Exercices de mathématiques

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1 MP MP* Thierry DugarDi Marc rezzouk Exercices de mathématiques Cetrale-Supélec, Mies-Pots, École Polytechique et ENS

2 Coceptio et créatio de couverture : Atelier 3+ Duod, rue Laromiguière, Paris ISBN

3 Table des matières Déombrabilité, combiatoire, probabilités Esembles déombrables Combiatoire, probabilités Probabilités plus poussées : loi forte des grads ombres, marches aléatoires, chaîes de Markov Algèbre géérale 03 Arithmétique das Z, polyômes à coefficiets etiers Groupes Aeaux, idéaux Polyômes Algèbre liéaire et biliéaire 59 Matrices, applicatios liéaires, détermiats Réductio des edomorphismes et des matrices Algèbre biliéaire Suites et séries umériques, topologie de R 25 Suites réelles ou complexes Séries umériques Familles sommables Foctios 309 Foctio de la variable réelle Suites et séries de foctios Séries etières Itégratio Topologie Équatios différetielles Calcul différetiel 459 Idex 489

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5 Avat-propos Cet ouvrage d exercices corrigés de mathématiques s adresse aux élèves de classes préparatoires scietifiques. Il est plus particulièremet adapté à la filière MP/MP* et coforme au ouveau programme officiel retrée 204 de cette filière. Il pourra bie sûr égalemet être utile aux élèves des autres filières et aux cadidats aux cocours d eseigemet CAPES et Agrégatio. Les exercices sot d u iveau relativemet élevé et viset à préparer les cocours les plus exigeats : Cetrale Supélec, Mies Pots, École Polytechique et les Écoles Normales Supérieures. Outre les exercices classiques icotourables, ous avos essayé de proposer quelques exercices plus origiaux élaborés à partir de ce que ous avos pu proposer e tat qu examiateurs à des cocours aux grades écoles. Ils ous a semblé itéressat d illustrer quelques exercices par ue implémetatio e lagage Pytho coformémet au programme d iformatique pour tous e vigueur depuis la retrée 203. Nous avos peu utilisé le calcul formel module sympy ou logiciel sage car celui-ci est plus et c est dommage évalué au cocours. Ces exercices sot systématiquemet recesés das l idex e fi de l ouvrage. Le chapitre portat sur les probabilités, thème ouvellemet itroduit e classes préparatoires scietifiques, est particulièremet développé mais compte teu de la taille relativemet restreite de l ouvrage, ous avos supposé que le lecteur s était déjà familiarisé avec des exercices plus élémetaires d appropriatio du cours. Notre source d ispiratio doit beaucoup à la Revue de Mathématiques Spéciales RMS qui costitue ue aide précieuse pour tout élève ou professeur e classes préparatoires scietifiques. Nous espéros que le lecteur trouvera de l itérêt à la recherche de ces exercices et ous ous excusos par avace des évetuelles coquilles, omissios ou pire erreurs qui seraiet ecore présetes das le texte. Thierry Dugardi Marc Rezzouk

6 Avat-propos Remerciemets Nous teos à remercier Jea-Jacques Chauvi pour sa cotributio précieuse, Alai Masoux pour sa relecture bieveillate, aisi que os familles pour leur soutie et leur patiece...

7 Chapitre Déombrabilité, combiatoire, probabilités Esembles déombrables Exercice. Coexité par arcs et déombrabilité Soit D u esemble déombrable de poits de R 2. Motrer que R 2 D est coexe par arcs. Idicatio : o pourra cosidérer la médiatrice de deux poits disticts a et b de R 2 D. 2 Motrer que l espace R 3 privé d ue réuio déombrable de droites est coexe par arcs. Idicatio : couper les droites par des sphères adéquates. Solutio L esemble R 2 D est pas vide et même ifii puisque R 2 est pas déombrable. Soit a, b R 2 D 2, a b. O cosidère u poit c mobile sur la médiatrice de [a, b]. L esemble des poits c pour lequel la lige polygoale [a, c, b] recotre D est déombrable o costruit ue ijectio de cet esemble vers D e choisissat u poit de la lige polygoale apparteat à D, comme la médiatrice est ue droite e bijectio avec R qui est pas déombrable, il existe des poits c tel que la lige polygoale [a, c, b] e recotre pas D. L esemble R 2 D est doc coexe par arcs. 2 Soit D la réuio déombrable de ces droites. Cosidéros la sphère uité. Elle recotre toute droite e au plus deux poits doc elle recotre D e u ombre au plus déombrable de poits. La sphère état pas déombrable, l esemble R 3 D est pas vide et même ifii. Soit a, b R 3 D 2, a b. Soit S la sphère de diamètre [a, b]. Si S e recotre pas D alors les poits a et b sot reliés par u arc iclus das la sphère. Sio, il existe d S D. O peut effectuer la projectio stéréographique π sur le pla taget T à S au poit diamétralemet opposé à d. Alors S {d} est homéomorphe à ce pla. L esemble S D est déombrable au plus deux poits d itersectio par droites doc R 3 D S est homéomorphe par π à u pla privé d u esemble déombrable de poits. La projectio est défiie par m S {d} πm = le poit d itersectio de la droite dm avec le pla.

