ENS de Lyon TD septembre 2012 Introduction aux probabilités. A partie finie de N

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "ENS de Lyon TD 1 17-18 septembre 2012 Introduction aux probabilités. A partie finie de N"

Transcription

1 ENS de Lyon TD 7-8 septembre 0 Introduction aux probabilités Exercice Soit (u n ) n N une suite de nombres réels. On considère σ une bijection de N dans N, de sorte que (u σ(n) ) n N est un réordonnement de la suite (u n ) n N. On notera M := sup u n [0, ]. A partie finie de N n A. Dans cette question, les u n sont de plus supposés positifs ou nuls. Montrer que les séries à termes positifs (u n ) n N et (u σ(n) ) n N ont même somme (éventuellement infinie).. On suppose maintenant que M est fini. Montrer que la série de terme général (u n ) n N et (u σ(n) ) n N sont convergentes, et ont encore même somme. On dira alors que la famille (u n ) n N est sommable. Les deux cas d une famille à termes positifs et d une famille sommable sont les cas dans lesquels on peut parler de la somme d une famille, sans avoir à se soucier de l ordre de sommation. Exercice (formule d inclusion-exclusion) Soit A,..., A n des événements. Démontrer la formule suivante, dite formule d inclusion-exclusion : [ n ] [ n k ] P A i = ( ) k+ P A ij. i= k= i < <i k n Exercice 3 Calculer l espérance et la variance d une variable aléatoire. de loi de Bernoulli de paramètre p [0, ].. de loi uniforme sur {,,..., n}. 3. de loi binomiale de paramètres (n, p). 4. de loi géométrique de paramètre p [0, [. 5. de loi de Poisson de paramètre λ > 0. Exercice 4 Soit X une v.a. réelle intégrable. Montrer que Var(X) = E[X ] E[X]. Exercice 5 Soit X une variable aléatoire réelle intégrable.. On suppose que la variance de X est nulle. Montrer que X prend avec probabilité un la valeur E[X].. Montrer que inf c R E[(X c) ] est atteint en c = E[X] et vaut Var(X). Exercice 6 Soit p [0, ]. Soit X et Y deux variables aléatoires de Bernoulli de paramètre p définies sur le même espace probabilisé. Que peut être la loi de la variable aléatoire Z := max(x, Y )? Exercice 7 Un magicien tient un paquet de deux cartes. L une de ces cartes est noire des deux côtés, l autre a un côté noir et un côté rouge. Vous tirez une carte et observez son recto. Il est noir. Quelle est la probabilité que le verso de la carte soit rouge? j=

2 Pour aller plus loin... Exercice 8 (les mains au poker). En tirant cinq cartes dans un jeu de 5, quelle est la probabilité d obtenir : a.... un brelan? b.... une et une seule paire? c.... deux paires? d.... une suite?. On tire toujours cinq cartes dans un jeu de 5. On désigne par A l événement avoir une suite et B celui avoir une couleur. Comparer P[A B] et P[A]. Exercice 9 Octave est un probabiliste en herbe et un joueur dans l âme. Il aime faire des suppositions, s il estime le risque d erreur suffisamment faible. Ce jour-là, il rencontra son nouveau voisin Nestor à l arrêt de bus, et en profita pour faire plus ample connaissance. À peine celui-ci évoqua-t-il ses 3 enfants, qu Octave affirma, confiant : - Dites-moi, vous avez sans doute au moins un garçon? - Vous avez raison. À vrai dire, je n en ai pas qu un seul,... Octave n hésite pas à lui couper la parole : - Vous en avez donc au moins. Mais laissez-moi deviner... Vous avez également une fille? Interloqué et légèrement vexé, Nestor laisse traîner sa réponse : - Écoutez, vous allez tout savoir sur mes enfants. L aîné... est un garçon. Il s appelle Pierre et est acteur. À ce moment, une lueur de doute semble apparaître sur le front d Octave. Nestor continue : - Mon benjamin... est encore un garçon. Il s appelle Paul et est électricien. Quant au cadet,... - Arrêtez, interrompt encore Octave. À vrai dire, je ne sais plus du tout si vous avez une fille ou non! Quelle étrange réaction... Nestor s apprêtait pourtant à confirmer l intuition d Octave, en lui apprenant qu il s agissait d une cadette, prénommée Jeanne et en première année d école d ingénieur. Nestor ne concevait pas que les informations qu il égrenait aient pu augmenter l incertitude d Octave... jusqu à ce que celui-ci lui démontre, implacablement, quels étaient les risques que ses affirmations soient fausses, au vu des informations qu il avait. Pouvez-vous retracer cette démonstration d Octave? Exercice 0 (*) Dans une soirée mondaine, chaque invité laisse son chapeau dans le hall d entrée. Une fois la soirée terminée, les n invités, éméchés, repartent chacun avec un chapeau choisi de manière totalement aléatoire.. Modéliser mathématiquement la situation.. Comment évolue la probabilité de l événement aucun individu ne repart avec son chapeau quand n tend vers l infini? 3. Comment évolue la probabilité de l événement exactement k individus repartent avec leur chapeau quand n tend vers l infini? Discuter.

3 ENS de Lyon TD - octobre 0 Introduction aux probabilités Exercice Soit X,..., X n des variables aléatoires réelles. Soit f,..., f n des fonctions définies sur R. Montrer que si les X i forment une famille de variables aléatoires indépendantes, il en est de même pour les f i (X i ). Exercice (regroupement par paquet) Soit X,..., X n des variables aléatoires réelles. On suppose qu elles forment une famille de variables aléatoires indépendantes. Soit {,..., n} = une partition de {,..., n}. Pour k K, posons Z k := (X i ) i Ak. Montrer que les Z k forment une famille de variables aléatoires indépendantes. Exercice 3 Soit X,..., X n des variables aléatoires. Montrer que les X i forment une famille de variables aléatoires indépendantes si et seulement si, pour tout i < n, X i+ est indépendante de (X,..., X i ) Exercice 4 Montrer que X et Y sont indépendantes ssi la loi p de (X, Y ) peut s écrire sous la forme (x, y) f(x)g(y) K k= Généraliser à un nombre (fini) quelconque de variables. Exercice 5 Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes uniformes sur Z/nZ. Soit Z := X + Y. Montrer que les variables X, Y et Z sont indépendantes deux à deux mais pas globalement. Exercice 6 Calculer astucieusement la variance de la loi binomiale de paramètre (n, p). Exercice 7 Calculer la fonction génératrice ainsi que les moments d ordre et (i.e. E[X] et E[X ]) des variables aléatoires :. de loi de Bernoulli de paramètre p [0, ].. de loi binomiale de paramètres n et p. 3. de loi de Poisson de paramètre λ > de loi géométrique de paramètre p [0, [. Exercice 8 Soit λ et µ deux réels strictement positifs. Soit X (resp. Y ) une variable aléatoire de Poisson de paramètre λ (resp. µ). On supposera de plus X et Y indépendantes. Prouver de deux manières différentes que X + Y est une variable aléatoire de Poisson de paramètre λ + µ. A k

4 Exercice 9 (L inégalité de Tchebychev est-elle optimale?). (Oui.) Montrer que si a > 0, il existe une variable aléatoire réelle X telle que P[ X E[X] a] = Var(X) a. (Non.) Montrer que si X est une variable aléatoire de carré sommable, alors a P[ X E[X] a] n 0

5 ENS de Lyon TD octobre 0 Introduction aux probabilités Exercice (intégrale de Gauss) Calculer l intégrale double R e (x +y) dxdy, et en déduire π R e x dx =. Exercice Pour n N, on désigne par H n = {0, } n l ensemble des sommets de l hypercube de dimension n. Ses points ont donc une norme euclidienne comprise entre 0 et n. Soit maintenant Xn une variable aléatoire uniforme sur H n. Montrer que la norme euclidienne de X n divisée par n converge en probabilité vers / quand n tend vers l infini, à savoir ( ) ε > 0, P X n n ε 0. n Exercice 3 Soit µ une loi réelle de carré sommable. On note m son espérance et σ sa variance. Si n N, on introduit X,..., X n des variables aléatoires indépendantes de loi µ et note S n := n i= X i. Notons µ n la loi de la variable aléatoire (S n nm)/ nσ.. Soit I un intervalle (éventuellement non borné). En utilisant le théorème de la limite centrale, démontrer qu on a la convergence suivante ( µ n (I) = P (S n nm)/ ) nσ I n π I e x / dx.. Soit f une fonction continue bornée de R vers R. En utilisant le théorème de la limite centrale, démontrer que [ E f ((S n nm)/ )] nσ Exercice 4 On pose, pour n 0 et α R +, n αn T n (α) = e n + f(x)e x / dx. π. Interpréter T n (α) comme la probabilité qu une variable aléatoire de Poisson (à préciser) soit dans un intervalle (à préciser). k=0 n k k!.

