Quelques aspects des simulations, des systèmes moléculaires aux géométries stochastiques des réacteurs à boulets.

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1 Ecole Doctorale : Sciences Physiques HABILITATION A DIRIGER DES RECHERCHES Spécialité : Physique Alain Mazzolo Quelques aspects des simulations, des systèmes moléculaires aux géométries stochastiques des réacteurs à boulets. Soutenue le 9 juin 2009 devant la commission d examen composée de Président : Pr. Jean-Pierre BADIALI, Paris 6 Rapporteurs : Examinateurs : Pr. Pierre DESESQUELLES, Paris XI Pr. Edward LARSEN, University of Michigan Dr. Cheikh M BACKE DIOP, CEA de Saclay Dr. Richard SANCHEZ, CEA de Saclay Dr. Gilles ZERAH, CEA DAM-DIF

2 Table des matières 1 Curriculum vitae 4 2 Activités d enseignement er cycle eme cycle eme cycle Autres activités d enseignement Encadrement 5 4 Activités de review 5 5 Liste de publications 6 6 Parcours de recherche après la thèse 9 7 Atomes sous champs magnétiques très intenses ( ) Introduction Structure électronique sous champs magnétiques intenses Résultats et conclusion Electrochimie théorique et numérique ( ) Simulations mixtes : dynamique moléculaire / calculs quantiques Capacité à l interface cuivre-eau Chlore à l interface cuivre-eau Simulations complètes de dynamique moléculaire ab initio Conclusion et perspectives Géométrie stochastique et neutronique ( ) Introduction Modélisation d un empilement aléatoire de disques Droites aléatoires Propriétés générales des cordes Propriétés des cordes pour les empilements aléatoires Simulations de Monte Carlo Le modèle de déposition balistique généralisée Autres descripteurs pour caractériser les empilements aléatoires Marches aléatoires dans les milieux bornés Introduction Marches aléatoires uniformes Marches aléatoires à sauts exponentiels Extension pour des marches aléatoires à sauts quelconques Discussion préliminaire Cas l Diam(K) Cas l Diam(K) Exemples Résultats dépendant explicitement de la géométrie Synthèse des derniers travaux 63 2

3 11 Projet de recherche 64 A Annexe : le code TRIPOLI-4, développements récents et futurs afin d intégrer les recherches amonts concernant les réacteurs à boulets 68 B Sélection de publications 75 B.1 Atomes sous champs magnétiques très intenses : fonctionnelle courantdensité B.2 Interface électrode/électrolyte B.3 Géométries stochastiques, marches aléatoires, équations du transport et simulations de Monte Carlo B.4 Recherche et développement dans le code de transport Monte Carlo Tripoli

4 1 Curriculum vitae Alain Mazzolo Né le 22 avril 1967 Tél. : Fax : Fonction Ingénieur Chercheur au Commissariat à l Energie Atomique de Saclay Laboratoire de Transport Stochastique et Déterministe Direction de l Energie Nucléaire Département Modélisation de Systèmes et Structures Service d Etudes des Réacteurs et de Mathématiques Appliquées Gif sur Yvette Formation Doctorat de Physique effectué au laboratoire de Physique Théorique de l Institut de Physique Nucléaire (Orsay) 1989 DEA de Physique Théorique 1988 Licence et Maîtrise de Physique Magistère Interuniversitaire de Physique (ENS) 1987 DEUG A, Sciences et Structure de la matière (Orsay) 1985 Baccalauréat série F 2, Electronique Expérience Depuis 2001 Ingénieur Chercheur au CEA de Saclay, tout d abord au Laboratoire d Etudes de Protections et de Probabilités, puis à partir de 2006 au Laboratoire de Transport Stochastique et Déterministe Ingénieur en Informatique chez Infotel (Editeur de progiciels) Chercheur postdoctoral au Centre de Chimie Théorique de l Université de l Utah (USA) Chercheur postdoctoral en Physique de la matière condensée à l Université du Minnesota (USA) Chercheur au laboratoire de Physique Théorique et Hautes Energies à l Université d Orsay, contrat CEA/CNRS via le Centre d Études de Physique Théorique et Nucléaire (CEPHYTEN) VSNA Enseignant-Chercheur à l Université de Montevideo (Uruguay) 4

5 2 Activités d enseignement er cycle Travaux dirigés et travaux pratiques en 2 eme année de DEUG à Orsay : Ondes, équations de Maxwell, optique ( ). Cours et travaux dirigés de physique à l Ecole d Electricité, de Production et des Méthodes Industrielles (EPMI) et à l Ecole de Biologie Industrielle (EBI), Institut Polytechnique Saint-Louis, Cergy (1992) eme cycle Cours et travaux dirigés d électromagnétisme à l Université de Montevideo, Uruguay (1993) eme cycle Cours et travaux dirigés de physique nucléaire et des particules à l Université de Montevideo, Uruguay. Ce cours dispensé pour la première fois en Uruguay avait pour objectif d amorcer l enseignement de la physique des particules dans ce pays (1994). 2.4 Autres activités d enseignement Enseignement de physique et chimie à des adultes préparant le concours des ingénieurs du Centre d Etudes Supérieures Industrielles (CESI) ( ). Formateur aux sessions CRISTAL sur les méthodes de Monte Carlo et du code de transport de particules TRIPOLI-4 à l Institut National des Sciences et Techniques Nucléaires (INSTN) ( ). Formation des ingénieurs EDF aux techniques de Monte Carlo, EDF R & D Clamart (2005). 3 Encadrement Encadrement de David Guéron (élève à l école des Mines de Paris), stage de 4 mois sur la propagation des neutrons en milieu aléatoire ayant donné lieu à une publication dans Physical Review E (2003). Collaboration sur une période de 2 ans avec Benoît Roesslinger (Ingénieur des Mines de Paris), ces activités peuvent se regrouper sous les deux thèmes : géométrie intégrale et neutronique. Elles ont donné lieu à 4 publications dans des revues internationales. Encadrement prochain en 2009 de Lucie Delaby (élève en Master à l université d Orléans) stage de 6 mois. Le sujet portera sur la réalisation de géométries stochastiques bidimensionnelles markoviennes. 4 Activités de review Europhysics Letters Annals of Nuclear Energy Congrès internationaux : mathematics and computation 5

6 5 Liste de publications Revues Internationales [1] Mazzolo A., An invariance property of generalized Pearson random walks in bounded geometries J. Phys. A : Math. Theor., 42 Art. No (2009) [2] Mazzolo A., On the generalization of the average chord length Annals of Nuclear Energy, 35, pp (2008) [3] Gille W., Mazzolo A. and Roesslinger B., Analysis of the Initial Slope of the Small-Angle Scattering Correlation Function of a Particle Particle and Particle Systems Characterization, 22, pp (2006) [4] Mazzolo A., Caging disks and circle disk packings using a generalized ballistic deposition model Physica A : Statistical and Theoretical Physics, 351, pp (2005) [5] Mazzolo A., On the mean number of collisions suffered by neutrons in bounded domains Annals of Nuclear Energy, 32, pp (2005) [6] Mazzolo A. and Roesslinger B., Monte-Carlo simulation of the chord length distribution function across convex bodies, non-convex bodies and random media Monte Carlo Methods & Appl., 10, No.3-4, pp (2004) [7] Mazzolo A., Properties of diffusive random walks in bounded domains Europhysics Letters, 68, pp (2004) [8] Mazzolo A., Properties of uniform random walks in bounded convex bodies J. Phys. A : Math. Gen., 37, pp (2004) [9] Guéron D. and Mazzolo A., Properties of chord length distributions across ordered and disordered packing of hard disks Phys. Rev. E, 68 Art. No Part 2 (2003) [10] Mazzolo A., Roesslinger B. and Gille W., Properties of chord length distributions of nonconvex bodies J. Math. Phys., 44, pp (2003) [11] Mazzolo A., Roesslinger B. and Diop C. M., On the properties of the chord length distribution, from integral geometry to reactor physics Annals of Nuclear Energy, 30, pp (2003) [12] Mazzolo A., Probability density distribution of random line segments inside a convex body : Application to random media J. Math. Phys., 44, pp (2003) 6

7 [13] Izvekov S., Mazzolo A., VanOpdorp K., et al., Ab initio molecular dynamics simulation of the Cu(110)-water interface J. Chem. Phys., 114, pp (2001) [14] Mazzolo A. and Zérah G., Anisotropy of atoms in strong magnetic fields Phys. Lett. A, 250, pp (1998) [15] Walbran S., Mazzolo A., Halley. J. W., et al. Model for the electrostatic response of the copper-water interface J. Chem. Phys., 109, pp (1998) [16] Zhou Y., Mazzolo A., Price D. L., et al. Molecular dynamics study of the Cu-water interface in the presence of chlorine Int. J. Thermophysics, 19, pp (1998) [17] Halley J. W., Mazzolo A., Zhou Y., et al. First-principles simulations of the electrode/electrolyte interface J. Elec. Chem., 450, pp (1998) [18] Mazzolo A., Pollock E. L. and Zérah G., Inhomogeneity and current corrections to a non-uniform electronic system in strong magnetic fields Phys. Lett. A, 209, pp (1995) [19] Mazzolo A., Mathiot J. F. and Mendez-Galain R., Deconfinement and chiral symmetry restoration in the color dielectric model Phys. Lett. B, 274, pp (1992) Articles soumis : [20] Mazzolo A., Properties of chord length distributions between two-dimensional objects in contact for small chord lengths soumis à Computational Material Science Conférences avec comité de lecture : [21] Diop C.M., Petit O., Dumonteil E., Hugot F.X., Lee Y.K., Mazzolo A., Trama J.C., TRIPOLI-4 : a 3D continuous-energy Monte Carlo transport code 1st International Conference on Physics and Technology of Reactors and Applications, Marrakech, Maroc (2007) [22] Mazzolo A., Chord length distributions in dense stochastic media 1st International Conference on Physics and Technology of Reactors and Applications, Marrakech, Maroc (2007) [23] Dumonteil E., Hugot F. X., Jouanne C., Lee Y. K., Malvagi F., Mazzolo A., Petit O., Trama J. C., An overview on the monte carlo particle transport code TRIPOLI-4 Transactions of the American Nuclear Society vol.97, pp (2007) [24] Diop C.M., Petit O., Dumonteil E., Hugot F.X., Lee Y. K., Mazzolo A. and Trama, J.C., TRIPOLI-4 : A 3D Continuous-Energy Monte-Carlo Transport Code Transactions of the American Nuclear Society vol.95, pp 661 (2006) 7

8 [25] Dumonteil E., Le Peillet A., Lee Y.K., Petit O., Jouanne C. and Mazzolo A., Source convergence diagnostics using physics entropy criterium. Apllication to some OECD/NEA cricyty benchmarks with the 3-D Monte-Carlo code Tripoli4 Advances in Nuclear Analysis and Simulation (PHYSOR 2006), Vancouver, BC, Canada (2006). [26] Mazzolo A., Properties of neutron trajectories in bounded domains Mathematics and Computation, Supercomputing, Reactor Physics and Nuclear and Biological Applications, Avignon, France, on CD-ROM, American Nuclear Society, LaGrange Park, IL (2005) [27] Damian F., Raepsaet X., Santandrea S., Mazzolo A., Poinot C., Klein J. C., Brault L. and Garat C., GT-MHR Core Modelling : From Reference Modelling Definition in Monte Carlo Code to Calculation Scheme Validation The Physics of Fuel Cycles and Advanced Nuclear Systems : Global Developments (PHYSOR 2004), Chicago, Illinois, USA (2004) [28] Both J. P., Lee Y. K., Mazzolo A., Peneliau Y., Petit O., Roesslinger B. and Soldevila M., Tripoli-4, a three-dimensional poly-kinetic particle transport Monte-Carlo code. Main features and large scale application in reactor physics International conference on supercomputing in nuclear applications SNA 2003 Paris (2003) [29] Halley J. W., Mazzolo A., Walbran S. and Price D., What new models reveal about the meaning of Grahame s capacitance data Proceedings of the Symposium on Electrochemical Double Layer, The Electrochemical Society, Pennington NJ, Proceedings Volume 97 pp (1997) Rapport CEA ayant une large diffusion externe : [30] Petit O., Hugot F. X., Lee Y. K., Jouanne C. and Mazzolo A., TRIPOLI-4 1 version 4 User Guide, Rapport CEA-R-6169, 326p (2008) Participation à des congrès internationaux sans actes : [31] Tripoli-4 : Workshop invité at the Joint International Topical Meeting on Mathematics & Computation and International Conference on Supercomputing in Nuclear Applications, M&C and SNA 2007, Monterey, USA. [32] Vth IMACS Seminar on Monte Carlo Methods MCM-2005, Tallahassee, USA. [33] International Topical Meeting on Mathematics & Computation, Supercomputing, Reactor Physics and Nuclear and Biological Applications. Track Leader & Chairman de la session : Monte Carlo Methods, Radiation Protection and Shielding, Avignon, France, [34] Technical Meeting CEA/JUA (Japanese University Association) on Next Generation Light Water Reactor Physics, Kyoto University Research Reactor Institute, Japan, [35] IVth IMACS Seminar on Monte Carlo Methods MCM-2003, Berlin, Germany. 1 Les versions & 4.4 du code sont disponibles auprès de l Agence pour l Energie Nucléaire sur le site web suivant : http ://www.nea.fr/abs/html/nea-1716.html 8

9 6 Parcours de recherche après la thèse Ce résumé présente mes recherches dans le domaine de la modélisation et de la simulation depuis mon retour de coopération d Uruguay en Après une thèse en physique hadronique, je me suis orienté vers la physique atomique en me formant notamment aux techniques de calcul de structure électronique sur un contrat du CEA. Il s agissait d étudier des systèmes soumis à des champs magnétiques élevés afin de valider les codes de calculs simulant les expériences en présence de tels champs. Ce travail, en deux volets, comportait tout d abord une étude analytique basée sur la théorie des fonctionnelles courant-densité récemment établie, puis une partie numérique, la résolution des équations se faisant à l aide d un code de dynamique moléculaire de type Car-Parrinello (2 articles). J ai ensuite effectué deux postdocs aux Etats-Unis où je développais des algorithmes numériques basés sur la méthode de Car-Parrinello pour des problèmes d électrochimie. Ces techniques, pionnières à la fin des années 90, mixaient des calculs quantiques pour le solide avec des méthodes classiques de dynamique moléculaire pour le solvant. Un tel couplage permettait de comprendre des phénomènes importants comme le transfert d électrons, l adsorption ou la dissolution du métal (3 articles). Finalement, la première simulation entièrement quantique pour une électrode de cuivre comme pour l eau, a été réalisée juste avant mon retour en France (1 article). Suite à ce retour, un travail d ingénieur en informatique de deux ans m a involontairement et momentanément rapproché des réalités de terrain. En 2001, j ai obtenu mon poste au CEA de Saclay, dans le Service d Etudes des Réacteurs et de Mathématiques Appliquées. La mission de notre laboratoire étant la modélisation numérique des réacteurs nucléaires, mes recherches actuelles visent à mettre en évidence l aspect probabiliste des géométries aléatoires qui caractérisent certains types de réacteurs à haute température et d en réaliser une simulation numérique par la méthode de Monte Carlo. Plus précisément, je développe cette approche pour les réacteurs à lit de boulets dont l empilement aléatoire du combustible pose d énormes problèmes de simulation. Cette thématique qui combine différents domaines, probabilité, géométrie (aléatoire et intégrale) et simulation, m occupe depuis articles ont été produits et 2 sont soumis. Certains articles très mathématiques concernent la caractérisation des géométries stochastiques en 2 et 3 dimensions, notamment par une étude fine des propriétés des cordes et des autres descripteurs dans les géométries non convexes (typiquement le volume externe à l empilement). D autres plus numériques sont dédiés aux techniques et aux simulations Monte Carlo. Des propriétés universelles sur les empilements aléatoires ont été établies ainsi que des relations d invariance pour des marches aléatoires dans des domaines bornés. Ces résultats ont été obtenus en grande partie par l apport de la géométrie intégrale. Cette branche des mathématiques, encore peu utilisée en physique, permet une compréhension nouvelle de la neutronique. Cette approche offre de plus une assise rigoureuse aux simulations de Monte Carlo (générations de droites aléatoires en trois dimensions) que nous avons effectuées. Actuellement, je consacre 50% de mon temps à cette activité 2, le reste étant dédié soit au développement du code de transport Monte Carlo Tripoli-4, soit à des sujets plus appliqués comme la propagation d incertitudes en Monte Carlo évoluant. 2 Financement du CEA via le projet MACOE (Modélisation Avancée des CŒurs) 9

10 7 Atomes sous champs magnétiques très intenses ( ) 7.1 Introduction Ces études se sont déroulées sur un an, au Laboratoire de Physique Théorique et Haute Energies d Orsay en collaboration avec le CEA de Limeil-Valenton et portaient sur les modifications apportées à l état de la matière lorsqu elle se trouve soumise à un champ magnétique intense. Etudier les modifications apportées à la structure électronique par un champ magnétique est un programme de travail très vaste qui ajoute une quatrième dimension aux trois existantes, le numéro atomique, la densité et la température. La littérature indique que ce champ magnétique peut être responsable de phénomènes inconnus en absence de champ tels que la variation non monotone de certaines grandeurs (énergie, pression) avec le champ ou encore la localisation d un système par un champ suffisamment fort. Un autre exemple est celui du gaz d électrons bidimensionnel qui devient incompressible en présence d un champ. De plus, l étude de la structure électronique sous champ magnétique est compliquée par l abaissement de la symétrie. En effet, on passe de la symétrie sphérique de l atome à la symétrie cylindrique, la direction du champ étant maintenant privilégiée. La difficulté est donc comparable, a priori, à celle que l on trouve en passant de l atome aux molécules diatomiques. Toutefois, ce point mérite d être nuancé : si la symétrie cylindrique est évidente dans le cas d un atome soumis à un champ, il convient de remarquer qu un gaz d électrons uniforme placé dans un champ conserve une densité uniforme, il n y a donc pas dans ce cas de direction privilégiée pour la densité totale, bien qu il y en est une pour les fonctions d onde prises individuellement. Dans ce chapitre, après avoir brièvement passé en revue les modèles d atomes sous champs magnétiques intenses, on précise le cadre théorique -théorie des fonctionnelles courant-densité CDFT- dans lequel l étude de la structure électronique sous champ magnétique peut être effectuée. On poursuit cette approche grâce à l approximation statistique pour laquelle il n est pas nécessaire de calculer toutes les fonctions d onde électronique (models de type de Thomas-Fermi). Cette méthode originale, combinant ces deux aspects CDFT/Thomas-Fermi, permet de retrouver les résultats connus sur les corrections de gradients et de les étendre en prenant en compte les effets de courant du au champ magnétique. Ces résultats théoriques ainsi que la résolution numérique des équations pour un système atomique ont fait l objet des deux articles (un seul est reproduit) dont le contenu est présenté à la fin de ce chapitre. 7.2 Structure électronique sous champs magnétiques intenses La découverte des pulsars a conduit les astrophysiciens à s intéresser à l état de la matière soumise à des champs magnétiques intenses de 10 9 à Gauss [1]. Une première discussion des modifications apportées à la structure électronique d un atome placé dans un champ magnétique très élevé a été donnée par Kadomtsev [2]. Puis un modèle Thomas-Fermi à température nulle, valable pour des champs magnétiques compris entre 10 9 Z 4/3 et Z 3 Gauss a été formulé par Mueller et al. [3]. Une approximation Thomas-Fermi avec échange, toujours à température nulle, a été proposée par Banerjee et al. [4], en faisant l hypothèse adiabatique selon la- 10

