B. Théorème de l énergie cinétique, énergie potentielle.

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "B. Théorème de l énergie cinétique, énergie potentielle."

Transcription

1 Mouvement du centre de masse A. Théorème de la résultante cinétique. Le théorème de la résultante cinétique (ou théorème du centre d inertie) donne un intérêt tout particulier à la mécanique du point. Ce théorème stipule en effet que dans un référentiel galiléen, le mouvement du centre d inertie d un système est celui d un point matériel confondu avec G, affecté de toute la masse du système, et sur lequel s exerce la résultante des forces extérieures appliquées au système, y compris les forces de liaison. Ce mouvement est donc régi par : f = dp/ dt avec p = mv B. Théorème de l énergie cinétique, énergie potentielle. La variation d énergie cinétique d un point est égale au travail de la résultante f des forces agissant sur ce point. mv / / mv = f.dl MM Ce résultat constitue le théorème de l énergie cinétique. Dans le cas où la résultante se met sous la forme : f = grad U La fonction U définie à une constante additive près s appelle énergie potentielle du point dans le champ de force donné. On montre alors que : E + U = E soit / mv + U = E c Où E est une constante du mouvement appelée énergie mécanique ou énergie totale du point de champ de force donné. C. Force d inertie. Si le mouvement d un point est étudié dans un référentiel non galiléen, on doit tenir compte des forces d inertie : finertie = m γ m γ avec γ = ω v e c c e r Que l on ajoute aux autres forces dans l équation du mouvement. La terre n est pas rigoureusement un référentiel galiléen. Rappelons que le poids d un corps contient la force d inertie d entraînement. La force d inertie de Coriolis intervient lors de l étude fine de certains mouvements (déviation vers l est, pendule de Foucault ).

2 Exercices Ex.. Solution intrinsèque des équations de mouvement. Le but de cet exercice est de montrer que l on peut, dans certains cas, résoudre l équation de mouvement de façon intrinsèque (i.e. vectorielle) sans faire appel explicitement à un système de coordonnées. On considère le problème classique du tir dans le vide : un point matériel, lancé dans un champ de pesanteur uniforme en un point M avec une vitesse initiale v est ensuite abandonné à lui-même (c est-à-dire qu on le suppose soumis seulement à son poids). Ecrire l équation du mouvement sous forme vectorielle et l intégrer sous cette forme. Montrer que les constantes d intégration (vectorielles!) qui s introduisent dans la solution sont v et OM (On désignera par m la masse d un point, par g le champ de pesanteur.) Reprendre la question précédente en supposant que le point est soumis à son poids et à une force de frottement du type - kv, où k est une constante. Réponse : L équation du mouvement s écrit md OM / dt = mg, soit dv = g dt. Une première intégration donne v = v + g t, soit dom = v dt + g tdt ; d où par intégration : OM = /gt + vt + OM En tenant compte de la résistance de l air, l équation du mouvement s écrit : dv/ d t + k / m v = g qui s intègre comme une équation différentielle ordinaire en : ( m / k ) v = g + A e ( k / m) t où A est une constante vectorielle d intégration. On peut d ailleurs retrouver ce résultat en projetant l équation du mouvement sur des axes. La constante A = v m / k g. Comme dom = v dt, on obtient, après ( ) d intégration vaut : intégration : ( ) OM = m / k gt + m / k v m / k g exp kt / m + OM Ex.. Recherche de trajectoire. Un point matériel M de masse m, est placé dans un champ de force f = kom, où O désigne un point fixe d un référentiel galiléen et k une constante positive. L espace étant rapporté à un repère orthonormé Oxyz. Les conditions initiales sont les suivantes : pour t =, x = a, y =, z =, x& =, y& = v, z& =. Déterminer x, y et z en fonction du temps, ainsi que la nature de la trajectoire dont on obtiendra l équation en éliminant t entre les expressions précédentes. Montrer que l on peut donner une forme vectorielle à l expression de OM ; chercher à résoudre l équation du mouvement de façon intrinsèque.

3 Réponse : Projetée sur les trois axes, l équation du mouvement donne : d x / d t = ω x; d y / d t = ω y; d z / dt = ω z Avec ω = k m / Compte tenu des conditions initiales, l intégration est immédiate : x = ach ω t, y = v / ω sh ω t, z = avec ω = k / m En éliminant t grâce à l identité ch u shu =, on obtient : x / a ω y / v = La trajectoire est donc une branche d hyperbole. On peut donner à OM l expression : ( / ) OM = OM chω t + v ω shω t Expression que l on aurait pu obtenir directement en intégrant l équation différentielle : md OM/ dt = k OM De façon intrinsèque (cf. ex. ) ; l équation s intègre en : ωt ωt OM = Ae + Be avec ω = k / m où A et B sont des constantes vectorielles que l on intègre à l aide des conditions initiales : e + e e e OM = ( A + B) + ( A - B ) t t t t ω ω ω ω A + B = OM; ω A - B = v On retrouve ainsi l expression encadrée ci-dessus. Ex.3. Intégration de l équation du mouvement par l intermédiaire de la vitesse. Un point matériel de masse m est lancé verticalement vers le haut avec la vitesse v ; la résistance de l air est de la forme f = Kv où K est une constante. Quel est le temps mis pour atteindre l altitude maximale zm? Donner l expression de cette altitude maximale zm.

