PROBLEME : PENDULES COUPLÉS PAR UNE BARRE DE TORSION

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1 UE PHY44 Vibrations, ondes et optique ondulatoire, L Université Joseph Fourier, Grenoble UE PHY44 Partiel 1 mars 015 durée h 5 pages alculatrice collège autorisée, documents interdits, téléphone portable interdit L examen est composé d un problème et de deux exercices. PROBLEME : PENDULES OUPLÉS PAR UNE BARRE DE TORSION Le but de ce problème sera de résoudre le système de pendules couplés par un fil de torsion, système similaire à celui vu en TD. Les différentes parties de ce problème sont largement indépendantes. La première partie sera consacrée à l étude du pendule simple non amorti ; la deuxième partie à l étude du pendule simple en régime amorti ; la troisième partie au système de pendules couplés en régime libre et enfin, la quatrième partie étudiera le système de pendules couplés en régime forcée. I. Pendule simple non amorti ( 3 points) On considère une masse m = 100 g de dimension négligeable, suspendue par une barre de longueur = 40 cm (dont la masse est négligeable devant la masse m), qui oscille librement sans frottement. L angle repère la position de la masse m par rapport à la verticale. Pour les applications numériques, l accélération de la pesanteur g sera prise comme étant égale à 9,81m/s. u ur m 1) Établir l équation différentielle en du mouvement de la masse m. Vous pouvez utiliser la méthode de votre choix : principe fondamental de la dynamique projeté sur, théorème du moment cinétique, ou dérivée temporelle de l équation de conservation de l énergie mécanique. ) Montrer que dans le cadre des petites amplitudes d oscillation, ce pendule est équivalent à un oscillateur harmonique. 3) Déterminer la pulsation propre 0, la fréquence f0 et la période d oscillation T0 de ce pendule (expression littérale puis application numérique). 4) Établir l équation horaire du mouvement lorsque le pendule est lâché à vitesse initiale avec un angle 0 par rapport à la verticale. sans 5) Représenter dans ces conditions son mouvement (t) sur un graphique correctement annoté. II. Pendule simple amorti ( 3 points) On reprend le pendule précédent en considérant, cette fois, que des frottements fluides s appliquent sur ce pendule de type f v où v est la vitesse de la masse m. On veillera à donner les réponses finales en fonction des données m, et α. L équation différentielle qui régit le mouvement du 1

2 pendule simple amorti s écrit dans le cadre de l approximation des faibles amplitudes : 0 d d g. dt m dt 1) Vérifier l homogénéité de cette équation. ) Ecrire la condition sur, pour que l on soit en régime pseudo-périodique. 3) Déterminer (expression littérale puis valeur numérique) la pseudo-période T p de ce mouvement ainsi que le temps caractéristique de la décroissance de ce signal en considérant que g/s. Déterminer le nombre de pseudo-périodes que l on peut observer pendant la durée 4) Dans le cadre de ce régime, avec les mêmes conditions initiales que dans la partie précédente (pendule lâché à t = 0 sans vitesse initiale avec un angle par rapport à la verticale), représenter en fonction du temps, en annotant votre schéma aussi précisément que possible (les grandeurs T p, doivent y apparaître clairement). III. Pendules couplés en régime libre ( 4,5 points) Fil de torsion (constante de torsion ) O 1 1 P 1 () P O Le système d équations différentielles couplées s écrit : d dt m d 1 0 dt m On considère deux pendules identiques P 1 et P de longueur et de masse m couplés par un fil de torsion de constante de torsion, ce fil étant sur l axe de rotation des pendules (Δ), c'est-à-dire perpendiculaire au plan d'oscillation des pendules On suppose que lorsque les deux pendules sont à la verticale, le fil ne subit aucune torsion et donc que le moment des forces est nul. Par ailleurs, on rappelle que lorsque les pendules P 1 et P sont inclinés par rapport à la verticale d'un angle et d'un angle, alors le moment des forces s appliquant par rapport à M. l axe Δ pour le pendule P 1 est : 1, fil 1 On négligera les frottements dans toute cette partie. 1) En déduire le système d équations différentielles vérifié par S = et D =. ) Déterminer (en le justifiant) les pulsations propres et de ce système d oscillateurs couplés en fonction de m, g, et. 3) En déduire la forme générale des équations horaires (t) et (t) des mouvements des deux pendules. Dessiner l allure du spectre en fréquences de (t) (on veillera à indiquer les valeurs en abscisse et en ordonnée). 4) Donner la définition précise d un mode propre.