11 quelle le mouvement des électrons dans le plan perpendiculaire au champ magnétique n est pas perturbé par le potentiel coulombien du noyau. Cette approximation n est valable qu à champ très fort, pratiquement lorsqu une seule bande de Landau intervient. Une forme analytique approchée de la densité donnée par ces modèles simplifiés a été obtenue par Glasson et Castro [5]. L étude complète du modèle Thomas-Fermi, pour toute valeur du champ, a été faite par Tomishima et Yonei [6]. Cependant, tous ces modèles semi classiques de type Thomas-Fermi conduisent à un modèle d atome sphérique. Or, sous l action du champ magnétique, l atome est déformé le long du champ comme des calculs précis sur la fonction d onde de l atome d hydrogène l ont démontré. Jusqu à présent la seule tentative pour décrire ces inhomogénéités est l approche des corrections de gradients de Tomishima et Shinjo [7]. Ces références constituent l essentiel des résultats concernant l approximation statistique, en présence de champs magnétiques intenses, dans la littérature. D un autre côté, le cadre rigoureux et général permettant d aborder l étude des systèmes soumis à des champs magnétiques a été proposé à la fin des années 80 par Vignale et Rasolt [10]. Il s agit d une extension de la théorie des fonctionnelles densité au cas des systèmes électroniques placés dans un champ magnétique : la théorie des fonctionnelles courant-densité. Elle est rapidement présentée à température nulle et peut être étendue sans difficulté au cas des températures non nulles pour un système en équilibre thermodynamique. On considère donc qu un champ magnétique externe stationnaire B est appliqué au système (gaz d électrons), le potentiel vecteur correspondant est B = A. Le premier résultat fondamental de CDFT est le suivant : L énergie libre totale du système peut s écrire rigoureusement, F = F [ρ, j p ], (1) qui est une fonctionnelle de deux grandeurs indépendantes, la densité électronique ρ(r) en tout point du système, et le courant paramagnétique j p (r). Ce dernier à température nulle est défini par, j p (r 1 ) = 1 2m [Φ (r 1,..., r n )p 1 Φ(r 1,..., r n ) + c.c.] dr 2...dr n, (2) où Φ est la fonction d onde globale du système et p l opérateur impulsion. L expression formelle de l équation Eq. (1) justifie l appellation des fonctionnelles courantdensité. Le courant total j, invariant de jauge est, j(r) = j p (r) + e ρ(r)a(r), (3) mc avec e charge de l électron et m sa masse. Les contraintes imposées au système impliquent que le nombre total d électrons dans le système soit fixé et que pour un état stationnaire le courant soit conservatif,.j = 0. Le second résultat de CDFT assure que l énergie libre totale observable est obtenue pour la densité ρ(r) et le courant paramagnétique j p (r) qui minimisent F [ρ, j p ] sous les deux contraintes précédentes. On a donc, δf [ρ, j p ] δρ(r) = µ jp et 11 δf [ρ, j p ] δj p (r) = 0, (4) ρ

12 où µ désigne le potentiel chimique. Enfin l énergie libre peut se décomposer sous la forme suivante, F [ρ, j p ] =K[ρ, j p ] + drρ(r)v x (r) + e2 dr dr ρ(r)ρ(r) 2 r r + e (5) drj p (r)a(r) + e2 c 2mc 2 drρ(r)a 2 (r) + F xc [ρ, j p ], où K[ρ, j p ] est la contribution cinétique à l énergie libre d un système sans interaction, dans les potentiels externes scalaire V x (r) et vectoriel A(r) produisant la densité ρ(r) et le courant j p (r). F xc [ρ, j p ] est l énergie libre d échange et de corrélation, inconnue, qui devra être remplacée dans la pratique par une approximation en générale locale. C est cette expression de l énergie libre Eq.(5) qui sert de point de départ aux deux articles présentés dans ce chapitre. Par ailleurs, un élément important est l invariance de jauge du système. En effet, on peut trouver une infinité de potentiels vecteurs A(r) différant par un gradient et qui donne le même champ magnétique par la relation B = A. Il est donc nécessaire que la densité ρ(r), l énergie totale et le courant physique j(r) soient invariants sous un tel changement de jauge. Le courant j(r) est modifié en accord avec l équation Eq.(3). Il a été montré que cette invariance impose que l énergie d échange et corrélation soit de la forme F xc [ρ, j p ] = F xc [ρ, j p ρ ]. (6) La grandeur (j p /ρ) est appelée vorticité et est notée ν(r) dans nos deux articles [8, 9]. Reste à établir l expression de l énergie cinétique du gaz d électrons sous un champ magnétique (le premier terme du membre de droite dans l Eq.(5)). Elle s obtient en partant des niveaux d énergie d un électron dans un champ magnétique parallèle à l aze z qui sont donnés par [11] : ( ɛ(j, k z ) = j + 1 ) ω c + 2 kz 2 2 2m, (7) avec ω c = eb/m fréquence cyclotron. L énergie cinétique dépend de deux nombres quantiques j et k z et on montre alors que chaque état est dégénéré de L XL Y B L Z hc/e 2π. Le nombre d électrons contenus dans un volume V = L X L Y L Z est donc, N = L X L Y B L Z kf hc/e 2π k f dk = V B πhc/e k f, d où, k f = hc eb πρ avec ρ = N/V. L énergie cinétique totale K s obtient alors en multipliant par ω c et en intégrant le terme en k z par 2 k 2 /2m. On obtient, K = N ω ( ) c hc V 2 π 2 eb 6m ρ3. (8) On fait ensuite la même approximation que pour Thomas-Fermi en supposant que cette forme globale de l énergie cinétique est valable localement. On trouve alors, l expression de l énergie cinétique suivante : K[ρ] = ω c 2 ρ(r)dr + V ( ) hc 2 2 π 2 eb 6m ρ 3 (r)dr (9) A part le premier terme qui est trivial, on note une dépendance de l énergie cinétique en ρ(r) 3 au lieu de ρ(r) 5/3 comme dans le cas de la théorie de Thomas-Fermi sans champ magnétique. 12

13 7.3 Résultats et conclusion Dans les deux articles [8, 9], notre formulation introduit les corrections de gradients dans le même esprit. Plus précisément, le dernier résultat concernant l énergie cinétique est retrouvé, ainsi que les importantes corrections de gradients établies par Tomishima et Shinjo (Eq.[19] de l article [8]). Ceci a été réalisé en identifiant le développement au deuxième ordre de la densité électronique avec la fonction de réponse en champ fort connue depuis longtemps. L incorporation des corrections dues aux courants se faisant dans une seconde étape à l aide du formalisme des fonctionnelles courant-densité précédemment évoqué. L intérêt d une telle approche est double puisqu elle permet de retrouver les résultats de Tomishima et Shinjo (qu ils ont obtenu par des méthodes calculatoires assez longues et qui n avaient jamais été confirmés) et de les améliorer à l aide de techniques relativement simples. Les résultats obtenus dans nos deux articles montrent que les corrections dues aux courants doivent impérativement être prises en compte car elles sont du même ordre de grandeur que celles de Tomishima et Shinjo. De plus elles modifient profondément le profil de densité comme les figures 1 et 2 dans l article [9] l indiquent clairement. La minimisation de la fonctionnelle densité finale a été obtenue à l aide d un code de dynamique moléculaire de type Car-Parrinello développé au CEA dont le principe est décrit à la fin de l article [9]. Ces études, qui m ont occupé pendant un an, se sont complètement arrêtées avec mon départ à l étranger. Ce sujet était d ailleurs déjà en déclin au CEA. C est dommage, le code de Car-Parrinello maison qui a fourni les premiers résultats qualificatifs sur l atome d hydrogène, ouvrait la voie aux études des systèmes plus complexes, en particulier il permettait de déterminer l intensité du champ magnétique sous lequel une molécule diatomique perd sa stabilité. Références [1] R. C. Duncan and C. Thomson, Astrophys. Jour. 392, L9 (2005). [2] B. B. Kadomtsev, Sov. Phys. JETP 31, 1136 (1970). [3] R. O. Mueller, A. R.P. Rau and L. Spruch, Phys. Rev. Lett. 26, 1136 (1971). [4] B. Banerjee, D. H. Constantinescu and P. Rehák, Phys. Rev. D 10, 2384 (1974). [5] M. D. Glossman and E. A. Castro, J. Phys. B : At. Mol. Opt. Phys. 21, 411 (1988). [6] Y. Tomishima and K. Yonei, Prog. Theor. Phys. 59, 683 (1978). [7] Y. Tomishima and K. Shinjo, Prog. Theor. Phys. 62, 853 (1979). [8] A. Mazzolo, E. L. Pollock, G. Zérah, Phys. Lett. A 209, 123 (1995). [9] A. Mazzolo and G. Zérah, Phys. Lett. A 250, 408 (1998). [10] G. Vignale and M. Rasolt, Phys. Rev. B 37, (1988) ; G. Vignale and M. Rasolt, Phys. Rev. Lett. 59, 2360 (1987) ; G. Vignale, M. Rasolt and D. J. W. Geldart, Adv. Quantum Chem. 21, 235 (1990). [11] L. Landau et E. Lifshitz, Mécanique Quantique (Mir, Moscou, 1967). 13

14 8 Electrochimie théorique et numérique ( ) Ce programme de recherches s est déroulé aux Etats-Unis pendant 2 ans et demi et portait sur l étude des réactions à l interface électrode-électrolyte pour lesquelles des techniques numériques de type Car-Parrinello (similaires à celles du chapitre précédent) sont employées. Elles sont notamment développées par le groupe de physique théorique de l état condensé du professeur Woods Halley de l université du Minnesota que j ai rejoint en 1996 pour 18 mois et du professeur Greg Voth, directeur du centre de chimie théorique de l université de l Utah qui m a accueilli pendant neuf mois. Les processus physiques complexes apparaissant à l interface électrode-électrolyte jouent un rôle important en électrochimie, notamment dans les problèmes de corrosion aqueuse. Ces études, en particulier celles concernant l interface métal-eau représentent la première étape pour la compréhension de nombreux phénomènes électrochimiques et de surfaces. La structure de telles interfaces a été étudiée par une variété de méthodes tant expérimentales que théoriques. Cependant, il convient de noter que les techniques expérimentales qui pourraient clairement analyser la structure des interfaces électrochimiques, en sont encore à leurs balbutiements. Les analyses théoriques basées sur divers modèles approximatifs n ont, quant à elles, pas encore obtenu d accords qualitatifs avec les résultats expérimentaux. De plus l interface métal-électrolyte ne peut pas être entièrement comprise par une approche analytique à cause de la complexité du système et des nombreuses interactions nonlinéaires. Une voie possible pour contourner les difficultés liées à l approche analytique consiste à faire de la dynamique moléculaire au niveau de l interface métalélectrolyte et depuis une dizaine d années cette démarche s est avérée féconde [1, 2]. En fait, il existe une assez grande variété de modèles basés sur ce schéma dont la précision dépend essentiellement de la manière dont sont traitées les interactions métal-eau et la phase métallique. Les modèles empiriques de dynamique moléculaire décrivent assez correctement la structure de l électrolyte près de l interface comme la formation de la double couche ou la formation de la monocouche d eau adsorbée. Cependant afin de reproduire correctement la structure de la phase métallique en contact avec la solution électrolytique, on a besoin d une approche où la nature quantique de la densité de charge du métal est explicitement incorporée dans le schéma de dynamique moléculaire. C est précisément cette approche qui a été développée à l université du Minnesota et dont les travaux [3, 4, 5, 6] sont introduits ci-après. Toutefois, plus récemment, les simulations complètes de dynamique moléculaire ab initio, toujours basées sur le schéma de Car-Parrinello sont devenues possibles. Un dernier travail alors réalisé à l université de l Utah, présente la première simulation complète de dynamique moléculaire ab initio pour une interface métal-électrolyte [7]. 8.1 Simulations mixtes : dynamique moléculaire / calculs quantiques Capacité à l interface cuivre-eau Comme mentionné précédemment, la structure du métal à l interface entre un métal et l eau doit être correctement modélisée afin de décrire proprement tous les processus internes sur l électrode tels que, la dissolution, l adsorption d anions ou le transfert d électrons. Les sondes expérimentales permettant d analyser la structure de l interface incluent la diffraction par rayons X [8] et moins directement la ca- 14

15 pacité différentielle. Comme détaillé dans la référence [9] la réponse des électrons du métal à un changement de potentiel électrostatique du métal par rapport à l électrolyte, contribue d une manière significative à la capacité différentielle. De nombreux modèles ont montré que cette contribution est caractérisée par une fonction asymétrique de la charge sur l électrode. Elle est plus importante sur l anode du potentiel de charge nulle, décroît approximativement linéairement à travers le potentiel de charge nulle et devient petite pour des polarisations cathodiques importantes. Ce comportement peut être qualitativement compris comme provenant du fait que l augmentation de charge sur la cathode correspond à un accroissement de la densité électronique à l interface qui pousse le solvant et l électrolyte à une petite distance supplémentaire par rapport au centre des ions du métal de l électrode. Les modèles basés sur le Jellium donnent l ordre de grandeur correct de ce phénomène, mais ne sont pas assez précis pour être comparés avec les données expérimentales. D un autre côté, il est bien connu que les propriétés diélectriques de l eau près de l interface eau-métal contribuent à la capacité différentielle comme l a montré Stern [10]. C est pourquoi, dans notre modèle, les effets dus aux électrons et à la couche de Stern sont traités ensemble sans séparation arbitraire artificielle à l aide d un modèle ab initio où la fonction d onde des électrons ainsi que les forces correspondantes sur les molécules d eau sont recalculées à chaque pas de la dynamique moléculaire. Le modèle utilisé pour nos simulations est identique à celui décrit dans la référence [11] en utilisant toutefois pour modéliser l eau, un potentiel central amélioré [12]. Par ailleurs, jusqu à présent, seuls les électrons de valence s ont été traités explicitement [3]. Nous avons étudié la charge sur l électrode en fonction de la chute de potentiel à partir de laquelle la capacité différentielle à l interface (incluant à la fois l eau près de l interface et les électrons du métal) peut être facilement obtenue par différentiation. Pour l eau, nous avons remarqué que le temps nécessaire pour atteindre l équilibre suite à un changement du champ était long (de l ordre de 25 ps), il a donc été avantageux de lancer une simulation classique (où la fonction d onde électronique était gelée) pour chaque nouveau champ avant de lancer la simulation complète. Les molécules d eau sont traitées à l aide d un modèle classique flexible. Explicitement, un exemple de simulation consiste en 245 molécules d eau et pour la face-100 du cuivre en 180 atomes rangés périodiquement dans une cellule de dimensions 80 u.a. 29 u.a. 29 u.a. comme décrit dans la référence [11]. La fonction d onde électronique est, quant à elle, calculée dans une petite cellule centrée sur le cuivre dont les dimensions sont les suivantes : 40 u.a. 29 u.a. 29 u.a.. Pour la face-111 du cuivre, l échantillon consiste en 216 molécules d eau et la cellule de base a les dimensions 61.4 u.a u.a u.a. (32.5Å 17.8Å 17.8Å) et la petite cellule a alors pour taille : u.a u.a u.a.. Le pas de temps pour intégrer les équations du mouvement est de 0.5fs. Après le pré conditionnement classique que nous venons de décrire, on laisse l échantillon relaxer pendant quelques milliers de pas de temps, et ensuite les données statistiques sont évaluées durant quelques milliers de pas de temps supplémentaires [4]. La Fig. 1 offre un instantané de la configuration de l eau quand un potentiel est appliqué au modèle d interface Cu(100) eau. Le détail de cet instantané sur les surfaces positive et négative montre clairement que les molécules d eau se fixent sur les sites du cuivre (par l oxygène) ou en sont expulsées. 15

16 Fig. 1 Instantane de l interface Cu(100) eau en pre sence d un potentiel La Fig. 2 montre la charge calcule e en fonction de la chute de potentiel pour les faces 111 et 100 du cuivre. La capacite diffe rentielle a l interface entre le me tal et l eau est obtenue par diffe rentiation et par une interpolation polynomiale des donne es nume riques de la Fig. 2. La capacite diffe rentielle provenant de cette partie du mode le pre sente un simple pic pre s du potentiel de charge nulle. Ce pic ne se trouve pas pre cise ment au potentiel de charge nulle a cause de l asyme trie de la re ponse de l e lectrode suivant sa charge [5]. La plupart de l asyme trie provient de la re ponse des e lectrons du me tal dans notre mode le, comme il a e te qualitativement discute pre ce demment. Afin de de crire la capacite totale, on doit inclure la contribution des ions de l e lectrolyte dans ce mode le. Bien que la the orie de Gouy-Chapman de crive assez bien ce comportement nous avons trouve que la condition aux limites pour cette the orie est diffe rente de celle qui consiste a admettre implicitement que l on additionne en se rie la capacite de l interface et celle provenant de la the orie de Gouy-Chapman [13]. 16

17 Fig. 2 Charge en fonction de la chute de potentiel pour les deux faces du cuivre Pour identifier notre modèle à celui de Gouy-Chapman nous avons calculé les champs électriques macroscopiques dans un plan z = z c à partir duquel le modèle commence à être représenté correctement par la théorie de Gouy-Chapman. Cette valeur de z c n est à priori pas connue. Nous avons donc déterminé la valeur macroscopique du champ électrique provenant de nos simulations pour différents plans z en fonction de la charge σ de l électrode. Ce lissage a été accompli en moyennant le champ électrique calculé autour de chaque z avec une gaussienne de largeur 7Å (la largeur de la gaussienne a été choisie de façon à gommer les variations du champ électrique qui sont clairement dues à la structure locale de l eau). Un exemple de champ électrique obtenu par ce procédé est exposé sur la Fig. 3. On remarque un comportement du champ intéressant : contrairement aux simulations classiques, le champ électrique diminue doucement lorsqu il s approche des interfaces. Ceci peut être compris comme provenant des effets des électrons du métal dans notre modèle [4]. En utilisant la valeur macroscopique du champ électrique comme condition de bord pour la théorie de Gouy-Chapman, on peut alors déterminer la capacité pour le système total en fonction de la chute de potentiel et de la distance z c. Les résultats pour la surface-100 du cuivre sont indiqués sur la Fig. 4 ci-après. Ils sont cohérents avec les données expérimentales et suggèrent une valeur de z c entre 8Å et 11Å Chlore à l interface cuivre-eau Le chlore est bien connu pour être impliqué dans de nombreux problèmes de corrosion même si les détails concernant sa façon d interagir dans les processus de corrosion ne sont pas toujours très clairs [14, 15, 16, 17, 18, 19]. Nous avons choisi d étudier l ion chlorure à l interface électrochimique car il est bien connu que cet ion, une fois adsorbé, augmente de manière conséquente le taux de transfert des électrons aux interfaces électrochimiques. On pense généralement que l ion chlorure offre un pont par lequel les électrons peuvent passer de l électrode métallique jusqu à l ion en solution par le biais d états résonnants [20]. Cependant, une telle image n a jamais été confirmée par des calculs quantiques. De plus, les expériences menées à Argonne par le groupe de Zoltan Nagy avec lequel nous avions des liens étroits et basées sur des techniques de chimie quantique n ont pas fourni beaucoup 17

18 Fig. 3 Face-100 : un exemple en champ fort de potentiel électrostatique et de champ électrique macroscopique obtenu après lissage. La densité électronique asymétrique est aussi représentée ainsi que les centres des atomes de cuivre (ronds noirs) d appui [21]. C est pourquoi, comme première étape pour réaliser un modèle afin de décrire le transfert d électrons, nous avons entrepris une étude utilisant une méthode de simulation directe dans laquelle la dynamique moléculaire des molécules d eau est réalisée en présence des électrons du métal et d un ion chlorure. Dans les travaux actuels, nous n avons pas inclus d électrons accepteurs cherchant seulement à décrire la liaison de l ion chlorure à la surface du métal dans le vide et en présence de l eau. Pour faciliter cette approche, nous avons commencé avec le code précédemment utilisé (décrit dans la référence [11]) et qui offre une description de la surface du cuivre-100 en présence d eau. Ensuite, nous avons tenu compte de la présence de l ion chlorure. Dans la littérature, des calculs concernant l adsorption du chlorure sur une surface sont reportés dans la référence [22]. On trouve aussi quelques travaux de dynamique moléculaire [23], cependant à la date où nos travaux ont été effectués, aucune simulation du type décrit dans ce mémoire n avait été réalisé. Nous avons donc adopté le même modèle que celui décrit au paragraphe précédent avec en plus un ion de chlore dans le solvant. La dimension de la petite cellule dans laquelle les fonctions d onde sont calculées, est légèrement plus grande : 60 u.a. 29 u.a. 29 u.a.. Une base de ondes planes a été retenue. Pour calculer ces fonctions d onde l algorithme de steepest descent a été amélioré. Des pseudopotentiels locaux ont été utilisés : V ps (r) pour les 7 électrons de valence du Cl 3s et 3p ; V ps (r) = 0.25V ps ps ps ps 3s (r) V3p (r) où V3s (r) et V3p (r) sont les pseudopotentiels du Cl dérivés du schéma de Troullier et Martins [24]. Le pseudopotentiel résultant du Cl a été testé intensivement sur plusieurs molécules, notamment NaCl, HCL et CuCL, donnant des résultats en bon accord avec les valeurs exactes pour les distances interatomiques et les fréquences de vibration [6]. En absence de solvant, deux positions symétriques stables ont été trouvées pour le chlore : une position où le chlore est au centre d un carré formé par quatre atomes de cuivre, et une position où le chlore se trouve juste au-dessus d un atome de cuivre [6]. La première position est énergétiquement plus stable, en accord avec les 18

