Considérations générales

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1 Considérations générales - Heures complémentaires non certificatives: les matières reprises dans ce document constituent un supplément aux matières des cours de mathématique dans l optique d apporter aux élèves une culture générale et une préparation utiles aux études supérieures. - Ce recueil de matières constitue une aide aux professeurs. Il doit permettre une meilleure cohérence des cours de mathématique au sein de notre Pouvoir Organisateur. Il appartient aux professeurs, compte tenu du niveau des élèves, de l intérêt et de la motivation de ceux-ci, de sélectionner au sein de ce recueil, les sujets susceptibles de rencontrer les objectifs repris ci-dessous. - Objectif des heures complémentaires: o compléter la formation donnée dans le cadre des programmes en approfondissant certains points du programme obligatoire; o rencontrer des matières nécessaires pour les premières années de quelques filières d études supérieures; o préparer les élèves aux examens d entrée organisés pour l accès à l enseignement supérieur; o fournir l occasion d ouvrir le cours de mathématique aux nouvelles technologies. L utilisation d un logiciel permet d illustrer certains concepts du cours et permet aussi une meilleure compréhension du cours. Les logiciels qui permettent cette illustration sont nombreux: tableur (disponible dans toutes les écoles), Mathematica, GeoGebra (logiciel gratuit), CarRMetal (logiciel gratuit),. Les sujets de cours qui se prêtent à illustration par l utilisation de l outil informatique sont multiples. Citons : - le calcul par approximations successives o de la racine carrée, de la racine cubique d un nombre; o du nombre par la formule de Leibniz, par la méthode d Archimède; o des solutions d une équation (ou des zéros d une fonction) par dichotomie, par la méthode des cordes, par la méthode des tangentes; o de la lim de (sin x) /x pour x tendant vers 0 ou d autres formes indéterminées; o du nombre dérivé d une fonction en un point (ou du coefficient angulaire de la tangente); o d une intégrale définie; - la construction du tableau des valeurs d une fonction; - la représentation graphique d une fonction ou d une famille de fonctions (fonction paramétrique); - la résolution algébrique et la résolution graphique d un système d équations linéaires 2x2 (en envisageant tous les cas possibles); - les exercices de statistique; - la relation entre la fréquence relative d un événement et la probabilité de celui-ci; - le nombre d or et la suite de Fibonacci; - la construction d une conique; - la construction d un lieu géométrique. 1/7

2 Cours de 5e année, 6h/semaine complément de 2h/semaine Continuité - Propriétés des opérations sur les fonctions continues en un point (multiplication par un nombre réel, somme et produit de fonctions continues en un point). Suites de nombres (au sens général, ne se limitant pas aux suites arithmétiques et géométriques) - Définition. - Limite et convergence d une suite. - Suite croissante, suite décroissante. - Suite bornée. - Convergence d une suite majorée et croissante/minorée et décroissante. - Suite de Fibonacci. - Position d un nombre (de 2 nombres) par rapport aux racines d une équation du second degré. - Discussion d équations trigonométriques du second degré. - Systèmes d inéquations du 1 er degré à deux inconnues et problèmes de programmation linéaire 1. - Espaces vectoriels. - Combinaisons linéaires. - Dépendance et indépendance linéaire. - Bases d un espace vectoriel (partie libre et partie génératrice). - Dimension d un espace vectoriel. - Composantes d un vecteur dans une base. - Applications linéaires entre espaces vectoriels: matrice associée, noyau. Géométrie analytique dans l espace - Produit vectoriel de deux vecteurs 2. - Équations d une transformation simple de l espace (symétrie par rapport à un plan du trièdre de base, symétrie par rapport à un point, rotation autour d un axe du système de référence), matrice associée. - Équations d une projection orthogonale sur un plan du système de référence. - Matrices des transformations du plan (rotations centrées à l origine, symétries orthogonales par rapport aux axes de coordonnées, aux bissectrices de ces axes ou par rapport à une droite passant par l origine et faisant avec l axe X un angle de 30, 60, 120 ). - Matrice associée à la projection orthogonale sur un plan du système de référence. 1 on pourra éventuellement faire utiliser un logiciel de géométrie tel que GeoGebra pour effectuer les représentations graphiques. 2 utile en physique et fait partie des notions de base du calcul vectoriel dans l'enseignement supérieur. Permet le calcul du volume d'une pyramide. 2/7

3 Cours de 6e année, 6h/semaine complément de 2h/semaine Étude de fonctions Exponentielles - Calcul des décimales du nombre e. - Fonction exponentielle généralisée. Différentielles - Fonction différentiable. - Interprétation géométrique. - Différentielle de la composée de deux fonctions différentiables. - Règles de différentiation. - Équations différentielles simples. Primitives - Primitive d une fraction rationnelle (par la décomposition de la fraction en somme de fractions simples). Intégrales définies - Calcul de l intégrale définie d une fonction continue par approximations successives. Séries - Série engendrée par une suite, convergence. Taylor MacLaurin - Formules de Taylor et MacLaurin. - Approximation de sin x par un polynôme au voisinage de 0, approximations de cos x, de e x. Intérêts simples intérêts composés annuités - Intérêt simple, intérêt composé. - Valeur acquise, constitution d un capital. - Annuités. Géométrie - Résolution d une équation par approximations successives. - Décomposition d une fraction rationnelle en somme de fractions simples (application des polynômes à coefficients complexes). - Coordonnées polaires, courbes données sous forme paramétrique. - Construction de coniques. Traitement de données numériques calcul des probabilités Probabilités - Analyse combinatoire avec répétitions. 3/7