6 . Montrer, en utilisant la loi faible des grands nombres, que lim T n(α) = 0 si α < et lim T n (α) = si α >. n n 3. Montrer, en utilisant le théorème de la limite centrale, que lim n T n () =. Exercice 5 Dans une urne, il y a b boules blanches et r boules rouges. On suppose que b r. Les boules sont tirées successivement sans remise jusqu à épuisement de l urne. On cherche à calculer la probabilité de l événement tout au long de la procédure, il y a toujours au moins autant de boules blanches que de boules rouges hors de l urne.. Modéliser mathématiquement la situation.. Posons n = b + r. On appelle chemin un (n + )-uplet (x 0,..., x n ) Z n+ tel que x 0 = 0 et k < n, x k+ x k =. Pour k entre 0 et n, notons B k (resp. R k ) le nombre de boules blanches (resp. rouges) tirées jusqu au temps k inclus. Posons X k := B k R k. On définit ainsi un chemin aléatoire. Quelle est sa loi? 3. Exprimer en fonction de (X 0,..., X n ) l événement qui nous intéresse. 4. Pour k Z, combien y a-t-il de chemins vérifiant x n = k? Cela vous suffit-il pour répondre à la question initiale? Pourquoi? 5. Mettre en bijection l ensemble des chemins vérifiant x n = b r et k, x k < 0 avec l ensemble des chemins vérifiant x n = r b. Répondre à la question initiale. Exercice 6 Dans une population de N individus, K individus votent rouge et N K individus votent vert. Un sondage sur n individus (n N) consiste à tirer aléatoirement un échantillon de taille n de la population, et à noter X le nombre de ces individus qui votent rouge. Les votes sont supposés décidés une fois pour toutes, et les sondés honnêtes.. Modéliser l expérience et déterminer la loi de la variable aléatoire X. Cette loi s appelle la loi hypergéométrique (de paramètre (n, K, N K)).. On suppose maintenant que la taille de l échantillon est fixée tandis que la taille de la population tend vers +, avec la proportion d individus votant rouge tendant vers p ]0, [. Pour k n fixé, montrer la convergence de P(X = k) vers p(k), où les poids p(k) sont ceux d une loi connue que l on précisera. Interpréter. Exercice 7 Grégory choisit deux réels distincts x et y en secret. Il tire ensuite à pile ou face avec une pièce équilibrée pour choisir l un d entre eux, qu il vous dévoile. Vous devez alors dire si vous pensez qu il vous a révélé le plus grand ou le plus petit des deux. Trouvez une stratégie telle que, quels que soient les réels choisis par Grégory, vous gagniez avec probabilité strictement supérieure à /.

7 Exercice 8 (tirage non borné de pile ou face) Une pièce tombe sur pile (ou ) avec probabilité p ]0, [ et sur face (ou 0) avec probabilité q = p. On cherche à modéliser une suite de tirages de cette pièce, non bornée a priori. On notera, pour n N, l ensemble E n = {0, } n des issues possibles après n tirages, ou mots à n lettres sur l alphabet {0, }. De manière similaire, on définit E := {0, } N, ainsi que E n et E l ensemble des mots infinis, de longueur inférieure ou égale à n, et quelconque, respectivement. Pour e E, on note l(e) la longueur du mot, l (e) le nombre de qu il contient, et l 0 (e) le nombre de 0. Pour n l(e), on notera encore e n la projection canonique de e sur E n (ou restriction aux n premiers tirages).. (tirage infini?) On introduit ici Ω = E. On dira qu une loi de probabilité P sur Ω modélise un tirage cohérent infini si pour tout n N et tout mot e de longueur n, on a P({ω Ω, ω n = e}) = p l (e) q l 0(e). Après vous être convaincu de la pertinence de cette définition, montrer qu il n existe pas de loi sur Ω modélisant un tirage cohérent infini.. (tirage jusqu à un temps d arrêt fini presque-sûrement) On souhaite tirer la pièce seulement jusqu à un temps T (pas nécessairement borné ou fini a priori) qui peut dépendre du résultat des tirages antérieurs au temps T. Formellement, T est une application de E dans N { }, telle que si T (e) = n et si e n = e n, alors T (e ) = T (e). Par abus de notation, on écrira encore T (e) = n si e est le préfixe de longueur n d un mot infini e (i.e. e n = e) vérifiant T (e ) = n. Soit Ω T := {ω E, T (ω) = l(ω)} l ensemble des tirages arrêtés à l instant T. Une loi de probabilité P sur Ω T modélise un tirage cohérent arrêté à l instant T si pour tout n N et tout mot e de longueur n, on a Ou bien Ω T contient ω préfixe de e, et alors P({ω}) = p l (ω) q l 0(ω). Ou bien P ({ω Ω T, ω n = e}) = p l (e) q l 0(e). Après vous être convaincu de la pertinence de cette définition, donner une condition nécessaire et suffisante pour qu existe une telle loi. Vérifier qu elle est alors unique. 3. (premier pile) En utilisant la question précédente, modéliser un tirage cohérent arrêté au premier instant où l on obtient pile. Quelle est la loi de cet instant? 4. Avec un nombre de tirages éventuellement non borné, construire un événement de probabilité / (avec cette pièce biaisée!). Est-il possible en général de construire un tel événement avec un nombre de tirages borné?. dans le cadre des probabilités discrètes, i.e. dans le cadre de ce cours. 3

8 ENS de Lyon TD octobre 0 Introduction aux probabilités Exercice On pose, pour n 0 et α R +, αn T n (α) = e n. Interpréter T n (α) comme la probabilité qu une variable aléatoire de Poisson (à préciser) soit dans un intervalle (à préciser).. Montrer, en utilisant la loi faible des grands nombres, que k=0 n k k!. lim T n(α) = 0 si α < et lim T n (α) = si α >. n n 3. Montrer, en utilisant le théorème de la limite centrale, que lim n T n () =. Exercice Dans une urne, il y a b boules blanches et r boules rouges. On suppose que b r. Les boules sont tirées successivement sans remise jusqu à épuisement de l urne. On cherche à calculer la probabilité de l événement tout au long de la procédure, il y a toujours au moins autant de boules blanches que de boules rouges hors de l urne.. Modéliser mathématiquement la situation.. Posons n = b + r. On appelle chemin un (n + )-uplet (x 0,..., x n ) Z n+ tel que x 0 = 0 et k < n, x k+ x k =. Pour k entre 0 et n, notons B k (resp. R k ) le nombre de boules blanches (resp. rouges) tirées jusqu au temps k inclus. Posons X k := B k R k. On définit ainsi un chemin aléatoire. Quelle est sa loi? 3. Exprimer en fonction de (X 0,..., X n ) l événement qui nous intéresse. 4. Pour k Z, combien y a-t-il de chemins vérifiant x n = k? Cela vous suffit-il pour répondre à la question initiale? Pourquoi? 5. Mettre en bijection l ensemble des chemins vérifiant x n = b r et k, x k < 0 avec l ensemble des chemins vérifiant x n = r b. Répondre à la question initiale. Exercice 3 Montrer qu une intersection dénombrable d événements presque sûrs forme un événement presque sûr. Est-ce toujours le cas pour une intersection quelconque? Exercice 4 Soit (X n ) une suite infinie de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées. On les supposera à valeurs dans N.. Exprimer E[X ] R + { } en fonction des P[X n].. Démontrer que si X est intégrable, alors l événement X n /n converge vers 0 est presque sûr. 3. Montrer que si X n est pas intégrable, alors la limite supérieure des X n /n est infinie est un événement presque sûr.