19 Fig. 4 Capacite totale e tudes ante rieures [25, 26, 27]. De plus notre calcul conduit a une distance entre le Cl et le Cu en meilleur accord avec les donne es expe rimentales que ceux effectue s avec un petit cluster [28]. La distribution de densite e lectronique dans un plan contenant le Cl et perpendiculaire a la surface de Cu est montre e sur la Fig. 5 dans les vide et les e tats perturbe s par la pre sence de l eau sur la Fig. 6. Afin d e valuer la charge Fig. 5 Contour logarithmique de la densite des e lectrons de valence pour du chlore adsorbe sur du cuivre dans le vide. ionique porte e par l atome de chlore, on inte gre la densite de charge calcule e autour de l ion chlorure pour diffe rentes distances de l ion par rapport a la surface du cuivre. Cette proce dure est bien de finie lorsque l ion est loin de la surface mais est plus arbitraire a la distance d e quilibre. La charge de valence estime e est de e (pour une charge ionique totale de e ) lorsque l atome est a sa position d e quilibre. Ces re sultats sont a comparer a ce ceux de la re fe rence [28] ou la charge trouve e 19

20 Fig. 6 Contour logarithmique de la densité des électrons de valence pour du chlore adsorbé sur du cuivre en présence d eau. est proche de -8 e. Pour étudier le chlore à l interface entre le cuivre et l eau, les pseudopotentiels, par lesquels interagissent les électrons avec les hydrogènes de l eau, ont été améliorés. Ci-après, sur la Fig. 7 sont reportés les résultats pour l interaction Fig. 7 Distance Cl-O en u.a. entre l eau et un ion chlorure respectivement avec le pseudopotentiel précédent, le nouveau pseudopotentiel et un calcul Hartree Fock complet. Avec ce nouveau pseudopotentiel, nous obtenons un comportement satisfaisant pour la solvatation de l ion CL dans l eau. L énergie de solvatation trouvée est égale à 3.36 ev à comparer à la valeur expérimentale de 3.6eV. Le nombre de coordination pour l hydrogène vaut 7.5 alors que les expériences donnent une fourchette entre 5 et 11. Enfin, la plus petite distance entre le Cl-H vaut 2.1Å en bon accord avec la valeur expérimentale qui vaut approximativement 2.2Å. Nous avons aussi vérifié que ce nouveau pseudopotentiel ne perturbe pas de manière significative la structure de l eau près de l interface cuivre/eau dans notre modèle. 20

21 Contrairement au cas du métal dans le vide, la charge sur l atome de chlore à grandes distances est proche de -1, de telle sorte que l eau stabilise l ion de chlore dans ce modèle, comme il se doit. De plus, en répétant ces simulations pour les électrodes chargées, il est possible d estimer la charge pour laquelle le chlore est expulsé de la surface, ce résultat peut être comparé directement avec les expériences électrochimiques. 8.2 Simulations complètes de dynamique moléculaire ab initio Les études précédentes qui mixaient des méthodes quantiques pour le métal avec des potentiels empiriques pour le liquide permettent de reproduire certaines propriétés de l interface métal/électrolyte. Le degré suivant de sophistication du modèle consiste à réaliser des simulations complètes de dynamique moléculaire ab initio de l interface suivant le schéma de Car-Parrinello [29]. Les simulations réalisées à L université de l Utah, premières du genre, suivent ce principe et explorent en particulier la structure détaillée du système Cu(110)-eau [7]. Celles-ci sont basées sur un formalisme à la Car-Parrinello [29] implémenté dans le cadre de la fonctionnelle de la densité, où le terme local d échange et de corrélation est augmenté par la correction préconisée par Becke [30] et Lee, Yang et Parr [31] (BLYP), cette approche ayant montré une description raisonnable de la liaison hydrogène dans l eau. Par ailleurs, seuls les électrons de valence sont traités explicitement et leur interaction avec les ions est décrite par des pseudopotentiels selon le schéma introduit par Troullier et Martins [24]. Le système étudié, relativement petit, consiste pour le métal en 7 couches de 9 atomes et pour la phase liquide de 24 molécules d eau. Après une période de 1.34 ps nécessaire pour obtenir l équilibre du système à la température de 300K, les données statistiques sont collectées pendant 2.52 ps avec un pas de temps de fs. Les résultats présentés dans l article [7] montrent que l interface possède une sorte de double couche (Fig.5 dans [7]), ce qui avait déjà été observé dans les simulations réalisées avec un traitement seulement ab initio du métal [3]. Cet effet, notons le encore, n est pas observé lorsque qu un potentiel classique à deux corps, entre le métal et l eau, est employé. Un autre résultat important concerne les effets à l interface où l eau affecte le cristal, notamment les états électroniques de l échantillon de métal. En fait, nos simulations montrent que ces derniers ne sont pratiquement pas perturbés par la présence de l eau. Cependant, les molécules d eau sont couplées de manière significative avec les états électroniques à l intérieur même du métal comme on le voit sur la Fig.5 de l article [7]). Ce résultat est en accord avec ceux des mesures d électroréflectance dans une cellule électrochimique [32] qui montraient que la structure de l état électronique de surface en présence d eau est quasiment identique à celle dans le vide. 8.3 Conclusion et perspectives Les simulations de dynamique moléculaire effectuées en utilisant des techniques ab initio ont montré de grandes différences par rapport à celles utilisant des potentiels de pairs classiques. Par exemple, la diminution de densité de l eau près de l interface et le faible taux d occupation des sites placés juste au dessus des atomes du métal, observés dans nos simulations, contrastent clairement de celles effectuées par Heinzinger et Sphor [33] et Sphor et Heinzinger [34], avec des potentiels de pairs classiques. Par ailleurs, l exploration complète des effets dynamiques, comme la relaxation des atomes du métal, la dissolution de ce dernier à l interface, ne pourra 21

22 se faire qu avec une méthode de dynamique moléculaire alliée aux techniques ab initio. Ces études peuvent avoir à terme des applications pour une large variété de technologies incluant les piles et la photoélectrolyse. En plus de ces études fondamentales, l objectif suivant consiste à accéder aux grandeurs macroscopiques. En effet, les résultats de ces simulations conforment aux premiers principes peuvent alors être utilisés comme données pour les théories continues telle que celle de Gouy-Chapman ou les modèles cinétiques qui caractérisent les phénomènes jusqu aux échelles de l ingénierie. Un programme de recherche qui est toujours activement développé dans les pays industrialisés. Références [1] D.A. Rose and I. Benjamin, J. Chem. Phys, 95, 6856 (1991) ; 98, 2283 (1993). [2] K. Raghavan, K. Foster, K. Motakabbir and M. Berkowitz, J. Chem. Phys, 94, 2110 (1991). [3] J. W. Halley, A. Mazzolo, Y. Zhou, et al., J. Elec. Chem., 450, 273 (1998). [4] S. Walbran, A. Mazzolo, J. W. Halley, et al., J. Chem. Phys., 109, 8076 (1998). [5] J. W. Halley, A. Mazzolo, S. Walbran and D. Price Proceedings of the Symposium on Electrochemical Double Layer, The Electrochemical Society, Pennington NJ, Proceedings Volume (1997) [6] Y. Zhou, A. Mazzolo, D. L. Price, et al., Int. J. Thermophysics, 19, 663 (1998). [7] S. Izvekov, A. Mazzolo, K. VanOpdorp, et al., J. Chem. Phys., 114, 3248 (2001). [8] M. F. Toney, et al., Nature, 368, 444 (1994) [9] J. W. Halley, Electrochimica Acta, 41, 2229 (1996). [10] O. Stern, Z. Elektrochem., 30, 508 (1924). [11] D. L. Price and J. W. Halley, J. Chem. Phys., 102, 6603 (1995). [12] Toukan K. and Rahman A., Phys. Rev. B, 31, 2643 (1985). [13] D. Henderson and L. Blum, J. Chem. Phys., 69, 5441 (1978). [14] C. M. A. Brett, I. A. R. Gomes and J. P. S. Martins, Corrosion Science, 36, 915 (1994). [15] M. Saito, G. S. Smith and R. C. Newman, Corrosion Science, 35, 411 (1994). [16] S. Zhuang, M. Ji, J. Wu and K. Wandelt, Surf. Science, , 759 (1993). [17] E. S. Ivanov, Soviet Materials Science, 25, 663 (1993). [18] K. E. Heusler, Corrosion Science 29, 131 (1989). [19] M. E. Armacanqui and R. A. Oriani, Corrosion 44, 696 (1988). [20] J. M. Weaver, Isr. J. Chem. 18, 35 (1979). [21] Z. Nagy, J. P. Blaudeau, N. C. Hung, L. A. Curtiss and D. J. Zurawski, J. Electrochem. Soc. 142, L87 (1995). [22] N. D. Lang and A. R. Williams, Phys. Rev. B 18, 616 (1978). [23] N.J. Glosli and M. R. Philpott, J. Chem. Phys., 98, 9995 (1994). [24] N. Troullier and J. L. Martins, Phys. Rev. B 43, 1993 (1991). [25] D. Westphal, et al., Solid State Commun. 44, 685 (1982). 22

23 [26] P. H. Citrin, et al., Phys. Rev. Lett. 49, 1712 (1982). [27] K. P. Huber and G. Herzberg, Molecular Spectra and Molecular Structure IV, Van Nostrand-Reinhold, New York (1979). [28] L. G. Pettersson and P. S. Bagus, Phys. Rev. Lett. 56, 500 (1986). [29] R. Car and M. Parrinello, Phys. Rev. Lett. 55, 2471 (1985). [30] A. D. Becke, Phys. Rev. A 38, 3098 (1988). [31] C. Lee, W. Yang and R. G. Parr, Phys. Rev. B 37, 785 (1988). [32] D. M. Kolb and C. Franke, Appli. Phys. A : Solids Surf. 49, 379 (1989). [33] K. Heinzinger and E. Sphor, Electrochim. Acta 34, 1849 (1989). [34] E. Sphor and K. Heinzinger, Chem. Phys. Lett. 123, 218 (1986). 23

24 9 Géométrie stochastique et neutronique ( ) 9.1 Introduction En parallèle des activités de R&D sur le code de transport Monte Carlo TRIPOLI- 4 développé dans notre laboratoire, depuis 2002 j ai la possibilité de travailler sur des problèmes amonts tels que les géométries stochastiques que l on rencontre dans des réacteurs à très hautes températures (empilements aléatoires de sphères de combustible) ou la description des trajectoires des neutrons dans des domaines bornés. L objet de ce dernier chapitre est donc de décrire ces deux domaines de recherches actuelles. Tout d abord, l argument ici n est pas de trancher en faveur d un concept ou d une technologie, mais de décrire avec précision les géométries complexes rencontrées dans les réacteurs à très hautes températures ainsi que le comportement statistique des neutrons évoluant dans ces structures. Notons cependant que le concept de réacteurs à très hautes températures est l un des six concepts retenus comme étant les plus prometteurs pour être réalisés industriellement entre 2030 et 2050, par le Forum International Generation-IV récemment créé. C est un réacteur à neutrons thermiques utilisant l hélium comme caloporteur et du graphite comme modérateur. Il en existe deux variantes, l une avec des combustibles prismatiques, l autre avec des boulets empilés aléatoirement. C est cette dernière voie qui est à l origine des travaux présentés dans cette partie. La figure suivante Fig. 8 montre un exemple de réacteur basé sur cette technologie (la taille typique d un boulet est de l ordre de 6 cm). Fig. 8 Réacteurs à boulets L empilement aléatoire de disques rigides en deux dimensions et surtout de sphères dures en trois dimensions est un sujet simple à formuler, mais qui s avère d une terrible complexité. Si certains résultats, comme la conjecture de Kepler (dont on a eu une preuve rigoureuse en 1998), ont pu être établis dans le cas d empilements réguliers [1], dans le cas d empilements stochastiques de nombreuses zones demeurent encore sombres, malgré les efforts fournis tant du point de vue des mathématiques que de la physique théorique. La première question et non des moindres est de savoir ce qu est un empilement aléatoire de sphères? Disons-le d emblée, la question n est pas encore tranchée pour des empilements denses comme le montrent les 24

25 récents développements publiés par l équipe du professeur Torquato [2]. Ces difficultés inhérentes au sujet et bien présentes à l esprit, il nous faut cependant continuer en ayant une approche pragmatique dans le cas précis des réacteurs à boulets. Celleci consiste à choisir des modèles pour l empilement aléatoire, puis à vérifier une fois la construction achevée si l empilement satisfait certains critères que l on précisera. Avant d aborder le cas tridimensionnel, une étude du cas plus simple en deux dimensions avait initié ces recherches, et cette démarche est présentée dans le paragraphe suivant. 9.2 Modélisation d un empilement aléatoire de disques Rappelons qu il existe de nombreuses manières de remplir le plan ou une surface bornée (typiquement un carré) avec des disques de mêmes tailles. Mais ayant en tête que le remplissage des réacteurs à boulets se fait en déversant les boules de combustibles par le haut, une première approche bidimensionnelle mimant ce procédé a été retenue. Il s agit de la déposition balistique décrite, par exemple, dans le livre édité par Bideau et Hansen [4]. Dans un premier temps, on s intéresse aux effets de volume dans la boîte, et celle-ci est choisie la plus simple possible, un carré. L algorithme retenu qui tient compte des effets gravitationnels est le suivant. Un disque est lâché uniformément en haut de la boîte et descend en ligne droite suivant l axe des ordonnées. S il touche directement le fond de la boîte, cas du disque n 1 sur la Fig. 9, il reste alors à cette place, si par contre il heurte un disque déjà en place, il roule sur ce dernier jusqu à ce qu il atteigne le fond de boîte comme indiqué avec le cas du disque n 2, toujours sur la même figure. Si l on considère une boîte de longueur Fig. 9 Empilement de disques, première étape L centrée à l origine et des disques de diamètre D chaque disque que l on va déposer dedans est choisi avec une abscisse uniforme suivant la densité de probabilité p(x) = dx L D avec x [ L 2 + D 2 ; L 2 D ]. (10) 2 Le processus de remplissage continue de la manière suivante. Si un disque heurte un disque déjà en place, il roule sur ce dernier, il peut alors au contact d un second disque, soit se trouver dans une position d équilibre stable et, dans ce cas, il reste définitivement dans cette position d équilibre, soit sa position est instable et dans 25

26 ce cas il se met à rouler sur le second disque et ainsi de suite jusqu à trouver une position d équilibre stable. Ce processus est indiqué sur la Fig. 10 où le disque labellisé 2 roule successivement sur le disque A puis sur le disque B jusqu à trouver une position d équilibre stable. Si après avoir roulé sur un ou une série disque, le Fig. 10 Empilement de disques, seconde étape. disque rencontre la paroi, sa position d équilibre est nécessairement stable, aussi reste-t-il dans cette position d équilibre. Ce cheminement est exposé sur la Fig. 10 pour le disque n 1 qui trouve sa position définitive entre la paroi et le disque E, après avoir roulé sur le disque D. De par sa construction, cet algorithme qui dans la littérature consacrée au sujet porte le nom de déposition balistique, est un processus irréversible car un disque une fois en position d équilibre reste une fois pour toutes dans cette position (aucun phénomène collectif, tel que les avalanches ne sont pris en compte). C est un point essentiel qu il faut garder à l esprit, et nous y reviendrons au chapitre suivant. Un exemple d empilement réalisé grâce à cette procédure est montré sur la Fig. 11 pour environ disques unités lâchés dans une boîte de dimension Le taux de remplissage obtenu (c est-à-dire le rapport du volume occupé par les disques sur le volume total) vaut 0.82 en accord avec les prédictions théoriques et expérimentales généralement admises pour un empilement aléatoire dense de disques [3]. De plus, à l œil nu, on observe aucune structure régulière, ce qui nous conforte dans l idée d un empilement stochastique, mais il faut, bien entendu, être plus précis. Afin de caractériser ces empilements, en physique des liquides, des milieux granulaires et désordonnés on introduit la fonction de distribution radiale qui décrit l organisation des particules autour d une particule centrale. Plus précisément elle est définie comme étant la probabilité de trouver une particule à la distance r d une particule de référence. Cette grandeur caractérisée par une suite d oscillations d amplitude décroissante est étudiée en détail dans le livre édité par Bideau et Hansen [4]. Cependant dans le cas présent, la géométrie est figée et il faut garder en tête que ce sont les neutrons qui évoluent dans ce milieu stochastique binaire. Or, d un point de vue de la neutronique, une grandeur pertinente est la distance parcourue par les particules avant de disparaître 3. Entre deux chocs les neutrons se propagent en 3 Cette grandeur intervient aussi dans d autres domaines. Ainsi la perte d énergie des électrons dans l eau d un verre poreux dépend directement de la distance parcourue par les électrons dans le 26

27 Fig. 11 Réalisation d un empilement aléatoire par l algorithme de déposition balistique, pour une boîte de dimension (seul un cadran est montré), les disques ont un rayon unité, seules les droites x = 0 et z = 0 constitues des parois de la boîte. ligne droite à travers les différents milieux et leurs trajectoires sont donc caractérisées par une succession de segments dans les différents domaines comme indiqué sur la Fig. 12. Une manière mathématique d obtenir ces segments consiste alors à lancer aléatoirement (ceci sera précisé impérativement) des droites à travers le domaine. Dans le prochain chapitre, on s attache à donner une assise exacte à cette idée tout en mettant en lumière l intérêt de cette approche pour la neutronique. 9.3 Droites aléatoires Intuitivement il existe plusieurs façons d obtenir des droites aléatoires, on peut par exemple en choisir deux points uniformément ou sélectionner un point uniformément et une direction isotrope. Toutes ces droites sont aléatoires et donc légitimes, mais aboutissent de par leur construction à des résultats différents. Cette difficulté est bien connue, et renvoie notamment au paradoxe de Bertrand : Traçons au hasard une corde dans un cercle. Quelle est la probabilité pour qu elle soit plus longue que le côté du triangle équilatéral inscrit dans ce cercle? La solution formulée par Poincaré réside simplement dans le choix des conditions expérimentales de tirage des cordes, car celles-ci conduisent à des événements différents. Donc si on revient à notre problème de droites aléatoires dans les milieux stochastiques, quelle définition retenir pour ces dernières? La réponse nous est donnée par la géométrie intégrale, une discipline peu enseignée et dont l utilité est pourtant évidente dans des domaines aussi variés que la stéréologie [6], l acoustique [7], l analyse d images [8], la physique des réacteurs [9, 10], l écologie [11] et plus généralement dans tous les domaines où des particules (neutrons, photons, électrons) se propagent en ligne droite. milieu liquide [5]. 27

28 Fig. 12 Détail de l empilement précédent, la trajectoire d un neutron consiste en une succession de segment dans le vide (trait plein) et dans les disques (trait hachuré). L approche de la géométrie intégrale peut être appliquée à de nombreux processus stochastiques en relation avec des problèmes géométriques, ce qui est précisément le cas de figure présent. Dans le plan, une droite M peut être déterminée par sa distance ρ à l origine et l angle θ que sa normale fait avec l axe des abscisses, comme c est indiqué sur la Fig. 13. L équation de la droite est donnée par, Fig. 13 Droite aléatoire dans R 2. x cos θ + y sin θ = ρ, (11) et il reste à définir une distribution adéquate pour ρ et θ. Selon la théorie des probabilités géométriques qui plus tard fera partie de la géométrie intégrale [12, 13, 14], les droites aléatoires sont choisies avec la densité uniforme, c est-à-dire dm = dρdθ (θ est 28