8 qui d après la questio précédete est coexe par arcs. E composat par π, o costruit u chemi reliat les poits a et b. Exercice.2 O cosidère l esemble S des bijectios de N sur lui-même. Motrer que PN est pas déombrable résultat dû à G. Cator. Idicatio O raisoera par l absurde e cosidérat Φ ue bijectio de N vers PN et o cosidérera l esemble {x N x Φ x} PN. 2 O cosidère l applicatio ϕ défiie par { S PN ϕ : σ { N σ = } = Fixσ. Détermier l esemble ϕs. 3 Motrer que S est pas déombrable. Solutio Notos A l esemble {x N x / Φ x} PN. Soit a = Φ A. O a deux possibilités, soit a Φa doc a / A = Φa, absurde ; soit a / Φa doc a A = Φa ecore absurde! 2 La clé de la répose est simplemet de réaliser qu ue bijectio de N e peut pas fixer tous les élémets sauf u mais que tout esemble déombrable fii ou o ayat au mois deux élémets admet ue permutatio sur lui-même sas poit fixe. N est l image par ϕ de id N. Soit E PN tel que N E ait au mois deux élémets. E distiguat suivat le caractère fii ou o de N E, o costruit grâce à la remarque précédete ue permutatio σ tel que ϕσ = E. E coclusio, ϕs = PN {les complémetaires des sigletos}. 3 Raisoos par l absurde et supposos que S est déombrable. Alors ϕs = PN {les complémetaires des sigletos} serait déombrable. Comme l esemble {les complémetaires des sigletos} est déombrable, o aurait PN déombrable, absurde! Exercice.3 Tribu géérée par ue partitio déombrable Soit F = {F, N} ue partitio déombrable ifiie d u esemble A. Décrire la plus petite tribu T coteat F. Cette tribu est-elle déombrable? { } Solutio O motre facilemet que T = F N N qui est e bijectio aturelle N grâce à la partitio avec PN. O sait depuis Cator procédé diagoal que ce derier est pas déombrable. 2

9 Exercice.4 Ue tribu déombrable est forcémet fiie Soit T ue tribu supposée déombrable sur u esemble E. Motros que T est fii. Soit a E, motrer que Ca = A T. a A T 2 Motrer que la relatio sur E défiie par a b b Ca est ue relatio d équivalece et doer les classes d équivalece. 3 Motrer que la plus petite tribu coteat P = {Ca, a E} est T et motrer e utilisat l exercice précédet que E est de cardial fii. Solutio O sait qu il existe A T tel que a A predre E, de plus T état déombrable, l itersectio défiissat l esemble Ca est déombrable doc Ca T. 2 Soit b Ca. Comme b Ca T, Ca Cb par défiitio de Cb. Mais a Ca doc a Cb doc de même Cb Ca. Fialemet, o a a b Ca = Cb ce qui défiit immédiatemet ue relatio réflexive, symétrique et trasitive. Cherchos la classe d équivalece de a, cla = {b b a}. Puisque b Ca, cla Ca, réciproquemet si b Ca alors o a vu que a Cb doc a b doc b cla. Coclusio les classes d équivalece sot précisémet les esembles Ca, a E. 3 L esemble {Ca, a E} costitue ue partitio de E, déombrable car tous les esembles Ca appartieet à T et que la tribu T est supposée déombrable. Notos σp cette plus petite tribu dot ue descriptio est doée das l exercice précédet. Il est clair que σp T. Réciproquemet, soit u élémet A de la tribu T. Remarquos que d après la questio précédete, A = Ca, e effet si a A T alors a Ca A et l iclusio réciproque est évidete. O e déduit que T σp. Coclusio σp = T. Si la tribu T était déombrable de cardial ifii alors la partitio P le serait égalemet, l exercice précédet ous motre que la tribu T =σp e pourrait alors plus être déombrable, cotradictio. Remarque Les tribus o fiies sot e gééral très difficiles à décrire, l exemple de l exercice précédet est très particulier et e représete pas les tribus que l o recotre gééralemet e probabilités plus avacées. Ue tribu typique est celle des borélies de R géérée par les itervalles ouverts réels. O e sait pas décrire simplemet cette tribu mais elle est idispesable pour costruire des variables aléatoires cotiues sur R. Das le cadre de otre programme, la costructio d ue famille de variables aléatoires discrètes même fiies X N idépedates écessite d utiliser ue tribu o déombrable. a A 3

