B. Théorème de l énergie cinétique, énergie potentielle.

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1 Mouvement du centre de masse A. Théorème de la résultante cinétique. Le théorème de la résultante cinétique (ou théorème du centre d inertie) donne un intérêt tout particulier à la mécanique du point. Ce théorème stipule en effet que dans un référentiel galiléen, le mouvement du centre d inertie d un système est celui d un point matériel confondu avec G, affecté de toute la masse du système, et sur lequel s exerce la résultante des forces extérieures appliquées au système, y compris les forces de liaison. Ce mouvement est donc régi par : f = dp/ dt avec p = mv B. Théorème de l énergie cinétique, énergie potentielle. La variation d énergie cinétique d un point est égale au travail de la résultante f des forces agissant sur ce point. mv / / mv = f.dl MM Ce résultat constitue le théorème de l énergie cinétique. Dans le cas où la résultante se met sous la forme : f = grad U La fonction U définie à une constante additive près s appelle énergie potentielle du point dans le champ de force donné. On montre alors que : E + U = E soit / mv + U = E c Où E est une constante du mouvement appelée énergie mécanique ou énergie totale du point de champ de force donné. C. Force d inertie. Si le mouvement d un point est étudié dans un référentiel non galiléen, on doit tenir compte des forces d inertie : finertie = m γ m γ avec γ = ω v e c c e r Que l on ajoute aux autres forces dans l équation du mouvement. La terre n est pas rigoureusement un référentiel galiléen. Rappelons que le poids d un corps contient la force d inertie d entraînement. La force d inertie de Coriolis intervient lors de l étude fine de certains mouvements (déviation vers l est, pendule de Foucault ).

2 Exercices Ex.. Solution intrinsèque des équations de mouvement. Le but de cet exercice est de montrer que l on peut, dans certains cas, résoudre l équation de mouvement de façon intrinsèque (i.e. vectorielle) sans faire appel explicitement à un système de coordonnées. On considère le problème classique du tir dans le vide : un point matériel, lancé dans un champ de pesanteur uniforme en un point M avec une vitesse initiale v est ensuite abandonné à lui-même (c est-à-dire qu on le suppose soumis seulement à son poids). Ecrire l équation du mouvement sous forme vectorielle et l intégrer sous cette forme. Montrer que les constantes d intégration (vectorielles!) qui s introduisent dans la solution sont v et OM (On désignera par m la masse d un point, par g le champ de pesanteur.) Reprendre la question précédente en supposant que le point est soumis à son poids et à une force de frottement du type - kv, où k est une constante. Réponse : L équation du mouvement s écrit md OM / dt = mg, soit dv = g dt. Une première intégration donne v = v + g t, soit dom = v dt + g tdt ; d où par intégration : OM = /gt + vt + OM En tenant compte de la résistance de l air, l équation du mouvement s écrit : dv/ d t + k / m v = g qui s intègre comme une équation différentielle ordinaire en : ( m / k ) v = g + A e ( k / m) t où A est une constante vectorielle d intégration. On peut d ailleurs retrouver ce résultat en projetant l équation du mouvement sur des axes. La constante A = v m / k g. Comme dom = v dt, on obtient, après ( ) d intégration vaut : intégration : ( ) OM = m / k gt + m / k v m / k g exp kt / m + OM Ex.. Recherche de trajectoire. Un point matériel M de masse m, est placé dans un champ de force f = kom, où O désigne un point fixe d un référentiel galiléen et k une constante positive. L espace étant rapporté à un repère orthonormé Oxyz. Les conditions initiales sont les suivantes : pour t =, x = a, y =, z =, x& =, y& = v, z& =. Déterminer x, y et z en fonction du temps, ainsi que la nature de la trajectoire dont on obtiendra l équation en éliminant t entre les expressions précédentes. Montrer que l on peut donner une forme vectorielle à l expression de OM ; chercher à résoudre l équation du mouvement de façon intrinsèque.

3 Réponse : Projetée sur les trois axes, l équation du mouvement donne : d x / d t = ω x; d y / d t = ω y; d z / dt = ω z Avec ω = k m / Compte tenu des conditions initiales, l intégration est immédiate : x = ach ω t, y = v / ω sh ω t, z = avec ω = k / m En éliminant t grâce à l identité ch u shu =, on obtient : x / a ω y / v = La trajectoire est donc une branche d hyperbole. On peut donner à OM l expression : ( / ) OM = OM chω t + v ω shω t Expression que l on aurait pu obtenir directement en intégrant l équation différentielle : md OM/ dt = k OM De façon intrinsèque (cf. ex. ) ; l équation s intègre en : ωt ωt OM = Ae + Be avec ω = k / m où A et B sont des constantes vectorielles que l on intègre à l aide des conditions initiales : e + e e e OM = ( A + B) + ( A - B ) t t t t ω ω ω ω A + B = OM; ω A - B = v On retrouve ainsi l expression encadrée ci-dessus. Ex.3. Intégration de l équation du mouvement par l intermédiaire de la vitesse. Un point matériel de masse m est lancé verticalement vers le haut avec la vitesse v ; la résistance de l air est de la forme f = Kv où K est une constante. Quel est le temps mis pour atteindre l altitude maximale zm? Donner l expression de cette altitude maximale zm.