9 Exercice 5 Soit µ une probabilité sur N. On considère le processus de branchement associé. Pour n N, Z n désignera le nombre d individus à la nème génération. Enfin, on notera m = k=0 kµ k.. Démontrer que, pour n N, E[Z n ] = m n.. En déduire, par une preuve différente de celle du cours, que si m <, alors la probabilité de survivre au moins n étapes décroît exponentiellement vite en n. Exercice 6 On cherche à définir une probabilité discrète décrivant précisément toutes les générations d un processus de branchement de loi de reproduction µ. Pour cela, on code les individus de la n-ième génération par un mot de n lettres sur l alphabet N, codant sa généalogie. Ainsi, la génération 0 est composée d un unique individu, l ancêtre, codé par le mot vide, tandis que le ème fils du 3ème fils du er fils de l ancêtre est codé par le mot 3. On définit une généalogie de population comme l ensemble des mots codant tous les individus (de toutes les générations). Soit Ω l ensemble des généalogies de populations finies. Pour A Ω, on notera A n l ensemble des individus de la n-ième génération et Z n son cardinal. On définit un poids sur Ω par A Ω, p(a) = x A µ(n x ), où n x désigne le nombre de fils de l individu x, et par p(a) = A A p(a) pour A Ω.. Soit (z,..., z n ) N n une suite finie. Montrer que p(z = z,..., Z n = z n, Z n+ = 0) = p n+ (z,..., z n, 0), où p n+ désigne la loi du processus de branchement en n + générations vue en cours.. Montrer que p est une probabilité discrète sur Ω exactement dans le cas d extinction presque sûre. Exercice 7 Un faux mage blanc a pris 000 mathématiciens en otages ; voulant tester leur acuité intellectuelle, il leur propose un jeu. J ai choisi une manière de vous numéroter entre et 000 ; sachez que chaque numéro n est porté qu une fois. J ai rentré toutes ces données dans l ordinateur central. Au début du jeu, je vous mettrai chacun dans un cachot, de telle sorte que vous ne pourrez plus communiquer. Vous aurez chacun à votre disposition un petit ordinateur dont la seule fonctionnalité est la suivante : si vous rentrez un nombre entre et 000, le nom de l individu correspondant s affiche. Chacun d entre vous aura 000 tentatives. Si ne serait-ce que l un d entre vous ne voit pas s afficher son nom au cours de ses 000 tentatives, vous serez tous exécutés. Tout est clair? Je vous laisse une semaine pour, ensemble, mettre au point une stratégie. Alea jacta est. Les mathématiciens sont parvenus à trouver une stratégie leur garantissant une probabilité de survie supérieure à 30%. Êtes-vous capables d en faire autant?

10 ENS de Lyon Introduction aux probabilités Devoir à la Maison À rendre le 6 novembre On rappelle que la variance d une variable aléatoire réelle intégrable X est donnée par les deux formules équivalentes suivantes : Exercice [Théorème de Weierstrass] Var X = E[X ] E[X] = E [ (X E[X]) ]. Soit f une fonction continue de [0, ] dans R. On souhaite démontrer le théorème de Weierstrass, à savoir que f est limite simple d une suite de fonctions polynomiales, par des moyens probabilistes. On se donne, pour x [0, ] et n N, une variable aléatoire X n (x), de loi binomiale de paramètre (n, x).. Vérifier que les fonctions sont des fonctions polynomiales. [ x E f ( )] Xn (x). Montrer que cette suite de fonctions converge simplement vers f (ce qui prouve le théorème avec construction explicite d une suite de polynômes qui convient). On pourra penser à un théorème limite concernant la suite de variables aléatoires X n (x)/n. 3. De la même manière, montrer le théorème de Weierstrass d-dimensionnel : Une fonction continue de [0, ] d dans R est limite simple d une suite de fonctions polynomiales (à d variables). 4. En dimension, montrer, par un calcul de premier et de deuxième moments, que la convergence est uniforme en x. (On pourra utiliser l uniforme continuité de f). Exercice [Inégalité de Hoeffding] I : Soit X une variable aléatoire réelle centrée (i.e E[X] = 0), qui prend un nombre fini de valeurs dans l intervalle compact [a, b]. On introduit la fonction λ ψ(λ) := log(e[e λx ]). n. Montrer que ψ est bien définie et C sur R. Calculer ψ(0), ψ (0), puis montrer : ( ) λ R, ψ (λ) = E[X e λx ] E[Xe λx ]. E[e λx ] E[e λx ]. Soit λ R. On introduit une variable X λ dont la loi est déterminée par x R, P[X λ = x] = eλx P[X = x]. E[e λx ] Vérifier qu on définit ainsi bien une loi de probabilité, puis exprimer la variance de la variable aléatoire X λ.

11 3. Montrer que pour tout λ R, on a ψ (λ) (b a) /4. En déduire une majoration de ψ(λ) pour λ R +. (On pourra utiliser la formule Var X = min c R E[(X c) ].) II : Soit maintenant (X,..., X n ) une famille de variables aléatoires réelles indépendantes. On suppose que pour tout i, la variable aléatoire X i prend un nombre fini de valeur dans un intervalle compact [a i, b i ]. On note S n = X X n.. Soit λ R +. Montrer que, pour tout t 0, on a ( ) n P[S n E[S n ] t] E [exp (λ(s n E[S n ] t))] exp λt + λ (b i a i ). 8. En optimisant sur λ, montrer les inégalités de Hoeffding suivantes, pour t 0 : ( ) t P[S n E[S n ] t] exp n i= (b ; i a i ) ( ) t P[ S n E[S n ] t] exp n i= (b. i a i ) III : Pierre affirme posséder une pièce équilibrée, mais vous ne savez pas si vous pouvez lui faire confiance. Ensemble, vous lancez cette pièce 000 fois. Vous obtenez 550 fois pile et 450 fois face. Pierre jubile : Tu vois bien que j avais raison! On obtient une proportion de pile de 0,55, fort proche de /. Il invoque même des arguments probabilistes : C est normal de ne pas obtenir exactement 0,5. Si tu as la patience d effectuer 0000 lancers, tu verras qu on sera encore plus proche de 0,5. C est la loi des grands nombres... Montrez à Pierre votre compréhension encore supérieure des probabilités, en lui prouvant que si effectivement sa pièce était équilibrée, la probabilité que vous auriez eu d observer une proportion de pile avec (au minimum) un tel écart à la moyenne / aurait été... bien faible. Exercice 3 [Nombre de cycles d une grande permutation aléatoire] Dans ce problème, on cherche à estimer le nombre de cycles que contient une grande permutation aléatoire. Pour n, on notera S n le groupe des permutations de l ensemble {,.., n}, et S n une variable aléatoire uniforme sur S n. Cette permutation aléatoire s écrit de manière unique comme produit de cycles à supports disjoints, et on note c(s n ) le nombre de cycles dans cette écriture. Ce nombre est donc une variable aléatoire à valeurs comprises entre (si S n (ω) est un cycle) et n (si S n (ω) est l identité). On va montrer qu en fait c(s n ) est proche de log(n) lorsque n est grand. I : De S n à S n+... Pour n, soit Φ n l application Φ n : S n {,..., n + } S n+ (σ, i) σ (i (n + )), où (i (n+)) désigne la transposition échangeant i et (n+) (ou bien l identité si i = n+), et où σ est l élément de S n+ laissant fixe n + et agissant comme σ sur {,..., n}. i=