10 Combiatoire, probabilités Exercice.5 Poker révisios sur le déombremet - Pytho Révisos u peu les techiques élémetaires de déombremet. Das le cadre du jeu de poker, o tire ue mai 5 cartes das u jeu de 52 cartes. O rappelle qu ue carte se défiit par sa hauteur 3 possibilités et sa couleurs 4 possibilités. Réaliser u programme e Pytho qui crée ue mai aléatoire. Idicatio o pourra utiliser la foctio shuffle ou évetuellemet choice du module radom. 2 Détermier la probabilité d obteir il est sous-etedu que la combiaiso est la meilleure obteue a ue paire exactemet b deux paires exactemet c u brela trois cartes de même rag d ue suite ciq cartes de rag cosécutif e ue couleur 5 cartes de la même couleur f u full u brela et ue paire g u carré h ue suite royale =quite flush, 5 cartes de rag successif et de même couleur. i Ue mai avec au mois u pique et u as. 3 Effectuer u test statistique élémetaire de vos réposes : la fréquece des résultats pour u ombre de tirages «grad» doit être proche du résultat théorique. 4 Soit A l évéemet dot o{ veut mesurer la probabilité. O effectue N essais si A est réalisé idépedats et o ote X = à la 0 sio e étape. N X k Rappeler pourquoi P N P A < ε σ2 Nε 2 où σ2 = var X. Commet choisir N pour avoir, avec u risque iférieur à 5%, ue valeur approchée à 0 2 près de P A? Solutio et 3. Voici le programme Pytho, o effectue 00 tests d échatillos de 0000 tirages valeur empirique pour l istat et o représete les moyees qui devraiet e pas être trop loi de la mesure théorique... 4

11 import radom as r import matplotlib.pyplot as plt VALET, DAME, ROI =, 2, 3 CARREAU, COEUR, PIQUE, TREFLE = 0,, 2, 3 HAUTEURS =, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, VALET, DAME, ROI COULEURS = CARREAU, COEUR, PIQUE, TREFLE JEU = [h, c for h i HAUTEURS for c i COULEURS] def cptpairemai: "revoie le ombre de paires exactes" cpt = 0 # liste des hauteurs de la mai htmai = [carte[0] for carte i mai] for ht i HAUTEURS: b = htmai.coutht if b == 3: retur 0 # u brela est préset elif b == 2: cpt += if cpt == 2: # pour accélérer retur cpt returcpt def compte_pairesb, N, jeu: p = 0 for i i ragen: r.shufflejeu # c est là que s effectue le tirage d ue mai mai = [jeu[j] for j i rage5] c = cptpairemai if c == b: p += retur p/n N = 0000 # échatillos de N mais tirées au hasard = 00 # b de tests plt.figurefigsize=5, 2.5 plt.figure plt.subplot2 L = [compte_paires, N, JEU for k i rage] plt.plotrage, L, g, liewidth=.0 plt.plot[0, -], [352/833, 352/833], r, liewidth=2.0 plt.subplot22 L = [compte_paires2, N, JEU for k i rage] plt.plotrage, L, g, liewidth=.0 plt.plot[0, -], [98/465, 98/465], r, liewidth=2.0 plt.tight_layoutpad=0.4, w_pad=0.5, h_pad=.0 # u peu d espace plt.show 5

