Économétrie. Annexes : exercices et corrigés. 5 e édition. William Greene New York University

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1 Économétre 5 e édton Annexes : exercces et corrgés Wllam Greene New York Unversty Édton françase drgée par Dder Schlacther, IEP Pars, unversté Pars II Traducton : Stéphane Monjon, unversté Pars I Panthéon-Sorbonne

2 Le présent texte est la traducton de Solutons Manual to Econometrc Analyss, 5th edton, de Wllam Greene, publé par Prentce Hall, Upper Saddle Rver, New Jersey, États-Uns. Copyrght 003 Pearson Educaton Inc. Authorzed translaton from the Englsh language edton, enttled Solutons Manual to Econometrc Analyss, 5 th edton publshed by Pearson Educaton Inc., publshng as Prentce Hall PTR, Copyrght 003 by Pearson Educaton Inc., Upper Saddle Rver, New Jersey, All rghts reserved. No part of ths book maybe reproduced or transmtted n any form or by any means, electronc or mechancal, ncludng photocopyng, recordng or by any nformaton storage retreval system, wthout permsson from Pearson Educaton Inc., French language edton publshed by PEARSON EDUCATION France, Copyrght 006. Pearson Educaton France 47 bs, rue des Vnagrers PARIS Tél. : Structuraton des documents et mse en pages : edto.bz 006 Pearson Educaton France Tous drots réservés Tous les noms de produts ou marques ctés c sont des marques déposées par leurs proprétares respectfs. Toute reproducton, même partelle, par quelque procédé que ce sot, est nterdte sans autorsaton préalable. Une cope par xérographe, photographe, flm, support magnétque ou autre, consttue une contrefaçon passble des penes prévues par la lo, du 11 mars 1957 et du 3 jullet 1995, sur la protecton des drots d auteur.

3 Annexe A Exercce 1 Pour les matrces A = et B = 4 1 5, calculer AB, A B, et BA AB = 14 30, BA = A B = (BA) = Exercce Prouver que tr(ab) = tr(ba) avec A et B deux matrces quelconques, non nécessarement carrées, pouvant être multplées. Le -ème élément de la dagonale de AB est j a j b j. En sommant sur, on obtent tr(ab) = a b j j. Le j-ème élément de la dagonale de BA est b a j j j. En sommant sur, on obtent tr(ba) = jb j a j. Exercce 3 Prouver que tr(a A) = ja j. Le j-ème élément de la dagonale de A A est le produt de la j-ème colonne de A, a j. En sommant sur j, on obtent tr(a A) = = j a j ja j.

4 4 Économétre Exercce 4 Développer le produt de la matrce X = {[AB + (CD) ][(EF) 1 + GH]}. On suppose que toutes les matrces sont carrées et que E et F sont non sngulères. On développe d abord (CD) = D C et (EF) 1 = F 1 E 1. Le produt est alors : {[AB + (CD) ][(EF) 1 + GH]} = (ABF 1 E 1 + ABGH + D C F 1 E 1 + D C GH) = (E 1 ) (F 1 ) B A + H G B A + (E 1 ) (F 1 ) CD + H G CD Exercce 5 Prouver que, pour des vecteurs colonnes K 1, x = 1,..., n, et un vecteur non nul, a, 0 ( x a)( x a) X' M X ( x a)( x a) n = 1 ' = + ' n On écrt x a comme [( x x ) + ( x a)]. La somme est alors : n =1 [(x x ) + ( x a)] [(x x ) + ( x a)] = = 1 n (x x )(x x ) + = 1 ( x a) ( x a) + n = 1 (x x )( x a) + n = 1 ( x a) (x x ) Pusque ( x a) est un vecteur de constantes, l peut être extrat des sommes. Ans, le quatrème terme est ( x a) n = 1 (x x ) = 0. Le trosème terme est smlare. Le premer terme est X M 0 X par défnton alors que le deuxème est n( x a) ( x a). n Exercce 6 On note A une matrce carrée dont les colonnes sont [a 1, a,..., a M ] et B tout réarrangement des colonnes de la matrce dentté M M. Quelle opératon est exécutée par la multplcaton AB? Que dre de BA? B est appelée une matrce de permutaton. Chaque colonne de B, notée b, est une colonne d une matrce dentté. La j-ème colonne du produt des matrces AB est A b qu est la j-ème colonne de A. Par conséquent, la multplcaton de A par B réarrange smplement (permute) les colonnes de A (d où le nom). Chaque lgne du produt BA est l une des lgnes de A, de sorte que BA est un réarrangement des lgnes de A. Ben sûr, A n a pas beson d être carrée pour permuter ses lgnes ou ses colonnes. Snon, la matrce de permutaton applcable est d ordre dfférent pour les lgnes et les colonnes. 006 Pearson Educaton France

