VIII Les gaz, partie F

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1 VIII Les gaz, parie F Exercices de niveau A Le premier exercice de niveau A s appuie sur une analyse dimensionnelle vue dans le cours pour esimer une durée de diffusion. Le deuxième aide à apprendre l équaion de la diffusion (son obenion e son uilisaion) en l appliquan à un cas saionnaire pariculier e en reprenan scrupuleusemen les noaions du cours. Exercice VIII-A1 : Esimaion d une durée de diffusion onner une esimaion de la durée de diffusion de l ammoniac dans l air en ne enan compe que du phénomène de diffusion a) à la disance L = 1 cm de la source? b) à la disance L = 1m de la source? onnée : = m.s -1. Les influences qualiaives du coefficien d auodiffusion e de la disance L apparaissen immédiaemen : La durée cherchée augmene quand L augmene ou quand diminue. ous pouvons rapidemen répondre à la quesion posée en faisan une analyse dimensionnelle du problème, c es-à-dire en nous inéressan aux uniés. La diffusivié s exprime en m.s -1, la disance en m. onc une durée caracérisique de la diffusion es donnée par L /. La durée cherchée es du même ordre de grandeur que ce quoien. Elle s écri en noan k un coefficien sans dimension : L k Ce coefficien ne peu êre obenu par cee méhode mais es nécessairemen de l ordre de 1. a. Premier cas : ans l expérience commune, cee durée semble souven plus coure à cause des mouvemens de convecion e aussi de la grande sensibilié olfacive de l êre humain. b. euxième cas : Même commenaire. Exercice VIII-A : iffusion de dioxyde de carbone dans l air Le bu de ce exercice es de déerminer le coefficien de diffusion du dioxyde de carbone dans l air. On observe la diffusion unidirecionnelle du dioxyde de carbone dans l air, en régime saionnaire, à l inérieur d un ube de longueur L =,5 m e de secion d aire S = 15 cm. La densié du couran de dioxyde de carbone vau j = 5, m -.s -1. La densié pariculaire du dioxyde de carbone es n * 1 = 1,4.1 m -3 à une exrémié du ube e n * = 8,6.1 1 m -3 à l aure. S x = L Figure 1 : iffusion unidirecionnelle du dioxyde de carbone dans l air a. Enoncer la loi de Fick. Que devien-elle en régime saionnaire?

2 b. Eablir la loi de conservaion du nombre de paricules. En déduire qu en régime saionnaire la densié du couran de paricules es uniforme c es-à-dire indépendane de l abscisse x. c. Eablir l équaion de la diffusion. d. La résoudre dans le cas du régime saionnaire. En déduire le coefficien de diffusion du dioxyde de carbone dans l air. e. Calculer le nombre de molécules de dioxyde de carbone qui passen en une seconde à ravers une secion quelconque du ube. a. La loi de Fick s écri dans le cas général puis dans le cas du régime saionnaire : n j x x x,, j x x b. La loi de conservaion du nombre de paricules s obien en compan de deux manières différenes la variaion de ce nombre dans un volume élémenaire. En calculan cee variaion à parir de celle de la densié pariculaire, nous obenons : * * n ( x, d) S n ( x, ) S +d * n x, d S dans le cas saionnaire Ou en la calculan à parir des enrées e des sories de paricules : enrées sories,, j x S d j x S d j x x, S d dj x S d cas saionnaire L égalié de ces deux expressions fourni la loi de conservaion du nombre de paricules : * n j x, x, x dj x cas saionnaire Cee dernière équaion monre que la densié du couran de paricules es uniforme. c. En combinan la loi de Fick e celle de la conservaion du nombre de paricules nous déduisons l équaion de la diffusion : n n * * x, x, x * x cas saionnaire d. Par deux inégraions successives par rappor à l abscisse, nous obenons : * A * n Ax B Les données numériques de la densié pariculaire en x = e en x = L nous permeen de déerminer les consanes d inégraion A e B : * , 4.1 m n A B 3 B 1, 4.1 m * , 6.1 m n A L B n * 3 ( A., 5 1, 4.1 m 1 1, 4.1 8, 6.1 A, 5 A 4,.1 m La densié du couran de paricules s écri : ) m 4 j A Connaissan la densié du couran de paricules, le coefficien de diffusion s écri : j A umériquemen :. 5 1, 4.1 m s Ce résula es du même ordre de grandeur que les données du cours. e. La densié du couran de paricules es indépendane de l abscisse donc de la secion choisie. Elle es aussi indépendane du emps donc sa valeur insananée es égale à sa valeur moyenne : j Sd S Cee dernière expression donne le nombre de paricules qui raversen une secion en une durée : j S umériquemen : , paricules 14 7, 7.1 paricules