12 Le ombre de mais est 52 5 = mais. a O choisit la hauteur de la paire 3 possibilités, les deux couleurs de la paire 4 2 = 6, trois cartes pour compléter mais qui e sot pas de même hauteur à savoir 3 hauteurs parmi 2 possibles et leur couleur 4 3. Cela doe = possibilités, d où ue probabilité de = 352 0, b O choisit les deux hauteurs des paires 3 2, les paires de couleurs , puis o complète avec ue carte d ue autre hauteur 52 8 = 44, soit au total = , d où ue probabilité de = , 047. c O choisit la hauteur 3, les 3 couleurs des trois cartes 4 3 = 4 = 4 et les deux autres cartes 2 hauteurs parmi 2 et leur couleur 4 2. Au total, = 54 92, d où ue probabilité de = 88 0, 02. d O choisit la hauteur de la plus haute carte, 3 4 = 9 possibilités puis o choisit les couleurs car il faut retirer les 4 suites royales. Au total, = 980, d où ue probabilité de 980 = 9 0, e O choisit la couleur, 4 et les 5 hauteurs 3 5, mais attetio à retirer les suites royales = 9, au total = 52, d où ue probabilité de 52 = 23 0, f O choisit la hauteur du brela 3, celui de la paire 2, les couleurs pour le brela 4, les couleurs pour la paire 4 2 = 6, soit au total = 3744, d où ue probabilité de 3744 = 6 0, g O choisit la hauteur du carré 3 puis la ciquième carte 52 4 = 48, au total 3 48 = 624 carrés, d où ue probabilité de 624 = 0, h Il y a que = 36 possibilités, d où ue probabilité de 36 3 = 0,

13 i O écrit card {pas d as} {pas de pique} = card {pas d as} + card {pas de pique} card {pas d as} {pas de pique} = + = D où card {au mois u as} {au mois u pique} = = , d où ue probabilité de 52 = 0, Voir la questio. 4 Remarquos que pour tout k, E X k = P A. O sait d après le cours iégalité de N X k E X k Bieaymé-Tchebychev que P N ε var X = σ2 Nε 2 Nε, 2 qui permet d établir la loi faible des grads ombres, d où le résultat. N X k Comme ici X k E X k, o a σ 2 doc P N P A < ε Nε. 2 Si l o veut Nε avec ε = 0 2, cela doe N 20 ε 2 assez coséquet pour otre programme Pytho... = , ce qui est Remarque O peut améliorer otre iégalité e utilisat u résultat hors-programme e classes préparatoires mais etrevu e classe de Termiale : le théorème de la limite cetrale. N X k O motre que P N P A < a σ a N e u2 2 du. N «grad» 2π a l approximatio est cotrôlable par l iégalité de Berry-Essée. a Ici pour a, 96, o a e u2 2 du 0, 95. 2π O peut doc predre N a a2 σ 2 ε2 ε 2 N = serait doc suffisat... a pour avoir a σ N ε = 0 2. Exercice.6 Chemis Nord et Est, problème du scruti O se place das le pla euclidie caoique R 2 et o choisit u couple p, q d etiers aturels. O appellera chemi ue suite de poits M k k [, ] à coordoées etières telle que pour tout k [, ] M k M k+ { ı, j}. O s itéresse aux chemis joigat l origie O au poit de coordoées p, q. 7

14 Voici u exemple. y x Déombrer le ombre de chemis possibles joigat l origie O au poit p, q. 2 O suppose que q > p. O cherche à déombrer le ombre de chemis joigat l origie au poit p, q e restat toujours strictemet au-dessus de la première bissectrice sauf e l origie bie sûr. a Motrer que le ombre de chemis joigat 0, au poit p, q et coupat la première bissectrice est égal au ombre de chemis joigat, 0 au poit p, q. Idicatio s ispirer de la figure suivate peser à ue symétrie y x b O choisit au hasard de faço équiprobable u chemi joigat l origie au poit p, q, motrer que la probabilité que ce chemi e coupe pas la première bissectrice sauf e l origie vaut q p q + p. Ce résultat possède ue formulatio amusate : o imagie le dépouillemet d u scruti du secod tour où deux cadidats se sot affrotés. Le cadidat gagat a remporté q voix, le perdat p. E supposat les bulletis répartis de faço équiprobable das l ure, la probabilité qu à chaque étape du dépouillemet ce cadidat soit e avace de voix au ses large est de q p q + p. 8

