions Définition 1 Deux entiers naturels m et n étant donnés non nuls, on appelle matrice de format m, n tout tableau rectangulaire ayant m n éléments, disposés

Plus en détail

Calcul matriciel. matrices-ligne et colonne : on appelle matrice-ligne toute matrice n ayant qu une seule ligne. On peut identifier

Calcul matriciel. matrices-ligne et colonne : on appelle matrice-ligne toute matrice n ayant qu une seule ligne. On peut identifier Calcul matriciel Dans ce qui suit, K désigne R ou C. 1 Petite visite au zoo matriciel 1.1 matrices générales notion de matrice : une matrice à coefficients dans K est une liste d éléments de K disposés

Plus en détail

Chapitre 2. Introduction aux matrices

Chapitre 2. Introduction aux matrices L1 2012-2013 Université Paris 13 Algèbre linéaire Chapitre 2 Introduction aux matrices Référence: Liret-Martinais [2], chapitre 4 Nous avons déjà rencontré des tableaux de nombres, ou matrices Nous allons

Plus en détail

Matrices. 1 Matrices rectangulaires. 1.2 L espace vectoriel M n,p (R)

Matrices. 1 Matrices rectangulaires. 1.2 L espace vectoriel M n,p (R) Matrices Matrices rectangulaires Soient n, p deux nombres entiers non-nuls On appelle matrice à n lignes et p colonnes un tableau rectangulaire de nombres réels comportant n lignes et p colonnes } }{{}

Plus en détail

Chapitre 13. Calcul matriciel. Mathématiques PTSI. Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Calcul matriciel 1 / 44

Chapitre 13. Calcul matriciel. Mathématiques PTSI. Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Calcul matriciel 1 / 44 Chapitre 13 Calcul matriciel Mathématiques PTSI Lycée Déodat de Séverac Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Calcul matriciel 1 / 44 On note K = R ou C Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac)

Plus en détail

CH XIII : Calcul matriciel

CH XIII : Calcul matriciel CH XIII : Calcul matriciel I Généralités sur les matrices Soient n et p deux entiers naturels non nuls On appelle matrice à n lignes et p colonnes à cœfficients dans R un tableau de nombres réels Si A

Plus en détail

MATRICES. Ensemble des matrices et opérations. 1 o ) Définition et matrices particulières

MATRICES. Ensemble des matrices et opérations. 1 o ) Définition et matrices particulières MATRICES I Ensemble des matrices et opérations Dans toute cette partie, K désigne indifféremment R ou C, et n et p désignent des entiers naturels non nuls 1 o Définition et matrices particulières Définition

Plus en détail

a 1,1 x a 1,m x m = b 1 a 2,1 x a 2,m x m = b 2. . = b n

a 1,1 x a 1,m x m = b 1 a 2,1 x a 2,m x m = b 2. . = b n Chapitre Calcul matriciel Dans tout ce chapitre la lettre K désignera Q,R, ou C Systèmes et point de vue matriciel Rappelons qu un système d équations linéaires (disons, à n équations et m inconnues x,,x

Plus en détail

Chapitre A8 : Matrices et systèmes linéaires

Chapitre A8 : Matrices et systèmes linéaires Chapitre A8 : Matrices et systèmes linéaires 1 Matrices Dans tout le chapitre n, p, q, r N et K = R ou C 1 a) Définitions Définition 11 On appelle matrice à n lignes et p colonnes une application de 1,

Plus en détail

LFA / Terminale S SPÉCIALITÉ MATHS Mme MAINGUY. Les nombres contenus dans ce tableau sont appelés les coefficients de la matrice.