4 Quelle est l expression de la vitesse v du point lorsque celui-ci repasse dans le plan z =? Indication : On ne cherchera pas à résoudre en z l équation du mouvement, mais on intégrera celle-ci par l intermédiaire de v = dz/dt. Réponse : Dans la phase ascendante, l équation du mouvement, projetée sur la verticale ascendante Oz, s écrit : dv m mg Kv dt = Soit K v g v t m d + = d D où le temps T mis pour atteindre l altitude maximale zm : T dv dv = = g + K m v g + K mg v v v. ( / ) ( / ) Intégrale dont le calcul est classique ; on obtient ainsi : T = m / Kg Arctg K / mg v Arctg ' K / mg K / mg v = + K / mg v ; On obtient zm l altitude maximale, en intégrant dz = vdt, soit : K dz = vd v / g + v m de v = v à v =. on obtient : v mg zm = v K mg v g = + + K / mg v g K m ( ) v v d ln / ( / ) ln ( / ) z = m K + Kv mg Dans la phase descendante du mouvement, la force de frottement est cette fois dirigée vers Oz positif, de sorte que l équation du mouvement s écrit maintenant : dv m = mg + Kv dt.

5 d où l on tire dt comme ci-dessus, puis / K dz = vdt = vdv g + v m z = zm et z =. On obtient immédiatement : que l on intègre entre + Kv / mg = Kv / mg Ex.5. Lancement d une fusée. Une fusée a les caractéristiques suivantes : Masse des structures et de l équipement : M = 5 T; masse du mélange propulsif au départ : m = 5 T ; vitesse des gaz brûlés relativement à la fusée : u = 5 m.s- ; débit des gaz brûlés : a = 4 kg.s-. On néglige la résistance de l air et l on supposera constante l accélération de la pesanteur, soit g = m.s-. On choisira la date du lancement comme origine des temps. A quelle inégalité doivent satisfaire les grandeurs précédentes pour que la fusée puisse décoller du sol verticalement? Etablir à un instant t quelconque de la phase propulsive, l accélération γ et la vitesse v de la fusée, ainsi que l altitude z atteinte. 3 A quel instant t, se termine la combustion du carburant? Calculer les valeurs γ, v, z des trois grandeurs précédentes à l instant t? Réponse : Pour établir correctement l équation du mouvement de la fusée, Il faut écrire le principe fondamental de la dynamique sous la forme : d p / dt = f où dp est la variation de quantité de mouvement entre les instants t et t + dt d un système bien défini. Nous prendrons comme système la fusée à l instant t : p(t) = m(t)v avec m(t) = M + m at ; à l instant t + dt ce système se compose de la fusée de masse m(t) adt et de vitesse v + dv, et de la masse adt du gaz animée d une vitesse v + u par rapport au sol : p( t + d t) = ( m ad t)( v + d v) + ad t( v + u) soit, en négligeant les termes du second ordre : d p = p( t + d t) p( t) = m d v) + audt L équation du mouvement s écrit donc : m dv/ dt = f au = m g au Soit, en projection sur la verticale ascendante : m dv/ d t = m g + au = avec m ( t) = M + m at Pour qu à l instant initial t = la fusée puisse décoller, il faut que son accélération soit positive, soit dv/dt > pour t = ; d où la condition :

6 au > g [ M + m] On vérifie sans peine que la condition précédente est satisfaite ; l équation précédente, qui donnait l accélération γ = dv/dt, s intègre facilement une première fois en : M + m v = u ln gt avec v = d z / d t M + m at expression qui satisfait bien à v = pour t =. Une seconde intégration donne z (on rappelle que ln xd x = x(ln x ) ) ; on obtient ainsi : M + m at M + m z = u ln + ut gt a M + m at ln v = u ln M + m M + m at gt ln ( M + m at ) dt = ( M + m at ) ln ( M + m at ) a z = u ln M + m t + M + m at ln M + m at gt a t ( )( ( ) ) z = u ln ( M + m) t + ( M + m at) ( ln ( M + m at) ) ( M + m) ( ln ( M + m) ) gt a a M + m M + m M + m at M + m z = u ln t + ut ( M + m) u ln = u ln + ut gt M + m at a M + m at a M + m at 3 La combustion se termine à l instant t tel que m = at, soit : t = m / a A.N. t = 5 s Les expressions littérales de γ, v et z s en déduisent immédiatement. On obtient comme valeurs numériques : - - γ = 9 m.s ; v = 475 m.s ; z = 59 km ( γ = g + au / M ) On remarquera que la valeur de z justifie, en première approximation, le fait que l on ait considéré g comme constant. Pour t > t, le mouvement est une «chute libre».