4 Quelle est l expression de la vitesse v du point lorsque celui-ci repasse dans le plan z =? Indication : On ne cherchera pas à résoudre en z l équation du mouvement, mais on intégrera celle-ci par l intermédiaire de v = dz/dt. Réponse : Dans la phase ascendante, l équation du mouvement, projetée sur la verticale ascendante Oz, s écrit : dv m mg Kv dt = Soit K v g v t m d + = d D où le temps T mis pour atteindre l altitude maximale zm : T dv dv = = g + K m v g + K mg v v v. ( / ) ( / ) Intégrale dont le calcul est classique ; on obtient ainsi : T = m / Kg Arctg K / mg v Arctg ' K / mg K / mg v = + K / mg v ; On obtient zm l altitude maximale, en intégrant dz = vdt, soit : K dz = vd v / g + v m de v = v à v =. on obtient : v mg zm = v K mg v g = + + K / mg v g K m ( ) v v d ln / ( / ) ln ( / ) z = m K + Kv mg Dans la phase descendante du mouvement, la force de frottement est cette fois dirigée vers Oz positif, de sorte que l équation du mouvement s écrit maintenant : dv m = mg + Kv dt.

5 d où l on tire dt comme ci-dessus, puis / K dz = vdt = vdv g + v m z = zm et z =. On obtient immédiatement : que l on intègre entre + Kv / mg = Kv / mg Ex.5. Lancement d une fusée. Une fusée a les caractéristiques suivantes : Masse des structures et de l équipement : M = 5 T; masse du mélange propulsif au départ : m = 5 T ; vitesse des gaz brûlés relativement à la fusée : u = 5 m.s- ; débit des gaz brûlés : a = 4 kg.s-. On néglige la résistance de l air et l on supposera constante l accélération de la pesanteur, soit g = m.s-. On choisira la date du lancement comme origine des temps. A quelle inégalité doivent satisfaire les grandeurs précédentes pour que la fusée puisse décoller du sol verticalement? Etablir à un instant t quelconque de la phase propulsive, l accélération γ et la vitesse v de la fusée, ainsi que l altitude z atteinte. 3 A quel instant t, se termine la combustion du carburant? Calculer les valeurs γ, v, z des trois grandeurs précédentes à l instant t? Réponse : Pour établir correctement l équation du mouvement de la fusée, Il faut écrire le principe fondamental de la dynamique sous la forme : d p / dt = f où dp est la variation de quantité de mouvement entre les instants t et t + dt d un système bien défini. Nous prendrons comme système la fusée à l instant t : p(t) = m(t)v avec m(t) = M + m at ; à l instant t + dt ce système se compose de la fusée de masse m(t) adt et de vitesse v + dv, et de la masse adt du gaz animée d une vitesse v + u par rapport au sol : p( t + d t) = ( m ad t)( v + d v) + ad t( v + u) soit, en négligeant les termes du second ordre : d p = p( t + d t) p( t) = m d v) + audt L équation du mouvement s écrit donc : m dv/ dt = f au = m g au Soit, en projection sur la verticale ascendante : m dv/ d t = m g + au = avec m ( t) = M + m at Pour qu à l instant initial t = la fusée puisse décoller, il faut que son accélération soit positive, soit dv/dt > pour t = ; d où la condition :

6 au > g [ M + m] On vérifie sans peine que la condition précédente est satisfaite ; l équation précédente, qui donnait l accélération γ = dv/dt, s intègre facilement une première fois en : M + m v = u ln gt avec v = d z / d t M + m at expression qui satisfait bien à v = pour t =. Une seconde intégration donne z (on rappelle que ln xd x = x(ln x ) ) ; on obtient ainsi : M + m at M + m z = u ln + ut gt a M + m at ln v = u ln M + m M + m at gt ln ( M + m at ) dt = ( M + m at ) ln ( M + m at ) a z = u ln M + m t + M + m at ln M + m at gt a t ( )( ( ) ) z = u ln ( M + m) t + ( M + m at) ( ln ( M + m at) ) ( M + m) ( ln ( M + m) ) gt a a M + m M + m M + m at M + m z = u ln t + ut ( M + m) u ln = u ln + ut gt M + m at a M + m at a M + m at 3 La combustion se termine à l instant t tel que m = at, soit : t = m / a A.N. t = 5 s Les expressions littérales de γ, v et z s en déduisent immédiatement. On obtient comme valeurs numériques : - - γ = 9 m.s ; v = 475 m.s ; z = 59 km ( γ = g + au / M ) On remarquera que la valeur de z justifie, en première approximation, le fait que l on ait considéré g comme constant. Pour t > t, le mouvement est une «chute libre».

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