LFA / Terminale S SPÉCIALITÉ MATHS Mme MAINGUY. Les nombres contenus dans ce tableau sont appelés les coefficients de la matrice. Les matrices chapitre 2 : calcul matriciel I / Définitions Soit n et p deux entiers naturels non nuls Une matrice n p (on dit aussi de format n ; p ( ) est un tableau de nombres réels à n lignes et p colonnes

Plus en détail

Matrices. 6 On appelle matrice triangulaire inférieure toute matrice carrée d ordre n telle que, si

Matrices. 6 On appelle matrice triangulaire inférieure toute matrice carrée d ordre n telle que, si Agrégation interne UFR MATHÉMATIQUES Matrices On note K un corps commutatif. n et p représentent deux entiers naturels non nuls. 1. Notion de matrice 1.1. Définitions Définition 1 On appelle matrice d

Plus en détail

Matrices. Chapitre 7. Sommaire

Matrices. Chapitre 7. Sommaire Chapitre 7 Matrices Sommaire 7.1 Notion de matrice et vocabulaire..................... 109 7.1.1 Définitions.................................. 109 7.1.2 Quelques cas particuliers...........................

Plus en détail

Chapitre 9. Matrices

Chapitre 9. Matrices Lycée Benjamin Franklin PTSI 2014-2015 D Blottière Mathématiques Chapitre 9 Matrices Table des matières 1 Notations 2 2 Matrices de format n p 2 3 Structure de K-espace vectoriel sur M n,p (K 3 31 Addition

Plus en détail

Matrices. Antoine Louatron

Matrices. Antoine Louatron Matrices Antoine Louatron 2/10 Table des matières Table des matières I Calcul sur les matrices 3 I1 Opérations 3 I2 Propriétés des opérations 4 I3 Matrices carrées 6 I4 Matrices particulières 6 II Matrices

Plus en détail

I-Définitions: A matrice à n lignes et p colonnes : np éléments réels (ou éventuellement complexes). p. 2/2

I-Définitions: A matrice à n lignes et p colonnes : np éléments réels (ou éventuellement complexes). p. 2/2 Matrice p. 1/2 I-Définitions: A matrice à n lignes et p colonnes : np éléments réels (ou éventuellement complexes). p. 2/2 I-Définitions: A matrice à n lignes et p colonnes : np éléments réels (ou éventuellement

Plus en détail

Notations du chapitre. Dans tout ce chapitre, n et p sont deux entiers naturels non nuls. désigne l ensemble ou l ensemble.

Notations du chapitre. Dans tout ce chapitre, n et p sont deux entiers naturels non nuls. désigne l ensemble ou l ensemble. Matrices Notations du chapitre Dans tout ce chapitre, n et p sont deux entiers naturels non nuls. désigne l ensemble ou l ensemble. Ensemble des matrices Définition 1.1 Matrice à n lignes et p colonnes

Plus en détail

Calcul matriciel. λa n,1 λa n,2... λa n,p. a 2,1 a 2,2... a 2,p... a n,1 a n,2... a n,p ... a n,1 + b n,1 a n,2 + b n,2...

Calcul matriciel. λa n,1 λa n,2... λa n,p. a 2,1 a 2,2... a 2,p... a n,1 a n,2... a n,p ... a n,1 + b n,1 a n,2 + b n,2... 11 mars 014 Calcul matriciel I IA Matrices : définition, opérations et propriétés Définitions et structure d espace vectoriel Définition 1 (Définition Une matrice de type (n, p est un tableau à n lignes

Plus en détail

Chapitres 5. Les matrices. Définition et notations: on appelle matrice m par n à coefficients dans K tout tableau. a 11 a 1n a 21 a 2n A = a m1 a mn

Chapitres 5. Les matrices. Définition et notations: on appelle matrice m par n à coefficients dans K tout tableau. a 11 a 1n a 21 a 2n A = a m1 a mn Université Lyon 1 Classes préparatoires 2015-2016 Algèbre linéaire Serge Parmentier 1 L ensemble des matrices Soit K un corps et n, m N \ {0} Chapitres 5 Les matrices Définition et notations: on appelle

Plus en détail

ISET Jerba wwww.isetjb.rnu.tn Département Génie Électrique. Cours d algèbre2. Haj Dahmane DHAFER