15 3 O suppose que q p. O choisit au hasard de faço équiprobable u chemi joigat l origie au poit p, q, motrer que la probabilité que ce chemi e traverse pas la première bissectrice vaut p q +. Solutio O a ue bijectio aturelle etre les chemis demadés et les mots de logueur p + q écrit avec les lettres N et E pour ord et est. Par exemple, le chemi de l éocé s écrit NNENENNEENE. Pour costruire de tels mots, o choisit parmi les p + q emplacemets = déplacemets, les p emplacemets correspodat à la lettre E est. O a doc p+q p = p+q q chemis possibles. 2 a Pour tout chemi joigat 0, au poit p, q et coupat la première bissectrice, o lui associe so «symétrique partiel» par rapport à la première bissectrice, e effectuat la trasformatio illustrée das l éocé. O cosidère le premier poit du chemi sur la première bissectrice et o symétrise la première partie e gardat itacte la secode partie du chemi. O obtiet u chemi joigat, 0 à p, q. O se covaic que cette trasformatio établit ue bijectio etre les chemis de l éocé et ceux joigat, 0 à p, q. comme q > p, ces deriers coupet écessairemet la première bissectrice. b Les chemis strictemet au-dessus de la première bissectrice commecet tous par u déplacemet ord et passe doc par le poit 0,. Leur ombre N correspod au ombre de chemis joigat 0, à p, q qui e coupet pas la première bissectrice. Aisi, e désigat par a, b p, q l esemble des chemis joigat le poit a, b au poit p, q, N = card0, p, q card, 0 p, q grâce à la questio 2a. Par traslatio, N = card0, 0 p, q card0, 0 p, q = p+q p p+q p. Coclusio O trouve q p q+p N = = p+q p p + q p p + q!q p p!q! p + q p = q p p + q chemis valables parmi les p+q p p + q! = p!q! p + q. p p q possibles, d où la probabilité aocée. 3 Le ombre de chemis N au dessus de la première bissectrice au ses large est égal aux chemis joigat 0, à p, q e état strictemet au dessus de la droite y = x. Par traslatio, c est le ombre précédet où l o remplace q par q +. Aisi, N = q p + p + q + p+q+ p. O calcule alors la probabilité q p + p+q+ p p + q + = q p + p + q + p+q p p + q + q + = p q +. 9

16 Exercice.7 Marche aléatoire sur Z - Pytho O peut repredre les résultats de l exercice précédet pour étudier la marche aléatoire sur Z. O imagie u objet, ue puce par exemple, se déplaçat sur les etiers relatifs partat de l origie et se déplaçat d u pas à gauche ou à droite de faço équiprobable. Quelle est la probabilité P que la puce reviee à l origie e 2 étapes? 2 E réiterprétat les chemis de l exercice précédet, motrer que la probabilité que la puce reviee à l origie pour la première fois e 2 étapes est de Modélisos la marche aléatoire de la puce avec des variables aléatoires. Soiet X des variables aléatoires idépedates de même loi avec P X = = P X = = 2. Notos S 0 = 0 et S = S 0 + X k la positio de la puce à la e étape. a Expliquer pourquoi la probabilité P { i +, i k=+ X k 0 } e déped pas de. b Détermier u équivalet de P = P S 2 = 0 lorsque ted vers + et étudier la ature de la série 0P. c Motrer que la probabilité pour que la puce e passe qu u ombre fii de fois par l origie est doée par la somme { } i P S 2 = 0 et i 2 +, X k 0. =0 d Motrer que pour tout N, P { k=2+ i 2 +, i k=2+ X k 0 } = 0 et e déduire que la puce retoure presque sûremet ue ifiité de fois à l origie. e Que peser de la somme = ? 4 Créer u programme e Pytho permettat de visualiser cette marche aléatoire : représeter les chemis sous la forme de liges polygoales, S ω visualiser la distributio statistique du temps de premier retour à l origie et comparer graphiquemet avec la formule théorique obteue. Idicatio la foctio comb du module scipy.misc calcule les combiaisos de Pascal et la foctio radit du module radom ou de umpy mais attetio elle est légèremet différete produit des ombres etiers aléatoires. 0