4 Cours de 5e année, 4h/semaine complément de 1h/semaine Le programme de cours énonce quelques fonctions de référence. Dans le cadre de cette heure complémentaire, le professeur peut étendre les concepts développés à d autres fonctions. Propriétés d une fonction - Croissance, décroissance d une fonction sur un intervalle. - Minimum, maximum d une fonction en un point, sur un intervalle. - Approximation de sin x par x au voisinage de 0. - sin x lim. x 0 x Continuité - Continuité d une fonction en un point, sur un intervalle. - Propriétés des opérations sur les fonctions continues (multiplication par un nombre réel, somme et produit de fonctions continues en un point). Suites arithmétiques et suites géométriques - Calcul de la limite d une suite géométrique. - Espaces vectoriels. Calcul matriciel - Tableau de nombres, matrice. - Transposée d'une matrice, somme de deux matrices, opposé d'une matrice, produit d'une matrice par un nombre réel, produit de deux matrices, inverse d'une matrice. - Propriétés du calcul matriciel. - Applications du calcul matriciel. - Déterminant d une matrice carrée. - Propriétés du calcul des déterminants. - Systèmes d équations linéaires paramétriques, discussion de systèmes de 3 équations à 3 inconnues. Trigonométrie - Expression des nombres trigonométriques de x en fonction de tg(x/2). - Formules de Simpson. 4/7

5 Cours de 6e année, 4h/semaine complément de 1h/semaine - Réciproques des fonctions trigonométriques, continuité, dérivabilité. - Continuité des fonctions exponentielles et logarithmiques. - Formules de Taylor et de MacLaurin. - Approximation de sin x par un polynôme au voisinage de 0. Nombres complexes - Définitions, opérations et propriétés. - Module et argument d un nombre complexe, module d un produit de nombres complexes, module du quotient de deux nombres complexes. - Représentation géométrique d un nombre complexe. - Formule de De Moivre. - Résolution d équations dans l ensemble des nombres complexes. Géométrie analytique dans le plan - Coniques - Résolution de problèmes géométriques sur les points, sur les droites dans le plan. - Lieux géométriques. Géométrie synthétique dans l espace - La sphère : positions relatives d un plan et d une sphère, positions relatives de deux sphères. 5/7

6 Cours de 5e année, 2h/semaine complément de 1h/semaine : On considérera, outre les fonctions de référence énoncées dans le programme, les fonctions polynomiales, les fonctions rationnelles simples et les fonctions trigonométriques. - Composition de deux fonctions. - Représentation graphique de fonctions au départ des fonctions de référence. - Définition de la croissance, de la décroissance, du maximum et du minimum d une fonction sur un intervalle. - Définition de la parité et de la périodicité d une fonction. - Définition de la réciproque d une fonction : condition d existence. - Limite d'une fonction en un point, extension de l'ensemble des nombres réels à + et -. - Continuité d une fonction en un point, sur un intervalle. - Asymptotes, équations des asymptotes. - Dérivabilité d'une fonction en un point. - Équation de la tangente en un point du graphique d une fonction. - Définition de la fonction dérivée d une fonction. - Formules de dérivation. - Règle de l Hospital. - Dérivée première et croissance, maximum, minimum. - Dérivée seconde et concavité. - Études de fonctions. - Représentation graphique de fonctions. Trigonométrie - Formules d addition et de duplication. - Résolution d équations trigonométriques. Géométrie synthétique dans l espace - Géométrie d'incidence : axiomes, droites, plans, positions relatives. - Représentation plane de points, de droites, de plans et de solides. - Recherche de sections planes et de points de percée. - Représentation en perspective. 6/7

7 Cours de 6e année, 2h/semaine complément de 1h/semaine - Fonctions exponentielles. - Le nombre e et ses propriétés. - Calcul de limites, de dérivées des fonctions exponentielles et logarithmiques. - Étude de fonctions logarithmiques et exponentielles. - Primitives d'une fonction. - Calcul de primitives. - Intégrale définie d'une fonction sur un intervalle. - Lien entre intégrale définie et primitive. - Calcul d'une intégrale définie. - Signification géométrique de l'intégrale définie. - Applications du calcul intégral comme le calcul d'aires et de volumes. - Résoudre des problèmes d optimisation. Traitement des données - Analyse combinatoire, notion de combinaison. - Triangle de Pascal. Binôme de Newton. 7/7