ISET Jerba wwww.isetjb.rnu.tn Département Génie Électrique. Cours d algèbre2. Haj Dahmane DHAFER ISET Jerba wwwwisetjbrnutn Département Génie Électrique Cours d algèbre2 Haj Dahmane DHAFER 19 février 2015 Chapitre I Généralités sur les matrices Sommaire I Définitions et notations 1 II Opérations sur

Plus en détail

VII. Systèmes linéaires - Matrices

VII. Systèmes linéaires - Matrices Systèmes d équations linéaires Définition d un système d équations linéaires Définition On appelle système linéaire de n équations à p inconnues le système d équations : a, u + a,2 u 2 + + a,p u p = v

Plus en détail

MATRICES. I- Définitions

MATRICES. I- Définitions MATRICES I- Définitions Une matrice A de format n, p est un tableau de nombres à n lignes et p colonnes Ces nombres sont appelés coefficients de la matrice Le coefficient de la i ème et de la j ème est

Plus en détail

Calcul matriciel CHAPITRE L'ensemble des matrices Dénitions. Dans tout le chapitre, K désigne le corps R ou C.

Calcul matriciel CHAPITRE L'ensemble des matrices Dénitions. Dans tout le chapitre, K désigne le corps R ou C. CHAPITRE 0 Calcul matriciel Dans tout le chapitre, K désigne le corps R ou C 0 L'ensemble des matrices 0 Dénitions Dénition Soient n, p N On appelle matrice à coecients dans K à n lignes et p colonnes

Plus en détail

L p B calculer le produit matriciel ligne par ligne, ou bien colonne par colonne.

L p B calculer le produit matriciel ligne par ligne, ou bien colonne par colonne. 40 CHAPITRE 4. MATRICES ligne L M 1,n (K) et d une matrice B M n,q (K) est encore une matrice ligne. De plus, si on note L i la i-ième ligne de A, alors le produit AB est la L 1 B L 2 B matrice (la juxtaposition

Plus en détail

Cours d algèbre 2. CHOULLI Hanan, MOUANIS Hakima et ZENNAYI Mohammed. UNIVERSITÉ SIDI MOHAMED BEN ABDELLAH FACULTÉ DES SCIENCES Dhar El Mehraz

Cours d algèbre 2. CHOULLI Hanan, MOUANIS Hakima et ZENNAYI Mohammed. UNIVERSITÉ SIDI MOHAMED BEN ABDELLAH FACULTÉ DES SCIENCES Dhar El Mehraz UNIVERSITÉ SIDI MOHAMED BEN ABDELLAH FACULTÉ DES SCIENCES Dhar El Mehraz Cours d algèbre 2 CHOULLI Hanan, MOUANIS Hakima et ZENNAYI Mohammed Département de Mathématiques Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module

Plus en détail

Cours d algèbre. Licence appliquée. ISET Jerba

Cours d algèbre. Licence appliquée. ISET Jerba Cours d algèbre Licence appliquée ISET Jerba Haj Dahmane DHAFER 21 mars 2014 Table des matières I Généralités sur les matrices 1 I Définitions et notations 1 II Opérations sur les matrices 3 II1 Somme

Plus en détail

LES MATRICES. Chapitre Premières définitions

LES MATRICES. Chapitre Premières définitions Chapitre 1 LES MATRICES 11 Premières définitions Définition Une matrice à n lignes et p colonnes et à coefficients dans R est un tableau de np éléments de R que l on représente sous la forme : a 11 a 12

Plus en détail

Cours de Mathématiques Calcul matriciel, systèmes linéaires. I Matrices à coefficients dans K... 3

Cours de Mathématiques Calcul matriciel, systèmes linéaires. I Matrices à coefficients dans K... 3 Table des matières I Matrices à coefficients dans K............................ 3 I.1 Généralités.................................. 3 I.2 Matrices particulières............................. 3 I.3 Matrices