5 Annexe A 5 Exercce On consdère le cas 3 3 de la matrce B de l exercce 6. Par exemple, B = On calcule B et B 3. On répète cela pour une matrce 4 4. Peut-on généralser le résultat trouvé? B = B 3 = Comme chaque pussance de B est un réarrangement de I, certanes pussances de B sont égales à I. S n est cette pussance, on trouve donc B n 1 = B 1. Ce résultat est valable de façon générale. Exercce Calculer A, tr(a) et A 1 pour A = A = 1()(8) + 4(5)(5) + 3()(7) 5()(7) 1(5)() 3(4)(8) = 18 tr(a) = = 11 A 1 = det det 8 8 det det det det = det det det /18 18/18 6/18 1/18 7 /18 16 /18 4/18 18/18 10/ Pearson Educaton France

6 6 Économétre Exercce Détermner la décomposton de Cholesky de la matrce A = La décomposton de Cholesky d une matrce A est le produt de matrces LU = A avec L une matrce trangulare nféreure et U = L. On écrt la décomposton comme = λ11 0 λ. 11 λ1 λ1 λ. 0 λ Par multplcaton drecte, 5 = λ 11 de sorte que λ 11 = 5. Alors, λ 11 λ 1 = 7, de sorte que λ 1 = 7 / 5 = 1,4. Fnalement, λ1 + λ = 13, donc λ = 3,3. Exercce 10 Une matrce symétrque défne postve, A, peut auss être écrte comme A = UL, avec U une matrce trangulare supéreure et L = U. Ce n est néanmons pas la décomposton de Cholesky. On obtent cette décomposton de la matrce dans l exercce 9. En utlsant la même logque que dans le problème précédent, = µ 11 µ 1 µ µ. µ 1 µ En travallant du bas vers la haut, µ = 13 = 3,606. Alors, 7 = µ 1 µ de sorte que µ 1 = 7 / 13 = 1,941. Fnalement, 5 = µ +µ de sorte que µ 11 = 5 49 / 13 = 1,3, ou µ = 4,61. Exercce 11 Quelle opératon est réalsée en postmultplant une matrce par une matrce dagonale? Que dre de la prémultplcaton? Les colonnes sont multplées par l élément de la dagonale correspondant. La prémultplcaton multple les lgnes par l élément de la dagonale correspondant. 006 Pearson Educaton France

7 Annexe A 7 Exercce 1 Est-ce que les formes quadratques qu suvent sont postves pour toutes les valeurs de x? y = x 8 xx + (11 x ) 1 1 y = 5x + x + 7x + 4x x + 6x x + 8x x x La premère expresson peut être écrte 1 [ x1 x ] Le détermnant de x la matrce est = 75. Elle n est alors pas défne postve. Ans, la premère forme quadratque n est pas nécessarement postve. La seconde forme repose sur la 5 3 matrce 1 4. Il y a pluseurs façons de vérfer ce qu est demandé. Il est possble d examner les sgnes des mnorants prncpaux, qu dovent être postfs. Les deux premers termes sont 5 et 5(1) ()=1, mas le trosème, le détermnant, est 34. Par conséquent, la matrce n est pas défne postve. Ses tros racnes caractérstques sont 11,1,,9 et 1. Ans, l exste des valeurs de x 1, x et x 3 pour lesquelles la forme quadratque est négatve. Exercce 13 Prouver que tr(a B) = tr(a)tr(b). Le j-ème bloc de la dagonale du produt est a jj B. Le -ème élément de la dagonale est a jj b. S on somme dans le j-ème bloc, on obtent ab jj = a jj b. La sommaton vers le bas des blocs de la dagonale donne la trace, j a b = tr(a)tr(b). jj 006 Pearson Educaton France

8 8 Économétre Exercce 14 k Une matrce, A, est nlpotente s lm A = 0. Prouver qu une condton nécessare et k suffsante pour qu une matrce symétrque sot nlpotente est que toutes ses racnes caractérstques soent nféreures, en valeur absolue, à 1. On utlse la décomposton spectrale pour écrre A comme CΛC avec Λ la matrce dagonale des racnes caractérstques. Alors la pussance K-ème de A est CΛ K C. La condton suffsante est évdente. Auss, pusque λ est plus grand que 1, Λ K dot croître fortement ; la condton est également nécessare. Exercce Calculer les racnes caractérstques de A = Les racnes sont détermnées par A λ I = 0. Pour la matrce consdérée, cela donne : A λi = ( λ)(8 λ)(5 λ) (8 λ) 36( λ) 16(5 λ) = λ λ 5λ = λ (λ 15λ + 5) = 0 Une soluton est zéro. (On aurat pu le devner). La deuxème colonne de la matrce correspond à deux fos la premère, ans son rang n est pas supéreur à. La matrce n a donc pas plus de deux racnes non nulles. Les deux autres racnes sont ( 15 ± 05 )/ = 0,341 et 4,659. Exercce 16 Supposer que A = A(z) avec z un scalare. Qu est-ce que x Ax / z? On suppose mantenant que chaque élément de x est auss une foncton de z. De nouveau, qu est-ce que x Ax / z? La forme quadratque est j xxa j j, de sorte que x A(z)x / z = j xx j ( a j / z ) = x ( A(z) / z)x où A(z) / z est une matrce des dérvées partelles. Mantenant, s chaque élément de x est auss une foncton de z, alors : 006 Pearson Educaton France

