Introduction à la phylogénie*

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1 Introduction à la phylogénie* Tree of Life web project: * Notes basées en partie sur les notes de cours de Nadia El-Mabrouk

2 * * * 1. Théorie de l évolution 2. Arbres de phylogénie * * Arbres enracinés et non enracinés La donnée du problème 3. Construction d arbres de phylogénie * * * * Présentation des méthodes Méthodes de distance: * * distances ultramétriques distances additives Méthodes de parcimonie: * * * PLAN phylogénie parfaite phylogénie parfaite généralisée phylogénie maximale Méthodes de maximum de vraisemblance 1

3 1. Théorie de l évolution Tous les organismes vivants dérivent d un ancêtre commun. La diversité est due à la spéciation i.e à la séparation d une espèce en deux espèces différentes. Idée de base: Les caractères sont transmis d une génération à l autre et, au cours de l évolution, ces caractères subissent une série de mutations Nous allons parler d arbres de phylogénie même si un des grands débat, en phylogénétique, est de savoir si l évolution peut être vu comme un arbre. Plusieurs aspects de l évolution moléculaires ne peuvent être représentés par un arbre. Ex. Transferts horizontaux. 2

4 Arbres racinés 2. Arbres de phylogénie ancêtre commun Les noeuds internes peuvent être étiquettés par les séquences les plus probables des ancêtres Taille: peut représenter le nombre de mutations ou le temps d évolution ancêtre commun ou point dans l histoire où les espèces ont divergé Espèces actuelles Noeud de degré > 3: Noeud non résolu. Ordre de speciation non déterminé 3

5 Noeud de degré > 3: Noeud non résolu. Ordre de speciation non déterminé 4

6 Différentes représentations d arbres enracinés: 1) Cladogram: indique simplement les relations d ancêtre entre les espèces Les espèces A et B ont un ancêtre commun plus récent que les espèces A et C 5

7 Différentes représentations d arbres enracinés: 2) Arbres additifs: la taille des branches indique, par exemple, le nombre de substitutions entre les deux séquences 6

8 Différentes représentations d arbres enracinés: 3) Arbres ultramétriques: Arbres additifs où les feuilles sont équidistantes de la racine. Hypothèse sous-jacente: horoge molécule i.e taux de mutation constant 7

9 Arbres enracinés versus arbres non enracinés: Arbres enracinés: Direction représentant le temps d évolution: plus un noeud est proche de la racine, plus il est vieux. Arbres non enracinés: Ne permet pas de déduire des relations de descendance Plusieurs méthodes de constructions d arbres de phylogénie génèrent des arbres non enracinés. Il faut ensuite trouver un outgroup pour enraciner l arbre. 8

10 La donnée du problème: Étant donné n espèces, calculer un arbre qui retrace l évolution de ces espèces. L information sur les espèces peut prendre deux formes différentes: 1) distances 2) caractères E 1... E j... E n t 1... t j... t n E 1 E 1.. E i d(e i,e j ) E i e(e i,t j ).. E n E n état du caractère t j pour l espèce E i 9

11 3. Construction d arbres de phylogénie Trois méthodes principales: 1) Méthodes de distance: - Entrée: ensemble de distances (ex: distance d édition) - Problème: Construire l arbre de phylogénie en accord avec cet ensemble de distances - Distances ultramétriques ou additives -> problèmes faciles à traiter - Distances générales -> heuristiques nous donne l arbre qui fournit la meilleure approximation 2) Méthodes de parsimonie: arbres qui explique l évolution des espèces par un nombre minimal de mutations. - Calcul du score d un arbre donné - Recherche, parmi tous les arbres, de l arbre de score minimal. Parcimonie maximale = nombre minimal de mutations 3) Méthodes de maximun de vraisemblance: Méthode probabiliste permettant de trouver la séquence de noeuds internes la plus probable 10

12 Méthodes de distance - n séquences; D(i,j) est la distance entre les deux séquences i et j - Algorithme de clustering UPGMA (Unweight Pair Group Method with Arithmetic Means): Procéder par regroupement des séquences les plus proches. À chaque étape, les deux regroupements les plus proches sont fusionnés. - d i, j : Distance entre deux regroupements C i et C j = moyenne des distances entre les paires de séquences entre les deux regroupements D(i,j) 11