Plus en détail

Chapitre 1: Matrices

Chapitre 1: Matrices Chapitre 1: Matrices Définition Matrice M de dimensions (m,n) = «Tableau à deux dimensions» avec m lignes et n colonnes Exemple : M est une matrice (4,3) à coefficients dans R M 1 6.4 3 3 8 2 = 2 4 9 1.1

Plus en détail

Matrices. Chapitre Définition d une matrice

Matrices. Chapitre Définition d une matrice Chapitre 17 Matrices 171 Définition d une matrice Définition 171 : Soit un corps commutatif K et deux entiers n,p 1 On appelle matrice n p à coefficients dans K, une application { [[1,n]] [[1,p]] K A :

Plus en détail

Mathématiques - ECS1. Matrices. 30 avenue de Paris Versailles. c 2015, Polycopié du cours de mathématiques de première année.

Mathématiques - ECS1. Matrices. 30 avenue de Paris Versailles. c 2015, Polycopié du cours de mathématiques de première année. Mathématiques - ECS1 7 Matrices Lycée La Bruyère 30 avenue de Paris 78000 Versailles c 2015, Polycopié du cours de mathématiques de première année 7 Matrices Dans tout ce qui suit, K désigne R ou C 71

Plus en détail

Ch. 03 MATRICES et SUITES

Ch. 03 MATRICES et SUITES Ch 03 MATRICES et SUITES I Notion de matrice Une matrice est un tableau de nombres réels à n lignes et p colonnes, de taille (n, p) ou n p Notation La matrice M ci-dessous peut être notée M = (a ij ) où

Plus en détail

deux matrices de M n,p (K) et λ K. On définit

deux matrices de M n,p (K) et λ K. On définit CHAPITRE 6 MATRICES Dans tout le chapitre, K désignera R ou C 1 Matrices à éléments dans K 11 Algèbre des matrices Définition 61 Soient n, p N On appelle matrice de taille (n, p) à coefficients dans K

Plus en détail

Chapitre 2: Résolution d équations linéaires

Chapitre 2: Résolution d équations linéaires Chapitre 2: Résolution d équations linéaires MTH1007 Polytechnique Montréal 9 janvier 2018 MTH1007 (Polytechnique Montréal) Chapitre 2: Résolution d équations linéaires 9 janvier 2018 1 / 28 2.1 Vecteurs

Plus en détail

CHAPITRE 2 : Matrices.

CHAPITRE 2 : Matrices. CHAPITRE 2 : Matrices. 1 Généralités sur les matrices... 2 1.1 Définition d une matrice... 2 1.2 Egalité de deux matrices... 2 1.3 Addition de deux matrices... 2 1.4 Multiplication d une matrice par un

Plus en détail

Chapitre 2 : Matrices

Chapitre 2 : Matrices Chapitre : Matrices Notion de matrice et vocabulaire Notation Dans tout le chapitre n, p, q sont des entiers naturels non nuls Définition Une matrice A à n lignes et p colonnes est un tableau défini par

Plus en détail

Chapitre 2 : Les matrices

Chapitre 2 : Les matrices Chapitre 2 : Les matrices I. Définitions On appelle matrice à lignes et colonnes N, N à coefficients dans =R C un tableau à lignes et colonnes contenant un élément de à l intersection de chaque ligne et

Plus en détail

Matrices à coecients réels

Matrices à coecients réels Matrices à coecients réels Dans tout ce chapitre d, n, p et q sont des entiers naturels non nuls 1 Systèmes linéaires : 11 Généralités : Dénition 1 : On appelle système linéaire de n équations à p inconnues

Plus en détail

Algèbre Linéaire. S2 Mathématiques-Informatique. R. Taillefer

Algèbre Linéaire. S2 Mathématiques-Informatique. R. Taillefer Algèbre Linéaire S2 Mathématiques-Informatique R Taillefer 4 novembre 2013 Table des matières Corps 1 I Matrices 2 A Définitions et règles de calcul 2 A1 Opérations sur les matrices 3 B Opérations élémentaires