7

Erratum de MÉCANIQUE, 6ème édition. Introduction Page xxi (milieu de page) G = 6, 672 59 10 11 m 3 kg 1 s 2

Erratum de MÉCANIQUE, 6ème édition. Introduction Page xxi (milieu de page) G = 6, 672 59 10 11 m 3 kg 1 s 2 Introduction Page xxi (milieu de page) G = 6, 672 59 1 11 m 3 kg 1 s 2 Erratum de MÉCANIQUE, 6ème édition Page xxv (dernier tiers de page) le terme de Coriolis est supérieur à 1% du poids) Chapitre 1 Page

Plus en détail

TS Physique Satellite à la recherche de sa planète Exercice résolu

TS Physique Satellite à la recherche de sa planète Exercice résolu P a g e 1 Phsique atellite à la recherche de sa planète Exercice résolu Enoncé Le centre spatial de Kourou a lancé le 1 décembre 005, avec une fusée Ariane 5, un satellite de météorologie de seconde génération

Plus en détail

Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 1

Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 1 Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 1 Définition: La cinématique est une branche de la mécanique qui étudie les mouements des corps dans l espace en fonction du temps indépendamment des causes

Plus en détail

Chapitre 0 Introduction à la cinématique

Chapitre 0 Introduction à la cinématique Chapitre 0 Introduction à la cinématique Plan Vitesse, accélération Coordonnées polaires Exercices corrigés Vitesse, Accélération La cinématique est l étude du mouvement Elle suppose donc l existence à

Plus en détail

Examen d informatique première session 2004

Examen d informatique première session 2004 Examen d informatique première session 2004 Le chiffre à côté du titre de la question indique le nombre de points sur 40. I) Lentille électrostatique à fente (14) Le problème étudié est à deux dimensions.

Plus en détail

Système formé de deux points

Système formé de deux points MPSI - 2005/2006 - Mécanique II - Système formé de deux points matériels page /5 Système formé de deux points matériels Table des matières Éléments cinétiques. Éléments cinétiques dans R.......................2

Plus en détail

Chapitre 1 Cinématique du point matériel

Chapitre 1 Cinématique du point matériel Chapitre 1 Cinématique du point matériel 7 1.1. Introduction 1.1.1. Domaine d étude Le programme de mécanique de math sup se limite à l étude de la mécanique classique. Sont exclus : la relativité et la

Plus en détail

DM n o 8 TS1 2012 Physique 10 (satellites) + Chimie 12 (catalyse) Exercice 1 Lancement d un satellite météorologique

DM n o 8 TS1 2012 Physique 10 (satellites) + Chimie 12 (catalyse) Exercice 1 Lancement d un satellite météorologique DM n o 8 TS1 2012 Physique 10 (satellites) + Chimie 12 (catalyse) Exercice 1 Lancement d un satellite météorologique Le centre spatial de Kourou a lancé le 21 décembre 200, avec une fusée Ariane, un satellite

Plus en détail

CONCOURS COMMUN 2010 PHYSIQUE

CONCOURS COMMUN 2010 PHYSIQUE CONCOUS COMMUN SUJET A DES ÉCOLES DES MINES D ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve de Physique-Chimie (toutes filières) Corrigé Barème total points : Physique points - Chimie 68 points PHYSIQUE Partie A :

Plus en détail

Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté

Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté Chapitre 4 Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté 4.1 Introduction Les systèmes qui nécessitent deux coordonnées indépendantes pour spécifier leurs positions sont appelés systèmes à

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction

Plus en détail

Dimensionnement d une roue autonome pour une implantation sur un fauteuil roulant

Dimensionnement d une roue autonome pour une implantation sur un fauteuil roulant Dimensionnement d une roue autonome pour une implantation sur un fauteuil roulant I Présentation I.1 La roue autonome Ez-Wheel SAS est une entreprise française de technologie innovante fondée en 2009.

Plus en détail

Repérage d un point - Vitesse et

Repérage d un point - Vitesse et PSI - écanique I - Repérage d un point - Vitesse et accélération page 1/6 Repérage d un point - Vitesse et accélération Table des matières 1 Espace et temps - Référentiel d observation 1 2 Coordonnées

Plus en détail

Cours et Exercices de Mécanique :

Cours et Exercices de Mécanique : Cours et Eercices de Mécanique : Mécanique du Point Ingénieur CESI Préparation au tests de sélection Version 40-1 - Programme de physique B Mécanique Chapitre 5 : Statique - Forces, moments de forces,

Plus en détail

Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables

Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables PC*2 2 septembre 2009 Avant-propos À part le théorème de Fubini qui sera démontré dans le cours sur les intégrales à paramètres et qui ne semble pas explicitement

Plus en détail

Michel Henry Nicolas Delorme

Michel Henry Nicolas Delorme Michel Henry Nicolas Delorme Mécanique du point Cours + Exos Michel Henry Maître de conférences à l IUFM des Pays de Loire (Le Mans) Agrégé de physique Nicolas Delorme Maître de conférences à l université

Plus en détail

STATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE

STATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE ÉCOLE D'INGÉNIEURS DE FRIBOURG (E.I.F.) SECTION DE MÉCANIQUE G.R. Nicolet, revu en 2006 STATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE Eléments de calcul vectoriel Opérations avec les forces Equilibre du point

Plus en détail

Mécanique du Point Matériel

Mécanique du Point Matériel LYCEE FAIDHERBE LILLE ANNEE SCOLAIRE 2010-2011 SUP PCSI2 JFA. Bange Mécanique du Point Matériel Plan A. Formulaire 1. Cinématique du point matériel 2. Dynamique du point matériel 3. Travail, énergie 4.