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14 Arbres et distances ultramétriques La construction d un arbre par UPGMA sous-entend un modèle d évolution faisant intervenir l hypothèse de l horloge moléculaire: taux de mutation constant UPGMA trouve LE bon arbre ssi il existe un arbre ultramétrique pour D Définition: Soit D une matrice symétrique n X n. Un arbre ultramétrique associé à D est un arbre A tel que: 1) L arbre A a n feuilles étiquettées par les lignes de la matrice D (les espèces) 2) Chaque noeud de A est étiquetté par une valeur D(i,j) et a au moins deux enfants 3) Sur tout chemin de la racine à une feuille, les étiquettes sont strictement décroissantes 4) L étiquette du plus petit ancêtre commun de i et j est D(i,j) 13

15 Arbres et distances ultramétriques (suite) Remarque: A a au plus n-1 noeuds internes. Donc, si la matrice D à plus de n-1 valeurs, il n existe pas d arbres ultramétriques pour D 14

16 Détection et construction d arbres ultramétriques Idée: d(i,j) d(i,k) = d(j,k) d(i,j) = d(i,k) d(j,k) d(i,j) = d(i,k) = d(j,k) i j k i j k i j k Définition: Une matrice symétrique D est ultramétrique si pour tout i,j et k max{ d(i,j), d(i,k), d(j,k) } n est pas unique. Théorème: Une matrice symétrique admet un arbre ultramétrique ssi elle est ultramétrique. 15

17 Détection et construction d arbres ultramétriques Théorème 2: Si D est une matrice ultramétrique, alors l arbre ultramétrique est unique Conséquence: Si D reflète la distance d évolution entre les espèces, alors on trouve nécessairement le vrai arbre Théorème 3: Si D est ultramétrique, alors l arbre ultramétrique peut être construit en O(n 2 ) 16

18 Comment obtenir des données ultramétriques - Distances étiquettant les noeuds des arbres ultramétriques supposés refléter le temps qui s est écoulé depuis la séparation des deux espèces - Théorie de l horloge moléculaire (1960): Pour une protéine donnée, le taux de mutations acceptées par intervalle de temps est constant. Ce taux de mutations varie selon les protéines - Avec cette théorie, si k mutations acceptés entre une protéine chez l espèce A et cette même protéine chez l espèce B, alors on peut estimer à k/2 le nombre de mutations survenues pour chaque espèces depuis la divergence. Cela permet d obtenir des données ultramétriques - Si nos données réelles ne sont pas ultramétriques une possibilité est de les modifier de façon minimale pour quelles le deviennent et construire l arbre par la suite 17

19 Arbres et distances additives - Matrice des distances D (n X n) additive: - symétrique - la diagonale ne contient que des 0 - toutes les autres entrées sont des nombres réels strictement positifs - Arbre additif : - contenant au moins n noeuds, en comptant les feuilles - chaque ligne de D (espèces) correspond à une feuille - les arcs sont étiquettés de sorte que pour chaque paire de feuille (i,j), le poids total du chemin de i à j est D(i,j) 18

20 Arbres et distances additives Matrice additive Arbre additive pour la matrice (a) Problème: Étant donnée une matrice additive D, trouver un arbre additif pour cette matrice ou déterminer qu un tel arbre n existe pas Distances additives: contrainte moins forte que les distances ultramétriques. Par contre, les données réelles sont très rarement additive. Un vaste domaine de recherche: comment effectuer la plus petite déviation possible pour que des distances deviennent additives. 19

21 Test d additivité des 4 points Arbre additif pour D: Distance entre deux feuilles quelconques de l arbre = somme des poids des arcs du chemin joignant ces deux feuilles Pour tout ensemble de 4 espèces i,j,k et l, deux des distances D(i,j)+D(k,l), D(i,k) +D(j,l) et D(i,l)+D(j,k) sont égales et supérieures à la troisième x s y t y x z z s t y x z z s t 20

22 Méthode de construction d un arbre additif Paire de feuilles voisines: Deux feuilles de l arbre ayant le même père - Choisir deux objets (espèces) garantis d être voisins dans un arbre additif - Supprimer i et j de la liste des objets et rajouter le noeud k correspondant au père commun de i et j. Distance de k à un autre objet quelconque (feuille) m: D(k,m) = 1/2 (D(i,m)+D(j,m)-D(i,j)) - De cette façon, le nombre d objets à placer est réduit de 1 à chaque étape. 21