9 Annexe A 9 x Ax / z = xx ( a / z ) + ( x / z) x a + x ( x / z) a j j j j j j j j j = x ( A(z) / z)x + ( x(z) / z) A(z)x(z) + x(z) A(z)( x(z) / z) S A est symétrque, l expresson se smplfe un peu en ( A(z) / z)x + ( x(z) / z) A(z)x(z). Exercce 17 Montrer que les solutons des équatons du détermnant B λa = 0 et A 1 B λi = 0 sont les mêmes. Comment les solutons de cette équaton sont-elles lées à celles de l équaton B 1 A µi = 0? Pusque A est supposée être non sngulère, on peut écrre : B λa = A(A 1 B λi). Alors, B λa = A A 1 B λi Le détermnant de A n est pas zéro s A est non sngulère, de sorte que les solutons des deux équatons dovent être les mêmes. B 1 A étant l nverse de A 1 B, ses racnes caractérstques dovent être les récproques de celles de A 1 B. Cela pourrat poser problème c pusque ces deux matrces ne sont pas nécessarement symétrques, de sorte que les racnes pourraent être complexes. Mas, pour l applcaton donnée, les deux matrces A et B sont symétrques et défnes postves. On peut alors montrer que la soluton est la même que la trosème équaton du détermnant mplquant une matrce symétrque. Exercce 18 En utlsant la matrce A donnée dans l exercce 9, trouver le vecteur x qu mnmse y = x Ax + x 1 + 3x 10. Quelle est la valeur de y au mnmum? Mantenant, mnmser y sous la contrante x 1 + x = 1. Comparer les deux solutons. La soluton qu mnmse y = x Ax + b x + d satsfat y x = Ax + b = 0. Pour ce 5 7 problème, A = 7 13, b = 3 et A 1 13/ 76 7 / 76 = 7 / 76 5/ 76, de sorte que la soluton est x 1 = 5 / 55 = 0, et x = 61 / 55 = 0, Le problème de maxmsaton sous contrante peut être traté sous la forme d un lagrangen : L* = x Ax + b x + d + λ (c x 1) où c = [1,1]. Les condtons nécessares pour la soluton sont : L* / x = Ax + b + λc = 0 L* / λ = c x 1 = Pearson Educaton France

10 10 Économétre ou A c x -b = ' 0 λ 1 c x1 En nsérant A, b et c, on a la soluton = 3 x. La soluton aux tros λ 1 équatons est obtenue en multplant le vecteur de drote par l nverse de la matrce de gauche. Les résultats sont 0,7083, 0,7917 et 5,75. La valeur de la foncton à la soluton contrante est 4,40, qu est plus grande que la valeur non contrante 10, Exercce 19 Quel est le jacoben des transformatons suvantes? (Une remarque, pour les lecteurs ntéressés par la technque, concernant une erreur courante dans la lttérature : un jacoben est un détermnant. Le terme «détermnant jacoben» est une redondance nutle.) y 1 = x 1 / x lny = ln x 1 lnx + lnx 3 y 3 = x 1 x x 3 Les lettres captales représentent des logarthmes. Alors, les tros transformatons peuvent être écrtes comme : Y 1 = X 1 X Y = X 1 X + X 3 Y 3 = X 1 + X +X 3 Cette transformaton lnéare est : La transformaton nverse est : X = Y = X = JX / 1/ 0 1/ 1/ Y = J Y 006 Pearson Educaton France

11 Annexe A 11 En foncton des varables orgnales, on a alors x 1 = y 1 (y / y 3 ) 1/, x = (y 3 / y ) 1/, et x 3 = y 1 y. La matrce des dérvées partelles peut être obtenue drectement, mas un raccourc algébrque se révèle utle pour obtenr le jacoben. On remarque tout d abord que x / y j = (x / y j )( logx / logy j ). Par conséquent, les éléments des dérvées partelles des transformatons nverses sont obtenus en multplant la -ème lgne par x, dans laquelle on substtue l expresson pour x en termes de y, on multple alors la j-ème colonne par (1 / y j ). Ans, le résultat de l exercce 11 est utle c. La matrce des dérvées partelles est : x1/ y1 x1/ y x1/ y3 / 1 / / x y x y x y3 = x3/ y1 x3/ y x3/ y 3 x / 1/ 1/ y x 0 1/ 1/ 0 1/ 0 y 0 0 x / y 3 Le détermnant de la matrce produt est le produt des tros détermnants. Le détermnant de la matrce du centre est 1 /. Les détermnants des matrces dagonales sont les produts des éléments de la dagonale. Par conséquent, le jacoben est J = abs( x / y )= ½(x 1 x x 3 ) / (y 1 y y 3 ) = (y 1 / y ) (après avor fat les substtutons pour x ). Exercce 0 Prouver que l échange des deux colonnes d une matrce carrée nverse le sgne de son détermnant. (Indce : utlser une matrce permutaton. Vor l exercce 6.) Échanger les deux premères colonnes d une matrce équvaut à la multpler par une matrce permutaton B = [e, e 1, e 3, e 4,...] où e est la -ème colonne d une matrce dentté. Ans, le détermnant de la matrce est AB = A B. La queston porte sur le détermnant de B. On suppose que A et B ont n colonnes. Pour obtenr le détermnant de B, on le développe smplement le long de la premère lgne. Le seul terme non nul dans le détermnant est ( 1) I n 1 = 1, où I n 1 est la matrce dentté (n 1) (n 1). Cela complète la preuve. 006 Pearson Educaton France