29 toujours tiré uniformément sur [0, 2π] tandis que ρ est choisi uniformément sur [0, δ] où δ est suffisamment grand pour englober la totalité du système). En géométrie intégrale, cette mesure est souvent considérée comme la plus naturelle car, à une constante près, c est la seule qui soit invariante sous le groupe des déplacements, c est-à-dire des rotations et des translations. L unicité de cette mesure 4 invariante sous le groupe des déplacements est un résultat essentiel car la connexion avec la physique des réacteurs vient précisément de ce point particulier. En effet, comme nous l établissons dans l article [15] l hypothèse d un flux isotrope en neutronique correspond à une distribution de trajectoires rectilignes pour les neutrons qui est invariante sous les rotations et les translations. Les résultats profonds de la géométrie intégrale peuvent donc être appliqués à la neutronique, moyennant certaines précautions liées à l uniformité du flux. Avant de poursuivre dans cette voie, puisque nous disposons de la définition rigoureuse de mesure uniforme de droites, nous pouvons maintenant donner celles précises des cordes (et de leur distribution) qui ont été mentionnées sans plus de détails auparavant. Parmi les cinq définitions de cordes mentionnées par Coleman [16], trois sont appropriées dans le cas présent et usuellement nommées, cordes µ, cordes ν et cordes λ. Toutes sont données pour un corps convexe, le cas non convexe (correspondant par exemple au vide sur la Fig. 12) sera défini à la fin de ce paragraphe. 1. corde de type µ : pour un corps convexe K dans R 2 (ou R n ) la distribution de cordes µ est définie par F µ (l) = P rob{l(m) l : M K }, mesurée avec la distribution uniforme dm dans le sens précédemment établi. f µ (l) = df µ (l)/dl est la fonction de distribution correspondante (chord length distribution function : CLD). Cette définition est parfois appelée IUR-chords (Isotropic Uniform Random Chords) car cet aspect aléatoire correspond au cas où le corps convexe est exposé à un champ uniforme et isotrope de lignes droites [17]. Etant donné l invariance par rotation de cette mesure, on peut aussi choisir une direction arbitraire fixe et faire tourner l objet uniformément sur [0; 2π]. 2. corde de type ν : une corde ν est définie par un point à l intérieur de K et une direction. Le point et la direction suivent une distribution uniforme indépendante. Dans de nombreux domaines de recherche sur les rayonnements le terme I-chord randomness ou Interior Radiator Randomness est employé. 3. corde de type λ : une corde λ correspond à la droite passant par deux points choisis uniformément et indépendamment à l intérieur du corps convexe. Ces trois possibilités dans le choix de la corde sont illustrées sur la Fig. 14. Le symbole ρ = (µ, ν, λ) labellise les différentes sortes de cordes. Mentionnons aussi les cordes générées par un point uniformément réparti dans K et un autre uniformément choisi sur K. Cependant, cette dernière possibilité nommée S-randomness (S pour surface) n ayant pas de relation connue avec les autres sortes de cordes a été moins étudiée. Enfin, il nous reste à définir la distribution de cordes dans le cas d objets non convexes pour lesquels une ambiguïté subsiste. En effet, dans ce dernier cas, une droite aléatoire peut couper plusieurs fois l objet à étudier et générer plusieurs cordes. Par conséquent, nous avons deux définitions possibles pour la distribution des cordes. Soit on choisit de considérer la somme des cordes comme étant la variable aléatoire (cette approche est développée dans le livre de Solomon [14]), soit on considère que chaque corde contribue pour elle-même à la distribution totale 4 On peut toujours fixer la constante précédente δ de sorte que la mesure des droites soit une mesure de probabilité 29

30 Fig. 14 distribution de cordes pour un corps convexe K : a) distribution de cordes µ définie au sens des probabilités géométriques ; b) distribution de cordes ν définie par un point uniforme P à l intérieur de K et une direction uniforme indépendante θ ; c) distribution de cordes λ définie par deux points P et Q uniformément répartis dans K. (comme indiquée sur la Fig.1 page 101). C est cette seconde approche qui est la plus pertinente pour caractériser les milieux stochastiques, de plus elle correspond comme c est établi dans l article [19] au cas naturel de diffusion à petits angles [20] où le concept de cordes a été utilisé avec succès. 9.4 Propriétés générales des cordes Les définitions données au paragraphe précédent pour les différentes distributions de cordes sont indépendantes de la dimension de l espace et restent valides dans R n. Elles sont reliées entre elles par les relations suivantes [21] : et, f µ (l) = <l µ > f ν (l), (12) l f µ (l) = <ln+1 µ > l n+1 f λ (l), (13) où <l µ > désigne la valeur moyenne de la distribution de cordes µ et <lµ m > le m eme moment de cette distribution. De plus, pour des corps convexes, la distribution f µ (l) satisfait les deux relations remarquables suivantes. La première est la formule de Cauchy <l µ >= (n 1) Γ [(n 1)/2] V (K) π Γ [n/2] S(K), (14) et la seconde concerne le moment (n + 1) de la corde (parfois appelée relation de Crofton), [ ] <lµ n+1 n(n + 1) n + 1 V (K) 2 >= π (n 1)/2 Γ 2 S(K), (15) où V (K) est le volume de K, S(K) sa surface et où Γ est la fonction gamma d Euler. On trouve une revue complète de ces résultats dans le livre de géométrie intégrale de Santaló [12]. En particulier ces grandeurs interviennent dans le calcul des probabilités de collisions en neutronique [10] et furent introduites dans ce domaine par Dirac [9] dès

31 Pour le cas bi et tri dimensionnels on retrouve en particulier les formules bien connues, <l µ > = π V <l µ > = 4 V S S 2 dimensions : <lµ 3 > = 3 V 2 3 dimensions : <lµ 4 > = 12 V 2 (16) S π S qui, du reste, sont régulièrement redécouvertes de différentes manières, voir par exemple Larsen [22] pour son approche simple et élégante. Néanmoins, c est le cadre de la géométrie intégrale qui permet d établir de manière rigoureuse ces résultats et de les étendre au cas de projections sur des plans comme nous l indiquons dans notre premier article consacré au sujet [15]. Par ailleurs, ce cadre mathématique bien établi permet de lever des confusions qui continuaient à perdurer en neutronique concernant le sens que l on attribue à la valeur moyenne des cordes [23, 24]. Cependant, si la littérature foisonne pour le cas d objets convexes, la situation non convexe -correspondant en particulier dans les empilements aléatoires au domaine hors des sphères- n est pas traitée. Bien souvent, la formule de Cauchy citée pour le cas convexe est appliquée sans plus de justification au cas non convexe [25], et seul un article de Gille mentionne une excursion dans le domaine non convexe en étudiant la distribution de cordes pour une sphère percée d un trou [26]. Cependant, même en approchant ce chercheur, avec qui j allais collaborer sur deux articles, aucune démonstration de la validité de la formule de Cauchy dans le cas non convexe n a été trouvée dans la littérature. C est pourquoi un premier travail a consisté à élaborer cette preuve. Etant nouveau dans le domaine, j ai volontairement choisi une approche pédagogique allant des cas particuliers les plus simples, corps avec un trou, deux trous, corps constitué par la réunion de deux corps convexes, avant d établir le résultat désiré pour des variétés compactes où les travaux de géométrie intégrale s avèrent alors essentiels. Ces résultats constituent l essentiel de l article écrit avec Benoît Roesslinger (à l époque au CEA) et Wilfried Gille toujours à l Université Martin Luther à Halle Wittenberg en Allemagne [27]. Pour résumer les résultats contenus dans ce chapitre, nous connaissons désormais une propriété statistique des cordes pour un domaine non convexe noté K, i.e. la valeur moyenne de celles-ci est donnée par l expression Eq.(14) où V (K) est le volume du domaine et S(K) sa surface totale c est-à-dire la somme de la surface extérieure et intérieure (si éventuellement le domaine possède des trous). Au passage, on notera que la formule de Crofton Eq.(15) concernant le moment d ordre n + 1 n est plus valide pour un domaine non convexe comme le montre un calcul direct sur une sphère creuse concentrique effectué dans l article [15]. 9.5 Propriétés des cordes pour les empilements aléatoires Dans ce paragraphe, on établit les propriétés concernant la distribution des cordes dans le domaine non convexe à l extérieur des sphères. En fait, si le modèle retenu était celui d un milieu constitué de sphères inter pénétrables, les résultats analytiques établis par Matheron dans son étude des milieux poreux seraient disponibles. Plus précisément, dans le cas d un schéma booléen à grains primaires convexes (pas nécessairement sphérique) la distribution de cordes (aussi appelé dans ce contexte granulométrie des traversées des pores) obéit à une loi exponentielle [28]. Ce résultat, formulé à l aide de considérations géométriques et probabilistes, est aussi établi dans le cadre de physique statistique dans le livre récent de Torquato [29]. 31

32 Le cas des sphères impénétrables est aussi traité par Torquato et ses collaborateurs qui obtiennent une loi sensiblement exponentielle pour la distribution de cordes (le résultat n est exact qu en 1 dimension). Mais il est important de noter que ce groupe travaille dans le cadre de la physique statistique et que leurs résultats sont obtenus pour des systèmes isotropes à l équilibre thermodynamique. Autrement dit, des moyennes statistiques sont effectuées sur l ensemble des configurations possibles, limité seulement par le principe de non recouvrement. Or, toutes nos configurations, qu elles soient obtenues par une déposition balistique ou d autres modèles (tels que absorption séquentielle aléatoire que nous expliciterons au chapitre suivant 9.6), correspondent clairement à des constructions irréversibles où les hypothèses de Torquato ne sont plus valides. Pourtant les travaux de Dixmier réalisés à Saclay à la fin des années 70, vont dans cette direction, puisque moyennant des hypothèses simplificatrices relatives à la densité moyenne des centres des sphères dans l empilement, ce chercheur avait établi que pour des empilements denses la distribution de cordes est sensiblement exponentielle (sans plus de précision) [51]. A ma connaissance un dernier résultat concerne le cas particulier bidimensionnel étudié rigoureusement par Ambartzumian. Il s agit d un modèle booléen de placement de disques dans un rectangle étroit et dont le résultat principal est encore une distribution de cordes exponentielles [30]. Tous ces résultats, à défaut d édifier une preuve que la distribution de cordes suit une loi exponentielle, constituent des arguments de plausibilité qui vont dans ce sens. Sous cette hypothèse, la distribution de cordes a la forme d une exponentielle, f(l) = 1 [ <l > exp l <l > ], (17) où < l > est la corde moyenne qui est précisément donnée par la formule de Cauchy Eq.(14). Dorénavant, sauf mention contraire, on ne considère que des cordes µ pour lesquelles on omet l indice grec qui est sous-entendu. En notant η le taux de remplissage du système, de l Eq.(14) on a immédiatement en dimension n, <l >= 1 η η ω n ω n 1 R, (18) où ω n est le volume n-dimensionnel de la sphère unité i.e. : ω n = π n/2 /Γ(1 + n/2), et R le rayon de la sphère, puis en réinjectant ce résultat dans l équation précédente, on obtient f(l) = η [ ω n η ω n R exp η 1 η ω n 1 ω n ] l, (19) R ce qui constitue le résultat approximatif (mais dans quelle mesure?) énoncé par Torquato [29]. En particulier, pour les cas familiers en deux et trois dimensions, on a [ 2η f(l) = π(1 η)r exp 2η ] l 2 dimensions π(1 η) R [ 3η f(l) = 4(1 η)r exp 3η ] (20) l 3 dimensions, 4(1 η) R et pour la corde moyenne, π(1 η)r <l > = 2η 4(1 η)r <l > = 3η 32 2 dimensions 3 dimensions. (21)

33 Ces résultats peuvent aisément se généraliser dans le cas où le rayon des sphères varie suivant une distribution de probabilité quelconque. Si le cas tridimensionnel se comprend assez facilement dans le cas dense : les sphères sont en contact donc la densité de petites cordes est élevée. De plus, d éventuels canaux existent et donc de grandes cordes, quoique rares, sont probables, il n en est pas de même dans le cas bidimensionnel mentionné au paragraphe 9.2. En effet, si l on observe en détail le cheminement des disques (voir Fig. 12), les interstices qu ils produisent sont nécessairement finis, par conséquent des cordes de longueurs infinies (dans la pratique de l ordre de 10 fois le diamètre d un disque) ne peuvent exister, contrairement à la loi précédente qui les prédit exponentiellement faibles. Par ailleurs, notre étude précise, en deux dimensions a montré que pour des empilements où les disques sont en contact, la distribution de cordes à petites distances possède une divergence universelle en 1/ l en totale contradiction avec la prédiction exponentielle [40]. Nous venons de le mentionner : un problème surgit pour des empilements de disques lorsque qu ils sont en contact (comme dans le cas de la déposition balistique). Pour mettre en exergue cette difficulté nous avons entrepris une étude fine de la distribution de cordes à petites distances en nous basant sur un argument géométrique dû à Pomeau [41]. Pour cela, on commence par considérer deux disques de même rayon R en contact comme indiquée sur la Fig. 15. Les cordes sont générées Fig. 15 Cordes à travers deux disques en contact : toutes les cordes plus petites que l sont supportées par des droites aléatoires qui passent entre les deux points P et Q. grâce à la mesure usuelle de droites aléatoires dm dans un disque, c est-à-dire celle invariante sous les rotations et les translations. On choisit, dm = dρ dθ 2R π avec ρ [ R, R] et θ [ π/2, π/2]. (22) Le problème consiste à compter rigoureusement les cordes obtenues à l aide de cette mesure. Les détails du calcul sont intégralement fournis dans notre article consacré au sujet [40]. Dans un premier temps, nous avons montré que la densité de cordes M(l) plus petites qu une corde l donnée est, M(l) = 2 πr Γ [ ] 5 4 Γ [ ] 7 l. (23) 4 33

34 A partir de ce résultat par une normalisation appropriée, on peut soit obtenir la distribution de cordes à petites distances pour un système constitué de deux disques isolés (ce qui est fait dans l appendice A de l article précédemment cité) ou alors on considère un ensemble de disques en contact caractérisé par un nombre moyen de points de contact valant n c. Dans ce dernier cas, nous avons établi que la distribution de cordes à petites distance f(l) est rigoureusement égale à, Γ [ ] 5 n c f(l) = 4 πr 4 Γ [ 7 4 ] 1 l. (24) Cette fonction de distribution ne dépend donc d aucune hypothèse concernant l arrangement de l empilement, qu il soit régulier ou non. En d autres termes, cette divergence est universelle. Ce résultat a été étendu pour des systèmes de disques ayant différents rayons et conforté par nos simulations de Monte Carlo, toutes en parfait accord avec les prédictions théoriques [40]. Récemment, nous avons poussé cette étude bidimensionnelle aux cas de deux objets rigides quelconques en contact par un point, ce qui inclu les trois sortes de contact possible spécifiées sur la Fig. 16. Fig. 16 Différents types de contact ponctuel pour des objets rigides. cas (1) : Les deux corps ont un rayon de courbure positive au point de contact, cette situation correspond à celle que nous venons de traiter (localement cas de deux disques en contact). cas (2) : Un des corps a un rayon de courbure positive au point de contact et le deuxième un rayon de courbure négative. Dans ce cas au moins un des deux objets a une forme non convexe. cas (3) : Des angles sont formés au point de contact, ce dernier cas ne peut pas être dérivé des cas précédents et requiert son propre traitement. On commence par examiner le deuxième cas. En adoptant la mesure usuelle de droites dm = dρdθ invariante sous les rotations et les translations, on peut choisir sans perte de généralité de placer le centre des coordonnées au centre du cercle R 1, comme indiqué sur la Fig. 17. Pour une petite distance l fixée et un angle θ, les cordes plus petites que l sont générées par les droites en coordonnées polaires (ρ, θ), où h 1 ρ h 2, h 1 et h 2 étant les deux distances telles que la longueur de la corde obtenue soit l comme montré sur la figure précédente. De cette figure, en utilisant la notation h = P Q = h 2 h 1, on obtient, { R 2 1 = h ω1 2 R1 2 = h ω2 2 (25) 34

35 Fig. 17 Cordes à travers deux corps en contact : toutes les cordes plus petites que l sont supportées par les droites aléatoires qui passent entre P et Q (h 1 = OP et h 2 = OQ ). et { R 2 2 = [(R 2 R 1 ) cos θ h 2 + h] 2 + [(R 2 R 1 ) sin θ ω 1 + l] 2 R 2 2 = [(R 2 R 1 ) cos θ h 2 ] 2 + [(R 2 R 1 ) sin θ ω 2 + l] 2 (26) Ensuite, en combinant ces équations, on aboutit à, l = (R 2 R 1 ) sin θ + R 2 2 ((R 2 R 1 ) cos θ h 2 ) 2 R 2 1 h2 1. (27) Après un peu d algèbre, l Eq.(27) peut éventuellement être réécrite sous la forme d une équation du second degré dont les solutions, h 1 et h 2, peuvent être facilement obtenues. Cependant, ces solutions exactes et compliquées ont peu d intérêt puisque l on regarde seulement les petites cordes. Dans cette limite, on a, h = 2 R1 R 2 2 sin θ 3 2 l + O(l 5/2 ). (28) R 2 R 1 Puis, dans le but d obtenir la mesure M(l; R 1, R 2 ) des droites générant des cordes plus petites que l on doit intégrer l équation précédente suivant θ, ce qui donne, π 2 M(l; R 1, R 2 ) = h dθ = 2 2π Γ [ ] 5 4 Γ [ R1 R ] 2 7 l. (29) R 4 2 R 1 π 2 Cette dernière formule est similaire à celle obtenue pour des disques en contact avec des rayons différents (Eq.(11) de la Ref. [40]). En fait, les deux cas (1) et (2) peuvent se résumer par, M(l; R 1, R 2 ) = π 2 π 2 h dθ = 2 2π Γ [ ] 5 4] Γ [ R 1 R 2 7 R R 1 l, (30) 35

36 où R 1 et R 2 sont les rayons de courbures algébriques au point de contact. Reste alors à traiter le cas (3) où des angles sont formés au point de contact. Dans ce dernier cas, la distribution de cordes peut être déduite de celle d un secteur angulaire. En effet, la distribution de cordes du cas (3) est la moyenne des distributions de cordes des deux secteurs angulaires α et β de la Fig.16. On considère alors un secteur angulaire α, L étant la longueur des segments comme c est précisé sur la Fig.18. La mesure des droites aléatoires est à nouveau dm = dρ dθ restreinte pour Fig. 18 Cordes pour un secteur angulaire α. des raisons de symétries à θ [α/2, π/2] (pas de cordes pour θ > π/2). ρ et la corde l sont reliés par la relation (voir Fig.18), l = ρ [tan θ tan(θ α)]. (31) Pour une corde de faible longueur l la mesure mes[l 0 l] des cordes plus petites que l est donnée par, mes[l 0 l] = π 2 α 2 dθ l 0 π 2 l dρ = dθ α tan θ tan(θ α) 2 = 1 (32) 4 [1 + (π α) cot α] l. Ensuite, afin d avoir une densité de probabilité, on doit diviser la précédente mesure par la probabilité d avoir une corde sachant que la droite aléatoire coupe au moins un des deux segments du secteur angulaire. Cette dernière quantité peut s obtenir par un calcul direct, il est cependant plus aisé de la calculer en considérant les deux segments du secteur angulaire comme des morceaux séparés (les deux segments sont en contact en un point qui est de mesure nulle et ce dernier peut par conséquent être ignoré). De [56] on obtient immédiatement la probabilité désirée, P = L 1 + L 2 L 12 L 1, (33) où L 1 et L 2 sont les longueurs des deux segments (dans notre cas c est simplement L) et L 12 est le périmètre de l enveloppe convexe formée par les deux segments. De la Fig.18) on obtient L 12 = 2L + 2L 2 (1 cos α) et en reportant cette expression dans l Eq.(33) on a donc, ( α ) P = 1 sin. (34) 2 36