Plus en détail

Chapitre 5: Oscillations d un pendule élastique horizontal

Chapitre 5: Oscillations d un pendule élastique horizontal 1 re B et C 5 Oscillations d'un pendule élastique horizontal 40 Chapitre 5: Oscillations d un pendule élastique horizontal 1. Définitions a) Oscillateur écanique * Un systèe écanique qui effectue un ouveent

Plus en détail

DYNAMIQUE DE FORMATION DES ÉTOILES

DYNAMIQUE DE FORMATION DES ÉTOILES A 99 PHYS. II ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE,

Plus en détail

Premier principe de la thermodynamique - conservation de l énergie

Premier principe de la thermodynamique - conservation de l énergie Chapitre 5 Premier principe de la thermodynamique - conservation de l énergie 5.1 Bilan d énergie 5.1.1 Énergie totale d un système fermé L énergie totale E T d un système thermodynamique fermé de masse

Plus en détail

Mécanique. Chapitre 4. Mécanique en référentiel non galiléen

Mécanique. Chapitre 4. Mécanique en référentiel non galiléen Mécanique Chapitre 4 Mécanique en référentiel non galiléen I Référentiel en translation Mécanique en référentiel non galiléen Jusqu à présent, nous avons fait de la mécanique du point dans un référentiel

Plus en détail

Chapitre 5. Le ressort. F ext. F ressort

Chapitre 5. Le ressort. F ext. F ressort Chapitre 5 Le ressort Le ressort est un élément fondamental de plusieurs mécanismes. Il existe plusieurs types de ressorts (à boudin, à lame, spiral etc.) Que l on comprime ou étire un ressort, tel que

Plus en détail

Module d Electricité. 2 ème partie : Electrostatique. Fabrice Sincère (version 3.0.1) http://pagesperso-orange.fr/fabrice.sincere

Module d Electricité. 2 ème partie : Electrostatique. Fabrice Sincère (version 3.0.1) http://pagesperso-orange.fr/fabrice.sincere Module d Electricité 2 ème partie : Electrostatique Fabrice Sincère (version 3.0.1) http://pagesperso-orange.fr/fabrice.sincere 1 Introduction Principaux constituants de la matière : - protons : charge

Plus en détail

Mécanique : Cinématique du point. Chapitre 1 : Position. Vitesse. Accélération

Mécanique : Cinématique du point. Chapitre 1 : Position. Vitesse. Accélération 2 e B et C 1 Position. Vitesse. Accélération 1 Mécanique : Cinéatique du point La écanique est le doaine de tout ce qui produit ou transet un ouveent, une force, une déforation : achines, oteurs, véhicules,

Plus en détail

Quantité de mouvement et moment cinétique

Quantité de mouvement et moment cinétique 6 Quantité de mouvement et moment cinétique v7 p = mv L = r p 1 Impulsion et quantité de mouvement Une force F agit sur un corps de masse m, pendant un temps Δt. La vitesse du corps varie de Δv = v f -

Plus en détail

Les correcteurs accorderont une importance particulière à la rigueur des raisonnements et aux représentations graphiques demandées.

Les correcteurs accorderont une importance particulière à la rigueur des raisonnements et aux représentations graphiques demandées. Les correcteurs accorderont une importance particulière à la rigueur des raisonnements et aux représentations graphiques demandées. 1 Ce sujet aborde le phénomène d instabilité dans des systèmes dynamiques

Plus en détail

CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES.

CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES. CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE EQUATIONS DIFFERENTIELLES Le but de ce chapitre est la résolution des deux types de systèmes différentiels linéaires

Plus en détail

Chapitre 9 : Applications des lois de Newton et Kepler à l'étude du mouvement des planètes et des satellites

Chapitre 9 : Applications des lois de Newton et Kepler à l'étude du mouvement des planètes et des satellites I- Les trois lois de Kepler : Chapitre 9 : Applications des lois de Newton et Kepler à l'étude du mouvement des planètes et des satellites Les lois de Kepler s'applique aussi bien pour une planète en mouvement

Plus en détail

F411 - Courbes Paramétrées, Polaires

F411 - Courbes Paramétrées, Polaires 1/43 Courbes Paramétrées Courbes polaires Longueur d un arc, Courbure F411 - Courbes Paramétrées, Polaires Michel Fournié michel.fournie@iut-tlse3.fr http://www.math.univ-toulouse.fr/ fournie/ Année 2012/2013

Plus en détail

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet

Plus en détail

10 leçon 2. Leçon n 2 : Contact entre deux solides. Frottement de glissement. Exemples. (PC ou 1 er CU)

10 leçon 2. Leçon n 2 : Contact entre deux solides. Frottement de glissement. Exemples. (PC ou 1 er CU) 0 leçon 2 Leçon n 2 : Contact entre deu solides Frottement de glissement Eemples (PC ou er CU) Introduction Contact entre deu solides Liaisons de contact 2 Contact ponctuel 2 Frottement de glissement 2

Plus en détail

Algorithmes pour la planification de mouvements en robotique non-holonome

Algorithmes pour la planification de mouvements en robotique non-holonome Algorithmes pour la planification de mouvements en robotique non-holonome Frédéric Jean Unité de Mathématiques Appliquées ENSTA Le 02 février 2006 Outline 1 2 3 Modélisation Géométrique d un Robot Robot

Plus en détail

Mécanique du point et des systèmes matériels Version préliminaire sans garantie DEUG SMA2 2003 04, module PHYS-SP32

Mécanique du point et des systèmes matériels Version préliminaire sans garantie DEUG SMA2 2003 04, module PHYS-SP32 Mécanique du point et des systèmes matériels Version préliminaire sans garantie DEUG SMA2 2003 04, module PHYS-SP32 Jean-Marc Richard Version du 2 novembre 2003 Table des matières Introduction 5. Avertissement.................................