3 Exercice de niveau B Ce exercice raie comme l exercice précéden d un cas saionnaire pariculier mais il s éloigne des noaions du cours e débouche sur le calcul d une masse diffusée. Exercice VIII-B1 : Evaporaion de l eau On plonge un ube verical, de secion S assez grande e ouver à ses deux exrémiés, dans une cuve d eau. A l exrémié supérieure passe un couran d air horizonal, qui enraîne à viesse consane les molécules de vapeur d eau qui on diffusés dans l air du ube. air e vapeur d'eau couran d'air z = l z = eau liquide à C Figure : Evaporaion de l eau a. En supposan qu un régime saionnaire es aein, exprimer la densié du couran de molécules d eau en foncion des densiés pariculaires n à la surface de la cuve e n 1 à l exrémié supérieure du ube de longueur l. b. Le processus de diffusion es assez len pour qu à la base du ube on soi en présence de vapeur d eau saurane (voir ci-dessous), e l on adme que cee vapeur sui approximaivemen la loi des gaz parfais. éerminer la masse d eau qui s évapore par unié de emps à ravers ce disposiif à la empéraure de C. onnées numériques : l = 1 m ; S = cm ; =,.1-5 m.s -1 ; n 1 = m -3 ; Consane des gaz parfais, R = 8,314 J.K -1.mol -1. La pression de vapeur saurane es la pression de la vapeur d eau en équilibre avec l eau liquide. Elle vau 133 Pa à C. a. Il s agi d éablir l équaion de la diffusion en régime saionnaire. La loi de Fick s écri dans le cas général puis dans le cas du régime saionnaire : n j z z z,, j z z La loi de conservaion du nombre de paricules s obien en compan de deux manières différenes la variaion de ce nombre dans un volume élémenaire. En calculan cee variaion à parir de celle de la densié pariculaire, nous obenons : +d n( z, d) S n( z, ) S ans le cas saionnaire : +d n( z) S n( z) S Ou en la calculan à parir des enrées e des sories de paricules : enrées sories j z S d j z S d dj z S d L égalié de ces deux expressions fourni la loi de conservaion du nombre de paricules : dj z Cee dernière équaion monre que la densié du couran de paricules es uniforme dans le cas saionnaire. En combinan la loi de Fick e celle de la conservaion du nombre de paricules nous déduisons l équaion de la diffusion dans le cas saionnaire : z z