37 Par conséquent, 1 + (π α) cot α Prob[l 0 l] = 4 [ 1 sin ( )] α l, (35) 2 et la densité de probabilité pour les cordes d un secteur angulaire α vaut, f(l) = dprob[l 0 l] dl 1 + (π α) cot α = 4 [ 1 sin ( )] α, (36) 2 qui est donc constante et ne dépend que de l angle α. Afin d achever cette étude qui nous sera utile lors de l examen de milieux stochastiques markoviens, nous pouvons conclure que pour des objets bidimensionnels en contact en un point, la distribution des petites cordes est soit constante (dans le cas spécial où le contact forme un angle), soit a une divergence proportionnelle à 1/ l. Pour revenir au cas des disques, apparemment nous avons donc deux résultats contradictoires ; d un côté les recherches théoriques du groupe de Torquato à Princeton aboutissent à une distribution de cordes exponentielle en toutes dimensions et de l autre nous avons démontré que, pour des empilements de disques en contact, la distribution des cordes à petites distances diverge exactement en 1/ l. Cependant, il faut se souvenir que les résultats du groupe de Torquato sont obtenus pour des systèmes à l équilibre thermodynamique sans contrainte (mis à part l hypothèse de non recouvrement). Dans les arrangements réguliers ou aléatoires de disques en contact, la construction est purement géométrique, autrement dit la configuration est gelée et nous ne sommes plus dans le cas où les résultats de Torquato sont applicables. Par conséquent, il n y a finalement pas de désaccord entre ces deux résultats, ceux-ci s appliquant pour des systèmes ayant des propriétés d équilibre radicalement différentes. En revanche, le plus surprenant vient de la dimension trois (celle qui nous intéresse pour les réacteurs à boulets) car dans tous les cas, que ce soit pour des systèmes à l équilibre thermodynamique ou pour ceux clairement irréversibles comme la déposition balistique (qui de surcroît est anisotrope à cause de la gravité), la distribution de cordes suit une loi exponentielle. Ceci nous avait conduit en 2004 à postuler qu une distribution exponentielle de cordes était la signature d un empilement aléatoire de sphères. Par ailleurs, pour des empilements aléatoires, l absence de divergence à petites cordes dans le cas tridimensionnel avait déjà été établi dans un article de Oger et al. [42]. 9.6 Simulations de Monte Carlo En deux dimensions, la génération de droites aléatoires dans le plan se fait directement selon le principe indiqué au paragraphe 9.3, c est-à-dire à partir de l équation Eq.(11). Les intersections avec les différents disques se calculent aisément et la collecte des cordes s effectue dans la foulée. En trois dimensions, on doit disposer du même outil, à savoir : générer une mesure de droites qui soit invariante sous les rotations et les translations. Si ce principe est bien établi théoriquement, sa mise en œuvre pour des simulations de Monte Carlo est à ma connaissance rarissime. En fait seul l article de Borak [31] mentionne une méthode rigoureuse basée sur un théorème de Coleman [16] et impliquant une grande sphère englobant le système. Cette méthode quoique bien fondée a l inconvénient de générer beaucoup de droites n interceptant pas le système et la statistique obtenue est médiocre. Nous avons donc cherché à aborder ce problème d une manière originale et c est en puisant dans le livre déjà cité d Ambartzumian [30] au chapitre 3.3 que la solution est apparue. 37

38 Nous la résumons ci-après, celle-ci étant détaillée dans notre article concernant les simulations de Monte Carlo relatives à la distribution de cordes [32]. La construction est la suivante : pour une droite aléatoire, on commence par choisir une direction Ω à l aide des deux angles polaire θ et azimutal φ usuels en coordonnées sphérique, puis on considère le plan P Ω orthogonal à cette direction et tangent à la demi hémisphère définie par 0 θ π/2 et 0 φ 2π. On peut alors construire la densité uniforme [30] dm = dω ds, (37) où ds représente un élément d aire sur P Ω. On note O Ω le point de tangence entre l hémisphère unité et P Ω que nous munissons du système de coordonnées naturelles (O Ω, e θ, e φ ), où e θ et e φ sont les vecteurs usuels de base du système de coordonnées sphériques (e θ = dr dθ / dr dθ et eφ = dr dφ / dr dφ ). De plus, on écrit x θ et x φ pour les coordonnées selon e θ et e φ respectivement et correspondant au point d intersection entre la droite M et le plan P Ω. En posant µ = cos θ, on obtient, dm = dµ dφ dx θ dx φ. (38) A partir de cette densité invariante sous les rotations et les translations on procède en tirant uniformément µ sur [0, 1], φ sur [0, 2π], et (x θ, x φ ) suivant une fenêtre suffisamment large pour englober l objet tridimensionnel -dans le cas présent une collection de sphères- de façon à ce que ce dernier soit entièrement balayé par les droites aléatoires (un exemple de construction est donné sur la Fig. 19). Cette procédure Fig. 19 Droite aléatoire dans R 3. peut être considérée comme un exemple de génération par la méthode de Monte Carlo d objets (ici des droites) dans des espaces non-triviaux (l approche plus formelle a été récemment abordée par Vlasov [33]). En vue de valider nos études, cette méthode a été testée sur des cas simples (convexes et non convexes) pour lesquels la distribution de cordes est connue analytiquement. Ces résultats sont présentés dans l article [32] et les simulations de Monte Carlo sont en parfaite adéquation avec les prédictions théoriques. En outre, ces simulations sont très rapides puisque la génération d un million de droites aléatoires ne prend que quelques secondes sur un PC standard (pentium IV). 38

39 En plus du modèle de déposition balistique présenté au chapitre 9.2, deux autres modèles ont servi de support pour tester l hypothèse d une distribution exponentielle des cordes, il s agit respectivement du modèle de déposition séquentielle aléatoire (Random Sequential Addition RSA) et d un algorithme dynamique élaboré par Jodrey et Tory, ces deux procédures sont détaillées ci-après : 1. déposition séquentielle aléatoire. Dans ce modèle les sphères dures sont ajoutées une à une aléatoirement dans une boîte cubique avec comme restriction que la sphère test ne recouvre pas celles déjà en place. La Ref. [34] offre un rapport complet sur l empilement des sphères avec cet algorithme. Ce processus conduit à des empaquetages isotropes peu denses avec un taux de remplissage maximal de l ordre de η 0.38 [35] en trois dimensions et de l ordre de η [36] en deux dimensions. 2. Algorithme dynamique. Nous avons utilisé l algorithme basé sur les idées Jodrey et Tory, développé par Bargiel et Moscinski [37] et disponible à l adresse : http : //cpc.cs.qub.ac.uk/ (code ABZF v 1 0 ) où des points sont générés aléatoirement dans une boîte avec des conditions périodiques. Chaque point est le centre d une sphère intérieure de rayon R min et d une sphère extérieure de rayon R max. L algorithme trouve alors la paire de points des centres de sphères les plus proches pour lesquels la séparation est 2 R min et éloigne ces points selon la ligne des centres jusqu à une distance maximale de 2 R max. L algorithme élimine les recouvrements tout en réduisant doucement R max et ce processus se réitère jusqu à ce que les deux distances coïncident. Un tel algorithme produit des empilements aléatoires denses avec un taux de remplissage maximal de l ordre de η Des simulations de Monte Carlo ont été effectuées pour les deux sortes d empilements que nous venons de décrire ainsi que pour celui construit par déposition balistique évoqué au chapitre 9.2. Les détails de ces simulations sont présentés dans l article [32] où nous nous sommes attachés, dans un premier temps, aux distributions de cordes issues des deux algorithmes conduisant à des empilements denses (déposition balistique et algorithme dynamique de Jodrey-Tory). D après l Eq.(20) la loi exponentielle pour les distributions de cordes ne dépend que du taux de remplissage, donc un même taux doit conduire aux mêmes résultats indépendamment de l algorithme choisi, impliquant une sorte d universalité pour les distributions de cordes dans les empilements aléatoires. Mis à part certains détails à petites cordes facilement explicables, la figure Fig. 20 tirée de [32] montre effectivement que les deux algorithmes avec le même taux de remplissage ont des distributions de cordes similaires (ici η = 0.58 correspond au taux de remplissage obtenu par déposition balistique. Ce taux est légèrement en dessous de celui relevé dans les réacteurs à boulets qui se situe plutôt autour de 0.61). La sous-estimation des petites cordes est dans les deux cas une pathologie inhérente aux algorithmes. En effet, pour l algorithme dynamique, par construction, seules deux sphères sont en contact dans la position finale, tandis que pour la déposition balistique une sphère roule sur une autre jusqu à entrer en contact avec une seconde, puis cette sphère roule en arrière d un petit angle afin d assurer qu il n y ait pas de recouvrement. Stricto sensu, les sphères ne sont donc pas rigoureusement en contact ce qui explique la chute de densité dans la distribution à l origine. En revanche, dans les deux cas la corde moyenne converge vers la valeur prédite par la relation de Cauchy Eq.(21). Pour plus de précision, on se reportera à nouveau à l article [32]. 39

40 Fig. 20 Distributions de cordes pour deux empilements denses. Le premier provenant d un algorithme de déposition balistique et le second construit avec l algorithme dynamique de Jodrey et Tory. Les deux empilements ont le même taux de remplissage égal à 0.58 Au vu des ces résultats, on serait tenté de croire qu une distribution de cordes exponentielle se retrouve dans tous les empilements, même ceux qui sont réguliers. C est pourquoi nous avons effectué des simulations de Monte Carlo de la distribution de cordes pour deux arrangements réguliers : un cubique simple dont le taux de remplissage vaut η = π/ et un cubique face centrée ayant un taux de remplissage η = π/ correspondant au taux de remplissage le maximal pour des sphères. Les résultats des simulations de Monte Carlo sont présentés sur la Fig. 21. Contrairement aux cas des empilements aléatoires la distribution de cordes à travers un arrangement régulier a un comportement complexe avec une série de pics qui existent même pour des grandes cordes. Nous avons aussi étudié en détail la distribution de cordes dans le modèle RSA. Aboutissant à des milieux stochastiques peu denses, ce modèle présente cependant le double avantage d une mise en œuvre très aisée en deux et trois dimensions et permet d étendre facilement l étude au cas où les rayons des objets suivent une distribution aléatoire. Par ailleurs ce modèle, pour des milieux dilués, a servi de support à de récentes études concernant le transport dans des milieux stochastiques binaires utilisant les propriétés statistiques des cordes dans un tel milieu plutôt qu une simulation de Monte Carlo complète [38]. Toujours pour ce même type de milieux dilués, le très récent article d Olson et al. [39] explore la possibilité de construire un milieu stochastique binaire strictement markovien i.e. avec des cordes distribuées exponentiellement, basé sur le modèle RSA. Quant à nos résultats pour le cas RSA (présentés dans [32]), mis à part le défaut de cordes à petites distances propres à un modèle où les objets ne sont pas en contact, ils montrent encore que la distribution de cordes est exponentielle dans tous les cas de figures, c est-à-dire, pour différents taux de remplissage ainsi que pour des distributions aléatoires des rayons des disques. Donc jusqu à présent, l hypothèse d une loi exponentielle pour la distribution des cordes n a jamais été mise en défaut par les différentes simulations de Monte Carlo. 40

41 2 1.5 face centered cubic cubic simple p(l) l Fig. 21 Distribution de cordes à travers deux empilements réguliers de sphères : cubique simple et cubique face centrée. 9.7 Le modèle de déposition balistique généralisée Jusqu à présent les schémas utilisés pour aboutir à des empilements aléatoires, à savoir, l algorithme dynamique, la déposition balistique et la déposition séquentielle aléatoire, sont des modèles bien établis dans la littérature. Ce chapitre présente un travail dont le but était de construire des milieux aléatoires (à bases de disques ou de sphères) en disposant d un paramètre contrôlant le désordre du système. Pour cela j ai commencé par étudier le problème bidimensionnel plus simple qui consiste à mettre en cage un disque, l application aux empilements localement aléatoires de disques sera ensuite discutée. Le concept de mettre un disque en cage, qui a des applications variées [43, 44], est le suivant : On dit qu un disque est en cage si les contraintes sont placées de telle sorte que le disque ne puisse plus bouger dans aucune direction. Ce problème a été résolu récemment lorsque les points de contacts sur la surface sont choisis de manière aléatoire et sans corrélation [45]. Ce cas est donc plus simple que celui de notre étude où le disque test est stoppé par d autres disques de même rayons (comme c est le cas dans des empilements aléatoires de disques en contact) avec la contrainte supplémentaire de n avoir aucun recouvrement. De plus, nous devons définir la manière dont sont acheminés ces disques au contact du disque test. Cette opération sera réalisée en utilisant un modèle de déposition balistique généralisée qui est décrit ci-après. Ce modèle a été originellement introduit par Viot et al. [46] pour décrire l absorption de grosses molécules sur une surface solide. A une dimension, un disque est déposé uniformément et séquentiellement sur une ligne. Si la particule n a pas de recouvrement avec les disques déjà en place, elle est fixée sur la surface avec une probabilité p, sinon, elle est rejetée. Si la particule est au-dessus d un disque déjà absorbé, elle roule sur ce disque exactement comme dans le cas de la déposition balistique décrite au paragraphe 9.2. Si le disque trouve une région vacante sur la ligne, il est gardé avec une probabilité p, sinon il est rejeté. Le rapport a de ces deux probabilités, a = p /p, (39) est un paramètre qui varie entre zéro et l infini. Le cas a = 0 correspond à celui de la déposition séquentielle aléatoire, tandis que le cas a = 1 correspond à une pure 41

42 déposition balistique. Le cas 0 < a < 1 décrit le mélange entre les deux modèles, et la limite a, autorisant seulement les dépositions par roulement, génère une configuration ordonnée dense. Le paramètre a est donc une mesure de la taille des clusters. Dans notre modèle, on considère un disque central, les autres disques sont alors amenés vers ce disque central avec une probabilité uniforme suivant une orientation par rapport à un axe, puis retenus selon le processus de déposition balistique généralisée. Il s agit alors de calculer la probabilité P3 s (a) d avoir des clusters stables formés à partir de trois disques (probabilité d avoir un disque en cage). Techniquement il est plus facile d obtenir la probabilité de l événement contraire, P3 u(a) = 1 P 3 s (a), d avoir des clusters instables formés à partir de trois disques. Ce problème est résolu dans l article [47] où sont détaillés les calculs qui aboutissent à, P3 u (a) = 1 [ (1 + a) 2a 2 + a 3 + 2a a ( )] 3 + 2a + 2 2(2 + a) log. (40) 4(1 + 2a) 2 + 2a En particulier, P3 u (0) = 9 ( ) log P3 u (1) = 193 ( ) log lim P u a 3 (a) = 1 Déposition Séquentielle Aléatoire Déposition Balistique Formation de Clusters On retrouve ainsi les résultats d Uhler et Schilling [48] concernant la déposition séquentielle aléatoire pour a = 0. D autres quantités importantes comme le nombre de coordination moyen < n c (a) > (nombre de points de contacts) ont été calculées et sont présentées dans l article consacré au sujet [47]. Un second point concerne les configurations bloquées (parked configurations) où l on amène au contact du disque central des disques jusqu à saturation. Cette situation correspond au problème du stationnement des voitures largement étudié depuis les travaux originaux de Rényi [49]. Le problème se résout comme celui initial qui consistait à mettre en cage un disque. Tout d abord on remarque que les clusters contenant 3 disques (ou moins) n existent plus durant le processus de saturation. Par conséquent, on doit calculer les probabilités P i (a) d avoir des clusters de taille i pour i = 4, 5, 6. Ces probabilités satisfont une condition de normalisation, (41) P 4 (a) + P 5 (a) + P 6 (a) = 1. (42) On commence alors par calculer P 6 (a) en remarquant que la formation de clusters à 6 disques ne peut provenir que d un pur processus de déposition balistique et s obtient donc facilement. Les calculs pour P 4 (a) sont plus laborieux et sont reportés dans [47], puis P 5 (a) s obtient grâce à la condition de normalisation Eq.(42). Ces calculs ayant été achevés, on retourne à notre idée initiale qui consiste à construire des empilements aléatoires tout en contrôlant, grâce au paramètre a, le degré de désordre. L argument heuristique que nous avançons, suppose qu un empilement aléatoire infini peut être construit selon le schéma de déposition balistique généralisée. Tout d abord, en se basant sur des arguments purement géométriques, Bideau et al. ont montré que la limite maximale pour le nombre de coordination moyen valait 4. Par conséquent, la solution de l équation, < n c (a) >= 3 + P u 3 (a) + P u 4 (a) = 4, (43) 42

43 qui correspond à a 2.43, est la plus grande valeur de a pouvant générer un empilement aléatoire. Au-delà de a > 2.43 des structures ordonnées vont apparaître avec le modèle de déposition balistique généralisée. Une comparaison avec des résultats peut cependant être faite grâce aux données expérimentales obtenues par Quickenden et Tan [50]. En effet, ces auteurs obtiennent des configurations aléatoires de disques par des contractions isotropes du système de coordonnées (un film en caoutchouc étiré) sur lequel un ensemble dilué de disques a été placé. Ce processus est répété plusieurs fois, jusqu à atteindre le taux de remplissage désiré. Une photographie est ensuite prise et le nombre de coordination pour chaque disque estimé avec une erreur de 3.5%. Les résultats de Quickenden et Tan sont reproduits dans la Table 1. Nos résultats obtenus dans l article [47] à partir des expressions des Pi u (a) pour une Tab. 1 Comparaison avec les résultats expérimentaux P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 résultats expérimentaux Ref.[50] travail actuel (a = 11.4) Ref.[47] valeur de a égale à 11.4 sont en bon accord avec ceux de Quickenden et Tan pour un taux de remplissage de 0.891, ce qui offre une approche prometteuse dans le domaine des empilements denses. 9.8 Autres descripteurs pour caractériser les empilements aléatoires Ce chapitre concerne l exploration d autres descripteurs pour décrire des milieux stochastiques binaires et en particulier les empilements aléatoires de sphères. Les recherches ici présentées trouvent leurs origines dans un article de Dixmier concernant une nouvelle description des empilements aléatoires [51]. L auteur de ce papier très riche introduit pour ses propres besoins les notions de cordes et de rayons (que nous allons définir) indépendamment des travaux réalisés en géométrie intégrale. Cependant, afin de garder la cohérence avec les chapitres précédents, nous replaçons ses idées dans le cadre des probabilités géométriques et de la géométrie intégrale, puis nous introduirons nos propres outils, toujours en suivant cette approche. En 1978 Dixmier défini la notion de rayon (noté r) pour un corps convexe K (de volume V et de surface S) dans R n comme étant la distance d un point à l intérieur de K jusqu à la frontière K de K (pour une direction donnée), et introduit ensuite la fonction de répartition pour de tels rayons. Il considère aussi l ensemble de lignes qui intercepte K mesuré avec la densité uniforme M dans le sens des probabilités géométriques (formellement ce sont les cordes µ). Soit donc P (l) = P r{l(m) l : M K } la fonction de répartition de l (la longueur des cordes µ) et G(r) = P r{ P 1 P 2 r : P 1 K, P 2 K} la fonction de répartition des rayons. Les densités de probabilités correspondantes sont f(l) = dp (l)/dl et g(r) = dg(r)/dr. Dixmier, en remarquant que les rayons sont supportés par les cordes plus grandes que r, a établi un premier résultat, g(r) = 1 δ f(l)dl, (44) <l > r 43

44 où δ = max(l) et où < l > est la corde moyenne donnée par la formule de Cauchy Eq.(14). A ce stade, on pourrait être tenté de définir autrement, et de manière plus naturelle, les rayons en choisissant uniformément un point à l intérieur de K puis une direction elle aussi tirée uniformément. Avec les notations du chapitre 9.3 on aboutirait ainsi à des rayons de types ν. Cependant dans l appendice A de l article [52] nous avons démontré que ces deux distributions ν et µ, bienque différentes dans le cas des cordes, étaient identiques pour les rayons. Par conséquent, on omettra par la suite cet indice pour les rayons. A partir de l équation précédente et après un peu d algèbre Dixmier formule les principaux résultats concernant les propriétés des rayons, en particulier, < r m 1 >= < lm > m < l > pour m 2. (45) où < l m >= 0 l m f(l)dl est le m eme moment de l et < r m >= 0 r m g(r)dr celui de r. En injectant les Eqs.(14) et (15) dans l équation précédente, on obtient immédiatement la relation remarquable valable dans un espace à n dimensions, < r n >= n [ n ] 2π n/2 Γ V, (46) 2 indiquant que le n eme moment de la distributions de rayons ne dépend que du volume du domaine. En particulier, en trois dimensions nous avons, < r 3 >= 3 V. (47) 4π Une application immédiate de cette formule concerne le Monte Carlo puisque l on peut choisir < r 3 >, une grandeur facile à évaluer, comme estimateur pour les calculs de volumes. Nous reviendrons au chapitre 9.9 sur ces résultats que nous généraliserons en étudiant les marches aléatoires purement diffusives. En suivant l approche de Dixmier, nous avons défini la fonction de répartition S(z) pour un segment le longueur z d être entièrement contenu dans K. Des exemples de ces descripteurs (cordes, segments et rayons) à l extérieur de disques dans un empilement aléatoire sont montrés sur la Fig. 22. Cette idée généralise le problème de l aiguille de Buffon où les lignes parallèles équidistantes sont remplacées par un corps convexe quelconque. On notera que cette définition s étend sans ambiguïté au cas non convexe. Formellement on a S(z) = P r{s(m) z : M K, S K}, et s(z) = ds(z)/dz la densité de probabilité associée. En remarquant qu un segment de longueur z a pour support une corde de longueur plus grande que z, la densité de probabilité conditionnelle s écrit, Θ(y z)(y z)f(y)dy y δ s(z) =, (48) dz Θ(y z)(y z)f(y)dy z δ y δ où Θ(x) est la fonction saut de Heaviside. Dans l article consacré à ce sujet [53] les propriétés de cette grandeur sont établies. En outre, nous avons trouvé que la distribution de segments était reliée à celle des cordes via, s(z) = 2 < l 2 > δ z 44 (y z)f(y)dy, (49)