12 1 Économétre Exercce 1 Supposer que x = x(z) avec z un scalare. Qu est-ce que [(x Ax) / (x Bx)] / z? Les dérvées requses sont données dans l exercce 16. On pose g = x / z ; et on note le numérateur et le dénomnateur respectvement a et b. Alors : (a / b) / z = [b( a / z) a( b / z)] / b = [x Bx(x Ag) x Ax(x Bg)] / (x Bx) = [x Ax / x Bx][x Ag / x Ax x Bg / x Bx] Exercce On suppose que y est un vecteur n 1 et X une matrce n K. La projecton de y dans l espace des colonnes de X est défne dans le manuel après l équaton (-55), y = Xb. On consdère mantenant la projecton de y * = cy dans l espace des colonnes de X * = XP, où c est un scalare et P une matrce K K non sngulère. Trouver la projecton de y * dans l espace des colonnes de X *. Prouver que le cosnus de l angle entre y * et sa projecton dans l espace des colonnes de X * est le même que celu entre y et sa projecton dans l espace des colonnes de X. Comment nterpréter ce résultat? La projecton de y * dans l espace des colonnes de X * est X * b * où b * est la soluton à l ensemble des équatons X * y * = X * X * b * ou P X (cy) = P X XPb *. Comme P est non sngulère, P a un nverse. En multplant l équaton par (P ) 1, on a cx y = X X(Pb * ) ou X y = X X[(1 / c)pb * ]. Donc, en termes du y orgnal et X, on vot que b = (1 / c)pb *, ce qu mplque b * = cp 1 b. La projecton est X * b * = (XP)(cP 1 b) = cxb. On conclut donc que la projecton de y * dans l espace des colonnes de X * est un multple c de la projecton de y dans l espace de X. Cela se comprend pusque, s P est une matrce non sngulère, l espace des colonnes de X * est exactement le même que celu de X. Le cosnus de l angle entre y * et sa projecton est le même qu entre cy et cxb. Ben sûr, c est auss le même qu entre y et Xb pusque la longueur des deux vecteurs n est pas lée au cosnus de l angle entre eux. Ans, cosθ = (cy) (cxb)) / ( cy cxb ) = (y Xb)) / ( y Xb ). 006 Pearson Educaton France

13 Annexe A 13 Exercce Pour la matrce X = 4 3 5, calculer P = X(X X) 1 X et M = (I P). Vérfer 1 3 que MP = 0. On pose Q = 8. (Indce : montrer que M et P sont dempotentes.) a. Calculer le P et le M fondés sur XQ au leu de X. b. Quelles sont les racnes caractérstques de M et P? En premer leu : 4 0 X X = 0 54 (X X) 1 = 1/ /54 X(X X) 1 X = / / = = P M = I P = a. Il n est pas nécessare de recalculer les matrces M et P pour XQ, car ce sont les mêmes. La preuve est que la contreparte de P est (XQ)[(XQ) (XQ)] 1 (XQ) = XQ[Q X XQ] 1 Q X = XQQ 1 (X X) 1 (Q ) 1 Q X = X(X X) 1 X. La M matrce est auss la même. C est une applcaton du résultat trouvé dans l exercce précédent. La P matrce est la matrce projecton et, comme on l a vu, la projecton dans l espace de X est la même que la projecton dans l espace de XQ. b. Pusque M et P sont dempotentes, leurs racnes caractérstques dovent toutes être 0 ou 1. La trace de la matrce est égale à la somme des racnes, ce qu révèle la proporton de 1 et 0. Pour les matrces c-dessus, les traces de M et P sont égales à, de sorte que chacune a deux racnes untares et deux racnes nulles. 006 Pearson Educaton France