Plus en détail

Chapitre 13 : Matrices

Chapitre 13 : Matrices Chapitre 13 : Matrices ECE3 Lycée Carnot 9 février 01 Introduction Pour introduire le concept de matrice, intéressons-nous au problème très concret suivant : dans le village de Trouperdu, le boulanger

Plus en détail

Matrices. Résolution de systèmes linéaires

Matrices. Résolution de systèmes linéaires Chapitre 4 Matrices Résolution de systèmes linéaires K désigne Q, R ou C 41 Matrices, opérations sur les matrices 411 Définition et règles de calcul Définition 41 Soit n N + Un vecteur colonne (resp ligne

Plus en détail

Chapitre 6 : Matrices

Chapitre 6 : Matrices Chapitre 6 : Matrices Ce chapitre est consacré à l'étude des matrices Nous y introduisons les bases du calcul matriciel : somme, produit, inverse et transposée Table des matières 1 Matrice à n lignes,

Plus en détail

1 Ensemble de matrices

1 Ensemble de matrices 1 Ensemble de matrices Définition 1 : M n,p (R) désigne l ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à coefficients a 11 a 1p dans R, c est à dire de tableaux d éléments de R A = notés de manière condensée

Plus en détail

Matrices. 5 février 2018

Matrices. 5 février 2018 Matrices 5 février 218 Table des matières 1 Généralités 3 11 Généralités 3 111 Définitions 3 112 Notation 3 113 Egalité entre deux matrices : 3 114 Ensemble de matrices 3 12 Des cas particuliers 4 121

Plus en détail

Chapitre 12. Matrices

Chapitre 12. Matrices Chapitre 12 Matrices. I Dans la suite, n, p, q, r désignent des entiers naturels non nuls. K désigne R ou C. Matrices 1 Dénition Dénition 1 On appelle matrice à n lignes et p colonnes, ou matrice de type

Plus en détail

Chapitre 2 : Matrices

Chapitre 2 : Matrices Chapitre 2 : Matrices 1 Notion de matrice et vocabulaire Notation 1 Dans tout le chapitre n, p, q sont des entiers naturels non nuls Définition 1 Une matrice A à n lignes et p colonnes est un tableau défini

Plus en détail

Opérations élémentaires et déterminants

Opérations élémentaires et déterminants 10 Opérations élémentaires et déterminants On note toujours K le corps de réels ou des complexes On se donne un entier n 1 et M n (K désigne l espace vectoriel des matrices carrées d ordre n à coefficients

Plus en détail

Chapitre 6. Algèbre matricielle. 6.1 Opérations linéaires sur les matrices

Chapitre 6. Algèbre matricielle. 6.1 Opérations linéaires sur les matrices Chapitre 6 Algèbre matricielle En plus d être des tableaux de nombres susceptibles d être manipulés par des algorithmes pour la résolution des systèmes linéaires et des outils de calcul pour les applications

Plus en détail

Plan (1/2) Support au cours. Plan (2/2) Vecteurs de R N et opérations Produit scalaire de deux vecteurs de R N Norme d un vecteur

Plan (1/2) Support au cours. Plan (2/2) Vecteurs de R N et opérations Produit scalaire de deux vecteurs de R N Norme d un vecteur Plan (1/2) Mathématique Élémentaire Introduction à l algèbre linéaire Support au cours S. Bridoux Université de Mons-Hainaut 1 L espace R N Vecteurs de R N et opérations Produit scalaire de deux vecteurs

Plus en détail

1. Familles de vecteurs

1. Familles de vecteurs Compléments d algèbre linéaire 1-1 Sommaire 1 Familles de vecteurs 1 11 Famille libre 1 1 Famille génératrice 1 13 Base 14 Propriétés Sous-espaces vectoriels 1 Somme de sous-espaces vectoriels Base adaptée

Plus en détail

2 Diverses interprétations des matrices

2 Diverses interprétations des matrices 1 Rappels Espace vectoriel M p,n (K) : Addition : dénition et propriétés élémentaires : commutativité, associativité, existence d'un neutre, toute matrice admet un(e) opposé(e) pour + Multiplication par