Plus en détail

I - Quelques propriétés des étoiles à neutrons

I - Quelques propriétés des étoiles à neutrons Formation Interuniversitaire de Physique Option de L3 Ecole Normale Supérieure de Paris Astrophysique Patrick Hennebelle François Levrier Sixième TD 14 avril 2015 Les étoiles dont la masse initiale est

Plus en détail

MECANIQUE DU POINT. y e y. z e z. ] est le trièdre de référence. e z. où [O, e r. r est la distance à l'axe, θ l'angle polaire et z la côte

MECANIQUE DU POINT. y e y. z e z. ] est le trièdre de référence. e z. où [O, e r. r est la distance à l'axe, θ l'angle polaire et z la côte I) Cinématique du point matériel: 1) Référentiel: MECANIQUE DU POINT L ensemble de tous les systèmes d axes de coordonnées liés à un même solide de référence S constitue un repère Soit une horloge permettant

Plus en détail

SEANCE 4 : MECANIQUE THEOREMES FONDAMENTAUX

SEANCE 4 : MECANIQUE THEOREMES FONDAMENTAUX SEANCE 4 : MECANIQUE THEOREMES FONDAMENTAUX 1. EXPERIENCE 1 : APPLICATION DE LA LOI FONDAMENTALE DE LA DYNAMIQUE a) On incline d un angle α la table à digitaliser (deuxième ou troisième cran de la table).

Plus en détail

document proposé sur le site «Sciences Physiques en BTS» : http://nicole.cortial.net BTS AVA 2015

document proposé sur le site «Sciences Physiques en BTS» : http://nicole.cortial.net BTS AVA 2015 BT V 2015 (envoyé par Frédéric COTTI - Professeur d Electrotechnique au Lycée Régional La Floride Marseille) Document 1 - Etiquette énergie Partie 1 : Voiture à faible consommation - Une étiquette pour

Plus en détail

POLY-PREPAS Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux. - Section Audioprothésiste / stage i-prépa intensif -

POLY-PREPAS Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux. - Section Audioprothésiste / stage i-prépa intensif - POLY-PREPAS Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux - Section Audioprothésiste / stage i-prépa intensif - 70 Chapitre 8 : Champ de gravitation - Satellites I. Loi de gravitation universelle : (

Plus en détail

Le modèle de Black et Scholes

Le modèle de Black et Scholes Le modèle de Black et Scholes Alexandre Popier février 21 1 Introduction : exemple très simple de modèle financier On considère un marché avec une seule action cotée, sur une période donnée T. Dans un

Plus en détail

Les calculatrices sont autorisées

Les calculatrices sont autorisées Les calculatrices sont autorisées Le sujet comporte quatre parties indépendantes. Les parties 1 et portent sur la mécanique (de la page à la page 7). Les parties 3 et 4 portent sur la thermodnamique (de

Plus en détail

TD de Physique n o 1 : Mécanique du point

TD de Physique n o 1 : Mécanique du point E.N.S. de Cachan Département E.E.A. M FE 3 e année Phsique appliquée 011-01 TD de Phsique n o 1 : Mécanique du point Exercice n o 1 : Trajectoire d un ballon-sonde Un ballon-sonde M, lâché au niveau du

Plus en détail

Chapitre 2 : Caractéristiques du mouvement d un solide

Chapitre 2 : Caractéristiques du mouvement d un solide Chapitre 2 : Caractéristiques du mouvement d un solide I Rappels : Référentiel : Le mouvement d un corps est décris par rapport à un corps de référence et dépend du choix de ce corps. Ce corps de référence

Plus en détail

ÉVALUATION FORMATIVE. On considère le circuit électrique RC représenté ci-dessous où R et C sont des constantes strictement positives.

ÉVALUATION FORMATIVE. On considère le circuit électrique RC représenté ci-dessous où R et C sont des constantes strictement positives. L G L G Prof. Éric J.M.DELHEZ ANALYSE MATHÉMATIQUE ÉALUATION FORMATIE Novembre 211 Ce test vous est proposé pour vous permettre de faire le point sur votre compréhension du cours d Analyse Mathématique.

Plus en détail

TP 7 : oscillateur de torsion

TP 7 : oscillateur de torsion TP 7 : oscillateur de torsion Objectif : étude des oscillations libres et forcées d un pendule de torsion 1 Principe général 1.1 Définition Un pendule de torsion est constitué par un fil large (métallique)

Plus en détail

Cours IV Mise en orbite

Cours IV Mise en orbite Introduction au vol spatial Cours IV Mise en orbite If you don t know where you re going, you ll probably end up somewhere else. Yogi Berra, NY Yankees catcher v1.2.8 by-sa Olivier Cleynen Introduction

Plus en détail

Analyse en Composantes Principales

Analyse en Composantes Principales Analyse en Composantes Principales Anne B Dufour Octobre 2013 Anne B Dufour () Analyse en Composantes Principales Octobre 2013 1 / 36 Introduction Introduction Soit X un tableau contenant p variables mesurées

Plus en détail

Circuits RL et RC. Chapitre 5. 5.1 Inductance

Circuits RL et RC. Chapitre 5. 5.1 Inductance Chapitre 5 Circuits RL et RC Ce chapitre présente les deux autres éléments linéaires des circuits électriques : l inductance et la capacitance. On verra le comportement de ces deux éléments, et ensuite

Plus en détail

Chap 8 - TEMPS & RELATIVITE RESTREINTE

Chap 8 - TEMPS & RELATIVITE RESTREINTE Chap 8 - TEMPS & RELATIVITE RESTREINTE Exercice 0 page 9 On considère deux évènements E et E Référentiel propre, R : la Terre. Dans ce référentiel, les deux évènements ont lieu au même endroit. La durée

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I

Plus en détail

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette

Plus en détail

CABLECAM de HYMATOM. Figure 1 : Schéma du système câblecam et détail du moufle vu de dessus.