14 14 Économétre Exercce 4 On suppose que A est une matrce n n de la forme A = (1 ρi) + ρ, où est une colonne de 1 et 0 < ρ < 1. Écrre le format de A explctement pour n = 4. Trouver toutes les racnes et tous les vecteurs caractérstques de A. (Indce : l y a seulement deux racnes caractérstques dstnctes, qu se produsent respectvement 1 et n 1 fos. Chaque c d un certan type est un vecteur caractérstque de A.) 1 ρ ρ ρ ρ 1 ρ ρ Pour n = 4, A =. Il y a pluseurs façons d analyser cette matrce. On ρ ρ 1 ρ ρ ρ ρ 1 peut utlser un raccourc smple. Les racnes et vecteurs caractérstques satsfont [(1 ρ)i + ρ ]c = λc. On multple cela pour obtenr (1 ρ)c + ρ c = λc ou ρ c = [λ (1 ρ)]c. On pose µ= λ (1 ρ), de sorte que ρ c = µc. On a seulement beson de trouver les racnes caractérstques de ρ, µ. Les racnes caractérstques de la matrce orgnale sont juste λ = µ + (1 ρ). Mantenant, ρ est une matrce de rang 1, pusque chaque colonne est dentque. Par conséquent, n 1 des µ sont nuls. Ans, la matrce orgnale a n 1 racnes égales à 0 + (1 ρ) = (1 ρ). On peut trouver la dernère racne en remarquant que la somme des racnes de ρ est égale à la trace de ρ. Comme ρ a seulement une racne non nulle, cette dernère est la trace, nρ. Ans, la racne restante de la matrce orgnale est (1 ρ+ nρ). Les vecteurs caractérstques satsfont l équaton ρ c = µc. Pour la racne non nulle, on a ρ c = nρc. On dvse par nρ pour obtenr (1 / n) c = c. Cette équaton ndque que, pour chaque élément dans le vecteur, c = (1 / n) c. Cela mplque que chaque élément dans le vecteur caractérstque correspondant à la racne (1 ρ + nρ) sot le même ; en d autres termes, c est un multple d une colonne de «1». Ans, comme l a une longueur untare, le vecteur est (1/ n). Pour les racnes zéro restantes, les vecteurs caractérstques dovent satsfare ρ( c) = 0c = 0. S le vecteur caractérstque n est pas une colonne de «0», la seule façon d obtenr une négalté est d égalser c à zéro. Par conséquent, pour les n 1 vecteurs caractérstques restants, on peut utlser des vecteurs orthogonaux dont les éléments ont une somme nulle et dont les produts sont égaux à un. Il y a un nombre nfn de tels vecteurs. Par exemple, on pose D un ensemble arbtrare de n 1 vecteurs contenant n éléments. On transforme les colonnes de D en dévatons aux moyennes de leur propre colonne. Ans, on pose F = M 0 D où M 0 est défn dans la secton.3.6. Mantenant, on pose C = F(F F) -. C une combnason lnéare de colonnes de F : ses colonnes se somment à zéro. Les colonnes sont orthogonales et ont une longueur untare. 006 Pearson Educaton France

15 Annexe A 15 Exercce 5 Trouver l nverse de la matrce de l exercce 4. En utlsant l ndce, l nverse est : [(1 ρ) I] [ ρ'][(1 ρ) I] 1 [(1 ρ) I] = { I [ ρ/(1 ρ + nρ)] '} 1 ( ρ) ρ I ( ρ) 1 + '[(1 ) ] 1 ρ Exercce 6 Prouver que chaque matrce dans la séquence de matrces H +1 = H + d d, où H 0 = I, est défne postve. Pour une applcaton, vor la secton 5.5. Pour une extenson, prouver que chaque matrce dans la séquence de matrces défne dans (5-) est défne postve s H 0 = I. Par substtutons répétées, on trouve H +1 = I + j= 1 dd j j '. Une forme quadratque de H +1 est donc : x H +1 x = x x + 1 (x' d )(d ' x) = x x + 1 (x' d ) j= j j j= C est postf pour tout x. Une façon smple d établr cela pour la matrce dans (5-) est de remarquer que, malgré sa complexté, elle est de forme H +1 = H + d d + f f. S cela commence avec une matrce défne postve, telle que I, alors un argument smlare permet d établr le fat qu elle est défne postve. j Exercce 7 cos( x) sn( x) Quelle est la matrce nverse de P = sn( ) cos( )? Quelles sont les racnes x x caractérstques de P? Le détermnant de P est cos (x) + sn (x) = 1, de sorte que l nverse «nverse» juste les sgnes des éléments hors de la dagonale. Les deux racnes sont les solutons de P λi = 0, qu est cos (x) + sn (x) λcos(x) + λ = 0. Cela se smplfe car cos (x) + sn (x) = 1. En utlsant la formule quadratque, alors :λ= cos(x) ± (cos (x) 1) 1/. Mas, cos (x) 1 = sn (x). Par conséquent, les solutons magnares de la forme quadratque résultante sont λ 1,λ = cos(x) ± sn(x). 006 Pearson Educaton France