Plus en détail

Notions essentielles d algèbre linéaire

Notions essentielles d algèbre linéaire Université d Aix-Marseille Institut Universitaire de Technologie Département Réseaux et Télécommunications Notions essentielles d algèbre linéaire 1 Espace vectoriel Base 3 Dimension 4 Matrices 5 Application

Plus en détail

Chapitre 8. Matrices. 1 Vocabulaire et Notations

Chapitre 8. Matrices. 1 Vocabulaire et Notations ECE 1 - Année 2016-2017 Lycée français de Vienne Mathématiques - F Gaunard http://fredericgaunardcom Chapitre 8 Matrices Ce Chapitre introduit la notion de matrice ainsi que les règles de calcul matriciel

Plus en détail

Matrices. Chapitre 4. I - Notion de matrice et vocabulaire. Dans tout le chapitre n, p, q sont des entiers naturels non nuls.

Matrices. Chapitre 4. I - Notion de matrice et vocabulaire. Dans tout le chapitre n, p, q sont des entiers naturels non nuls. Chapitre 4 Matrices I - Notion de matrice et vocabulaire Dans tout le chapitre n, p, q sont des entiers naturels non nuls. Définition 1 Une matrice A à n lignes et p colonnes est un tableau défini par

Plus en détail

Chapitre 1 - Les matrices : généralités et opérations

Chapitre 1 - Les matrices : généralités et opérations Chapitre - Les matrices : généralités et opérations I) Les vecteurs ) Définitions Définition Soit n un entier naturel non nul On appelle vecteur de dimension n un tableau constitué d une seule colonne

Plus en détail

Espaces vectoriels sur R ou C.

Espaces vectoriels sur R ou C. Chapitre 1 Espaces vectoriels sur R ou C. 1.1 Rappel : les vecteurs du plan. On connaît depuis le lycée u = (x, y). Point de vue géométrique. Un vecteur du plan est un segment orienté. Plus précisémment,

Plus en détail

MT23-Algèbre linéaire

MT23-Algèbre linéaire MT23-Algèbre linéaire Chapitre 2 : Applications linéaires et matrices ÉQUIPE DE MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES UTC juillet 2014 suivant Chapitre 2 Applications linéaires et matrices 2.1 Applications linéaires...............................

Plus en détail

Vecteurs et applications linéaires

Vecteurs et applications linéaires Vecteurs et applications linéaires (1) (1) () Vecteurs et applications linéaires 1 / 41 1 Familles de vecteurs de R n 2 Sous-espace vectoriels dans R n 3 Base d un sous-espace vectoriel (1) () Vecteurs

Plus en détail

Base d algèbre Chapitre 1. Calcul matriciel. 1. Vecteurs

Base d algèbre Chapitre 1. Calcul matriciel. 1. Vecteurs Base d algèbre Chapitre 1. Calcul matriciel 1. Vecteurs Base d algèbre Chapitre 1. Calcul matriciel 1. Vecteurs Définition. On appelle un vecteur réel en dimension n une colonne x 1 x 2. x n de n nombres

Plus en détail

Matrices. Table des matières. Cours de É. Bouchet ECS1. 23 novembre 2017

Matrices. Table des matières. Cours de É. Bouchet ECS1. 23 novembre 2017 Matrices Cours de É. Bouchet ECS novembre 07 Table des matières Ensemble de matrices M n,p (K. Premières dénitions............................................... Matrices carrées.................................................