12 . Montrer que Φ n est une bijection.. Pour σ S n et i {,..., n + }, exprimer c(φ n (σ, i)) en fonction de c(σ) et de i. II : Le processus (X k ) k n. Pour n fixé, on se donne (U,..., U n ) une famille de variables aléatoires indépendantes telles que U i est uniforme sur {,..., i + }. Soit (X k ) k n le processus tel que X est le seul élément de S, et tel que, pour k n, on ait X k+ = Φ k (X k, U k ).. Montrer que c(x n ) est une somme de variables aléatoires de Bernoulli indépendantes dont on précisera les paramètres.. Montrer que pour k n, les variables aléatoires X k et S k ont la même loi. 3. Calculer l espérance et la variance de c(s n ). 4. Pour n N, on pose H n := n k=. En utilisant les questions précédentes, démontrer k que c(s n )/H n converge en probabilité vers lorsque n tend vers l infini, à savoir ε > 0, ( ) c(s n ) P H n ε 0. n 5. En déduire que c(s n )/log(n) converge en probabilité vers, c est-à-dire que ( ) c(s n ) ε > 0, P log(n) ε 0. n. Quand une variable aléatoire prend ses valeurs dans un espace produit E E n et que {,..., n} est pensé comme une suite d instants, on utilise parfois le mot processus pour parler de la variable aléatoire considérée. 3

13 ENS de Lyon TD 5-3 novembre 0 Introduction aux probabilités Exercice Soit (X n ) n une famille de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées à valeurs dans Z d, bornées. Soit (S n ) n 0 la marche aléatoire sur Z d correspondante, définie par S n = n k= X k. Pour k et i d, on note X (i) k la i ème composante de X k, et on suppose qu il existe un i pour lequel E[X (i) ] 0. Montrer qu alors la marche aléatoire est transitoire, c est-à-dire que le nombre de retours en 0 est fini presque sûrement. (Vous pourrez même montrer que, presque sûrement, chaque élément de Z d, s il est visité par la marche, ne l est qu un nombre fini de fois.) Exercice On considère la marche aléatoire simple sur Z/NZ. À savoir, pour n 0, on a S n = n k= X k, où les X k sont des variables indépendantes telles que P[X k = ] = P[X k = ] = /. (Les X k sont à valeurs dans Z/NZ!) Soit V le dernier élément de Z/NZ à être découvert par la marche. Après avoir justifié l existence de V (sur un événement presque sûr), montrer que V est une variable aléatoire uniforme sur Z/NZ {0}. Exercice 3 Cet exercice propose une preuve alternative de celle du cours de la transience de la marche aléatoire simple en dimension d 3. On pose (X n ) n une famille de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées de loi uniforme sur la. -sphère unité de Z d. De plus, on pose comme d habitude S n := n k= X k. Enfin, on pose f : R d R t E[e i t,x ]. Calculer f, ainsi que f n : t E[e i t,sn ].. Démontrer que P[S n = 0] = (π) d [ π,π] d f(t) n dt. 3. Montrer que n 0 P[S n = 0] = n 0 P[S n = 0] = (π) d [ π,π] d f(t) dt. 4. En utilisant le fait que d 3, démontrer que l intégrale de la question précédente est finie, et en déduire la transience de la marche aléatoire en dimension d. Exercice 4 On cherche à comparer deux stratégies pour le problème de la ruine du joueur. Rappelons que pour modéliser le problème, on se donne (X n ) n une famille de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées telles que P[X = ] = p et P[X = ] = q = p. Ici, p désigne la probabilité que vous gagniez, à chaque étape, contre votre adversaire, la banque. Vous avez initialement un jeton et la banque N. Vous devez jouer jusqu à ce qu un des deux joueurs remporte les N jetons et que l autre soit ruiné. Par ailleurs, on supposera, afin de simplifier l étude, que N est une puissance de.

14 La stratégie prudente consiste à miser à chaque fois, jusqu à fin du jeu. On définit donc (C n ) n 0, l évolution de votre capital dans ce cadre, par C 0 = et { Cn + X C n+ := n+ si 0 < C n < N sinon C n La stratégie téméraire consiste à miser tout ce qu on a à chaque étape, jusqu à terminaison du jeu. L évolution de votre capital est alors encodée par C 0 = et C C n+ n si 0 < C n < N et X n+ = := 0 si 0 < C n < N et X n+ = C n sinon. Démontrer que, presque sûrement, (C n ) stationne en 0 ou N. De même pour (C n).. On peut définir p k la probabilité de victoire dans le cadre prudent avec un capital initial de k. Rappeler comment, dans le cours, on établit une formule de récurrence entre les p k qui permet de les déterminer. 3. On note p la probabilité de victoire dans le cadre téméraire avec un capital initial de. Calculer p. Comparer p et p dans le cas équilibré (p = q = /), puis dans le cas défavorable (p < q). Exercice 5 On considère la marche aléatoire simple sur Z d, pour un d. À savoir, pour n 0, on a S n = n k= X k, où les X k sont des variables aléatoires indépendantes uniformes sur {x Z d, x = }. Pour x Z d, on note H x = H x := inf{n > 0, S n = x} le premier temps d atteinte du point x. Plus généralement, on définit par récurrence, pour i, H x i := inf{n > H x i, S n = x} le i ième temps d atteinte du point x. Pour x et i fixés, on peut calculer la probabilité de l événement {Hi x = n} pour tout n, ainsi que pour n = +, et la somme de ces probabilités vaut un. Par ailleurs, on pourra utiliser le résultat de l exercice 3 du TD4.. (a) Montrer que, pour tout n et tout k N n, P[ i n, H 0 i = k + + k i ] = n P[H 0 = k i ]. i= (b) Supposons que H 0 est infini avec probabilité non-nulle. Démontrer que, presque sûrement, il existe n N tel que H 0 n = +. (c) Supposons que H 0 est fini presque sûrement. Démontrer que, pour n N, l événement {H 0 n < + } est presque sûr. En déduire que le nombre de retours en 0 est infini presque sûrement.

15 . (a) Montrer que, pour tous n, k N n et x Z d, P[ i n, H x i = k + + k i ] = P[H x = k ] n P[H 0 = k i ]. (b) En utilisant la question précédente, démontrer que si H 0 est infini avec probabilité non-nulle, alors, presque sûrement, tout site n est visité qu un nombre fini de fois. (c) (*) Démontrer que si H 0 est fini presque sûrement et si x Z d, alors H x est fini presque sûrement. (d) Démontrer que si H 0 est fini presque sûrement, alors, presque sûrement, tout site est visité une infinité de fois. i=. peut-être nul 3