CABLECAM de HYMATOM. Figure 1 : Schéma du système câblecam et détail du moufle vu de dessus. CABLECAM de HYMATOM La société Hymatom conçoit et fabrique des systèmes de vidéosurveillance. Le système câblecam (figure 1) est composé d un chariot mobile sur quatre roues posé sur deux câbles porteurs

Plus en détail

TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1

TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1 TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité I Loi uniforme sur ab ; ) Introduction Dans cette activité, on s intéresse à la modélisation du tirage au hasard d un nombre réel de l intervalle [0 ;], chacun

Plus en détail

TD 9 Problème à deux corps

TD 9 Problème à deux corps PH1ME2-C Université Paris 7 - Denis Diderot 2012-2013 TD 9 Problème à deux corps 1. Systèmes de deux particules : centre de masse et particule relative. Application à l étude des étoiles doubles Une étoile

Plus en détail

Concours EPITA 2009 Epreuve de Sciences Industrielles pour l ingénieur La suspension anti-plongée de la motocyclette BMW K1200S

Concours EPITA 2009 Epreuve de Sciences Industrielles pour l ingénieur La suspension anti-plongée de la motocyclette BMW K1200S Concours EPIT 2009 Epreuve de Sciences Industrielles pour l ingénieur La suspension anti-plongée de la motocyclette MW K1200S Durée : 2h. Calculatrices autorisées. Présentation du problème Le problème

Plus en détail

Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques

Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques Savoir-faire théoriques (T) : Écrire l équation différentielle associée à un système physique ; Faire apparaître la constante de temps ; Tracer

Plus en détail

1 Mise en application

1 Mise en application Université Paris 7 - Denis Diderot 2013-2014 TD : Corrigé TD1 - partie 2 1 Mise en application Exercice 1 corrigé Exercice 2 corrigé - Vibration d une goutte La fréquence de vibration d une goutte d eau

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2

Plus en détail

OM 1 Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables

OM 1 Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables PCSI 2013 2014 Certaines partie de ce chapitre ne seront utiles qu à partir de l année prochaine, mais une grande partie nous servira dès cette année.

Plus en détail

M6 MOMENT CINÉTIQUE D UN POINT MATÉRIEL

M6 MOMENT CINÉTIQUE D UN POINT MATÉRIEL M6 MOMENT CINÉTIQUE D UN POINT MATÉRIEL OBJECTIFS Jusqu à présent, nous avons rencontré deux méthodes pour obtenir l équation du mouvement d un point matériel : - l utilisation du P.F.D. - et celle du

Plus en détail

CHAPITRE IV Oscillations libres des systèmes à plusieurs degrés de liberté

CHAPITRE IV Oscillations libres des systèmes à plusieurs degrés de liberté CHAPITE IV Oscillations ibres des Systèmes à plusieurs derés de liberté 010-011 CHAPITE IV Oscillations libres des systèmes à plusieurs derés de liberté Introduction : Dans ce chapitre, nous examinons

Plus en détail

FORD C-MAX + FORD GRAND C-MAX CMAX_Main_Cover_2013_V3.indd 1-3 22/08/2012 15:12

FORD C-MAX + FORD GRAND C-MAX CMAX_Main_Cover_2013_V3.indd 1-3 22/08/2012 15:12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12,999,976 km 9,136,765 km 1,276,765 km 499,892 km 245,066 km 112,907 km 36,765 km 24,159 km 7899 km 2408 km 76 km 12 14 16 1 12 7 3 1 6 2 5 4 3 11 9 10 8 18 20 21 22 23 24 26 28 30

Plus en détail

CNC corrigé 2000-2008

CNC corrigé 2000-2008 CNC corrigé 2000-2008 physique-chimie MP par : AIT BENALI 1 physique I 2 Énoncé de l épreuve CNC physique I MP session 2000 1 er problème : Étude de quelques aspects mécaniques d une roue de voiture 1ère

Plus en détail

LES CARTES IAC. A partir du grade : et programme examen du grade et supérieurs

LES CARTES IAC. A partir du grade : et programme examen du grade et supérieurs LES CARTES IAC A partir du grade : et programme examen du grade et supérieurs A partir du grade : et programme examen du grade et supérieurs 1. INTRODUCTION Nous allons présenter les cartes «Instrument

Plus en détail

8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2

8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2 Chapitre 8 Fonctions de plusieurs variables 8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles Définition. Une fonction réelle de n variables réelles est une application d une partie de R

Plus en détail

Cours de Mécanique du point matériel

Cours de Mécanique du point matériel Cours de Mécanique du point matériel SMPC1 Module 1 : Mécanique 1 Session : Automne 2014 Prof. M. EL BAZ Cours de Mécanique du Point matériel Chapitre 1 : Complément Mathématique SMPC1 Chapitre 1: Rappels