Plus en détail

L algèbre des matrices

L algèbre des matrices L algèbre des matrices I Introduction par la résolution de systèmes Reprenons un système à deux équations et deux inconnues, comme par exemple : Et l application linéaire associée sur : Rappelons que le

Plus en détail

Calcul matriciel Matrices Cours

Calcul matriciel Matrices Cours Calcul matriciel Matrices Cours CHAPITRE 1 : Généralités sur les matrices 1) Notion de matrice 2) Matrices particulières CHAPITRE 2 : Egalité de deux matrices CHAPITRE 3 : Opérations sur les matrices 1)

Plus en détail

Algèbre 4 CALCUL MATRICIEL SYSTEMES LINEAIRES

Algèbre 4 CALCUL MATRICIEL SYSTEMES LINEAIRES Algèbre - cha 4 /9 Dans tout le chaitre K désigne R ou C, n et désignent des entiers naturels non nuls.. OPERATIONS SUR LES MATRICES. Notion de matrice Algèbre 4 CALCUL MATRICIEL SYSTEMES LINEAIRES Définition

Plus en détail

Matrices. Matrices. Paris Descartes Mathématiques et calcul 1. Matrices. 1 Matrices

Matrices. Matrices. Paris Descartes Mathématiques et calcul 1. Matrices. 1 Matrices Matrices Matrices Matrices 1 Matrices Définitions Espace vectoriel des matrices n p Multiplication des matrices Inverse d une matrice Systèmes linéaires Applications linéaires Changement de bases Matrices

Plus en détail

MATRICES - DEFINITION 1 Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres.

MATRICES - DEFINITION 1 Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres. MATRICES - DEFINITION 1 Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres. Exemple: A = 1 17 1.12 3 π 6. Une matrice est de format mxn ssi elle a m lignes et n colonnes (m,n IN 0) Exemple : A est de

Plus en détail

Matrices. 1 Notion de matrice. 2 Opérations et matrices. 2.1 Somme. Lycée Max Linder Terminale S Année scolaire

Matrices. 1 Notion de matrice. 2 Opérations et matrices. 2.1 Somme. Lycée Max Linder Terminale S Année scolaire Matrices Notion de matrice Définition Une matrice est un tableau de nombres réels à n lignes et p colonnes On dit alors que la matrice est de format (n;p) a, a,j a,p La matrice A ci-contre peut être notée

Plus en détail

Calcul matriciel 1. Calcul matriciel

Calcul matriciel 1. Calcul matriciel Calcul matriciel 1 le 29 Novembre 2008 UTBM MT11 Arthur LANNUZEL http ://mathutbmal.free.fr Calcul matriciel Introduction. A un système linéaire de p équations à n inconnues on associe un tableau avec

Plus en détail

colonne j ligne i Proposition 12.1: Deux matrices sont égales ssi elles ont même taille et mêmes coefficients.

colonne j ligne i Proposition 12.1: Deux matrices sont égales ssi elles ont même taille et mêmes coefficients. Chapitre 12 : Matrices - résumé de cours Dans tout le chapitre désigne ou, n et p deux entiers naturels non nuls. 1. L'ensemble M n,p() 1.1 Définition et vocabulaire Déf: On appelle matrice à n lignes

Plus en détail

Chapitre n o 12. Matrices

Chapitre n o 12. Matrices Lycée Roland Garros Mathématiques BCPST 1ère année 2013-2014 Chapitre n o 12 Matrices Dans ce chapitre K désignera R ou C Un élément de K est appelé un scalaire 1 Dénitions Dénition 1 Soient n, p N Une

Plus en détail

Calcul matriciel .1. NOTION DE MATRICE. Chap. ALG02. Def.1. App.1

Calcul matriciel .1. NOTION DE MATRICE. Chap. ALG02. Def.1. App.1 Chap ALG0 Calcul matriciel NOTES DE COURS NOTION DE MATRICE Cadre de travail et/ou notation(s utilisée(s Dans tout ce chapitre et sauf mention contraire, n, p et q désigneront des entiers naturels non

Plus en détail

Matrices. On a référencé les prix de 5 produits suivant leur prix HT le prix de la TVA et le prix TTC :

Matrices. On a référencé les prix de 5 produits suivant leur prix HT le prix de la TVA et le prix TTC : Matrices Matrices généralités. Introduction-exercice On a référencé les prix de 5 produits suivant leur prix HT le prix de la TVA et le prix TTC : produit produit 2 produit 3 produit 4 produit 5 prix HT