16 Annexe B Exercce 1 Comben de mans dfférentes de 5 cartes peuvent être trées au poker avec un jeu de 5 cartes? Il y a 5 = ( ) / [( )( )] = mans possbles. Exercce Calculer la probablté d avor un «4» dans une man au poker. Il y a 48(13) mans possbles contenant un «4» et une autre carte quelconque parm les 48 restantes. Ans, étant donné la réponse au problème précédent, la probablté d avor une de ces mans est de 48(13) / = 0,0004, ou mons d une chance sur Exercce 3 On suppose qu un tcket de lotere coûte 1 euro par jeu. Un jeu correspond à un trage de 6 nombres, entre 1 et 48, sans remse. S vous devnez les sx nombres, vous gagnez le prx. On suppose mantenant que N = nombre de tckets vendus et P = nveau du prx. N et P sont lés par les relatons : N = 5 + 1,P P = 1 + 0,4N N et P sont en mllons. Quelle est la valeur espérée d un tcket dans ce jeu? (Ne pas oubler que le prx est partagé avec les autres gagnants.)

17 Annexe B 17 Le nveau du prx et le nombre de tckets vendus sont détermnés conjontement. Les solutons des deux équatons sont N = 11,9 mllons de tckets et P = 5,77 mllons d euros. Le nombre de combnasons possbles des 48 nombres sans remse est : 48 = ( ) / [( )( )] = La probablté de fare le bon chox est donc de 1 / = 0, Le nombre espéré de gagnants est la valeur espérée d une varable bnomale avec N essas et une probablté de succès égale à 11,9 / 1,7 = 0,97, sot envron 1. Ans, on ne s attend pas à devor partager le prx. La valeur espérée du tcket est Prob[gagne](5,77 mllons 1) + Prob[perd]( 1). 53 centmes. Exercce 4 S x a une dstrbuton normale de moyenne 1 et d écart-type 3, explcter : a. Prob[ x > ]. b. Prob[x > 1 x < 1,5]. En utlsant la table normale : a. Prob[ x > ] = 1 Prob[ x < ] = 1 Prob[ < x < ] = 1 Prob[( 1) / 3 < z < ( 1) / 3] = 1 [F(1 / 3) F( 1)] = 1 0, ,1587 = 0,581 b. Prob[x > 1 x < 1.5] = Prob[ 1 < x < 1.5] / Prob[x < 1,5] Prob[ 1 < x < 1,5] = Prob[( 1 1) / 3 < z < (1,5 1) / 3)] = Prob[z < 1 / 6] Prob[z < / 3] = 0,566 0,55 = 0,3137 La probablté condtonnelle est 0,3137 / 0,566 = 0, Pearson Educaton France

18 18 Économétre Exercce 5 Donner approxmatvement la probablté qu une varable aléatore suvant une dstrbuton ch-deux à 64 degrés de lberté sot nféreure à 97. z = [(97)] [(64) 1] = 1,4155. La probablté est donc approxmatvement 0,915. Avec sx chffres après la vrgule, l approxmaton est 0,91539 alors que la valeur correcte est 0, Exercce 6 Inégalté de Chebychev. Pour les dstrbutons de probablté suvantes, trouver la borne nféreure de la probablté de l évènement ndqué en utlsant l négalté de Chebychev (3 18). Trouver également la probablté exacte en utlsant la table approprée : a. x ~ normale[0,3 ] et 4 < x < 4. b. x ~ ch-deux, 8 degrés de lberté, 0 < x < 16. L négalté donnée en (3 18) ndque que Prob[ x µ < kσ] > 1 1 / k. On remarque que le résultat ne donne pas d nformatons s k est nféreur ou égal à 1. a. Le rang est 4 / 3 des écarts-types, de sorte que la borne nféreure est 1 (3 / 4) ou 7 / 16 = 0,4375. De la table normale standard, la probablté réelle est 1 Prob[z < 4 / 3] = 0,8175. b. La moyenne de la dstrbuton est 8 et l écart-type est 4. Le rang est donc µ ± σ. Selon l négalté, la borne nféreure est 1 (1 / ) = 0,75. La probablté réelle est le ch-deux cumulatf (8) à 16, ce qu est un peu plus grand que 0,95. (La valeur réelle est 0,9576.) Exercce 7 Étant donné la dstrbuton de probablté jonte suvante : X ,05 0,1 0,03 Y 1 0,1 0,11 0,19 0,08 0,15 0, Pearson Educaton France