Plus en détail

Texte Agrégation limitée par diffusion interne

Texte Agrégation limitée par diffusion interne Page n 1. Texte Agrégation limitée par diffusion interne 1 Le phénomène observé Un fût de déchets radioactifs est enterré secrètement dans le Cantal. Au bout de quelques années, il devient poreux et laisse

Plus en détail

SYSTEME DE PARTICULES. DYNAMIQUE DU SOLIDE (suite) Table des matières

SYSTEME DE PARTICULES. DYNAMIQUE DU SOLIDE (suite) Table des matières Physique Générale SYSTEME DE PARTICULES DYNAMIQUE DU SOLIDE (suite) TRAN Minh Tâm Table des matières Applications de la loi de Newton pour la rotation 93 Le gyroscope........................ 93 L orbite

Plus en détail

Travaux dirigés de mécanique du point

Travaux dirigés de mécanique du point Travaux dirigés de mécanique du point Année 011-01 Arnaud LE PADELLEC Magali MOURGUES alepadellec@irap.omp.eu magali.mourgues@univ-tlse3.fr Travaux dirigés de mécanique du point 1/40 P r é s e n t a t

Plus en détail

Techniques de Lyapunov en contrôle quantique pour le couplage dipolaire et polarisabilité

Techniques de Lyapunov en contrôle quantique pour le couplage dipolaire et polarisabilité Techniques de Lyapunov en contrôle quantique pour le couplage dipolaire et polarisabilité Andreea Grigoriu avec Jean-Michel Coron, Cătălin Lefter and Gabriel Turinici CEREMADE-Université Paris Dauphine

Plus en détail

Précision d un résultat et calculs d incertitudes

Précision d un résultat et calculs d incertitudes Précision d un résultat et calculs d incertitudes PSI* 2012-2013 Lycée Chaptal 3 Table des matières Table des matières 1. Présentation d un résultat numérique................................ 4 1.1 Notations.........................................................

Plus en détail

MESURE DE LA TEMPERATURE

MESURE DE LA TEMPERATURE 145 T2 MESURE DE LA TEMPERATURE I. INTRODUCTION Dans la majorité des phénomènes physiques, la température joue un rôle prépondérant. Pour la mesurer, les moyens les plus couramment utilisés sont : les

Plus en détail

Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.

Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. 14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,

Plus en détail

À propos d ITER. 1- Principe de la fusion thermonucléaire

À propos d ITER. 1- Principe de la fusion thermonucléaire À propos d ITER Le projet ITER est un projet international destiné à montrer la faisabilité scientifique et technique de la fusion thermonucléaire contrôlée. Le 8 juin 005, les pays engagés dans le projet

Plus en détail

Cours Fonctions de deux variables

Cours Fonctions de deux variables Cours Fonctions de deux variables par Pierre Veuillez 1 Support théorique 1.1 Représentation Plan et espace : Grâce à un repère cartésien ( ) O, i, j du plan, les couples (x, y) de R 2 peuvent être représenté

Plus en détail

Utilisation des intégrales premières en mécanique. Exemples et applications.

Utilisation des intégrales premières en mécanique. Exemples et applications. Sébastien Bourdreux Agrégation de Physique Université Blaise Pascal - Clermont-Ferrand Utilisation des intégrales premières en mécanique. Exemples et applications. septembre 2003 Correcteur : Pascal DELLOUVE

Plus en détail

MATHS FINANCIERES. Mireille.Bossy@sophia.inria.fr. Projet OMEGA

MATHS FINANCIERES. Mireille.Bossy@sophia.inria.fr. Projet OMEGA MATHS FINANCIERES Mireille.Bossy@sophia.inria.fr Projet OMEGA Sophia Antipolis, septembre 2004 1. Introduction : la valorisation de contrats optionnels Options d achat et de vente : Call et Put Une option

Plus en détail

5. Les conducteurs électriques

5. Les conducteurs électriques 5. Les conducteurs électriques 5.1. Introduction Un conducteur électrique est un milieu dans lequel des charges électriques sont libres de se déplacer. Ces charges sont des électrons ou des ions. Les métaux,

Plus en détail

Tests non-paramétriques de non-effet et d adéquation pour des covariables fonctionnelles

Tests non-paramétriques de non-effet et d adéquation pour des covariables fonctionnelles Tests non-paramétriques de non-effet et d adéquation pour des covariables fonctionnelles Valentin Patilea 1 Cesar Sanchez-sellero 2 Matthieu Saumard 3 1 CREST-ENSAI et IRMAR 2 USC Espagne 3 IRMAR-INSA

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables. Sébastien Tordeux

Fonctions de plusieurs variables. Sébastien Tordeux Fonctions de plusieurs variables Sébastien Tordeux 22 février 2009 Table des matières 1 Fonctions de plusieurs variables 3 1.1 Définition............................. 3 1.2 Limite et continuité.......................

Plus en détail

Lecture graphique. Table des matières

Lecture graphique. Table des matières Lecture graphique Table des matières 1 Lecture d une courbe 2 1.1 Définition d une fonction.......................... 2 1.2 Exemple d une courbe........................... 2 1.3 Coût, recette et bénéfice...........................