23 Méthode de construction d un arbre additif (suite) Comment déterminer, à partir de D, deux feuilles qui sont nécessairement voisines dans l arbre additif pour D? Il ne suffit pas de choisir une paire d objets pour lesquels la distance est minimale. 22

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25 Méthode de construction d un arbre additif Remarque: Pour une distance additive, il n existe pas un seul arbre additif Heuristique: Appliquer l algorithme plusieurs fois en modifiant l ordre des objets dans L, ce qui entrainera des choix différents de voisins. Trouver un consensus pour l ensemble des arbres obtenus Lorsque la distance n est pas additive, on peut quand même employer l algorithme de Neighbour-Joining, mais on a pas de garantie sur la qualité de l arbre obtenu. 24

26 Enraciner les arbres Contrairement à l algorithme UPGMA, Neighbour-Joining construit un arbre non enraciné. Pour raciner l arbre, il suffit d ajouter une espèce très éloignée des autres espèces considérées (outgroup) Une autre statégie est de considérer comme racine le milieu d un plus long chemin dans l arbre (Hypothèse de l horloge moléculaire). 25

27 Méthodes de parcimonie Entrée: Ensemble de traits (caractères, attributs) qu un objet peut posséder La distribution des traits dans les objets permet de déduire des relations d évolution Version simplifiée du problème: parfaite avec caractères binaires (présents ou absents) Soit M une matrice n X m de 0 et de 1, où n est le nombre d espèces et m le nombre de traits. Cette matrice possède un arbre phylogénétique si 1) T a n feuilles correspondant à chacune des espèces 2) Chaque caractère ou trait est l étiquette d une arête 3) Les étiquettes de la racine à la feuille i énumèrent tous les caractères présents dans l espèce i 26

28 parfaite Ici un arbre de phylogénie détermine des relations d évolution entre les espèces, en terme de branchement et non de temps. Ces relations sont basées sur les hypothèses suivantes: 1) La racine représente un ancêtre commun ne présentant aucun des m traits 2) Un caractère acquis n est jamais perdu. (C est pourquoi un trait étiquette un seul arc de l arbre) Exemple: Évolution des quadrilatère fermé aligné convexe symétrie 2D fermé aligné convexe symétrie

29 parfaite (suite) Définition: Si M est une matrice booléenne n X m, pour toute colonne j, Θ j {1,...,n} est défini comme le caractère j {i M(i, j) = 1} i.e l ensemble des espèces ayant Théorème: M a un arbre de phylogénie parfaite ssi pour tout j, k on a Θ j Θ k = /0 Θ j Θ k ou ou Θ k Θ j 28

30 - Traits considérés parfaite (suite) 1) morphologiques (colonne vertébrale, aile...) 2) liés aux séquences d AA ou de nucléotides (présence ou non d un motif particulier) 3) comportementaux (marcher sur les articulations,...) - Par contre, la considération de traits morphologiques peut être problématique. Sous certaines conditions des traits similaires peuvent apparaître indépendamment. - Les traits comportementaux sont également problématiques. Par exemple, marcher sur les articulations est un trait commun aux chimpanzés et aux gorilles mais pas à l homme. Pourtant, l arbre maintenant admis pour l homme, le chimpanzé et le gorille est: 29

31 parfaite généralisée - Le type de nucléotide ou d AA à une position donnée d un alignement constitue également un trait mais ce trait n est pas binaire. Dans le cas des nucléotides, 4 états possibles, dans le cas des acides aminés, 20. (Par contre, on peut se ramener à des états binaires dans le cas des nucléotides si on considère les purines et pyrimidines) - Ici, une phylogénie parfaite pour M est un arbre tel que - Chaque feuille représente une espèce - Chaque arc est étiquetté par une transition particulière de l état d un trait i.e par une triplet (t,x,y) indiquant que le caractère t change de l état x à y. - Tout chemin de la racine à une feuille p décrit exactement les états des traits pour p - Chaque transition (t,x,y) n apparaît qu une fois - Le problème: Étant donné une matrice M telle que chaque caractère peut avoir au plus r états, déterminer s il existe une phylogénie parfaite pour M et si oui, en construire une. 30

32 maximale Considérer l ensemble T de toutes les topologies d arbres possibles ayant les séquences comme étiquette des feuilles. Calculer un poids pour chaque arbre T de T Sélectionner un arbre de T de poids minimal Parcimonie maximale = nombre minimal de mutations 31