16 ENS de Lyon TD novembre 0 Introduction aux probabilités Exercice Soit n. On note P n l espace des lois de probabilité sur {,..., n}. On définit une distance sur P n en posant d VT (p, p ) = n p(i) p (i) i= Cette distance s appelle la distance en variation totale. Soit p et p deux lois de probabilité sur {,..., n}. On dira que (X, X ) est un couplage de (p, p ) si X et X sont deux variables aléatoires définies sur un même espace de probabilité, de telle sorte que X i soit de loi p i.. Soit (X, X ) un couplage de (p, p ). Démontrer que P[X X ] d VT (p, p ).. Construire un couplage (X, X ) tel que P[X X ] = d VT (p, p ). Ainsi, d VT (p, p ) est le minimum sur tous les couplages (X, X ) de (p, p ) de P[X X ]. 3. En déduire que pour tout A {,..., n}, p (A) p (A) d VT (p, p ). 4. Montrer que d VT (p, p ) = max A p (A) p (A). Exercice [problème du collectionneur] Vous commencez une collection de timbres à l effigie des joueurs de votre équipe préférée. Vous achetez donc ces timbres dans la boutique du club... Le hic, c est que vous achetez ces timbres sans savoir quel joueur ils représentent, en particulier sans savoir si vous possédiez déjà le timbre en question. Combien de timbres vous faudra-t-il acheter pour obtenir la collection complète, sous l hypothèse que les timbres représentant les différents joueurs sont également fréquents? On modélise le problème par une suite (X n ) n de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées sur {,..., k}. L ensemble {,..., k} modélise les joueurs, tandis que X n désigne le joueur représenté sur le n ième timbre acheté. Pour i k, on introduit aussi la variable T i égale au nombre de timbres que vous avez dû acheter pour obtenir i joueurs différents, soit T i := inf{n, Card{X,..., X n } = i}.. Montrer que l événement les T i sont finis est presque sûr.. Soit i < k et n i. Quelle est la loi de T i+ n i sachant T i = n i? 3. Déterminer la loi du vecteur (T, T T,..., T k T k ). 4. Calculer l espérance de T k. La comparer à k, lorsque k est grand, et interpréter.

17 Exercice 3 [paradoxe des anniversaires] Soit (X n ) n N+ une suite de variables aléatoires indépendantes uniformes sur {,..., N}. Posons T N := min{n : m < n, X m = X n }.. Montrer que, pour x 0, P[T N / N > x] n e x /.. Justifier le fait que la convergence précédente indique que T N est asymptotiquement de l ordre de N. Probabilistement, le principe des tiroirs n a pas besoin de N + mais N tirages de chaussettes! Pourquoi paradoxe des anniversaires? Pensez N comme le nombre de jours dans une année (disons 365). La variable X n représente l anniversaire du n ième individu d une classe, énumérée dans un ordre quelconque. Si on demande successivement aux individus de la classe la date de leur anniversaire, T N représente le premier instant où on aura obtenu deux fois la même réponse. Notamment, si la classe ne compte en réalité que k individus, {T N k} est l événement deux personnes au moins dans la classe ont le même anniversaire, qu on notera A. On vient de démontrer que T N est de l ordre de N ; par exemple, si une classe comporte N /+ɛ individus, la probabilité de A sera très proche de, alors qu avec N / ɛ individus, elle sera très proche de 0. Vous avez compris pourquoi le terme anniversaire apparaît, mais pourquoi paradoxe? Si le passage de N + à N dans le principe des tiroirs ne vous suffit pas, les données numériques suivantes vous éclaireront peut-être à ce sujet : pour N = 365, la probabilité de A dépasse 50% à partir de 3 élèves, et 99% à partir de k = 57. Exercice 4 [suite du paradoxe des anniversaires, difficile] On pourrait reprocher à l exercice précédent de supposer les variables aléatoires uniformes. On va démontrer ici, qu en fait, le cas le moins paradoxal est celui des variables aléatoires uniformes. (Et pourtant, il est déjà paradoxal!) Plus précisément, soit N un entier naturel non-nul fixé. Notons p la loi du T N de l exercice 3. Soit (Y n ) n N+ une suite de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées sur {,..., N} (de loi quelconque). Posons T N := min{n : m < n, Y m = Y n }. Notons p sa loi. L objectif de cet exercice est d établir l existence d un couplage (X, X ) de (p, p ) tel que P[X X ] =. Montrer que, pour tout k, P[T N k] P[T N k].. Démontrer qu il existe un couplage tel que recherché, et comprendre pourquoi on a bien établi que le cas le moins paradoxal est celui de la mesure uniforme.. suivant leur indice

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur

Plus en détail

Moments des variables aléatoires réelles

Moments des variables aléatoires réelles Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................

Plus en détail

Travaux dirigés d introduction aux Probabilités

Travaux dirigés d introduction aux Probabilités Travaux dirigés d introduction aux Probabilités - Dénombrement - - Probabilités Élémentaires - - Variables Aléatoires Discrètes - - Variables Aléatoires Continues - 1 - Dénombrement - Exercice 1 Combien

Plus en détail

Calculs de probabilités conditionelles

Calculs de probabilités conditionelles Calculs de probabilités conditionelles Mathématiques Générales B Université de Genève Sylvain Sardy 20 mars 2008 1. Indépendance 1 Exemple : On lance deux pièces. Soit A l évènement la première est Pile

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 août 2015 Enoncés 1 Proailités sur un univers fini Evènements et langage ensemliste A quelle condition sur (a,, c, d) ]0, 1[ 4 existe-t-il une proailité P sur

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.

Plus en détail

Probabilités. C. Charignon. I Cours 3

Probabilités. C. Charignon. I Cours 3 Probabilités C. Charignon Table des matières I Cours 3 1 Dénombrements 3 1.1 Cardinal.................................................. 3 1.1.1 Définition............................................. 3

Plus en détail

P1 : Corrigés des exercices

P1 : Corrigés des exercices P1 : Corrigés des exercices I Exercices du I I.2.a. Poker : Ω est ( l ensemble ) des parties à 5 éléments de l ensemble E des 52 cartes. Cardinal : 5 I.2.b. Bridge : Ω est ( l ensemble ) des parties à

Plus en détail

Texte Agrégation limitée par diffusion interne

Texte Agrégation limitée par diffusion interne Page n 1. Texte Agrégation limitée par diffusion interne 1 Le phénomène observé Un fût de déchets radioactifs est enterré secrètement dans le Cantal. Au bout de quelques années, il devient poreux et laisse

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

Probabilités et Statistiques. Feuille 2 : variables aléatoires discrètes

Probabilités et Statistiques. Feuille 2 : variables aléatoires discrètes IUT HSE Probabilités et Statistiques Feuille : variables aléatoires discrètes 1 Exercices Dénombrements Exercice 1. On souhaite ranger sur une étagère 4 livres de mathématiques (distincts), 6 livres de

Plus en détail

Exercices sur le chapitre «Probabilités»

Exercices sur le chapitre «Probabilités» Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2014-2015 1 Pour démarrer Exercices sur le chapitre «Probabilités» Exercice 1 (Modélisation d un dé non cubique) On considère un parallélépipède rectangle de

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

Examen d accès - 1 Octobre 2009

Examen d accès - 1 Octobre 2009 Examen d accès - 1 Octobre 2009 Aucun document autorisé - Calculatrice fournie par le centre d examen Ce examen est un questionnaire à choix multiples constitué de 50 questions. Plusieurs réponses sont

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés 2012-2013 1 Petites questions 1) Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? 2) Si F et G sont deux tribus, est-ce que F G est toujours une tribu?

Plus en détail

Probabilités conditionnelles Loi binomiale

Probabilités conditionnelles Loi binomiale Exercices 23 juillet 2014 Probabilités conditionnelles Loi binomiale Équiprobabilité et variable aléatoire Exercice 1 Une urne contient 5 boules indiscernables, 3 rouges et 2 vertes. On tire au hasard

Plus en détail

Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.

Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. 14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,

Plus en détail

ALEATOIRE - Les enjeux du cours de Probabilités en première année de l Ecole Polytechnique

ALEATOIRE - Les enjeux du cours de Probabilités en première année de l Ecole Polytechnique ALEATOIRE - Les enjeux du cours de Probabilités en première année de l Ecole Polytechnique Télécom ParisTech, 09 mai 2012 http://www.mathematiquesappliquees.polytechnique.edu/ accueil/programmes/cycle-polytechnicien/annee-1/

Plus en détail

Exercices : VAR discrètes

Exercices : VAR discrètes Exercices : VAR discrètes Exercice 1: Une urne contient 2 boules blanches et 4 boules noires. On tire les boules une à une sans les remettre jusqu à ce qu il ne reste que des boules d une seule couleur

Plus en détail

Statistique Descriptive et Inférentielle Méthodes paramétriques et non paramétriques

Statistique Descriptive et Inférentielle Méthodes paramétriques et non paramétriques Fiche TD avec le logiciel : a2-1-c Statistique Descriptive et Inférentielle Méthodes paramétriques et non paramétriques Sylvain Mousset Rappels de probabilités / statistiques Table des matières 1 Probabilités

Plus en détail

Leçon 6. Savoir compter

Leçon 6. Savoir compter Leçon 6. Savoir compter Cette leçon est une introduction aux questions de dénombrements. Il s agit, d une part, de compter certains objets mathématiques (éléments, parties, applications,...) et, d autre

Plus en détail

Coefficients binomiaux

Coefficients binomiaux Probabilités L2 Exercices Chapitre 2 Coefficients binomiaux 1 ( ) On appelle chemin une suite de segments de longueur 1, dirigés soit vers le haut, soit vers la droite 1 Dénombrer tous les chemins allant

Plus en détail

Lois de probabilité à densité Loi normale

Lois de probabilité à densité Loi normale DERNIÈRE IMPRESSIN LE 31 mars 2015 à 14:11 Lois de probabilité à densité Loi normale Table des matières 1 Lois à densité 2 1.1 Introduction................................ 2 1.2 Densité de probabilité

Plus en détail

Université Paris 8 Introduction aux probabilités 2014 2015 Licence Informatique Exercices Ph. Guillot. 1 Ensemble fondamental loi de probabilité

Université Paris 8 Introduction aux probabilités 2014 2015 Licence Informatique Exercices Ph. Guillot. 1 Ensemble fondamental loi de probabilité Université Paris 8 Introduction aux probabilités 2014 2015 Licence Informatique Exercices Ph. Guillot 1 Ensemble fondamental loi de probabilité Exercice 1. On dispose de deux boîtes. La première contient

Plus en détail

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme

Plus en détail

Simulation de variables aléatoires

Simulation de variables aléatoires Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo

Plus en détail

Feuille d exercices 2 : Espaces probabilisés

Feuille d exercices 2 : Espaces probabilisés Feuille d exercices 2 : Espaces probabilisés Cours de Licence 2 Année 07/08 1 Espaces de probabilité Exercice 1.1 (Une inégalité). Montrer que P (A B) min(p (A), P (B)) Exercice 1.2 (Alphabet). On a un

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

4 Distributions particulières de probabilités

4 Distributions particulières de probabilités 4 Distributions particulières de probabilités 4.1 Distributions discrètes usuelles Les variables aléatoires discrètes sont réparties en catégories selon le type de leur loi. 4.1.1 Variable de Bernoulli

Plus en détail

TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1

TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1 TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité I Loi uniforme sur ab ; ) Introduction Dans cette activité, on s intéresse à la modélisation du tirage au hasard d un nombre réel de l intervalle [0 ;], chacun

Plus en détail

Notes de cours de Probabilités Appliquées. Olivier François

Notes de cours de Probabilités Appliquées. Olivier François Notes de cours de Probabilités Appliquées Olivier François 2 Table des matières 1 Axiomes des probabilités 7 1.1 Introduction................................. 7 1.2 Définitions et notions élémentaires.....................

Plus en détail

Probabilités. I Petits rappels sur le vocabulaire des ensembles 2 I.1 Définitions... 2 I.2 Propriétés... 2

Probabilités. I Petits rappels sur le vocabulaire des ensembles 2 I.1 Définitions... 2 I.2 Propriétés... 2 Probabilités Table des matières I Petits rappels sur le vocabulaire des ensembles 2 I.1 s................................................... 2 I.2 Propriétés...................................................

Plus en détail

Licence MASS 2000-2001. (Re-)Mise à niveau en Probabilités. Feuilles de 1 à 7

Licence MASS 2000-2001. (Re-)Mise à niveau en Probabilités. Feuilles de 1 à 7 Feuilles de 1 à 7 Ces feuilles avec 25 exercices et quelques rappels historiques furent distribuées à des étudiants de troisième année, dans le cadre d un cours intensif sur deux semaines, en début d année,

Plus en détail

Fiche de révision sur les lois continues

Fiche de révision sur les lois continues Exercice 1 Voir la correction Le laboratoire de physique d un lycée dispose d un parc d oscilloscopes identiques. La durée de vie en années d un oscilloscope est une variable aléatoire notée X qui suit

Plus en détail

Petits jeux de probabilités (Solutions)

Petits jeux de probabilités (Solutions) Petits jeux de probabilités (Solutions) Christophe Lalanne En famille 1. Mon voisin a deux enfants dont l un est une fille, quelle est la probabilité pour que l autre soit un garçon? Une famille de deux

Plus en détail

Épreuve pratique de mathématiques Printemps 2009. Descriptifs. (Page vide)

Épreuve pratique de mathématiques Printemps 2009. Descriptifs. (Page vide) Épreuve pratique de mathématiques Printemps 2009 Descriptifs (Page vide) Sujet 001 Épreuve pratique de mathématiques Descriptif Étude d une fonction dépendant d un paramètre Étant donné une fonction dépendant

Plus en détail

Introduction au Calcul des Probabilités

Introduction au Calcul des Probabilités Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées Bât. M2, F-59655 Villeneuve d Ascq Cedex Introduction au Calcul des Probabilités Probabilités à Bac+2 et plus

Plus en détail

Couples de variables aléatoires discrètes

Couples de variables aléatoires discrètes Couples de variables aléatoires discrètes ECE Lycée Carnot mai Dans ce dernier chapitre de probabilités de l'année, nous allons introduire l'étude de couples de variables aléatoires, c'est-à-dire l'étude

Plus en détail

Cours de mathématiques Partie IV Probabilités MPSI 4

Cours de mathématiques Partie IV Probabilités MPSI 4 Lycée Louis-Le-Grand, Paris Année 2013/2014 Cours de mathématiques Partie IV Probabilités MPSI 4 Alain TROESCH Version du: 30 mai 2014 Table des matières 1 Dénombrement 3 I Combinatoire des ensembles

Plus en détail

Probabilité. Table des matières. 1 Loi de probabilité 2 1.1 Conditions préalables... 2 1.2 Définitions... 2 1.3 Loi équirépartie...

Probabilité. Table des matières. 1 Loi de probabilité 2 1.1 Conditions préalables... 2 1.2 Définitions... 2 1.3 Loi équirépartie... 1 Probabilité Table des matières 1 Loi de probabilité 2 1.1 Conditions préalables........................... 2 1.2 Définitions................................. 2 1.3 Loi équirépartie..............................

Plus en détail

Espace de probabilité, indépendance et probabilité conditionnelle

Espace de probabilité, indépendance et probabilité conditionnelle Chapter 2 Espace de probabilité, indépendance et probabilité conditionnelle Sommaire 2.1 Tribu et événements........................................... 15 2.2 Probabilité................................................