4 Par deux inégraions successives par rappor à l abscisse, nous obenons : A n Az B Les données de la densié pariculaire en z = e en z = l nous permeen de déerminer les consanes d inégraion A e B : n A.B B n n A. l B A. l n 1 n A n 1 l La densié du couran de paricules s écri : j A n n1 j l b. La masse m d eau qui s évapore par unié de emps à ravers ce disposiif es égale au nombre de molécules s évaporan muliplié par la masse d une molécule : m. La densié du couran de paricules es indépendane de l abscisse donc de la secion choisie. Elle es aussi indépendane du emps donc sa valeur insananée es égale à sa valeur moyenne : j Sd S Cee dernière expression donne : j S ous obenons : m j S n n1 m S l Il fau mainenan déerminer n. Au conac de l eau liquide, dans le ube de secion S e sur une haueur, donc dans le volume élémenaire S se rouven d molécules d eau à la empéraure T e sous la pression de vapeur saurane p. après l équaion d éa des gaz parfais : d p S RT A La densié pariculaire des molécules d eau en z = s écri donc : d A p n S RT Finalemen la masse cherchée s écri en enan compe de la nullié de n 1 : p p A m S S A l RT l RT ps M m l RT umériquemen : 5 4 3, m 1.8, 3.(73 ) m 11 4, 3.1 kg 4,3.1 μg kg A chaque seconde, cee masse d eau s évapore. Exercices de niveau C Les deux premiers exercices de niveau C raien de la diffusion de paricules dans des solides. ans le premier la diffusion es accompagnée d une producion de paricules ; dans le second les paricules qui diffusen son déposées à l enrée du disposiif e le régime n es pas saionnaire. Enfin le roisième es une applicaion immédiae du complémen VIII. «Coefficien d auodiffusion e chocs inermoléculaires». Exercice VIII-C1 : iffusion de neurons On éudie la diffusion unidirecionnelle de neurons dans un barreau de pluonium cylindrique d axe (Ox) e de secion droie d aire S, s éendan enre les abscisses x = e x = L. La densié pariculaire des neurons dans un volume dv enouran un poin M d abscisse x à l insan de dae es noée n(x, ). Cee diffusion vérifie la loi de Fick, avec un coefficien de diffusion = m.s -1 e plus, à cause des réacions nucléaires enre les neurons e la maière, des neurons son produis. Pendan une durée d, dans un élémen de volume dv, le nombre des neurons produis es donné par : p = K n(x, ) dv d

5 K = 3, s -1 es une consane posiive homogène à l inverse d un emps e caracérisique des réacions nucléaires. On admera en première approximaion que n(x, ) doi s annuler à ou insan aux exrémiés du barreau cylindrique (en x = e en x = L). En revanche, on supposera que n(x, ) ne s annule pas à l inérieur du cylindre. a. Monrer que n(x, ) es soluion de l équaion : n n Kn x b. éerminer n(x) à une consane muliplicaive près en régime saionnaire. Monrer que ce régime n es possible que pour une valeur pariculière L s de la longueur du barreau e calculer L s. c. En régime quelconque, on cherche une soluion de la forme n(x, ) = h(x) exp(-/). éerminer h(x) e. En déduire que n(x, ) diverge si L es supérieure à L s. a. Il s agi de modifier l équaion de la diffusion elle que nous l avons renconrée jusqu à présen. La loi de Fick s écri : n j x, x, x La loi de conservaion du nombre de neurons s obien en compan de deux manières différenes la variaion de ce nombre dans un volume élémenaire. En calculan cee variaion à parir de celle de la densié pariculaire, nous obenons : +d n ( x, d) S n ( x, ) S n x, d S Ou en la calculan à parir du nombre de neurons enrés, soris e produis : enrés soris produis,, j x S d j x S d K n ( x, ) S d j x, S d K n ( x, ) S d x L égalié de ces deux expressions fourni la loi de conservaion du nombre de neurons : n j, x x, K n ( x, ) x En combinan la loi de Fick e celle de la conservaion du nombre de neurons nous déduisons l équaion de la diffusion : n n x, x, K n ( x, ) x b. En régime saionnaire cee équaion devien : d n x K n ( x) C es une équaion différenielle linéaire homogène à coefficiens réels consans, du second ordre, de la forme y + k y=. Sa soluion s écri : n( x) Acos kx B sin kx K avec k = Les condiions aux limies n()= e n(l)= imposen : n() A n( L) B sin kl onc le paramère A es nul. Le paramère B ne peu êre nul lui aussi car alors la densié pariculaire n serai oujours nulle. Le paramère B es donc indéerminé e la longueur L doi vérifier : sin kl kl p avec p enier p p Lp k La condiion sinkl= donne pour L une suie de valeurs dépendan de l enier p. Comme n(x) ne s annule pas à l inérieur du barreau la longueur cherchée es la plus peie de ces longueurs : Ls k K umériquemen, environ 8 cm : Ls 3, m 7, 9.1 m c. ans l équaion différenielle éablie en a. on remplace n(x, ) par son expression. On commence par calculer les dérivées. Rappelons que la dérivée de exp(u) es u exp(u) : n( x, ) h( x) e n 1 ( x, ) h ( x ) e