17 Solutio O compte le ombre de chemis pour aller de 0, 0 à,, o a vu qu il y e 2 d où la probabilité P = Das l exercice précédet u chemi pouvait être codé par u mot écrit avec les lettres N et E pour ord et est, il suffit de remplacer N par D droite et E par G gauche pour coder u déplacemet fii de la puce. Graphiquemet, les chemis précédets correspodet à u retour à l origie quad l extrémité est sur la première bissectrice. Le temps de premier retour e 2 étapes,. Déombros tous les chemis de logueur 2 strictemet au dessus de la première bissectrice sauf au début origie et à l extrémité,. D après l exercice précédet, il y e a card 0, strict, p = et q =. = q p p + q p+q p = 2 2 = 2 2 avec Ces chemis correspodet à ue marche aléatoire de la puce avec u premier retour e e commeçat so premier déplacemet à droite de l origie. Il y a autat de chemis e commeçat à se déplacer à gauche de l origie ce qui correspod à ue symétrie par rapport à la première bissectrice avec otre modèle précédet. Le ombre de chemis vaut 2 2 d où la probabilité de = a Toutes les variables aléatoires état idépedates et de même loi, cette probabilité e déped pas de l iformatio e termes de loi est la même pour X, X 2, que pour X +, X +2,. b Aisi, avec l équivalet de Stirlig, P = 2! 2π ! π e La série 0P est doc divergete. 2 e 2 + π. c O partitioe l évéemet A =«la puce e passe qu u ombre fii de fois par l origie» par le derier passage à l origie, A = =0 {S 2 = 0 et i 2 +, S i 0} = { S 2 = 0 et i 2 +, =0 } i X k 0. k=2+ d Notos q = P { i 2 +, } i X k 0. Rappellos que d après la questio 3a, k=2+

18 le ombre q e déped pas de. O a P A = partitio P {S 2 = 0 et i 2 +, S i 0} =0 = par idépedace = =0 =0 qp S 2 = 0. P S 2 = 0 P i 2 +, S i 0 La série 0P S 2 = 0 état divergete, écessairemet q = 0. O a doc P Ω A = = P {la puce reviet ue ifiité de fois à l origie}. e E particulier Ω A {la puce reviet pour la première fois e 2} E passat aux probabilités, il viet = = Voici le graphique obteu avec le programme Pytho suivat permettat de visualiser différetes marches aléatoires 2

19 import umpy as p import matplotlib.pyplot as plt def marchedn: L = p.zerosn for i i rage, N: L[i] = L[i-] + 2 * p.radom.radit0, 2 - retur L for i i rage0: L = marched2000 plt.plotl, k, liewidth=0.7 plt.show Pour la distributio du temps de premier retour, voici le graphique obteu avec le programme Pytho import umpy as p import matplotlib.pyplot as plt from scipy.misc import comb # combiaisos de Pascal def tpsretourdn: x = 0 for i i rage, N: dep = p.radom.radit2 if dep == 0: x += else: x += - if x == 0: retur i retur -0 3

20 N = 2000 bmax = 00 test = p.array[tpsretourdbmax for i i ragen] plt.histtest, bis=50 # théoriquemet PT=2/2k-*/2**2k-*comb2k-, k L = p.array[/2*k- * comb2*k-, k * N / 2**2*k- for k i rage, bmax // 2] plt.plotrage2, bmax, 2, L, r, lw=5 plt.show prit % de o retour :, letest[test < 0] / N qui doe % de o retour : Exercice.8 Marche aléatoire suite das Z 2 O s itéresse maiteat au saut d ue puce à partir de l origie das Z 2. Soiet D = X, Y des vecteurs aléatoires idépedats de même loi avec P D =, 0 = P D =, 0 = P D = 0, = P D = 0, = 4. Les variables aléatoires X et Y sot-elles idépedates? 2 O pose U = X + Y et V = X Y. Motrer que les variables aléatoires U et V sot idépedates. 3 Notos S 0 = 0 et S = S 0 + D k Z 2 la positio de la puce à la e étape. Motrer que E D où désige la orme euclidiee. 4 Cette questio repred les idées de l exercice.7 p. 0. Détermier P S 2 = 0, étudier la ature de la série 0P S 2 = 0 et e déduire que la puce reviet presque sûremet ue ifiité de fois à l origie. Solutio No, elles e sot pas idépedates, par exemple P X = et Y = = P D =, = 0 P X = P Y = = E revache U, V sot idépedates, e effet P U = = P U = = P V = = P V = = 2 et P U, V =, = P U, V =, = P U, V =, = P U, V =, = 4, o peut même préciser que les variables aléatoires U et V ot même loi. 4

21 3 Notos D = A, B = X k, Y k. e utilisat la cocavité de x x, E A 2 + B 2 E A 2 + B 2 E A 2 + E B E X k + E Y k 2E X 2 k car E X k = 0 et X k, Y k de même loi 2E X 2 = car E X 2 = 2. 4 O a S = X k, Y k et comme X = 2 U + V et Y = U V, 2 S = U k, + V k, o effectue u chagemet de base. 2 E particulier, = P idép. P S 2 = 0 = P 2 U k = 0 P 2 2 U k = 0 et V k = 0 = 2 P V k = 0 2 U k = 0 2. La derière probabilité correspod à la marche aléatoire uidimesioelle de l exercice.7 p. 0 précédet. O a doc P S 2 = 0 = = + π π. De ouveau la série 0P S 2 = 0 est divergete, o peut alors repredre le raisoemet de l exercice précédet e remplaçat la coditio i k=2+ X k, i k=2+ i k=2+ Y k 0, 0 et S 2 = 0 par S 2 = 0, 0... X k 0 par Exercice.9 Queue de distributio d ue loi biomiale Soit p ]0, [. O cosidère ue suite X de variables aléatoires idépedates de même loi de Beroulli de paramètre p. Pour, o pose X = X k. 5