19 Annexe B 19 a. Calculer les probabltés suvantes : Prob[Y < ], Prob[Y <, X > 0], Prob[Y = 1, X > 1]. b. Trouver les dstrbutons margnales de X et Y. c. Calculer E[X], E[Y], Var[X], Var[Y], Cov[X, Y], et E[X Y 3 ]. d. Calculer Cov[Y, X ]. e. Quelles sont les dstrbutons condtonnelles de Y, étant donné que X =, et celles de X étant donné que Y > 0? f. Trouver E[Y X] et Var[Y X]. Obtenr les deux partes de la décomposton de la varance Var[Y] = E x [Var[Y X]] + Var x [E[Y X]]. On obtent tout d abord les probabltés margnales. Pour la dstrbuton jonte, on a : X: P(0) = 0,34, P(1) = 0,36, P() = 0,30 Y: P(0) = 0,18, P(1) = 0,51, P() = 0,31 Ensute : a. Prob[Y < ] = 0,18 + 0,51 = 0,69 Prob[Y <, X > 0] = 0,1 + 0,03 + 0,11 + 0,19 = 0,43 Prob[Y = 1, X 1] = 0,11 + 0,19 = 0,30 b. Elles sont données c-dessus. c. E[X] = 0(0,34) + 1(0,36) + (0,30) = 0,96 E[Y] = 0(0,18) + 1(0,51) + (0,31) = 1,13 E[X ] = 0 (0,34) + 1 (0,36) + (0,30) = 1,56 E[Y ] = 0 (0,18) + 1 (0,51) + (0,31) = 1,75 Var[X] = 1,56 0,96 = 0,6384 Var[Y] = 1,75 1,13 = 0,4731 E[XY] = 1(1)(0,11)+1()(0,15)+(1)(0,19)+()(0,08) = 1,11 Cov[X, Y] = 1,11 0,96(1,13) = 0,05 E[X Y 3 ] = 0,11 + 8(0,15) + 4(0,19) + 3(0,08) = 4,63 d. E[YX ] = 1(1)0,11+1()0,19+(1)0,15+()0,08 = 1,81 Cov[Y, X ] = 1,81 1,13(1,56) = 0, Pearson Educaton France

20 0 Économétre e. f. Prob[Y = 0 * X = ] = 0,03 / 0,3 = 0,1 Prob[Y = 1 * X = ] = 0,19 / 0,3 = 0,633 Prob[Y = 1 * X = ] = 0,08 / 0,3 = 0,67 Prob[X = 0 * Y > 0] = (0,1 + 0,08) / (0,51 + 0,31) = 0,3537 Prob[X = 1 * Y > 0] = (0,11 + 0,15) / (0,51 + 0,31) = 0,3171 Prob[X = * Y > 0] = (0,19 + 0,08) / (0,51 + 0,31) = 0,39 E[Y * X=0] = 0(0,05 / 0,34)+1(0,1 / 0,34)+(0,08 / 0,34) = 1,088 E[Y * X=0] = 1 (0,1 / 0,34)+ (0,08 / 0,34) = 1,559 Var[Y* X=0] = 1,559 1,088 = 0,3751 E[Y*X=1] = 0(0,1 / 0,36)+1(0,11 / 0,36)+(0,15 / 0,36) = 1,139 E[Y *X=1] = 1 (0,11 / 0,36)+ (0,15 / 0,36) = 1,97 Var[Y*X=1] = 1,97 1,139 = 0,6749 E[Y*X=] = 0(0,03 / 0,30)+1(0,19 / 0,30)+(0,08 / 0,30) = 1,167 E[Y *X=] = 1 (0,19 / 0,30)+ (0,08 / 0,30) = 1,700 Var[Y*X=] = 1,700 1,167 = 0,6749 = 0,3381 E[Var[Y*X]] = 0,34(0,3751)+0,36(0,6749)+0,30(0,3381) = 0,4719 Var[E[Y*X]] = 0,34(1,088 )+0,36(1,139 )+0,30(1,167 ) 1,13 = 1,781 1,769 = 0,001 E[Var[Y*X]] + Var[E[Y*X]] = 0, ,001 = 0,4731 = Var[Y] Exercce 8 Prédcteur du mnmum du carré des erreurs à la moyenne. Pour la dstrbuton jonte de l exercce 7, calculer E[y E[y x]]. Trouver ensute le a et le b qu mnmsent la foncton E[y a bx]. Étant donné les solutons, vérfer que E[y E[y x]] < E[y a bx]. Le résultat est fondamental dans la théore des mondres carrés. 006 Pearson Educaton France

21 Annexe B 1 (x = 0) (x = 1) (x = ) E[y E[y x]] = (y=0) 0,05(0 1,088) + 0,10(0 1,139) + 0,03(0 1,167) (y=1) + 0,1(1 1,088) + 0,11(1 1,139) + 0,19(1 1,167) (y=) + 0,08( 1,088) + 0,15( 1,139) + 0,08( 1,167) = 0,4719 = E[Var[y x]]. Les condtons nécessares pour mnmser la foncton par rapport à a et b sont : E[y a bx] / a = E{[y a bx]( 1)} = 0 E[y a bx] / b = E{[y a bx]( x)} = 0 En dvsant d abord par et en prenant ensute les espérances, on obtent : E[y] a be[x] = 0 E[xy] ae[x] be[x ] = 0. On résout la premère égalté, a = E[y] be[x], et on ntègre l expresson trouvée dans la seconde pour obtenr : E[xy] E[x](E[y] be[x]) be[x ] = 0 ou (E[xy] E[x]E[y]) = b(e[x ] (E[x]) ) ou b = Cov[x, y] / Var[x] = 0,0708 / 0,4731 = 0,150 et a = E[y] be[x] = 1,13 ( 0,1497)(0,96) = 1,74 La foncton lnéare comparée à la moyenne condtonnelle donne : X = 0 x = 1 x = E[y x] 1,088 1,139 1,167 a + bx 1,74 1,14 0, Pearson Educaton France