6 n ( x, ) h '( x ) e x n (, ) ''( ) x h x e x Puis on remplace dans l équaion différenielle e on simplifie par l exponenielle qui n es jamais nulle : 1 1 h( x) e h ''( x) e Kh( x) e h( x) h ''( x) Kh( x) K 1 h ''( x) h( x) La foncion h(x) vérifie une équaion différenielle linéaire du second ordre à coefficiens réels consans de la forme y +k y=. Sa soluion s écri : h( x) Acos k ' x B sin k ' x K 1 avec k ' = L exponenielle n éan jamais nulle, les condiions aux limies n(, )= e n(l, )= imposen : h() A h( L) B sin k ' L onc le paramère A es nul. Le paramère B ne peu êre nul lui aussi car alors la densié pariculaire n serai oujours nulle. Le paramère B es donc indéerminé e la longueur L doi vérifier : sin k' L k ' L p avec p enier p p Lp k ' La condiion sink L= donne pour L une suie de valeurs dépendan de l enier p. Comme n(x) ne s annule pas à l inérieur du barreau la longueur cherchée es la plus peie de ces longueurs : L k' K 1 La longueur L éan donnée, cee équaion fourni le paramère : L L K Si cee valeur éai négaive, la densié pariculaire divergerai c es-à-dire qu elle croîrai indéfinimen. Il fau donc que : soi L K L soi L Ls K Lorsque la longueur L es inférieure à L s la densié pariculaire des neurons ne diverge pas. Exercice VIII-C : iffusion d aomes de bore Pour la fabricaion de cerains composans élecroniques, on fai diffuser des aomes de bore dans un subsra de silicium. Cee diffusion vérifie la loi de Fick ; Le coefficien de diffusion des aomes de bore dans le silicium es noé. On se limie à un modèle de diffusion unidirecionnel dans la direcion noée (Ox). On noe c(x, ) la densié pariculaire des aomes de bore à l abscisse x e à l insan de dae. On dépose sur la face d enrée du silicium (d abscisse x = ) e sur une épaisseur négligeable des aomes de bore don la concenraion par unié de surface es noée n. a. Eablir l équaion différenielle (E) vérifiée par c(x, ). On cherche une soluion de la forme : x c( x, ) B( )exp avec A( ) e B( ) posiifs A () b. Ecrire la conservaion du nombre oal d aomes de bore au cours de la diffusion. En déduire une relaion enre n, A() e B(). c. En uilisan (E) déerminer A(). d. En déduire B(). e. Commener les expressions de c(x, ) pour = e x > puis pour x e >. f. Tracer l allure de c(x, ) en foncion de x à une dae fixée quelconque. g. La profondeur de diffusion es définie comme la disance h elle que : c(, ) c( h, ) e