Plus en détail

2. Probabilité. 2.1: Espaces de probabilité 2.2: Probabilité conditionelle 2.3: Indépendance. http://statwww.epfl.ch

2. Probabilité. 2.1: Espaces de probabilité 2.2: Probabilité conditionelle 2.3: Indépendance. http://statwww.epfl.ch 2. Probabilité 2.1: Espaces de probabilité 2.2: Probabilité conditionelle 2.3: Indépendance Probabilité et Statistiques I Chapître 2 1 2.1 Espaces de Probabilité Contenu Exemples élémentaires de probabilité,

Plus en détail

PROBABILITES ET STATISTIQUE I&II

PROBABILITES ET STATISTIQUE I&II PROBABILITES ET STATISTIQUE I&II TABLE DES MATIERES CHAPITRE I - COMBINATOIRE ELEMENTAIRE I.1. Rappel des notations de la théorie des ensemble I.1.a. Ensembles et sous-ensembles I.1.b. Diagrammes (dits

Plus en détail

Développement décimal d un réel

Développement décimal d un réel 4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE. Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE. (durée : cinq heures)

CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE. Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE. (durée : cinq heures) CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE (durée : cinq heures) Une composition portant sur la statistique. SUJET Cette épreuve est composée d un

Plus en détail

3. Conditionnement P (B)

3. Conditionnement P (B) Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte

Plus en détail

Marches, permutations et arbres binaires aléatoires

Marches, permutations et arbres binaires aléatoires Marches, permutations et arbres binaires aléatoires Épreuve pratique d algorithmique et de programmation Concours commun des Écoles Normales Supérieures Durée de l épreuve: 4 heures Cœfficient: 4 Juillet

Plus en détail

1 TD1 : rappels sur les ensembles et notion de probabilité

1 TD1 : rappels sur les ensembles et notion de probabilité 1 TD1 : rappels sur les ensembles et notion de probabilité 1.1 Ensembles et dénombrement Exercice 1 Soit Ω = {1, 2, 3, 4}. Décrire toutes les parties de Ω, puis vérier que card(p(ω)) = 2 4. Soit k n (

Plus en détail

4. Martingales à temps discret

4. Martingales à temps discret Martingales à temps discret 25 4. Martingales à temps discret 4.1. Généralités. On fixe un espace de probabilités filtré (Ω, (F n ) n, F, IP ). On pose que F contient ses ensembles négligeables mais les

Plus en détail

CONCOURS GÉNÉRAL DES LYCÉES SESSION DE 2009 COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES. (Classe terminale S)

CONCOURS GÉNÉRAL DES LYCÉES SESSION DE 2009 COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES. (Classe terminale S) MA 09 CONCOURS GÉNÉRAL DES LYCÉES SESSION DE 009 COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Classe terminale S) DURÉE : 5 heures La calculatrice de poche est autorisée, conformément à la réglementation. La clarté et

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

À propos des matrices échelonnées

À propos des matrices échelonnées À propos des matrices échelonnées Antoine Ducros appendice au cours de Géométrie affine et euclidienne dispensé à l Université Paris 6 Année universitaire 2011-2012 Introduction Soit k un corps, soit E

Plus en détail

I3, Probabilités 2014 Travaux Dirigés F BM F BM F BM F BM F B M F B M F B M F B M 20 20 80 80 100 100 300 300

I3, Probabilités 2014 Travaux Dirigés F BM F BM F BM F BM F B M F B M F B M F B M 20 20 80 80 100 100 300 300 I3, Probabilités 2014 Travaux Dirigés TD 1 : rappels. Exercice 1 Poker simplié On tire 3 cartes d'un jeu de 52 cartes. Quelles sont les probabilités d'obtenir un brelan, une couleur, une paire, une suite,

Plus en détail

Formules d inclusion-exclusion

Formules d inclusion-exclusion Université de Rouen L1 M.I.EEA 2011 2012 Mathématiques discrètes Formules d inclusion-exclusion Je présente ici une correction détaillée de l Exercice 5 de la Feuille d exercices 1, en reprenant le problème

Plus en détail

LEÇON N 7 : Schéma de Bernoulli et loi binomiale. Exemples.

LEÇON N 7 : Schéma de Bernoulli et loi binomiale. Exemples. LEÇON N 7 : Schéma de Bernoulli et loi binomiale. Exemples. Pré-requis : Probabilités : définition, calculs et probabilités conditionnelles ; Notion de variables aléatoires, et propriétés associées : espérance,

Plus en détail

Intégration et probabilités 2012-2013. TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé. 1 Petites questions. n hésitez pas à m envoyer un mail à

Intégration et probabilités 2012-2013. TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé. 1 Petites questions. n hésitez pas à m envoyer un mail à Intégration et probabilités 212-213 TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé xercice ayant été voué à être préparé xercice 1 (Mesure image). Soient (, A, µ) un espace mesuré, (F, B) un espace

Plus en détail

Introduction à l étude des Corps Finis

Introduction à l étude des Corps Finis Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur

Plus en détail

Terminale STMG Lycée Jean Vilar 2013/2014. Terminale STMG. O. Lader

Terminale STMG Lycée Jean Vilar 2013/2014. Terminale STMG. O. Lader Terminale STMG O. Lader Table des matières 1 Information chiffrée (4s) 4 1.1 Taux d évolution....................................... 6 1.2 indices............................................. 6 1.3 Racine

Plus en détail

Correction de l examen de la première session

Correction de l examen de la première session de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi

Plus en détail

Cours de Probabilités et de Statistique

Cours de Probabilités et de Statistique Cours de Probabilités et de Statistique Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université Paris-Est Cours de Proba-Stat 2 L1.2 Science-Éco Chapitre Notions de théorie des ensembles 1 1.1 Ensembles

Plus en détail

Représentation des nombres entiers et réels. en binaire en mémoire

Représentation des nombres entiers et réels. en binaire en mémoire L3 Mag1 Phys. fond., cours C 15-16 Rep. des nbs. en binaire 25-09-05 23 :06 :02 page 1 1 Nombres entiers 1.1 Représentation binaire Représentation des nombres entiers et réels Tout entier positif n peut

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

Probabilités. I- Expérience aléatoire, espace probabilisé : ShotGun. 1- Définitions :

Probabilités. I- Expérience aléatoire, espace probabilisé : ShotGun. 1- Définitions : Probabilités I- Expérience aléatoire, espace probabilisé : 1- Définitions : Ω : Ensemble dont les points w sont les résultats possibles de l expérience Des évènements A parties de Ω appartiennent à A une

Plus en détail

Objets Combinatoires élementaires

Objets Combinatoires élementaires Objets Combinatoires élementaires 0-0 Permutations Arrangements Permutations pour un multi-ensemble mots sous-ensemble à k éléments (Problème du choix) Compositions LE2I 04 1 Permutations Supposons que

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

Statistique descriptive et prévision

Statistique descriptive et prévision Statistique descriptive et prévision Année 2010/2011 L. Chaumont Contents 1. Étude d une variable 5 1.1. Définitions................................ 5 1.2. Représentations graphiques usuelles................

Plus en détail

Chaînes de Markov au lycée

Chaînes de Markov au lycée Journées APMEP Metz Atelier P1-32 du dimanche 28 octobre 2012 Louis-Marie BONNEVAL Chaînes de Markov au lycée Andreï Markov (1856-1922) , série S Problème 1 Bonus et malus en assurance automobile Un contrat

Plus en détail

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA)

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA) Agrégation interne de Mathématiques (et CAEPA Session 2009 Deuxième épreuve écrite 2 NOTATIONS ET PÉLIMINAIES On désigne par le corps des nombres réels et par C le corps des nombres complexes. Si f est

Plus en détail

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer

Plus en détail

La mesure de Lebesgue sur la droite réelle

La mesure de Lebesgue sur la droite réelle Chapitre 1 La mesure de Lebesgue sur la droite réelle 1.1 Ensemble mesurable au sens de Lebesgue 1.1.1 Mesure extérieure Définition 1.1.1. Un intervalle est une partie convexe de R. L ensemble vide et

Plus en détail

Arbre de probabilité(afrique) Univers - Evénement

Arbre de probabilité(afrique) Univers - Evénement Arbre de probabilité(afrique) Univers - Evénement Exercice 1 Donner l univers Ω de l expérience aléatoire consistant à tirer deux boules simultanément d une urne qui en contient 10 numérotés puis à lancer

Plus en détail

Théorie et Codage de l Information (IF01) exercices 2013-2014. Paul Honeine Université de technologie de Troyes France

Théorie et Codage de l Information (IF01) exercices 2013-2014. Paul Honeine Université de technologie de Troyes France Théorie et Codage de l Information (IF01) exercices 2013-2014 Paul Honeine Université de technologie de Troyes France TD-1 Rappels de calculs de probabilités Exercice 1. On dispose d un jeu de 52 cartes

Plus en détail

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au

Plus en détail

Qu est-ce qu une probabilité?