45 Fig. 22 Les principaux descripteurs, cordes, rayons et segments sont indiqués dans le vide à l extérieur des disques. et que les moments de s(z) satisfaisaient, avec les notations standard, < z n 1 >= 2 V 2 S Γ[ n+1 2 ] π n < l 2 >. (50) Cependant, le second moment de la corde < l 2 > n a pas de relation remarquable, et cette dernière identité Eq.(50) requiert un calcul explicite pour chaque objet étudié. Bien que moins féconde que la distribution de cordes, nous avons néanmoins poussé l étude de la distribution de segments, en établissant son expression analytique pour divers objets simples (sphères n-dimensionnelle, hémisphère, carré, cube) avant d appliquer ce concept aux milieux aléatoires. En particulier, nous avons montré que pour des empilements aléatoires de sphères où la distribution de cordes dans le vide suit une loi exponentielle, s(z) suit la même loi. De plus, le lien avec la mesure statistique L i (z) introduite par Lu et Torquato[54] et définie pour des milieux isotropes comme étant la probabilité pour qu un segment de longueur z soit entièrement contenu dans la phase i lorsque ce dernier est jeté aléatoirement dans le système, est établi. Plus précisément, L i (z) = η i < l 2 i > 2 < l i > si (z), (51) où l indice i se réfère à la phase i = 1, 2 (η 2 le taux de remplissage et η 1 = 1 η 2 celui du vide). Enfin, dans le cas convexe, en nous basant sur des travaux de Piefke [55], nous avons établi la connexion entre la distribution de segments et celle largement étudiée en géométrie probabiliste de distance à l intérieur d un objet [56] et définie comme étant la distance P 1 P 2 entre deux points aléatoires P 1 et P 2 dans K par T (z) = P r{ P 1 P 2 r : P 1, P 2 K}. Dans l appendice de l article [53] nous avons finalement montré que ces techniques, issues de la géométrie probabiliste, se révélaient être un puissant outil pour calculer des quantités physiques qui autrement sont inabordables. On peut aussi mentionner l approche indépendante et purement mathématique de 45

46 la distribution des rayons des articles de Enns et Ehlers [58] ainsi que les bornes concernant le rayon moyen fournies par Dubi [59], 2V S < r > S2 8πV. (52) Nous avons récemment amélioré ces bornes en utilisant les résultats d un autre outil de géométrie intégrale : l intégrale des puissances de la corde (chord power integral) dont il est largement question dans le livre de De-Lin [74] et que nous avions déjà mentionné dans notre article [15]. Nous reproduisons ci-après le résultat pour la dimension 3 (Eq.(18) avec m = 2 de la Ref.[57]), la généralisation à des dimensions arbitraires se trouvant dans l article précédemment cité [57], < r > 3 8 ( 6V π ) 1/3. (53) Par exemple pour une sphère de rayon R, les inégalités de Dubi conduisent à < r > 3 2 R contre < r > 3 4R grâce à la relation Eq.(53). Le gain est encore accentué dans le cas d un cube de côté a, l inégalité de Dubi conduisant à < r > 9 2π a 1, 43a tandis que celle de l Eq.(53) fournie, < r > 3 ( 6 ) 1/3 8 π a 0, 46a, ce qui montre à nouveau l apport qu offre la géométrie intégrale dans nos domaines d études. 9.9 Marches aléatoires dans les milieux bornés Introduction Les études présentées dans ce chapitre ont été entreprises suite à la publication en 2003 d un article par Blanco et Fournier [60] concernant une propriété remarquable des marches aléatoires purement diffusives dans un domaine borné. Dans cet article, les auteurs considèrent des milieux non homogènes et généralisent la notion de marches aléatoires de Pearson qui consistent, pour des milieux homogènes, en une somme de n vecteurs aléatoires ayant tous la même densité de probabilité. De telles marches aléatoires interviennent dans de nombreux domaines suivant la loi considérée. Par exemple, des vols isotropes de longueurs fixes ont des applications pour les chaînes de polymères en trois dimensions [61], une loi exponentielle en 1/λ exp( r/λ) a des applications concernant la diffusion des neutrons [10]. En deux dimensions, ce dernier exemple concerne aussi les problèmes de locomotion bidimensionnelle d insectes et touche donc aussi la biologie [62]. Cependant, si l expression analytique pour la densité de probabilité du vecteur total a été établie dans des domaines non bornés [63] (en neutronique ces résultats sont bien connus et font intervenir l aire de migration des neutrons, voir par exemple [65]), très peu de travaux ont été entrepris dans le cas des domaines finis. Cela peut se comprendre assez facilement, les domaines avec des frontières introduisant des difficultés supplémentaires lorsque la marche (ou la particule) s échappe du domaine. En fait, par leur résultat surprenant concernant la valeur moyenne de la marche aléatoire à travers le domaine, Blanco et Fournier ont commencé à remédier à cette situation [60]. Ces deux auteurs considèrent des trajectoires qui entrent par la surface du domaine avec des conditions d incidence isotrope et uniforme, et ressortent par la surface. Alors, pour des systèmes purement diffusifs, la longueur moyenne des trajectoires à travers le domaine ne dépend pas des caractéristiques de la diffusion, mais seulement de géométrie du système. Cette longueur moyenne des trajectoires avec déflexion (ligne brisée) est égale à la valeur moyenne des cordes (ligne droite) et est précisément 46

47 donnée par la formule de Cauchy Eq.(14). Ce résultat étonnant a eu un impact certain sur la communauté scientifique comme l atteste le nombre croissant de publications récentes sur le sujet. Pourtant il convient de noter qu aux débuts des années 80, le même résultat avait été découvert par Bardsley et Dubi [64] et publié dans une revue de mathématiques appliquées sans susciter, peut être par manque de visibilité, le moindre intérêt. Dans les deux articles, la démonstration de cette invariance s appuie sur l équation de Boltzmann linéaire monocinétique Marches aléatoires uniformes De mon côté, j ai tout d abord cherché à m affranchir de cette contrainte liée à l équation de Boltzmann, le phénomène étudié étant purement mathématique, une démonstration de cette propriété ne doit pas faire appel à des concepts issus de la neutronique. C est pourquoi, dans un premier temps, j ai étudié les marches aléatoires dans les domaines bornés qui m apparaissaient comme étant les plus simples (et d intérêt), à savoir, celles ayant des chocs isotropes et une loi uniforme pour les sauts dans une hyper sphère de rayon δ = max(chord) [52]. Cette dernière hypothèse était nécessaire pour appliquer les théorèmes de géométrie intégrale où l uniformité est un pré requis. La marche aléatoire considérée se construit de la manière suivante : on sélectionne un point uniformément réparti dans un corps convexe K dans R n puis celui-ci se déplace uniformément dans l hyper sphère de rayon centrée sur ce point. Si la particule est dans K le prochain point est choisi de nouveau suivant la même loi uniforme. Le processus s arrête lorsque la particule franchit la frontière pour la première fois. On note P la probabilité que la particule reste dans K après une collision (P = 1 P est la probabilité pour qu une particule s échappe du domaine après une collision), P est donnée par, P = V (K) V (B n ( )), (54) où V (B n ( )) est le volume n-dimensionnel d une sphère de rayon, qui vaut, V (B n ( )) = 2πn/2 nγ [n/2] n. (55) En exploitant des ressources de géométrie intégrale dans [52] nous avons finalement obtenu l expression exacte < L > de la valeur moyenne de la trajectoire, < L >= 1 P < lµ 2 ( ) > P 2 < l µ > + n P < lµ n+1 > 1 < l n+2 µ > P n < l µ > n + 2, (56) qui s exprime donc en fonction des divers moments de la corde uniquement. Ayant pour but l études des trajectoires entrantes et sortantes par la frontière du domaine, il s agissait alors d étendre le résultat précédent en considérant des trajectoires commençant sur la surface lorsque le point de départ est choisit uniformément sur celle-ci. Avoir un premier saut qui entraîne une distribution uniforme dans le domaine (afin de retomber sur les hypothèses précédentes), revient alors à calculer la distance moyenne entre deux points, le premier étant sur le bord de K et le deuxième dans K. Cependant ce type de distance aléatoire, que nous évoquions brièvement au 47

48 chapitre 9.3 (S-randomness), exige un calcul explicite dans chaque cas particulier. Si ce problème a été résolu pour des formes élémentaires [56], cette dernière distance aléatoire nous éloigne malheureusement du but initialement fixé Marches aléatoires à sauts exponentiels Dans un deuxième temps, je me suis rapproché des arguments de Blanco et Fournier, afin d étudier les trajectoires issues de l intérieur du domaine pour lesquelles qui présentent un grand intérêt pour la physique des réacteurs. En effet, si on considère un système contenant des sources radioactives alors des particules sont produites dans tout l intérieur du domaine et les applications en neutronique sont nombreuses. Par ailleurs, du point de vue de la biologie, on peut aussi chercher à étudier la trajectoire d insectes placés dans un domaine jusqu à ce qu ils en franchissent les limites. Désormais on considère donc un domaine borné diffusant et aussi uniformément absorbant (cette deuxième condition est essentielle afin d avoir une solution stationnaire constante dans le domaine). Ce milieu est caractérisé par sa section efficace totale Σ t (r) = Σ s (r) + Σ a où Σ s (r) est la section efficace de diffusion (quelconque), et Σ a la section efficace d absorption (constante). Enfin, on considère que ce corps est soumis à un flux incident uniforme et isotrope Ψ in et possède des sources internes ayant une densité Q(r, Ω). L idée principale consiste à trouver un état stationnaire puis à calculer le taux d absorption de deux manières. La première utilise la densité de particules et la seconde implique les densités de probabilités des trajectoires dans le domaine que l on cherche à caractériser. En considérant que les neutrons se meuvent à vitesse constante, le flux de neutron Ψ(r, Ω) en r et dans la direction Ω obéit à une équation de Boltzmann linéaire qui s écrit, Ω. Ψ(r, Ω) + Σ t (r)ψ(r, Ω) = Σ s (r, Ω Ω)Ψ(r, Ω )dω + Q(r, Ω) (57) Ψ s (r, Ω) = Ψ in où Ψ s (r, Ω) désigne le flux angulaire sur la surface. En requérant une solution stationnaire constante dans tout le domaine Ψ(r, Ω) = Ψ in, on obtient immédiatement que, Q = Σ a Ψ in. (58) Inversement, une fois les sources internes fixées et le flux incident sur la surface égale à Ψ in, les conditions pour appliquer le théorème d unicité sont satisfaites [10], et par conséquent la solution Ψ = Ψ in est la seule solution dans le domaine. Poursuivant notre idée, nous calculons maintenant le taux d absorption A de deux façons. La première consiste à intégrer le taux d absorption local, c est-à-dire, A = Σ a vn(r)dr, (59) où v est la vitesse des particules et où n(r) est la densité de particules qui est reliée au flux intégré par, vn(r) = φ(r) = Ψ in dω = 4πΨ in. (60) 4π 48

49 Puis, en reportant cette relation dans l Eq.(59), on obtient, A = 4πV Σ a Ψ in. (61) Par ailleurs on remarque qu un système avec des sources internes possède deux sortes de trajectoires sortantes. La première labellisée l provient du flux incident sur la surface et commence donc sur celle-ci, tandis que la seconde, notée r, provient des sources internes et démarre dans le domaine. On note aussi par f(l) et g(r) les densités de probabilité correspondantes. Pour chaque particule traversant une distance d dans le domaine, la probabilité qu une absorption survienne avant sortie vaut 1 exp( Σ a d), par conséquent la part du flux incident absorbée par le système vaut, A flux = πψ in S 0 [1 exp( Σ a l)] f(l)dl, (62) et de manière similaire la part absorbée provenant des sources internes vaut, A source = 4πV Q Le taux d absorption total est donc, 0 [1 exp( Σ a r)] g(r)dr. (63) A = πsψ in [1 exp( Σ a l)] f(l)dl + 4πV Σ a Ψ in [1 exp( Σ a r)] g(r)dr. 0 (64) Le rayon de convergence de la série exponentielle étant infini, (l approximation invoquée dans [66] est inutile) on peut donc rigoureusement développer l expression précédente pour obtenir, A = πsσ a Ψ in < l > +πψ in n=2 0 [ S < ] ln > ( 1) + 4V < r n 1 n > n (n 1)! (Σ a) n. (65) Ensuite, en égalisant les termes en puissance de Σ a de ce développement avec la valeur du taux d absorption fourni par Eq.(61), on aboutit aux relations, < l >= 4V S, (66) et < r n 1 >= < ln > pour n 2. (67) n < l > L Eq.(66) a été établie dans les articles [60, 59] et s interprète comme la généralisation de la formule de Cauchy Eq.(14) à des marches aléatoires purement diffusives. Dans cette même perspective, l ensemble des relations Eq.(67) étend aux cas des marches aléatoires purement diffusives les relations Eq.(45) établies par Dixmier pour des trajectoires rectilignes et mentionnées au chapitre 9.8. De plus, connaissant tous les moments de la distribution de probabilité des trajectoires de types r en fonction des moments de l, Eq.(67), il est alors possible de reconstruire la distribution de probabilité pour r, on trouve comme dans le cas des trajectoires rectilignes que [66], g(r) = 1 < l > r f(l)dl. (68) L interprétation géométrique est la suivante : chaque marche aléatoire commençant dans le domaine et de longueur r est supportée par celles commençant à la surface 49

50 et de longueur plus grande que r. A partir des relations précédentes, les résultats concernant les probabilités de collisions s obtiennent facilement. On note par P vv la probabilité pour qu une particule née uniformément avec une direction isotrope dans le domaine soit absorbée par celui-ci (en neutronique P vv est usuellement appelée probabilité de collisions) et P sv la probabilité pour qu une particule entrant par la surface avec un flux isotrope soit absorbée dans le domaine. On peut alors aisément relier ces deux probabilités comme cela a été le cas pour des milieux purement absorbants. En effet, ces deux probabilités sont données respectivement par, P sv = [1 exp( Σ a u)] p(u)du 0 (69) P vv = [1 exp( Σ a u)] g(u)du. 0 en insérant l Eq. (68) dans la définition de P vv puis en inversant l ordre d intégration on obtient [66], P vv = 1 P sv Σ a < l >. (70) Cette dernière relation généralise au cas de milieux diffusifs non homogènes avec une absorption uniforme une relation très connue établie pour des milieux purement absorbants [10]. Un calcul direct présenté dans l article [15] permet d obtenir le nombre moyen de chocs < N > subi par un neutron dans le cas d un milieu homogène où la distance parcourue entre des collisions suit une loi exponentielle h(l) = (1/λ) exp( l/λ), λ étant le libre parcours moyen. Il s agit alors d évaluer la série, < N >= n P n (71) où P n est la probabilité qu un neutron ait exactement n collisions. P n se calcule en considérant une trajectoire de longueur l. Celle-ci contribue à P n quand la longueur totale parcourue pendant les n premiers sauts z est inférieure à l et que le dernier saut a une longueur plus grande que l z afin de se retrouver hors du domaine. En notant f Zn (z) la densité de probabilité de la somme des n premiers sauts et en sommant sur toutes les longueurs l, on obtient l expression formelle de P n, P n = 0 dl p λ (l) l 0 n=0 dz f Zn (z) l z dx h(x). (72) f Zn (z) qui est la somme de n variables aléatoires exponentielles identiques de paramètres 1/λ, est donnée par une variable aléatoire gamma de paramètres n et 1/λ, f Zn (z) = zn 1 e z/λ (n 1)! λ n. (73) Reporter cette identité dans l Eq. (72) nous permet d obtenir après intégration, ( ) l n e l/λ P n = dl p λ (l), (74) λ n! 0 et grâce à cette dernière expression, la série initiale Eq. (71) peut être sommée, on trouve alors [15], < N >= < l > λ 50 = 4V λs. (75)

51 Fig. 23 Densité de probabilité pour des trajectoires traversant une sphère unité pour les trois lois de diffusion étudiées. Le graphique du haut correspond à λ = 1 et celui du bas à λ = 0.1 Par conséquent, le nombre moyen de chocs subi par un neutron ne dépend que de la géométrie du système et du libre parcours moyen. Afin de valider ces résultats quelque peu contre intuitifs, des simulations de Monte Carlo ont été effectuées à travers des objets géométriques simples en privilégiant trois types de diffusions. La première est une diffusion strictement vers l avant δ(ω Ω) qui permet, au niveau des trajectoires, de retrouver les résultats des cordes. La deuxième est une diffusion strictement vers l arrière δ(ω +Ω) et enfin la dernière est la diffusion isotrope. Ces simulations de Monte Carlo, effectuées avec 100 millions de trajectoires et présentées dans les tableaux de l article [15] montrent clairement une totale adéquation avec les résultats théoriques. Ce résultat est assez contre intuitif surtout dans le cas d une diffusion arrière, car on peut penser que le neutron en repartant vers l arrière après une collision va sortir du domaine. On s attend donc à trouver un grand nombre de trajectoires ayant subi peu de chocs. Or, cet excès de trajectoires à petit nombre de chocs va être exactement compensé par de rares trajectoires ayant un très grand nombre de chocs de telle sorte qu en moyenne on ait le résultat annoncé de l Eq.(75). Un exemple de résultat est reproduit sur la Fig. 23. Dans le cas d une diffusion vers l avant (pas de déflexion), indépendamment du libre parcours moyen, on retrouve le résultat connu d une densité de probabilité linéaire des cordes à travers une sphère [10]. Pour une diffusion vers l arrière, plus le libre parcours moyen est faible et plus le phénomène des petites trajectoires s amplifie, mais les longues trajectoires ayant un grand nombre de chocs existent et compensent l effet des nombreuses petites trajectoires de telle sorte que la formule de Cauchy reste valide. 51

52 Fig. 24 Exemples de trajectoires à sauts constants commençant dans K B(L max )\ K Extension pour des marches aléatoires à sauts quelconques Discussion préliminaire Pour l instant, dans toute notre discussion, seules les trajectoires avec des sauts exponentiels entre deux chocs ont été considérées. Dans un article récent de Blanco et Fournier [73], il est suggéré que le résultat d invariance concernant la valeur moyenne des trajectoires dans un domaine borné, i.e. la généralisation de la formule de Cauchy, s étende à d autres types de marches aléatoires pour peu que le processus soit compatible avec l équilibre. Cette approche entraîne alors une modification de la distribution du premier saut si celui ci est défini depuis la frontière 5. Or, jusqu à présent aucun exemple n a illustré cette idée intuitive et dans cette partie nous exposons les premiers résultats obtenus pour des marches aléatoires à sauts bornés (puis à sauts quelconques), de telles marches incluent par exemple, les processus à sauts constants qui modélisent des chaînes moléculaires. Mais, si on se limite à l intérieur du domaine, la démarche pour obtenir la loi du premier saut commençant sur la surface est difficile. L idée consiste alors à considérer les processus les plus simples démarrant à l extérieur du domaine, à savoir ceux qui commencent de manière uniforme et isotrope puis de suivre les particules lorsqu elles traversent la frontière du domaine et ce jusqu à leur sortie (de plus on considère la redistribution de la direction isotrope après une collision ce qui correspond dans le cas des sauts constants à une chaîne de molécules libres). Dans un premier temps, on considère des processus à sauts bornés, de longueur maximale L max. On peut alors restreindre l espace de départ du processus à une enveloppe de taille L max autour du domaine convexe K R n considéré. Formellement cet espace de départ correspond à la dilation de K par une boule de diamètre L max privé de K soit K B(L max ) \ K comme indiqué sur la Fig. 24. Pour appréhender le problème, on considère temporairement des trajectoires à sauts de longueurs fixes dans un domaine convexe K de R n, cette simplification permettant d approcher ces processus sous l angle de la géométrie intégrale. En effet, dans le cas particulier de 5 La distribution exponentielle traduit l absence de mémoire, et de ce point de vue elle est particulière puisqu elle permet directement de démarrer de la frontière 52