7 Eablir une relaion enre h, e. h. Pour = 1 heure, h = 5 µm. Calculer. exp u du onnée : a. Il s agi d éablir l équaion de la diffusion. La loi de Fick s écri : c j x, x, x La loi de conservaion du nombre d aomes de bore s obien en compan de deux manières différenes la variaion de ce nombre dans un volume élémenaire. En calculan cee variaion à parir de celle de la densié pariculaire, nous obenons : +d c( x, d) S c( x, ) S c x, d S En la calculan à parir des enrées e des sories d aomes : enrées sories,, j x S d j x S d j x, S d x L égalié de ces deux expressions fourni la loi de conservaion du nombre de paricules : c j x, x, x En combinan la loi de Fick e celle de la conservaion du nombre de paricules nous déduisons l équaion de la diffusion (E) : c x, x, c x b. Le nombre d aomes de bore déposés iniialemen en x= es n S. Ces aomes diffusen sur le demi-axe des abscisses posiives : c( x, ) S n S c( x, ) n x B( ) exp n A () Pour uiliser l inégrale donnée, A() éan posiif, on pose : y x d'où dy A( ) A( ) Les variables x e y varien oues deux de à l infini ; l inégrale s écri : B( ) exp y A( ) dy n B( ) A( ) exp y dy n (1) B( ) A( ) n c. La forme de la densié pariculaire es donnée mais il rese à déerminer A() e B(). Pour ce faire il fau uiliser l équaion (E). On calcule donc les dérivées de la densié pariculaire en commençan par la dérivée emporelle. Rappelons que la dérivée de exp(u) es u exp(u) : x c( x, ) B( ) exp A () c x ( x, ) B '( ) exp A() A '( ) x B( ) x exp A ( ) A ( ) On coninue avec les dérivées spaiales : c x x ( x, ) B( ) exp x A( ) A( ) c B( ) x ( x, ) exp x A( ) A( ) B() x 4x exp A ( ) A ( ) E on remplace dans l équaion (E) : x A'( ) x B '( ) exp B( ) x exp A( ) A ( ) A( ) B( ) x B( ) x exp 4x exp A( ) A( ) A ( ) A( ) On simplifie par l exponenielle qui n es jamais nulle : A'( ) B( ) B( ) B '( ) B( ) x 4x A ( ) A( ) A ( ) Cee égalié doi êre vraie quelles que soien les variables e x donc cela impose à la fois :

8 B ( ) ( a) B '( ) A () A '( ) B( ) ( b) B( ) 4 A ( ) A ( ) Si B() ou A() s annulaien il n y aurai pas diffusion donc la relaion (b) donne : A'( ) 4 On inègre pour obenir A() e on déermine la consane d inégraion sachan qu à l insan iniial la diffusion n ayan pas commencé, la densié pariculaire es nulle : A( ) 4 K A() K A( ) 4 d. On uilise la relaion (1) éablie à la quesion b. : B( ) A( ) n B () n A () n B () Finalemen on peu écrire la densié pariculaire : n x c( x, ) exp 4 e. En ou poin d abscisse sricemen posiive, à l insan iniial =, la diffusion n a pas commencé donc : cx (, ) En un poin donné, la densié pariculaire end vers quand end vers l infini : lim c( x, ) C es bien ce que l on observe sur l expression finalemen obenue pour la densié pariculaire. f. A l aide de Maple nous raçons en uilisan la valeur numérique du coefficien de diffusion ciaprès aux insans de daes 6 e 36 s : = 6 s g. La relaion qui défini la disance h donne : c(, ) c( h, ) e n h n exp 4 e h exp exp( 1) 4 h 4 h 4 h. umériquemen : ensié pariculaire en foncion de l abscisse = 36 s m.s 1, 7.1 m.s Exercice VIII-C3 : iffusion e libre parcours moyen ans les condiions normales de empéraure e de pression le libre parcours moyen du dioxygène es m. Calculer, dans ces condiions, la consane d auodiffusion du dioxygène. après le complémen VIII. «Coefficien d auodiffusion e chocs inermoléculaires» le coefficien d auodiffusion es lié au libre parcours moyen <l> par la relaion : 1 l v 3 La viesse moyenne <v> dépend de la empéraure : 8kT B 8RT v m M onc : 1 1 8RT l v l 3 3 M 1 8.8, m.s , 3.1 m.s, 3 cm.s L ordre de grandeur es conforme à ceux renconrés dans le cours.

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