22 Économétre On répète le calcul c-dessus en utlsant a + bx au leu de E[y x] : (x = 0) (x = 1) (x = ) E[y a bx] = (y = 0) 0,05(0 1,74) + 0,10(0 1,14) + 0,03(0 0,974) (y = 1) + 0,1(1 1,74) + 0,11(1 1,14) + 0,19(1 0,974) (y = ) + 0,08( 1,74) + 0,15( 1,14) + 0,08( 0,974) = 0,4950 > 0,4719 Exercce 9 On suppose que x a une dstrbuton exponentelle, f (x) = θe -θx, x > 0. Trouver la moyenne, la varance, l asymétre et l aplatssement de x. (Indce : les deux derners sont défns dans la secton 3.3.) Afn de trouver les moments centrés, on utlse les moments bruts : E[x r] r θ x = 0 θ xe dx Ils peuvent être obtenus en utlsant l ntégrale gamma. En fasant les substtutons approprées, on a : E[x r ] = [θγ(r + 1)] / θ r+1 = r! / θ r Les quatre premers moments sont : E[x] = 1 / θ, E[x ] = / θ, E[x 3 ] = 6 / θ 3 et E[x 4 ] = 4 / θ 4. La moyenne est donc 1 / θ et la varance est / θ (1 / θ) = 1 / θ. Pour les coeffcents d asymétre et d aplatssement, on a : E[x 1 / θ] 3 = E[x 3 ] 3E[x ] / θ + 3E[x] / θ 1 / θ 3 = / θ 3 Le coeffcent d asymétre normalsé est. Le coeffcent d aplatssement est : E[x 1 / θ] 4 = E[x 4 ] 4E[x 3 ] / θ + 6E[x ] / θ 4E[x] / θ / θ 4 = 9 / θ 4 Le coeffcent d aplatssement est donc 6. Exercce 10 On suppose que x a la dstrbuton de probablté dscrète suvante : X Prob[X = x] 0,1 0, 0,4 0,3 006 Pearson Educaton France

23 Annexe B 3 Trouver les moyenne et varance exactes de X. On suppose mantenant que Y = 1 / X. Trouver les moyenne et varance exactes de Y. Trouver les moyenne et varance exactes des approxmatons lnéare et quadratque de Y = f (X). Est-ce que la moyenne et la varance de l approxmaton quadratque sont plus proches de la vrae moyenne que celles de l approxmaton lnéare? On développe en premer leu un certan nombre de moments dont on a beson : E[x] = 0,1(1) + 0,() + 0,4(3) + 0,3(4) =,9 = µ E[x ] = 0,1(1) + 0,(4) + 0,4(9) + 0,3(16) = 9,3 Var[x] = 9,3,9 = 0,89 = σ Pour une utlsaton ultéreure, on obtent auss : E[x µ] 3 = 0,1(1,9) ,43 E[x µ] 4 = 0,1(1,9) = 1,8737. L approxmaton est y = 1 / x. Les moyenne et varance exactes sont : E[y] = 0,1(1) + 0,(1 / ) + 0,4(1 / 3) + 0,3(1 / 4) = 0,40833 Var[y] = 0,1(1) + 0,(1 / 4) + 0,4(1 / 9) + 0,3(1 / 16) 0,40833 = 0,04645 L approxmaton lnéare de Taylor en séres autour de µ est y 1 / µ + ( 1 / µ )(x µ). La moyenne de l approxmaton lnéare est 1 / µ = 0,3448 alors que sa varance est (1 / µ 4 )Var[x-µ] = σ / µ 4 = 0,0158. L approxmaton quadratque est : y 1 / µ + ( 1 / µ )(x µ) + (1 / )( / µ 3 )(x µ) = 1 / µ (1 / µ )(x µ) + (1 / µ 3 )(x µ) La moyenne de cette approxmaton est E[y] 1 / µ + σ / µ 3 = 0,3813, et la varance est approxmée par la varance du terme de drote, (1 / µ 4 )Var[x µ] + (1 / µ 6 )Var[x µ] ( / µ 5 )Cov[(x µ), (x µ) ] = (1 / µ 4 )σ + (1 / µ 6 )(E[x µ] 4 σ 4 ] ( / µ 5 )E[x µ] 3 = 0,01498 Aucune approxmaton ne donne une estmaton proche de la varance. On remarque que dans les deux cas, l serat possble d évaluer smplement les approxmatons aux quatre valeurs de x, et de calculer drectement les moyennes et les varances. L avantage de cette approche est qu elle peut être applquée quand l y a beaucoup de valeurs de x. Elle est nécessare quand la dstrbuton de x est contnue. 006 Pearson Educaton France