22 Soit α ]0, [, e utilisat l iégalité de Bieaymé-Tchebychev, détermier u itervalle [p u, p + u ] appelé itervalle de cofiace tel que pour assez grad, P X [p u, p + u ] α. { R + R 2 Soit ϕ : x x px + p 2. Détermier sup R + ϕ. 3 Motrer e étudiat la dérivée secode d ue foctio que pour t 0, t 2 E exptx p exp. 8 4 E déduire que pour tout t 0 et tout ε > 0, P X p ε exp εt + t2. 8 Motrer alors que pour tout ε > 0, P X p ε 2 exp 2ε 2. 5 Proposer ue amélioratio de l itervalle de cofiace de la première questio pour α proche de 0. 6 Applicatio du résultat de la questio 4. O pose pour 2, A = k p k p k k k. O se propose d étudier lim A. Pour cela, o défiit la foctio + [0, ] R f : x x pour x ]0, [ x 0 pour x {0, }. a Exprimer A e foctio de f et X. b Soit ε > 0 tel que [p ε, p + ε] ]0, [. E utilisat la cotiuité de f e p et que f est borée sur [p ε, p + ε], motrer que f E X fp X p ε 0. + c E déduire lim A. + Solutio Soit ε > 0, par l iégalité de Bieaymé-Tchebychev, P X p > ε V X où V X désige la variace de la variable aléatoire X. O a par idépedace des X k, V X = VX + + VX et par idetité des lois, V VX p p X 2 = = doc P X p > ε p p. ε 2 6 ε 2

23 D où e choisissat ε tel que α = p p, il viet ε 2 P X p ε α p p O obtiet ε = = u. α 2 O étudie classiquemet la foctio. ϕ p + x p x = px + p 3 d où, par étude du sige, sup ϕ = max ϕ = ϕ = R + R + p 4p p. 3 O calcule E exptx p = pe t p + pe tp = e tp pe t + p Posos Ψt = l E exptx p = tp + l pe t + p. O a Ψ t = p p Ψ t = p p e t pe t + p 0 et Aisi pour tout t 0, Ψ t p p sup R + ϕ = 4 e t pe t + p 2 = p p ϕ e t. Doc, puisque Ψ0 = Ψ 0 = 0, e itégrat, Ψt t2 8. t 2 Coclusio pour t 0, E exptx p exp. 8 4 Écrivos successivemet pour tout t 0 et tout ε > 0, P X p ε P exp [ t X p εt ] E exp[tx p εt] E exp [ t X p εt ] [ ] t exp εte exp X k p [ ] t exp εte exp X k p idép. exp εt E exp [ t X k p ] [ ] t exp εt E exp X p t 2 exp εt exp questio préc. 8 2 exp εt + t2. 8 O a doc e cosidérat le miimum pour t 0, P X p ε if εt exp + t2 = exp εt + t2 t t=4ε exp 2ε 2. 7