3 5) Quelle relation simple existe-t-il entre et dans chacun des modes propres (justifier)? ommenter la dépendance avec la constante de rappel des expressions de et trouvées précédemment. 6) Donner un exemple de conditions initiales qui permettent de faire osciller le système dans chacun des deux modes propres indépendamment (un exemple par mode propre soit deux exemples en tout, décrire clairement et sans ambiguïté les procédures). 7) omment faut-il choisir la valeur de la constante de rappel par rapport à g, m et, pour obtenir des battements avec ce système (on rappelle que les pulsations propres doivent alors être proches l une de l autre)? L approche ici est qualitative mais doit être clairement justifiée. IV. Pendules couplés en régime forcé ( 4 points) On considère le même système de pendules couplés que dans la partie III et on applique à présent au pendule P 1 un couple excitateur sinusoïdal à la pulsation ω, de telle manière que le système d équations du mouvement de ces pendules couplés devient : d dt m m d 1 0 dt m 0 cos t Une fois le régime transitoire passé s établit un régime forcé qu on recherche sous la forme t A cos t t A cos t et ) Donner les expressions des grandeurs complexes 1 t associée à 1 t et t associée à t. ) En utilisant la représentation complexe pour les variables et que : t 0 1 m m g ' '' e it 1 t t, montrer 3) Donner l expression de la pulsation qui permet au premier pendule de s immobiliser (pulsation d antirésonance). 4) Rappeler la définition du phénomène de résonance de 1. 5) Pour quelle(s) valeur(s) de y-a-t-il résonance de 1? 6) Tracer l allure du graphe de l amplitude de 1 t en fonction de. On précisera sur les axes les valeurs remarquables. 7) omment se modifie qualitativement ce graphe en tenant compte de faible frottement visqueux?

4 EXERIE 1 : UNE ORDE DE GUITARE ( 3 points) Les frettes placées le long du manche d une guitare permettent au musicien de modifier la hauteur du son produit par la corde. En pressant la corde contre une frette, il diminue la longueur de la partie utile de la corde, provoquant une modification de la fréquence fondamentale de vibration de la corde. L 1) Pourquoi prend-on des cordes de guitare plus grosses pour les notes graves? ) Déterminer la fréquence f 1 de vibration fondamentale d une corde de longueur L le long de laquelle les ondes se propagent à la célérité. Faire l application numérique pour L = 80 cm et =704 m/s (on fera attention au nombre de chiffre significatif). 3) Représenter sur un même graphique l allure de la corde à différents instants pour le mode fondamental. Recommencer pour les deux harmoniques de fréquences immédiatement supérieures à celle du fondamental. 4) Lorsque le guitariste diminue la longueur de la partie utile de la corde, la note obtenue est-elle plus aigue ou plus grave (justifier)? 5) La note monte d un demi-ton lorsque la fréquence est multipliée par 1/1. Pour cela, comment doit-on modifier la longueur de la corde? alculer la nouvelle longueur L'. EXERIE : INTENSITE AOUSTIQUE DU SON PRODUIT PAR UNE ALARME ( 4.5 points) 1) Donner un ordre de grandeur des valeurs de l amplitude de la surpression correspondant au seuil d audibilité minimale et au seuil de douleur (pour une onde sonore se propageant dans l air dans les conditions normales). ) Donner l expression de la force df associée à l élément de surface ds exercée par la surpression p. 3) Rappeler la définition de l intensité acoustique, qu on notera I ac. 4) On note v a la vitesse de déplacement des molécules dû à l onde sonore. Établir l expression de I ac. en fonction de p et v a. 5) Quel est l intérêt d utiliser pour l intensité acoustique une échelle logarithmique (en décibels)? 6) Donner la définition du niveau d intensité sonore N db en décibels (on rappelle que le niveau de référence correspond à l intensité acoustique I 0 = 10-1 W/m ).

5 Une sirène située au point O émet un signal d alarme avec une puissance moyenne P 0 = 10 W. On suppose qu elle se comporte comme une source ponctuelle émettant uniformément dans toutes les directions. 7) omment s exprime l intensité acoustique I ac en un point M situé à la distance r = OM de la sirène (justifier)? 8) Quelle est la valeur numérique de l intensité acoustique I ac si le niveau d intensité sonore vaut 60 db? 9) En déduire la distance à laquelle le niveau d intensité acoustique est égal à 60 db.

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