Plus en détail

Calcul matriciel. Julien Reichert. m1;1 m 1;2 m 1;3 m 2;1 m 2;2 m 2;3

Calcul matriciel. Julien Reichert. m1;1 m 1;2 m 1;3 m 2;1 m 2;2 m 2;3 Calcul matriciel Julien Reichert Notions de base Une matrice est un tableau comportant m lignes et n colonnes, dont les cellules contiennent des réels. La dimension de la matrice est m n, on parle alors

Plus en détail

Matrices et opérations

Matrices et opérations Matrices et opérations I Matrices et opérations I1 definitions Définition 1 Soient n et p deux entiers naturels non nuls Une matrice de format (n, p est un tableau de nombres réels comportant n lignes

Plus en détail

Chapitre R2. Matrices

Chapitre R2. Matrices Chapitre R2 Matrices I. Opérations sur les matrices............................................................ 2 1/ Définition............................................................................

Plus en détail

Matrices. Hervé Hocquard. 25 février Université de Bordeaux, France

Matrices. Hervé Hocquard. 25 février Université de Bordeaux, France Matrices Hervé Hocquard Université de Bordeaux, France 25 février 2013 Définitions Matrice On appelle matrice de taille n p à coefficients dans R (K = R ou C) toute famille A de np éléments de R présentée

Plus en détail

a i+1,1 a i+1,j 1 a i+1,j+1 a i+1,n M (n 1) (n 1) (K). ( 1) j 1 a 1j det n 1 A 1j. j=1

a i+1,1 a i+1,j 1 a i+1,j+1 a i+1,n M (n 1) (n 1) (K). ( 1) j 1 a 1j det n 1 A 1j. j=1 Université Claude Bernard Lyon 1 L1 de Mathématiques : Math II Algèbre cursus PMI Année 2014 2015 Déterminants I On fixe pour tout le chapitre un corps K On va associer à toute matrice carrée, et même

Plus en détail

INTRODUCTION À L ALGÈBRE LINÉAIRE

INTRODUCTION À L ALGÈBRE LINÉAIRE CHAPITRE II INTRODUCTION À L ALGÈBRE LINÉAIRE Sommaire A Systèmes linéaires 2 A1 Généralités sur les systèmes linéaires 2 A2 Échelonnement et algorithme du pivot de Gauss 7 B Calcul matriciel 12 B1 Ensembles

Plus en détail

Calcul matriciel. Systèmes linéaires. I.1 Reconnaître un système linéaire. Dénition 1

Calcul matriciel. Systèmes linéaires. I.1 Reconnaître un système linéaire. Dénition 1 MTB - ch1 Page 1/11 Calcul matriciel Dans tout ce chapitre, K désigne soit l'ensemble R des nombres réels, soit l'ensemble C des nombres complexes. On appelle scalaire un nombre réel lorsque K = R ou complexe

Plus en détail

Michel Rigo. October 7, 2009

Michel Rigo. October 7, 2009 MATRICES (INTRODUCTION) Michel Rigo Premiers bacheliers en sciences mathématiques October 7, 2009 champ K fixé une fois pour toutes matrice m n à coefficients dans K a 11 a 1n A =... a m1 a mn L élément

Plus en détail

Chapitre 1. Espaces vectoriels réels

Chapitre 1. Espaces vectoriels réels Chapitre 1 I Structure d espace vectoriel réel 1 Définition Définition 1 Soit E un ensemble muni d une loi d addition (notée +) et d une loi de produit par un réel (notée.). On dit que E (ou (E, +,.))

Plus en détail

Calcul matriciel. Chapitre Généralités Premières dénitions

Calcul matriciel. Chapitre Généralités Premières dénitions Table des matières 8 Calcul matriciel 2 81 Généralités 2 811 Premières dénitions 2 812 Matrices carrées particulières 4 82 Somme et produit par un réel 5 83 Produit 7 84 Transposée 10 85 Puissance d'une

Plus en détail