24 O procède de même pour motrer que P X p ε exp 2ε 2. Plus précisémet, e posat pour tout t 0, Ψt = Ψ t, o a toujours Ψ0 = Ψ 0 = 0 et Ψ t 4 doc Ψt t 2 t 2 = Ψ t exp puis E exptp X exp et o 8 8 coclut aisémet. Aisi, P X p ε P X p ε + P p X ε 2 exp 2ε 2. 5 O cherche u ε tel que 2 exp 2 2ε 2 l α = α c est-à-dire ε =. 2 Pour α = 0, 05 et p =, o obtiet u 2, 24 et ε =, 36 2 et pour α = 0, 0, u = 5 et ε =, 63 ce qui otablemet meilleur. O choisira doc plutôt l itervalle de cofiace [p ε, p + ε ]. Remarque. Le théorème limite cetral = de Moivre-Laplace pour la loi biomiale etrevu e classes de termiales mais hors-programme e classes préparatoires propose u itervalle ecore meilleur, par exemple pour α = 0, 05, [ ] [ p p p p p, 96, p +, 96 p 0, 98, p + 0, 98 ] pour p = 2 dès lors que est assez grad... 6 a Puisque pour k [[0, ]], P X = k = k p k p k, k k = e teat compte des bores, A = p k p k = E fx. k k k b La foctio f est cotiue sur [p ε, p + ε] doc borée, otos M ε cette bore. Écrivos que la foctio f e cotiue e p. Pour tout ε > 0, il existe α > 0, tel que t ]0, [, t p α ft fp ε., k Aisi, { X p } { } α f X fp ε. Quitte à réduire α, o choisit α tel que α < ε, aisi, E f X fp X p ε f f = E X fp X p α + E X fp α< X p ε εp X p α + MεP X p > α ε + 2M ε exp α 2 d après la questio 4. Pour tout ε > 0, il existe 0, tel que pour tout 0, f E X fp X p ε 2 ε ce qui prouve bie le résultat. Remarque. Le lecteur coaissat la preuve de l approximatio des foctios cotiues sur u segmet par les polyômes de Berstei recoaîtra la même techique de démostratio. 8

25 c Nous avos e ayat fixé u ε comme précédemmet, f f E X fp X p ε + E X fp X p >ε. Or E f X fp X p >ε max k [, ] max k [, ] k f fp P X p ε k f fp 2 exp 2ε 2. Puisque pour x ]0, [, sg f x = sg 3x 2, la foctio f est décroissate puis croissate sur ]0, [, d où Doc lim max k [, ] max + k [, ] k f fp = max f fp, f = O. + k f fp 2 exp 2ε 2 = 0. E regroupat les deux espéraces, o obtiet fp lim + E f X fp = 0 d où A fp = E f X fp E f X fp 0. + Coclusio lim A = fp. + Exercice.0 Marche aléatoire das Z 3 O s itéresse désormais à la marche aléatoire de la puce das Z 3. Soiet D = X, Y, Z des vecteurs aléatoires idépedats de même loi avec P D =, 0, 0 = = P D = 0, 0, = 6. Notos S 3 0 = 0 et S 3 = S D k Z 2 la positio de la puce à la e étape. Motrer successivemet que P S 3 2 = 0 = 6 2 a+b+c= 2 a 2 a a 2 2a b 2 2a b b 2 2a 2b c 2 2a 2b c c 9

26 = 6 2 a+b+c= 2! a!a!b!b!c!c! = 6 2 a+b 2! a!a!b!b! l! l! = 2! 2 l! 2l! 6 2 2l! 2 l! l! l! a!a!b!b! l=0 a+b=l = 2 2 l 2l! 6 2 2l l a!a!b!b!. l=0 a+b=l 2 E otat P k = P S k 2 = 0 la probabilité de retour à l origie de la puce e 2 étapes das Z k pour k {, 2, 3}, établir P S 3 2 = 0 = l P l 2l P2 l. l=0 Idicatio les exercices précédets ot permis de prouver que P = et P 2 l = P = et o pourra utiliser, e la justifiat, la formule l combiatoire l 2 a = 2l l. a=0 3 Das les exercices précédets, o a établit que P = O etp 2 = O, + + motrer que P 3 = O + e utilisat le résultat de la questio 6 de l exercice.9 p. 5. Idicatio O pourra écrire 6 2 = 2 2 2l 2 3 2l 2 2l. 3 4 E utilisat l exercice.27 p. 65 lemme de Borel-Catelli, e déduire que la puce e reviet presque sûremet qu u ombre fii de fois à l origie théorème de Polya, 92. o peut motrer qu il existe ue probabilité d eviro 0, 65 pour que la puce reviee à l origie. Solutio Sur les 2 étapes, o choisit les a + a déplacemets +, 0, 0 et, 0, 0, les 2b déplacemets 0, +, 0 et 0,, 0, les 2c déplacemets +, 0, 0 et, 0, 0 avec 2a+b+c = 2 pour reveir à l origie. O obtiet alors la formule de l éocé. Remarque il est courat de défiir la combiaiso multiple 2 2! a,a,b,b,c,c = a!a!b!b!c!c! mais so utilisatio est pas officiellemet au programme. l 2 La formule combiatoire l 2 l a = l l a l a = 2l l peut se prouver e cosidérat a=0 a=0 les différetes maières de choisir l boules das ue ure de 2l boules avec l boules rouges et l boules oires : o partitioe suivat le ombre a de boules rouges choisies pour costituer 20

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