33 Algorithme de Fitch Étant donné un ensemble de séquences alignées, une topologie d arbre et une colonne j de l alignement, on veut trouver le nombre minimal de substitutions associées à cet arbre: 1) Ajouter une racine sur n importe quel arête 32

34 Algorithme de Fitch (suite) 2) Passage de bas en haut: {C,G,A} On traverse l arbre des feuilles à la racine et on assigne à chaque noeud interne n, un ensemble de nucléotides possibles N de la façon suivante: Soit u et v les fils de n et U, V les ensembles de nucléotides correpondant à ces noeuds alors N = { U V si U V = /0 {C,G} A {A,C} U V sinon 2) Passage de haut en bas: C L arbre est ensuite traversé de haut en bas et on assigne des nucléotides aux noeuds internes selon ces règles: - on assigne à la racine, un nucléotides x de son ensemble (n importe lequel) C A A - On assigne à un enfant v de parent u le nucléotide { x si x U n importe quel nuclotides dev sinon 33

35 Algorithme de Fitch (suite) C Donc, ici étant donné cette topologie d arbres et ces données d alignement, l algorithme de Fitch nous donne 3 mutations. L algorithme a une complexité linéaire en la taille de l arbre. C A A Le nombre de mutations ne dépend pas du choix du nucléotide que l on met à la racine dans la phase de haut en bas: A G C A A G A A 34

36 Énumération de tous les arbres possibles L identification de l arbre de parcimonie maximale requière le calcul du nombre minimal de mutations pour chaque topologie possible d arbres. Arbres binaires enracinés de n feuilles: n feuilles => n-1 noeuds internes => nombre total de noeuds et de feuilles = 2n - 1 => 2n - 2 arcs Arbres sans racines: 2n -2 noeuds + feuilles et 2n - 3 arcs. Étant donné un arbre sans racines pour n espèces, on obtient un arbre enraciné en ajoutant une racine au milieu d un des 2n - 3 arcs => Pour chaque arbre non enraciné, il y a 2n-3 arbres racinés. 35

37 Énumération de tous les arbres possibles Générer les 3 arbres non enracinés pour 4 espèces: A Pour chacun de ces arbres, on a 5 arbres avec racines donc: 3 * 5 = 15 arbres racinés pour n= 4 espèces 36

38 Énumération de tous les arbres possibles Générer les 15 arbres non enracinés pour 5 espèces: On fait la même chose pour les 2 autres arbres non enracinés pour 4 espèces Pour chacun de ces arbres, on a 7 arbres avec racines donc: (3*5)*7= 105 arbres racinés pour n= 5 espèces 37

39 Énumération de tous les arbres possibles Par récurrence, on a 3*5*...*(2n-5) arbres sans racine de n feuilles Donc, 3*5*...*(2n-5)*(2n-3) arbres enracinés de n feuilles n = 10 => arbres non enracinés arbres racinés n = 20 => environ enracinés et arbres racinés arbres non 38

40 Stratégie branch and bound * Comme on vient de la voir, le nombre de topologies d arbres croît très rapidement par rapport au nombre d espèces considérés. Branch and bound est une statégie exacte permettant de trouver l arbre de phylogénie maximal pour 20 espèces ou plus. Méthode: 1) Obtenir une borne supérieure du nombres de mutations (par Neighbor Joingning, par exemple) 2) Construire toutes les topologies d arbres en ajoutant les espèces une à une 3) Si, pour une topologie donnée, le nombre de mutations est plus grand que la borne supérieure, alors arrêter d ajouter des espèces à cette topologie * Hendy, M.D. et Peeny, D., Branch an bound algorithms to determine minimal evolutionary trees, Mathematical Biosciences, 60, pp ,

41 Stratégie branch and bound 40

42 Inconsistance du modèle de parcimonie Consistance d une méthode d estimation: Capacité de converger vers une bonne valeur (ici un vrai arbre de phylogénie) avec l augmentation des données Supposons que nous savons que l arbre de phylogénie de 4 séquences a,b,c et d est le suivant: Le taux d évolution de c et d est beaucoup plus élevé que le taux d évolution de a et b Ici, les espèces a et c sont d une côté et les espèces b et d de l autre pourtant le nombre de mutations entre a et b est beaucoup moins élevé que le nombre entre a et c... Ce phénomène est appelé l attraction des longues banches 41

43 Maximum de vraisemblance 42