Qu est-ce qu une probabilité? Chapitre 1 Qu est-ce qu une probabilité? 1 Modéliser une expérience dont on ne peut prédire le résultat 1.1 Ensemble fondamental d une expérience aléatoire Une expérience aléatoire est une expérience dont

Plus en détail

Calculs de probabilités

Calculs de probabilités Calculs de probabilités Mathématiques Générales B Université de Genève Sylvain Sardy 13 mars 2008 1. Définitions et notations 1 L origine des probabilités est l analyse de jeux de hasard, tels que pile

Plus en détail

Le modèle de Black et Scholes

Le modèle de Black et Scholes Le modèle de Black et Scholes Alexandre Popier février 21 1 Introduction : exemple très simple de modèle financier On considère un marché avec une seule action cotée, sur une période donnée T. Dans un

Plus en détail

Introduction à l Algorithmique

Introduction à l Algorithmique Introduction à l Algorithmique N. Jacon 1 Définition et exemples Un algorithme est une procédure de calcul qui prend en entier une valeur ou un ensemble de valeurs et qui donne en sortie une valeur ou

Plus en détail

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n

Plus en détail

Concours de recrutement interne PLP 2009

Concours de recrutement interne PLP 2009 Concours de recrutement interne PLP 2009 Le sujet est constitué de quatre exercices indépendants. Le premier exercice, de nature pédagogique au niveau du baccalauréat professionnel, porte sur le flocon

Plus en détail

Probabilités. Une urne contient 3 billes vertes et 5 billes rouges toutes indiscernables au toucher.

Probabilités. Une urne contient 3 billes vertes et 5 billes rouges toutes indiscernables au toucher. Lycée Jean Bart PCSI Année 2013-2014 17 février 2014 Probabilités Probabilités basiques Exercice 1. Vous savez bien qu un octet est une suite de huit chiffres pris dans l ensemble {0; 1}. Par exemple 01001110

Plus en détail

9 5 2 5 Espaces probabilisés

9 5 2 5 Espaces probabilisés BCPST2 9 5 2 5 Espaces probabilisés I Mise en place du cadre A) Tribu Soit Ω un ensemble. On dit qu'un sous ensemble T de P(Ω) est une tribu si et seulement si : Ω T. T est stable par complémentaire, c'est-à-dire

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

Démonstrations exigibles au bac

Démonstrations exigibles au bac Démonstrations exigibles au bac On donne ici les 11 démonstrations de cours répertoriées comme exigibles dans le programme officiel. Toutes ces démonstrations peuvent donner lieu à une «restitution organisée

Plus en détail

PROBABILITÉS CONDITIONNELLES

PROBABILITÉS CONDITIONNELLES PROBABILITÉS CONDITIONNELLES A.FORMONS DES COUPLES Pour la fête de l école, les élèves de CE 2 ont préparé une danse qui s exécute par couples : un garçon, une fille. La maîtresse doit faire des essais

Plus en détail

Variables Aléatoires. Chapitre 2

Variables Aléatoires. Chapitre 2 Chapitre 2 Variables Aléatoires Après avoir réalisé une expérience, on ne s intéresse bien souvent à une certaine fonction du résultat et non au résultat en lui-même. Lorsqu on regarde une portion d ADN,

Plus en détail

Processus aléatoires avec application en finance

Processus aléatoires avec application en finance Genève, le 16 juin 2007. Processus aléatoires avec application en finance La durée de l examen est de deux heures. N oubliez pas d indiquer votre nom et prénom sur chaque feuille. Toute documentation et

Plus en détail

Baccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013

Baccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013 Baccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013 A. P. M. E. P. EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 5 points Une entreprise informatique produit et vend des clés USB. La vente de ces clés est réalisée

Plus en détail

Classe de Terminale S

Classe de Terminale S Classe de Terminale S Programme BO HS n 4 du 30 août 001 II.3 Probabilités et statistique Après avoir introduit en classe de seconde la nature du questionnement statistique à partir de travaux sur la fluctuation

Plus en détail

Outils mathématiques pour le datamining. http://www.elseware.fr/univevry

Outils mathématiques pour le datamining. http://www.elseware.fr/univevry Outils mathématiques pour le datamining http://wwwelsewarefr/univevry Géométrie Distance Distance entre parties Matrice de variance/covariance Inertie Minimisation Probabilités Définition Théorème de Bayes

Plus en détail

Probabilités Loi binomiale Exercices corrigés

Probabilités Loi binomiale Exercices corrigés Probabilités Loi binomiale Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : épreuve de Bernoulli Exercice 2 : loi de Bernoulli de paramètre

Plus en détail

Souad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/

Souad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation

Plus en détail

Travaux Dirigés de Probabilités - Statistiques, TD 4. Lois limites ; estimation.

Travaux Dirigés de Probabilités - Statistiques, TD 4. Lois limites ; estimation. Travaux Dirigés de Probabilités - Statistiques, TD 4 Lois limites ; estimation. Exercice 1. Trois machines, A, B, C fournissent respectivement 50%, 30%, 20% de la production d une usine. Les pourcentages

Plus en détail

Jeux à somme nulle : le cas fini

Jeux à somme nulle : le cas fini CHAPITRE 2 Jeux à somme nulle : le cas fini Les jeux à somme nulle sont les jeux à deux joueurs où la somme des fonctions de paiement est nulle. Dans ce type d interaction stratégique, les intérêts des

Plus en détail

Actuariat I ACT2121. septième séance. Arthur Charpentier. Automne 2012. charpentier.arthur@uqam.ca. http ://freakonometrics.blog.free.

Actuariat I ACT2121. septième séance. Arthur Charpentier. Automne 2012. charpentier.arthur@uqam.ca. http ://freakonometrics.blog.free. Actuariat I ACT2121 septième séance Arthur Charpentier charpentier.arthur@uqam.ca http ://freakonometrics.blog.free.fr/ Automne 2012 1 Exercice 1 En analysant le temps d attente X avant un certain événement

Plus en détail

MAP 311 - Aléatoire - PC 1. Probabilités

MAP 311 - Aléatoire - PC 1. Probabilités MAP 311 - Aléatoire - PC 1 Emmanuel Gobet Feuille de PC disponible en avance sur le site http://www.cmap.polytechnique.fr/~gobet/. Les exercices marqués ( ) sont corrigés dans le livre Aléatoire de S.

Plus en détail

Lois de probabilité. Anita Burgun

Lois de probabilité. Anita Burgun Lois de probabilité Anita Burgun Problème posé Le problème posé en statistique: On s intéresse à une population On extrait un échantillon On se demande quelle sera la composition de l échantillon (pourcentage

Plus en détail

Loi d une variable discrète

Loi d une variable discrète MATHEMATIQUES TD N : VARIABLES DISCRETES - Corrigé. P[X = k] 0 k point de discontinuité de F et P[X = k] = F(k + ) F(k ) Ainsi, P[X = ] =, P[X = 0] =, P[X = ] = R&T Saint-Malo - nde année - 0/0 Loi d une

Plus en détail

Chapitre VI - Méthodes de factorisation

Chapitre VI - Méthodes de factorisation Université Pierre et Marie Curie Cours de cryptographie MM067-2012/13 Alain Kraus Chapitre VI - Méthodes de factorisation Le problème de la factorisation des grands entiers est a priori très difficile.

Plus en détail

Modèles à Événements Discrets. Réseaux de Petri Stochastiques

Modèles à Événements Discrets. Réseaux de Petri Stochastiques Modèles à Événements Discrets Réseaux de Petri Stochastiques Table des matières 1 Chaînes de Markov Définition formelle Idée générale Discrete Time Markov Chains Continuous Time Markov Chains Propriétés

Plus en détail