Plus en détail

PARTIE NUMERIQUE (18 points)

PARTIE NUMERIQUE (18 points) 4 ème DEVOIR COMMUN N 1 DE MATHÉMATIQUES 14/12/09 L'échange de matériel entre élèves et l'usage de la calculatrice sont interdits. Il sera tenu compte du soin et de la présentation ( 4 points ). Le barème

Plus en détail

Travaux dirigés de magnétisme

Travaux dirigés de magnétisme Travaux dirigés de magnétisme Année 2011-2012 Christophe GATEL Arnaud LE PADELLEC gatel@cemesfr alepadellec@irapompeu Travaux dirigés de magnétisme page 2 Travaux dirigés de magnétisme page 3 P r é s e

Plus en détail

Université de Caen. Relativité générale. C. LONGUEMARE Applications version 2.0. 4 mars 2014

Université de Caen. Relativité générale. C. LONGUEMARE Applications version 2.0. 4 mars 2014 Université de Caen LMNO Relativité générale C. LONGUEMARE Applications version.0 4 mars 014 Plan 1. Rappels de dynamique classique La force de Coulomb Le principe de moindre action : lagrangien, hamiltonien

Plus en détail

de calibration Master 2: Calibration de modèles: présentation et simulation d

de calibration Master 2: Calibration de modèles: présentation et simulation d Master 2: Calibration de modèles: présentation et simulation de quelques problèmes de calibration Plan de la présentation 1. Présentation de quelques modèles à calibrer 1a. Reconstruction d une courbe

Plus en détail

LES LOIS PHYSIQUES APPLIQUÉES AUX DEUX-ROUES : 1. LA FORCE DE GUIDAGE

LES LOIS PHYSIQUES APPLIQUÉES AUX DEUX-ROUES : 1. LA FORCE DE GUIDAGE LES LOIS PHYSIQUES APPLIQUÉES AUX DEUX-ROUES : 1. LA FORCE DE GUIDAGE 2. L EFFET GYROSCOPIQUE Les lois physiques qui régissent le mouvement des véhicules terrestres sont des lois universelles qui s appliquent

Plus en détail

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction

Plus en détail

Le second nuage : questions autour de la lumière

Le second nuage : questions autour de la lumière Le second nuage : questions autour de la lumière Quelle vitesse? infinie ou pas? cf débats autour de la réfraction (Newton : la lumière va + vite dans l eau) mesures astronomiques (Rœmer, Bradley) : grande

Plus en détail

Corrigé Exercice 1 : BRIDE HYDRAULIQUE AVEC HYPOTHÈSE PROBLÈME PLAN.

Corrigé Exercice 1 : BRIDE HYDRAULIQUE AVEC HYPOTHÈSE PROBLÈME PLAN. TD 6 corrigé - PFS Résolution analytique (Loi entrée-sortie statique) Page 1/1 Corrigé Exercice 1 : BRIDE HYDRAULIQUE AVEC HYPOTHÈSE PROBLÈME PLAN. Question : Réaliser le graphe de structure, puis compléter

Plus en détail

Probabilités III Introduction à l évaluation d options

Probabilités III Introduction à l évaluation d options Probabilités III Introduction à l évaluation d options Jacques Printems Promotion 2012 2013 1 Modèle à temps discret 2 Introduction aux modèles en temps continu Limite du modèle binomial lorsque N + Un

Plus en détail

Introduction. Mathématiques Quantiques Discrètes

Introduction. Mathématiques Quantiques Discrètes Mathématiques Quantiques Discrètes Didier Robert Facultés des Sciences et Techniques Laboratoire de Mathématiques Jean Leray, Université de Nantes email: v-nantes.fr Commençons par expliquer le titre.

Plus en détail

Equations différentielles linéaires à coefficients constants

Equations différentielles linéaires à coefficients constants Equations différentielles linéaires à coefficients constants Cas des équations d ordre 1 et 2 Cours de : Martine Arrou-Vignod Médiatisation : Johan Millaud Département RT de l IUT de Vélizy Mai 2007 I

Plus en détail

TP 3 diffusion à travers une membrane

TP 3 diffusion à travers une membrane TP 3 diffusion à travers une membrane CONSIGNES DE SÉCURITÉ Ce TP nécessite la manipulation de liquides pouvant tacher les vêtements. Le port de la blouse est fortement conseillé. Les essuie tout en papier

Plus en détail

Physique : Thermodynamique

Physique : Thermodynamique Correction du Devoir urveillé n o 8 Physique : hermodynamique I Cycle moteur [Véto 200] Cf Cours : C P m C V m R relation de Mayer, pour un GP. C P m γr γ 29, 0 J.K.mol et C V m R γ 20, 78 J.K.mol. 2 Une

Plus en détail

Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables

Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Guy Desaulniers Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2014 Table des matières

Plus en détail

Introduction à l analyse numérique : exemple du cloud computing

Introduction à l analyse numérique : exemple du cloud computing Introduction à l analyse numérique : exemple du cloud computing Tony FEVRIER Aujourd hui! Table des matières 1 Equations aux dérivées partielles et modélisation Equation différentielle et modélisation

Plus en détail

1.1.1 Signaux à variation temporelle continue-discrète

1.1.1 Signaux à variation temporelle continue-discrète Chapitre Base des Signaux. Classi cation des signaux.. Signaux à variation temporelle continue-discrète Les signaux à variation temporelle continue sont des fonctions d une ou plusieurs variables continues

Plus en détail

Continuité et dérivabilité d une fonction

Continuité et dérivabilité d une fonction DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité

Plus en détail