53 sauts constants (de longueur L), les sauts vont être liés à la mesure cinématique d un segment aléatoire de longueur L contenu dans le domaine convexe K. Plus précisément en reprenant les définitions de De-Lin [74], on considère un domaine convexe K de volume V et de surface S dans R n et soit N un segment de longueur l, on note par m(l) la mesure cinématique de N contenu dans K. Par ailleurs, on introduit pour le segment de longueur l ayant un point initial O 1, les mesures suivantes : Clairement on a, et, m i (l) = m{n : N K, O 1 K} m e (l) = m{n : N K, O 1 K} m (1) e (l) = m{n : O 1 K, N K a un seul point} m (2) e (l) = m{n : O 1 K, N K a exactement deux points} (76) m i (l) = m (1) e (l), (77) m e (l) = m (1) e (l) + m (2) e (l). (78) A partir de ces relations et en utilisant des arguments propres à la géométrie intégrale, De-Lin [74] a établi l expression générale en dimension n de la mesure cinématique m(l) d un segment de longueur l entièrement contenu dans K, celle-ci est donnée par, m(l) = 1 2 O 1... O n 1 V O n 2 4(n 1) O 0 O 1... O n 2 l S O 0 O 1... O n 2 (l σ) dm, M K (σ l) où σ est la longueur de M K (longueur de la corde interceptée par la droite M), et où dm est la mesure usuelle de droites aléatoires dans R n. O n désigne la surface de la sphère unité n-dimensionnelle, O n = 2 (79) π (n+1)/2 Γ((n + 1)/2), (80) où Γ dénote la fonction gamma. Le dernier terme de l équation Eq.(79) est une intégrale qui dépend explicitement de la forme du domaine comme l avait déjà noté Santaló [12] dans le cas bidimensionnel. De plus, rien ne nous assure de l uniformité des sauts (ou segments) à l intérieur du domaine. C est d ailleurs manifestement inexact pour des petits sauts car, après la traversée de la frontière, le centre du domaine ne peut être atteint. Pour poursuivre, on distingue alors deux cas, le premier étant celui particulier où les sauts ont une taille supérieure au diamètre du domaine (l Diam(K)) que l on examinera en détail et utilisant uniquement des arguments de géométrie intégrale. Le second cas correspond à des sauts inférieurs au diamètre du domaine (l Diam(K)) et s étudie grâce à l hypothèse de compatibilité avec l équilibre due à Blanco et Fournier et que nous avons déjà évoquée au début de ce paragraphe [73] Cas l Diam(K) Dans ce cas, seuls deux types de trajectoires sont possibles. Soit le processus traverse le domaine, auquel cas on a une corde comme trajectoire à l intérieur de 53

54 Fig. 25 Exemples de réalisations du processus générant, soit une corde, soit une trajectoire avec une seule collision dans K. K, soit le processus rentre à l intérieur du domaine, subit une collision, et ressort obligatoirement puisque la taille du saut est supérieure à celle de K. Ces deux possibilités sont illustrées sur la figure Fig. 25. Pour le processus, on définit P 0 comme étant la probabilité d avoir une corde et donc 1 P 0 celle d avoir une trajectoire avec un choc. La valeur moyenne de la trajectoire < l > dans K est alors donnée par, < l >= P 0 < σ η > +2(1 P 0 ) < r >, (81) où < σ η > désigne la valeur moyenne d une corde générée par la présente distribution (notée par l indice η) et < r > la valeur moyenne d un rayon, c est-à-dire la distance moyenne d un point dans le domaine jusqu à la frontière. Le facteur 2 dans l Eq.(81) provient de la relation de symétrie précédemment mentionnée Eq.(77). Reste alors à déterminer les différents termes de l Eq.(81). Tout d abord, d après les définitions des différentes mesures données précédemment, la probabilité P 0 est donnée par le rapport, P 0 = m(2) e (l) m e (l), (82) dont les expressions sont respectivement données par [74], et, m (2) O n 2 m e (l) = O 0 O 1... O n 2 l S, (83) n 1 e (l) = 2 O 0 O 1... O n 2 M K (σ l) (l σ) dm. (84) En substituant les deux expressions de m e (l) et m (2) e (l) dans Eq.(82), on obtient, 2(n 1) P 0 = (l σ) dm. (85) ls O n 2 M K (σ l) Dans le cas où, l Diam(K), cette dernière intégrale s exprime en fonction du volume V de sa surface S et des constantes O n liées à la dimensionnalité. Plus précisément, toujours selon [74], (l σ) dm = O n 2 M K 2(n 1) l S O n 1 V. (86) 2 (σ l) 54

55 En reportant cette égalité dans l Eq.(85), l expression de P 0 se réduit à, P 0 = 1 (n 1) O n 1 V O n 2 S l = 1 2π O n 1 V O n S l. (87) Or, dans R n, 2πO n 1 V/O n S est précisément la valeur moyenne < σ > de la distribution de cordes [12] et par conséquent l expression finale de P 0 a une forme très simple, P 0 = 1 < σ >. (88) l Reste à déterminer les deux valeurs moyennes dans l Eq.(81). Pour le rayon, sa valeur moyenne est connue, et vaut d après l Eq.(67), < r >= < σ2 > 2 < σ >. (89) Pour calculer la valeur moyenne des cordes générées avec la présente distribution aléatoire η on remarque que pour une corde de longueur σ supportée par la mesure µ on a, f η (σ) (l σ)f µ (σ), (90) où f µ,η (σ) labellise les différentes sortes de densités de probabilité de cordes. En normalisant l équation précédente, 0 dσ f η (σ) = 1, (91) on trouve que, (l σ) f η (σ) = l < σ > f µ(σ). (92) Grâce à cette expression, la valeur moyenne des cordes générées par la distribution η se calcule aisément, < σ η >= 0 σf η (σ)dσ = 1 l < σ > = l < σ > < σ2 > l < σ > 0 σ(l σ)f µ (σ)dσ En reportant ce dernier résultat, ainsi que les valeurs de < r > (Eq.(89)) et de P 0 (Eq.(88)) dans l Eq.(81), on obtient, < l >=< σ >= 2πO n 1V O n S ce qui démontre le résultat dans le cas où l Diam(K). (93), (94) A partir du résultat relatif à P 0, on peut obtenir le nombre moyen de collisions. En effet, dans le cas où l Diam(K), la série donnant le nombre moyen de choc, < N >= n P n (95) se réduit, puisqu il ne peut y avoir plus d une collision, à < N >= 0 P 0 +1 (1 P 0 ) et grâce à l Eq.(88) on a donc immédiatement la relation, n=0 < N >= < σ >, (96) l similaire à celle établie dans le cas de sauts exponentiels Eq.(75). 55

56 Fig. 26 Exemples de réalisations du processus stochastique : AB représente une trajectoire complexe à l intérieur du domaine et AC une corde Cas l Diam(K) Dans le cas où les sauts peuvent avoir une longueur inférieure au diamètre du domaine, il est possible d avoir des trajectoires avec un nombre infini de collisions, et une démonstration de la relation Eq.(94) se heurte à une difficulté. Celle-ci provient du fait que l expression Eq.(84) dépend explicitement de la forme du domaine alors que le résultat final attendu relatif à la longueur moyenne des trajectoires ne dépend que du rapport V/S. Pour contourner cette difficulté, on va faire appel à l argument physique concernant la situation à l équilibre comme c est décrit dans les articles [72, 73]. En fait, comme dans le cas précédent, il y a deux sortes de trajectoires, soit une corde soit une trajectoire, éventuellement complexe, avec des collisions comme c est montré sur la figure Fig. 26. Pour les cordes, les trajectoires sont clairement réversibles du fait que les directions de départ sont toutes équiprobables (c est l hypothèse d isotropie). Pour les trajectoires avec collisions, l hypothèse d une réorientation isotrope à chaque choc conduit à la même conclusion. Les trajectoires dessinées sur la Fig. 26, commençant en A et finissant en B ou commençant en B et se terminant en A sont pareillement probables. Par conséquent toutes les trajectoires sont réversibles et puisque le processus est compatible avec l équilibre nous pouvons conclure en suivant les arguments de [73] que la valeur moyenne des trajectoires dans le domaine est égale à, < L >= 2πO n 1 O n V S. (97) De plus, le fait que toutes les trajectoires soient réversibles entraîne que la marche aléatoire entre et quitte le domaine exactement de la même manière, donc la densité de probabilité pour le premier saut à l intérieur de K et le dernier saut hors de K sont identiques (cependant cette densité de probabilité dépend explicitement de la forme du domaine comme nous le verrons au paragraphe suivant). Ceci est en fait, l interprétation physique (ou probabiliste) de l équation Eq.(77) sur laquelle est basée notre raisonnement. Jusqu à présent, seuls des segments de longueurs fixes ont été considérés. Cependant cette contrainte peut être relâchée sans difficulté puisque le raisonnement précédent est construit sur les seules hypothèses d une réorientation isotropique et 56

57 Fig. 27 Les points initiaux contribuant à un premier saut de longueur r et commençant sur un point P de la surface sont localisés sur la demi sphère de rayon R = l r. sur le fait que la marche aléatoire commençait d une manière uniforme et isotrope. Un mouvement (segment) d un point à un autre dépend maintenant de la densité de probabilité caractérisant la loi du saut, mais est toujours indépendant de la direction. Par conséquent, l équation Eq.(97) est valide pour tout processus stochastique homogène borné commençant uniformément et isotropiquement en dehors du domaine. On cherche ensuite à déterminer la densité de probabilité h(r) correspondant au premier saut à travers le domaine qui peut, rappelons-le, soit se terminer hors du domaine (corde), soit finir à l intérieur de K. Ce problème est purement géométrique. Pour le résoudre on considère que le premier saut commençant hors du domaine a une longueur l de taille maximale a donnée par une densité de probabilité p(l) sur l intervalle [0; a]. Alors pour un point P donné sur la surface, tous les sauts de longueur r à travers la surface et passant par P sont ceux dont l origine est située sur la demi sphère de rayon R = l r comme indiqué sur la figure Fig. 27. D un côté dans le système de coordonnées polaires centré en P, la distribution uniforme des points initiaux est proportionnelle à O n R n 1 dr et d un autre côté une émission isotrope de sauts est proportionnelle à 1/(O n R n 1 ) par conséquent la mesure des points initiaux contribuant à h(r) est proportionnelle à dr et est indépendante de la dimension. En fait, il y a une correspondance unique entre un point de la demi sphère de rayon R et celle de rayon r et le problème se réduit à un problème à une dimension. Finalement, si x est l abscisse du saut, alors seuls les sauts dont x > r contribuent à h(r) comme c est montré sur Fig. 27 et par conséquent la densité de probabilité conditionnelle h(r) d avoir un premier saut de longueur r à travers K sachant qu il y a eu un saut à travers K est, ou encore, h(r) = a h(r) = a 0 0 dr a 0 a dx p(a + r x)θ(x r) (98) dx p(a + r x)θ(x r), a r dx p(a + r x) (99) dx p(a + r x), 0 dr a r qui est indépendante de la géométrie du système. Par conséquent, nous avons établi 57

58 le résultat suivant : pour une marche aléatoire isotrope dont les déplacements sont données par une densité de probabilité p(l) et entrant isotropiquement dans un domaine borné avec une loi pour le premier saut donnée par Eq.(99), la valeur moyenne des trajectoires dans le domaine est indépendante des caractéristiques de la marche aléatoire et est donnée par la formule de Cauchy, < L >= 2πO n 1 O n V S. (100) En particulier, en deux dimensions < L >= πs/p (avec P périmètre du domaine) et < L >= 4V/S en trois dimensions Exemples 1. Sauts constants de longueur a, p(l) = δ[l a]. Ce cas important correspond à celui d une chaîne libre et a de nombreuses applications en physiques des polymères [61]. En substituant l expression de p(l) dans l équation Eq.(99) on obtient immédiatement, h(r) = 1 a. (101) Par conséquent, une chaîne libre entrant dans le domaine avec une incidence uniforme a la valeur moyenne de ses trajectoires dans le domaine donnée par la formule de Cauchy. 2. Loi en puissance sur l intervalle [0; a] : p(l) = α+1 l α avec α 0. a α+1 En reportant cette loi dans l équation Eq.(99) on trouve, h(r) = 1 ( ) [ α + 2 ( ] r α+1 1. (102) a α + 1 a) En particulier, pour α = 0, les sauts uniformes sur [0; a] entrant dans le domaine avec la distribution h(r) = 2/a(1 r/a) ont la valeur moyenne de leurs trajectoires dans ce domaine donnée par la formule de Cauchy. Ces exemples concernent des processus stochastiques bornés, cependant l équation Eq.(99) ne se réduit pas à ces seuls cas et reste valide dès lors que l intégrale au dénominateur existe (celle du numérateur est bornée par 1 et converge toujours.) 3. Distribution de Rayleigh p(l) = l exp( l2 ), l 0. σ 2 2σ 2 Cette distribution sert à modéliser le mouvement d insectes au sol [75], elle a aussi des applications en acoustique [76], en substituant à nouveau l expression de p(l) dans l équation Eq.(99), on trouve, ( ) 2 l 2 h(r) = σ 2 π exp 2σ 2. (103) 4. Marches aléatoires diffusives, p(l) = (1/λ) exp( l/λ), l 0. Ce cas correspond à celui originellement étudié par Blanco et Fournier [60], en substituant l expression de p(l) dans l équation Eq.(99) et en prenant la limite a, on obtient, h(r) = 1 ( ) r λ exp, (104) λ 58

59 et l on retrouve cette particularité des marches aléatoires diffusives à savoir que la valeur moyenne des trajectoires dans le domaine satisfait la formule de Cauchy quand la marche entre dans le domaine avec la même loi que celle à l intérieure [60, 66, 72]. Ceci reflète la propriété bien connue des distributions exponentielles d absence de mémoire (les marches aléatoires diffusives n ont aucune mémoire d où elles ont commencé.) Pour résumer, nous pouvons dire que nous avons résolu la version bornée du problème des marches aléatoires de Pearson, vieux de plus d un siècle [77]. Un marcheur (particules, insectes, etc.) commence sa marche aléatoire sur la surface d un domaine fini et avance en ligne droite d une distance donnée par l équation Eq.(99). Il se tourne alors de n importe quel angle et avance nouveau en ligne droite d une distance donnée par la densité de probabilité p(l). Il répète ce processus jusqu à ce qu il traverse la frontière pour la première fois. Alors, la valeur moyenne de sa trajectoire dans le domaine est indépendante des caractéristiques de la marche aléatoire. Cette quantité ne dépend que de la géométrie du système et est donnée par la formule de Cauchy, en particulier elle vaut 4V/S en trois dimensions. Notre conjecture est que l équation Eq.(99) est la seule manière de commencer la marche aléatoire qui conduise à une valeur moyenne des trajectoires donnée par la formule de Cauchy Résultats dépendant explicitement de la géométrie Grâce aux résultats précédents, on peut préciser la loi du premier saut à l intérieur du domaine. Les cordes ne contribuant pas à cette densité de probabilité, celle-ci diffère de la loi du premier saut à la surface. Par ailleurs, nous avons vu précédemment que cette densité de probabilité est identique à celle du saut hors du domaine. Nous désignons par g(r) cette densité de probabilité. Rappelons que g(r) désigne la densité de probabilité pour les rayons, et que celle-ci est donnée par l équation Eq.(44), g(r) = 1 <l > Diam(K) r f(σ)dσ, (105) où f(σ) est la distribution de corde. Avec ces notations, chercher la densité de probabilité conditionnelle g(r) d avoir un saut strictement à l intérieur de K revient à chercher la loi des rayons sachant que le saut l est plus grand que le rayon (on s assure ainsi de sortir du domaine). Autrement dit g(r) = Comme Prob[l r] = a r p(l)dl, on obtient donc que, g(r) = g(r) Prob[l r] Diam(K) 0 dr g(r) Prob[l r]. (106) Diam(K) g(r) a r p(l)dl 0 dr g(r) a r p(l)dl, (107) ou encore en ne faisant intervenir que la distribution plus familière des cordes Eq.(105), g(r) = Diam(K) r Diam(K) 0 dr Diam(K) r f(σ)dσ a r p(l)dl f(σ)dσ a r p(l)dl. (108) Expression qui dépend explicitement de la géométrie du système. Ces expressions se simplifient grandement dans le cas de sauts constants de longueur a (ce cas correspond, comme nous l avons déjà mentionné, au mouvement d une chaîne libre). En 59

60 substituant p(l) = δ[l a] dans l expression Eq.(107), on trouve alors, g(r) = g(r)1 [0;a] a (109) dr g(r), 0 expression qui dépend toujours explicitement de la géométrie du système ainsi que des caractéristiques (ici le paramètre a) de la marche aléatoire. On peut néanmoins établir des expressions analytiques dans le cas d objets simples. Par exemple pour une sphère de rayon R, la distribution de cordes a une forme particulièrement simple, donnée par [10], f(l) = l 2R 2. (110) En reportant ce résultat dans l équation Eq.(105), on obtient l expression de la densité de rayon, g(r) = 3 ) (1 r2 4R 4R 2, (111) qui nous sert, via l équation Eq.(109), à obtenir l expression analytique de la loi du premier saut à l intérieur de K, g(r) = 1 3a 4R a3 16R 3 ( ) ) 3 (1 r2 4R 4R 2 1 [0;a]. (112) Par des calculs similaires, on peut obtenir l expression analytique de la loi du premier saut à l intérieur de la sphère pour des marches diffusives. Tout d abord, Prob[l r] = r 1 λ exp ( ) r dl = exp λ ( ) r. (113) λ En reportant la valeur de g(r) donnée par l équation Eq.(111) et celle précédemment obtenue Eq.(113) dans l équation Eq.(107), on obtient, g(r) = 2R 2 λ(2r 2 λ 2 + λ(λ + 2R) exp ( 2R λ ( ) ) 1 r2 ) 4R 2 exp ( ) r. (114) λ Des résultats relatifs à la probabilité P 0 d avoir une corde s obtiennent d une manière similaire lorsque la géométrie du système est simple. Par exemple, en deux dimensions, l expression générale de P 0 donnée par l Eq.(85) se simplifie, P 0 = 1 (l σ) dm, (115) ll M K (σ l) où L est le périmètre de l objet. L Eq.(79) donnant la densité de segments entièrement contenus dans le domaine se résume alors à, m(l) = π S l L + (l σ) dm, (116) M K (σ l) Par conséquent, P 0 s exprime en fonction de m(l), P 0 = 1 πs ll + m(l) ll. (117) 60

61 Si, de plus, on considère le cas particulier du carré de côté c où la mesure de segments entièrement contenus dans cette figure est connue [12, 74] et vaut, πc 2 4cl + l 2 si 0 l c m(l) = 4c [ ( c )] l 2 c 2 l 2 + c 2 π 2 4 arccos si c l c (118) 2 l En se restreignant au cas où 0 l c, on obtient une expression de P 0 très simple, P 0 = l c, (119) qui permet facilement de distinguer la proportion de cordes par rapport aux autres trajectoires évoluant dans le domaine. Pour illustrer ces résultats, des simulations Monte Carlo concernant les marches aléatoires à sauts constants ont été réalisées en deux dimensions (dans un carré) et en trois dimensions (dans une sphère). Les résultats des simulations, obtenus pour 10 6 trajectoires, sont reportés les tableaux Tab.2 et Tab.3 pour lesquels la Tab. 2 Exemples de simulations pour un carré unité pas du saut < l > analytique = πs L < l > simulation variance l = l = l = l = l = Tab. 3 Exemples de simulations pour une sphère unité pas du saut < l > analytique = 4V S < l > simulation variance l = l = l = l = l = valeur moyenne des trajectoires a, dans chaque cas, parfaitement convergée vers la formule de Cauchy. La complexité de la distribution des trajectoires pour différentes mesures de sauts est présentée sur la Fig. 28. où l on remarque que, pour des pas de sauts élevés, la distributions des trajectoires tend vers celle des cordes, comme attendu 6. Cependant, les résultats numériques ne se limitent aux exemples présentés 6 En effet, ce dernier cas correspond à celui du paragraphe où l Diam(K). Dès lors la probabilité P 0 d avoir une corde est donnée par l Eq.(88). Comme de plus l Diam(K) >< σ > alors P 0 1 et par conséquent les seules trajectoires possibles sont des cordes. Rappelons finalement que pour les cas particuliers étudiés, les distributions de cordes sont connues [52] et respectivement données par l pour l 1 f(l) = 2 (120) 0 pour l > 1 61

