Partie A : Ondes, Interférences dues à un écho
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- Emmanuelle Michaud
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1 Samedi 28 Mars DS n 6 PCSI A Lycée Brizeux Partie A : Ondes, Interférences dues à un écho Un son de fréquence =100Hz émis par une source S parvient à un auditeur A de 2 façons possibles : de façon directe et par écho en H sur une paroi qui se trouve derrière lui. Les points S, A et H sont alignés et SA=1,0m, SH=13,0m. Le son se propage à la célérité c=340m.s -1 H A S 0) Rappeler l expression spatiotemporelle d une onde progressive et le lien qui existe entre et k d une part et et T d autre part. 1) Calculer la longueur d onde. 2) Calculer la différence de phase entre l onde qui va directement de S à A et l onde écho. On devra commencer par calculer la différence de marche de ces deux trajets. 3) On supposera que les deux ondes arrivent en A avec la même amplitude maximale. Calculer l onde résultante en A et la qualifier. En déduire l amplitude de l onde sonore en A. On donne : p q p q cos( p) cos( q ) 2cos( )cos( ) 2 2 L auditeur entend-il quelque chose? 4) A quelle(s) distance(s) l auditeur doit-il se placer pour entendre un son maximal? Minimal? 5) On suppose que lors de l écho en H, l amplitude est divisée par 2. En utilisant la représentation de Fresnel, déterminer la nouvelle amplitude en A du signal résultant.
2 Partie B : Mécanique du solide, pendule de torsion Un pendule de torsion est constitué d une barre horizontale de moment d inertie J O par rapport à son centre O lorsqu elle tourne autour d un axe vertical passant par O, ce qui sera le cas dans la suite. Son mouvement est soumis à un couple de rappel C de par le fil de torsion qui la soutient 1) Donner la dimension de la constante C dans le système international SI aussi qualifié de MKSA mètre Kilo Seconde Ampère 2) Ecrire le TMC pour la barre. Pourquoi le poids de la barre ou la tension du fil sur la barre n interviennent-ils pas dans l écriture de ce théorème? Attention le fil intervient quand même par son couple de rappel. 3) Quelle est la période des petites oscillations? 4) Si la barre était plus longue tout en conservant la même masse est-ce que la période augmenterait où est-ce qu elle diminuerait? La barre est maintenant soumise en plus du couple de rappel à un second couple, le couple de frottement fluide de la part de l air dans laquelle elle évolue ; son expression est - d /dt. 5) Donner la dimension de la constantes. 6) Ecrire la nouvelle équation différentielle du mouvement 7) Quelle relation doit-il exister entre les paramètres du système pour que celui-ci évolue selon le régime critique? Dans la suite on suppose que ce régime est celui qui régit l évolution du système. 8) Ecrire la solution en prenant soin de définir un temps caractéristique. 9 ) On suppose que l élongation angulaire initiale est 0, élongation qui est établie sans vitesse angulaire initiale. Etablir l équation qui permet de déterminer numériquement au bout de quel temps l élongation angulaire passe à la valeur 0/10. On ne cherchera pas à la résoudre. Fil de torsion O barre Indications importantes pour la partie F qui suit : Question 7 : au cours de la transformation isobare on admettra que H=Q Question 10 : le rendement =-W tot /Q C Q C désignant la chaleur reçue par le fluide lors e son contact avec la source chaude Question 11 : un diagramme de Clapeyron est un diagramme Pression en fonction du volume massique Question 13 : le rendement de Carnot est 1-(T 0 /T 2 )
3 Correction partie A s( x, t) s cos( kx t) s cos( x t) s cos( kx ckt) s cos( x t) T ct T 0) max max max max 1) =c/ =340/100=3.4m Trajet direct 1= SA /c=1/340 Trajet avec écho 1=( SH + HA )/c =13/340 Différence de marche 12/340=6/170=3*85=28m Déphasage= 2 / =2 28/ 3.4 =16.5 =8* Les deux ondes sont en quadrature 3) Calcul de l onde résultante cos( t) cos( t ) 2cos( t )cos( ) 2 2 Son amplitude est 2s max cos(φ/2)= 2s max cos( /4)= 2s max 2/2= s max 2 4) Max quand en phase( SH + HA - SA )= (2 SH - SA )est un multiple de, min quand(2 SH - SA ) est un (n + ½ ) ( on évite la dénomination demi entier qui fait rire les profs de maths 5) Diagramme de Fresnel s tot s directe φ L onde réfléchie est atténuée et en retard de φ sur l onde directe s réfléchie t 2 2 sdirecte sdirecte s² directe stot sdirecte cos cos s² directe s directe cos 2 2 4
4 Correction partie B : 1) Les couples sont la somme de deux moments égaux, résultant de deux forces opposées Dimension d un couple MLT -2 L = ML²T -2 donc dimension de C : [C]= ML²T -2 2) JO C, T et P s appliquent en O où on applique le TMC 3) 2 2 J0 T 2 C C J 4) SI la barre est plus longue J est plus grand T augmente 5) Dimension de ML²T -1 6) J C J C 0 O O 0 1 On recherche ( t) en e Régime critique si le discriminant est nul soit ² 4JO C 0 alors r est racine double 2J 7) rt 0 8) ( t) ( At B) e 9) t t avec les CI ( t) ( At B) e 0 B t t ta t 0 ta 1 t t ( ) ( ) 0( 1) du quasi retour à l'équilibre 0( 1) t At B e e date e e 1 B ta ( t) ( A) e ( At B) e (0) 0 ( A ) ta
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