62 Fig. 28 Complexité des distributions des trajectoires pour différentes pas du saut : en haut à l intérieur d une sphère unité et en bas au sein d un carré unité. précédemment et de nombreuses autres simulations de sauts bornés avec un pas variable montrent avec la même précision, que la valeur moyenne des trajectoires converge vers la formule de Cauchy prédite par la théorie. pour la sphère unité et par f(l) = 1 2 pour 0 l 1 1 l 2 l pour 1 < l pour l > 2. (121) pour le carré unité. 62

63 10 Synthèse des derniers travaux Les recherches actuelles présentées dans ce mémoire ont pour origine la nécessité de simuler d une manière fiable les réacteurs à lit de boulets. Ceci nous a conduit à étudier de manière précise la géométrie stochastique composant ces systèmes. Pour palier l absence de résultats utiles à la neutronique, nous avons alors défini nos propres critère : droites aléatoires, cordes, rayons, segments afin de caractériser la géométrie complexe dans laquelle évoluent les neutrons. Nous avons volontairement choisi une approche rigoureuse en nous basant sur la géométrie intégrale dont les résultats sur les mesures invariantes de droites aléatoires correspondent à l hypothèse d un flux constant que l on cherche à obtenir lors du fonctionnement d un réacteur. Les propriétés de volumes des réacteurs à boulets sont désormais bien comprises, grâce notamment à la formule de Cauchy que nous avons étendue au cas non convexe. Cette dernière propriété trouve des applications dès lors que des objets interceptés par des lignes droites (typiquement des radiations) ont des formes irrégulières. Cela concerne, par exemple, les milieux poreux, les nuages ou les poumons et montre que cette formule trouve des applications dans des domaines aussi variés que le transfert radiatif en milieu atmosphérique ou la médecine afin d estimer la taille des organes internes. De plus, générer des droites aléatoires invariantes sous certaines transformations constitue une première étape pour faire du Monte Carlo dans des espaces non triviaux (i.e. R n ) et les procédures que nous avons testées peuvent essaimer dans les domaines liés à la stéréologie. Par ailleurs, nous avons montré que le lien entre la géométrie intégrale et la neutronique offre une nouvelle approche de la physique des réacteurs. Dans les empilements aléatoires de disques nous avons levé toute ambiguïté concernant la distribution des cordes en établissant une divergence universelle en 1/ l dans le cas de disques en contact et en confirmant une distribution exponentielle dans les autres cas. En trois dimensions, la situation plus simple, mais moins bien comprise, indique que la distribution des cordes suit dans tous les cas une loi exponentielle. Ceci nous a conduit à émettre l hypothèse en 2004 qu une distribution exponentielle des cordes était la signature d un vrai empilement aléatoire. Un deuxième volet d étude est consacré aux marches aléatoires dans des domaines bornés qui décrivent, entre autre, la trajectoire des neutrons sous certaines hypothèses simplificatrices (vitesse constante). Les résultats trouvés concernent les propriétés statistiques des trajectoires et étendent aux cas des marches aléatoires des résultats obtenus auparavant pour les lignes droites. D autre part, la simplicité de la méthode autorise son enseignement dès le début de Master, offrant donc à peu de frais une approche pédagogique nouvelle pour la neutronique. C est grâce à l analyse de solutions particulières de l équation de Boltzmann linéaire que les propriétés statistiques de marches aléatoires dans des domaines finis ont été établies. Ceci nous amenait à mentionner, dès notre premier article consacré au sujet, que ces techniques sont similaires à celles développées en théorie classique du potentiel où des résultats profonds en théorie des probabilités sur le mouvement Brownien peuvent être obtenus en cherchant des fonctions harmoniques sur certains domaines. Bien qu issues de la neutronique, ces recherches se placent dans le cadre général des processus stochastiques (temps de premier passage) et s appliquent à des domaines aussi divers que la physique des polymères, la diffusion de neutrons, l acoustique, les billards ou la biologie notamment par l étude du comportement d insectes sur une surface. 63

64 11 Projet de recherche En privilégiant le cadre rigoureux de la géométrie intégrale, le projet de recherche a pour thèmes : les géométries stochastiques (empilements aléatoires de sphères dures), les marches aléatoires dans les domaines bornés, avec, pour objectif, les applications aux problèmes concrets de neutroniques. Dans un premier temps, il s agit de réaliser des géométries stochastiques complexes reproduisant le comportement des sphères de combustibles rencontrées dans certains types de réacteurs à haute température. En effet, jusqu à présent, seules les propriétés de volumes ont été étudiées. Or, dans un réacteur à boulets, les effets de bords doivent impérativement être pris en compte car les contraintes liées à la géométrie produisent des canaux importants le long de la paroi dans lesquels les neutrons peuvent s engouffrer. C est pour intégrer cet aspect essentiel que l algorithme de remplissage des boulets doit être amélioré. A terme, le but est d arriver à rendre faisables les simulations de Monte Carlo pour ces géométries dépourvues de symétrie grâce au code de transport TRIPOLI-4 7 actuellement développé dans notre laboratoire. Pour cela, il est nécessaire de remanier en profondeur l algorithme de poursuite des neutrons. En effet, contrairement aux REP présentant des motifs se répétant et permettant d accélérer les simulations (cf. l annexe A consacré au code TRIPOLI-4), la situation est beaucoup moins favorable avec les réacteurs à lit de boulets. La double hétérogénéité du cœur que constituent d un côté les boulets combustibles empilés aléatoirement et de l autre les particules combustibles dispersées dans les boulets, impliquant une absence totale de symétrie. Ne pouvant donc répéter aucun motif, on doit prendre en compte tous les volumes. Cependant, ce modèle de cœur est typiquement formé par boulets, eux-mêmes remplis d environ particules TRISO, ce qui donne globalement volumes à considérer. Même sur une machine massivement parallèle, un tel nombre de volumes ne peut être envisageable avec le code actuel. Deux approches peuvent être distinguées : la première consiste à simplifier le problème par des techniques d homogénéisation (approche déterministe) et la seconde consiste à réécrire l algorithme de poursuite dans le code TRIPOLI-4 actuellement peu adapté à ce genre de situation puisqu à chaque itération le code explore tous les volumes afin de déterminer dans lequel se trouvera la particule suite à un parcours. L approche déterministe est en cours d étude dans notre laboratoire (une thèse a démarré sur le sujet en 2007) mais dans tous les cas ces hypothèses d homogénéisation devront être validées par des calculs Monte Carlo de référence. Ces calculs sont donc inévitables et pour les réaliser une idée consiste à ne plus tester tous les volumes du système. En effet, de par la configuration géométrique du système, si un neutron se trouve dans un boulet il ne peut atteindre que les boulets qui l entourent immédiatement. C est pourquoi un maillage s impose, en relevant dans quelle maille se trouve le neutron après son parcours, il suffira alors de tester les possibilités qu il se trouve dans un boulet appartenant aux mailles voisines. Or récemment, la géométrie ROOT développée au CERN 8 (qui par ailleurs 7 La version 4.3 du code est disponible auprès de l Agence pour l Energie Nucléaire sur le site web suivant : http ://www.nea.fr/abs/html/nea-1716.html 8 http ://root.cern.ch/ 64

65 Fig. 29 Visualisation graphique grâce à ROOT d un empilement de 4000 boulets, le coin évidé permet l exploration de l intérieur de la géométrie offre de belles possibilités de visualisation graphique Fig. 29) a été introduite dans TRIPOLI-4. Ce logiciel offre entre autre la possibilité d avoir automatiquement un maillage de la géométrie, et c est en tirant partie des avantages fournis par ROOT que l algorithme de poursuite (qui reste le cœur du code) devra être modifié. En complément de cette approche exacte qui, même optimisée, reste coûteuse en temps de calcul compte tenu du nombre élevé de volumes, la conception d un modèle simplifié est envisagée. Pour s affranchir des difficultés géométriques, la démarche consiste à simuler la trajectoire des neutrons par des techniques d échantillonnages liées aux distributions de cordes ou de rayons pour lesquelles notre laboratoire a acquis une expertise certaine. Le principe consiste à se placer du point de vue du neutron qui ignore la totalité du système, celui-ci pouvant atteindre au mieux un boulet adjacent. Par exemple en considérant un neutron à l intérieur d un boulet en dehors d une microbille de combustible, ce dernier peut alors, soit traverser une microparticule, soit s arrêter dedans, soit faire un parcours sans croiser de microbilles, soit sortir du boulet pour en atteindre un autre, etc. Toutes ces trajectoires peuvent être décrites soit par des distributions de cordes, soit par des distributions de rayons appropriées (en prenant en compte la possibilité que le neutron puisse être absorbé ou puisse sortir du système). Jusqu à présent, cette méthode a été employée par Donovan et Danon [38] pour un milieu stochastique binaire bidimensionnel et nous nous proposons de le généraliser à l étude du cas tridimensionnel des réacteurs à boulets. Notons cependant que ces auteurs, qui étudiaient un milieu peu dense formé par des disques petits par rapport aux dimensions du système, n ont considéré que des cordes. Dans le cas de boulets, 65

66 la différence entre cordes et rayons peut être importante et ne doit pas être ignorée. Ceci ne constitue pas une difficulté, mais un raffinement dont la mise en œuvre est aisée dans notre approche qui, rappelons-le, permettra de faire abstraction de la géométrie complexe du système, évitant ainsi les énormes problèmes de simulation que pose ce concept de réacteur nucléaire à lit de boulets. A terme, cette formule simplifiée pourra aussi être implantée dans le code de transport de TRIPOLI-4. Une thèse est prévue sur le sujet en Une fois les simulations effectuées pour des configurations statiques, l étape suivante, essentielle, consistera à faire évoluer le système en enlevant les boulets de combustibles usés et en réinjectant des boulets de combustibles frais ou usagés par le haut (comme c est le cas dans un réacteur en fonctionnement). Ceci implique de faire du Monte Carlo évoluant car les concentrations isotopiques varient au cours du temps. Ce sujet est d actualité tant au niveau international que dans notre laboratoire. Mes recherches appliquées devront alors se concentrer sur la propagation des incertitudes dans les codes Monte Carlo évoluant. Ce thème est important car l évaluation correcte des incertitudes devient cruciale dès lors que l on utilise la méthode de Monte Carlo. Comme l atteste une bibliographie récente [70], ce domaine en est actuellement à ses balbutiements contrairement à delui de la propagation des incertitudes dans les codes de transport Monte Carlo classiques qui est bien maîtrisée. Par ailleurs, largement étudié dans la littérature, le transport dans des milieux stochastiques markoviens 9 fait l hypothèse que la distribution des cordes est, dans chaque milieu, exponentielle (comme pour les cordes dans le vide pour un empilement aléatoire dense de sphères en contact). L existence en deux dimensions d un tel système a été formellement établie par Switzer [71]. Sa construction, la seule connue à ce jour, se fait en générant aléatoirement des droites dans le plan, puis en coloriant les polygones obtenus. On peut comprendre intuitivement la réalisation de Switzer grâce aux travaux relatifs aux densités de cordes présentés au paragraphe 9.5. En effet, nous avons établi que, pour des objets en contact, la distribution de cordes est soit divergente soit constante dans le cas où les objets forment un angle au point de contact. D emblée on peut donc éliminer le cas d objets ayant un rayon de courbure non nul, la divergence (ou plus précisément une combinaison de cette divergence) étant incompatible avec une loi exponentielle à l origine. En revanche une géométrie créée à partir de polygones autorise la possibilité, en combinant astucieusement la distribution des angles, d avoir une loi exponentielle dans chaque sous domaine. Ceci ne constitue certes pas une preuve (pour cela on renvoie à la démonstration de Switzer [71] qui consiste à choisir une distribution poissonienne de droites aléatoires) mais donne des indications pour la dimension 3. Il s agit de trouver dans cet espace la forme géométrique donnant une distribution de cordes constante par paliers, puis de l agencer de manière à obtenir une distribution de cordes exponentielle dans chaque domaine. Ultérieurement, des simulations de Monte Carlo (sur de nombreuses réalisations) sont envisageables grâce à notre code de transport tridimensionnel TRIPOLI-4, ce qui n a jamais été réalisé en trois dimensions. Le second volet est un travail de fond sur l étude des trajectoires des neutrons dans des domaines bornés. Ce sujet récent et peu défriché (démarré en 2003) 9 les exemples d application concernent la diffusion de contaminants radioactifs dans les milieux géologiques, le transport en milieux turbulents pour la fusion inertielle ou encore les réacteurs à très hautes températures dont la géométrie est partiellement ou totalement aléatoire. 66

67 est en plein développement comme l attestent de récentes publications. Certaines généralisations ont été obtenues pour des domaines avec conditions générales aux bords (absorbantes ou réflexives) dans le cadre de la physique statistique [72] ou par le biais de l équation de Boltzmann pour des géométries non-euclidiennes ainsi que pour des trajectoires naissant dans le domaine [57, 66]. Une autre approche largement développée dans ce mémoire consiste à considérer la marche aléatoire comme un objet géométrique (une ligne brisée) qui intercepte le domaine. On peut ainsi voir ces problèmes comme des extensions de celui de l aiguille de Buffon. Poursuivre dans cette voie est souhaitable car elle a déjà permis d établir, dans le cas des processus stochastiques quelconques, la forme de la distribution avec laquelle la marche aléatoire doit entrer dans le domaine pour que la formule de Cauchy reste valide. Là encore, la géométrie intégrale offre de grandes possibilités en complément de la physique statistique (laboratoire de Physique Théorique de la Matière Condensée, Paris VI) et de l équation du transport (Laboratoire d Energétique, Université Paul Sabatier). Enfin, plus largement, l étude des trajectoires avec branchements en milieux fissiles ouvre de nouvelles voies à la neutronique (milieux multiplicateurs) et à la biologie (modélisation du mouvement des insectes) offrant ainsi une plus grande ouverture de notre laboratoire vers les milieux académiques. 67

68 A Annexe : le code TRIPOLI-4, développements récents et futurs afin d intégrer les recherches amonts concernant les réacteurs à boulets Dans cette annexe, l accent est mis les implémentations nouvelles et futures qui permettront à terme d étudier les réacteurs à lit de boulets à l aide du code de calcul TRIPOLI-4. Auparavant, une présentation volontairement brève du code, introduira cet objectif. TRIPOLI-4 10 est le code tridimensionnel du CEA mettant en œuvre la méthode Monte Carlo pour simuler le transport des neutrons, photons, électrons et positrons dans la matière. Depuis 2006 le code est développé au LTSD (Laboratoire de Transport Stochastique et Déterministe) et fait suite aux versions précédentes TRIPOLI-2 [78] et TRIPOLI-3 [79] dont le développement a commencé dès les années 1970 au LEPP (Laboratoire d Etudes de Protection et de Probabilités). Il se distingue des versions antérieures par une réécriture complète dans des langages de développement récents (le langage C et le langage C++), une description plus complète des éléments géométriques (en surfacique et/ou combinatoire) ainsi qu une représentation plus exacte des données nucléaires de base. Le procédé consiste à simuler le comportement des particules (histoires des particules) qui se propagent dans un système physique donné. La méthode de Monte Carlo est la manière probabiliste de résolution de l équation de Boltzmann à laquelle obéit le flux de particules. Cette méthode présente l avantage de prendre en compte de manière très réaliste la complexité physique et géométrique (trois dimensions d espace) du problème étudié dont nous avons besoin pour l étude des réacteurs à boulets. Elle autorise en particulier une description exacte des transferts énergétique et angulaire de la particule provoqués par une collision (traitement rigoureux du noyau de transfert). Elle accepte tout aussi bien une représentation ponctuelle que multigroupe des sections efficaces. Le code TRIPOLI-4 a pour but de traiter les problèmes classés selon quatre grands domaines d application : 1. la protection : qui concerne la propagation de particules sur de longues distances et avec de fortes atténuations de flux ; ce sont des problèmes à source en milieu non multiplicateur, en régime stationnaire ou dépendant du temps. 2. la neutronique : qui étudie le comportement des neutrons dans un système fissile (le milieu est multiplicateur de neutrons) critique ou sous-critique à source : sans ou avec source fixe en régime stationnaire. 3. la sûreté/criticité : qui requiert la détermination, souvent dans le cadre d études paramétriques, du facteur de multiplication effectif du système physique étudié comportant de la matière fissile. 4. l instrumentation : où l on s intéresse en particulier à la détection et à l interprétation d un signal, la dosimétrie, l étalonnage d un appareil de mesure ou la conception d un dispositif expérimental. 10 Pour plus de détails concernant les diverses fonctionnalités du code, nous revoyons à la documentation officielle [80] ou à une présentation récente telle que [81] qui par commodité est reproduite en fin de mémoire. 68

69 Fig. 30 Coupe transverse du cœur de la centrale de Diampierre illustrant la répétition de cellules élémentaires. Les grandeurs physiques fondamentales qui intéressent les domaines d études précédemment cités sont : le flux/courant de particules et la concentration des radionucléides. Le flux/courant de particules caractérise la propagation des particules dans le système physique étudié. Il est régi par l équation de Boltzmann [10]. Les flux et courants de particules sont calculés en fonction des variables d espace (r), de l énergie (E), de l angle (Ω) et du temps (t). Les flux sont déterminés en un point et/ou intégrés dans un volume de l espace des phases ; les courants sont relatifs à une surface limitant un volume donné : courant entrant, courant sortant. A partir du flux, de nombreuses grandeurs d intérêt peuvent être dérivées, il s agit par exemple dans le domaine de la protection des taux de réaction nucléaire : taux d absorption, taux de diffusion des particules, de la production de particules (neutrons, gamma,...), du facteur de multiplication effectif (k eff ), de la production d isotopes (produits de fission, actinides, produits d activation, produits de spallation) ou de l énergie déposée. Dans le domaine de la neutronique, les grandeurs d intérêt spécifique sont : le taux d absorption, le taux de fission, le taux de diffusion, le k eff, la puissance dans le réacteur (information locale et cartographie dans le cœur), les bilans isotopiques. Dans le second domaine d investigation, celle de la physique des cœurs, la concentration des radionucléides formés caractérise l évolution du milieu sous irradiation et la connaissance de cette concentration nécessite celle du flux des particules qui induisent la radioactivité. C est précisément ce champ d application que concernent les travaux exposés dans ce mémoire, car à terme le code de calcul TRIPOLI-4 sera amené à simuler le comportement des neutrons dans des réacteurs à lit de boulets. A l heure actuelle, le code est déjà couramment utilisé pour simuler les réacteurs nucléaires de types REP où il tire avantage de la répétition des motifs en réseau constituant ces cœurs. Un exemple, volontairement peu favorable au calcul puisqu il s agit d un mauvais chargement survenu à la centrale de Dampierre (perte de symétrie), montre néanmoins l importance des cellules qui se reproduisent dans le système. Celles-ci sont marquées par différentes couleurs sur la figure Fig. 30. En revanche dans les réacteurs à hautes températures, aucun motif élémentaire ne se 69

70 Fig. 31 Concept prismatique, les particules TRISO de combustible sont placées aléatoirement dans une matrice cylindrique : le compact. répète car chaque boulet de combustible avec ses microbilles placées aléatoirement est différent. C est pourquoi, dans un premier temps, une étude a été entreprise sur un réacteur HTGR (High Temperature Gas Cooled Reactor) où le cœur est constitué d un grand nombre de blocs prismatiques de graphite. La matière fissible sous forme de microbilles (particules TRISO) est placée aléatoirement dans une matrice cylindrique en graphite (le compact) insérée dans des blocs prismatiques qui forment le cœur du réacteur. Ce concept est illustré sur la figure Fig. 31. Cette figure montre aussi que l assemblage combustible présente des symétries et est donc conceptuellement plus simple à simuler. Cependant même pour ce concept de cœur, TRIPOLI-4 ne peut simuler l ensemble du système à cause du trop grand nombre de particules de combustible placées aléatoirement. On a donc cherché à savoir si une distribution régulière de particules (où l on peut tirer avantage des fonctionnalités du code, notamment celle performante de réseau de réseaux) peut remplacer une distribution stochastique. Pour cela deux types de simulations ont été effectuées, régulières et aléatoires. Dans le second cas, il s agissait aussi d estimer le nombre de particules aléatoires que l on doit effectivement simuler. Ce schéma d étude est présenté sur le tableau I de l article [69]. Les résultats obtenus (tableau II du même article) ont montré d une part qu un rapport (hauteur du compact/ diamètre externe de la particule) de l ordre de 10 était suffisant pour décrire correctement le compact (réduisant ainsi considérablement le nombre de particules de combustible à prendre en compte) et, d autre part, que la configuration régulière donnait des résultats similaires à celle aléatoire pour les faibles taux de remplissage ( 26%) rencontré avec cette configuration particulière de cœur. 70

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