Probabilités. Rappel : trois exemples. Exemple 2 : On dispose d un dé truqué. On sait que : p(1) = p(2) =1/6 ; p(3) = 1/3 p(4) = p(5) =1/12

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1 Probabilités. I - Rappel : trois exemples. Exemple 1 : Dans une classe de 25 élèves, il y a 16 filles. Tous les élèves sont blonds ou bruns. Parmi les filles, 6 sont blondes. Parmi les garçons, 3 sont blonds. On choisit au hasard un élève de la classe. Tous les élèves ont la même probabilité d être choisis. On définit les évènements suivants. F : «l élève choisi est une fille» G : «l élève choisi est un garçon» B : «l élève choisi est blond (ou blonde)» Quelle est la probabilité de l évènement F? Rappelez la formule et expliquez pourquoi vous pouvez l utiliser. Exemple 2 : On dispose d un dé truqué. On sait que : p(1) p(2) 1/6 ; p(3) 1/3 p(4) p(5) 1/12 1) Que signifie p(1)? 2) Calculer p(6). Exemple 3 : On lance deux pièces de monnaie équilibrées. 1) Utiliser un arbre pour déterminer les événements élémentaires, puis définir une loi de probabilité. L ensemble des événements élémentaires est appelé l univers. Ω 2) Déterminer un autre univers pour cette expérience puis définir une loi de probabilité. Quelle est la probabilité de l évènement G? Rappelez la formule utilisée. Que signifie l événement F B? Calculer sa probabilité. Que signifie l événement F B? Calculer sa probabilité. Rappelez la formule utilisée. Donner la signification des évènements suivants puis calculer leur probabilités. B ; ; G B ; G B ;.

2 II - Variables aléatoires. Définition : Lorsqu à chaque événement élémentaire d une expérience aléatoire on associe un nombre réel, on définit une variable aléatoire. Soit X une variable aléatoire prenant les valeurs x 1 ;.x n. L événement «X prend la valeur x i» est noté (X x i ). Définir une loi de probabilité de X, c est donner la valeur de p(x x i ), pour tout i, avec 1 i n. Exemple 1: On lance deux pièces de monnaie équilibrées. On définit une loi de probabilité X sur l univers Ω {PP ; PF ; FP ;FF} égale au nombre de fois que l on a obtenu «Face». Les valeurs prises par cette variable sont : 0, 1 et 2. On a : (X 0) {PP} ; (X1) {PF ;FP} ; (X2) {FF} Loi de probabilité : Valeur x i prises par X Probabilité Exemple 2 : Une urne contient 9 boules indiscernables au toucher. 5 boules noires, 3 boules blanches et 1 boule jaune. Une boule noire fait perdre 1 point. Une boule blanche fait gagner 2 point. La boule jaune fait gagner 3 points. 1) On tire une boule de l urne. Définir la loi de probabilité de la variable aléatoire X donnant le nombre de points. 2) On tire deux boules avec remise. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X donnant le nombre de points. (on pourra faire une tableau ou un arbre pondéré pour avoir toutes les issues possibles) Exemple 3 : Une partie de «chance» coûte 2 à un stand ; La partie consiste à lancer trois pièces de monnaie équilibrées. Si on obtient trois fois Pile, on gagne 10. Sinon on perd. 1) Faire un arbre pour avoir toutes les issues 2) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire G donnant le Gain (algébrique) 3) Que fait cet algorithme? Algo simulation Début Entieraléatoire(0,1) A Entieraléatoire(0,1) B Entieraléatoire(0,1) C A + B + C N Si N 3 Alors afficher «vous avez gagné 8» Finsi Remarque : Sinon afficher «vous avez perdu 2» Si on remplace A + B + C N par A B C N que doit-on mettre après : Si N Peut-on remplacer les trois lignes Entieraléatoire ( ) par un ligne Entieraléatoire(0 ;3) Entieraléatoire(n ;p) Est une instruction qui renvoie un entier aléatoire entre n et p. TI : Math + PRB entalea ( Casio : OPTN + prob : RanInt(

3 4) Ecrire un algorithme qui simule plusieurs parties et qui donne le gain final. En entrée : le nombre de parties à simuler En sortie : Le gain final. 6) Programmation (livre p V) Sur TI Sur casio Algorithme n_parties_chance Début Fin Afficher "nombre de parties» Entrer N 0 G Pour i allant de 1 à N faire Entieraléatoire(0,1) A Entieraléatoire(0,1) B Entieraléatoire(0,1) C A +B + C D Si D 3 Alors G + 8 G Sinon G -2 G Finsi Finpour Afficher "le gain est : ", G TI : se trouve dans test Program gain moy gain moy : Disp nb de parties nb de parties : prompt N? N : 0 G 0 G : For ( i, 1,N) for 1 I to N step 1 : entalea (0,1) A ranint(0,1) A : entalea (0,1) B ranint(0,1) B : entalea (0,1) C ranint(0,1) C : A + B + C D A + B + C D : If D 3 If D 3 : Then Then G + 8 G : G + 8 G : Else else G 2 G : G 2 G : End Endif : End Next : Disp le gain est :, G le gain est :" : G : Disp " le gain moyen ", G/N " le gain moyen ", G/N 5) Modifier l algorithme pour qu il donne le gain moyen par partie. Remarques : Si on effectue un très grand nombre de fois cette partie, on pourrait voir que le gain moyen se rapproche de -0,75. On pourrait donc dire que l on peut espérer gagner -0,75 par partie on plutôt on dirait que l on peut espérer perdre 0,75 par partie!!! La valeur -0,75 est l espérance de la variable aléatoire du gain. L espérance est à une variable aléatoire ce que la moyenne est à une série statistique. L espérance est un des outils de base des assureurs, banquiers, joueurs de poker averti.

4 III - Espérance, variance et écart-type. Soit X une variable aléatoire. Valeur x i x 1 x 2. x n Probabilité p 1 p 2 p n Définitions : L espérance mathématique de la variable aléatoire X est le réel E(X) défini par : E(X) x 1 p 1 + x 2 p x n p n La variance de la variable aléatoire X est le réel positif V(X) défini par : V(X) p 1 (x 1 - E(X)) 2 + p 2 (x 2 - E(X)) p n (x n - E(X)) 2 V(X) L écart type σ est défini par : σ Exemple : Espérance de la partie «chance» Gain x i 8-2 Probabilité 1/8 7/8 E(X) 8 + (-2) - 0, 75 En moyenne, on peut espérer perdre 0,75 par partie. La variance est : V(X) 2 V(X) 10,9375 L écart type est : σ 3, 31 Notons Y la variable aléatoire définie par : Y ax + b avec a et b deux réels. Valeur de Y a x 1 + b a x 2 + b. a x n + b Probabilité p 1 p 2 p n Propriétés : Démonstration : p 187 E(aX + b) ae(x) + b V(aX) a 2 V(X) E(aX + b) p 1 (ax 1 +b) + p 2 (ax 2 +b)+ + p n (ax n +b) a (p 1 x 1 + p 2 x p n x n ) +b (p 1 + p p n ) a E(X) + b V(aX) Exemple : On lance deux dés. La variable aléatoire X donne la somme du nombre de points des deux dés. 1) Définir la loi de probabilité de la variable aléatoire X puis calculer l espérance de X. (On pourra faire un tableau pour avoir toutes les issues) 2) Chaque point rapporte deux euros. Calculer l espérance de la variable aléatoire G donnant le gain. 3) a) Si on fait payer 5 euros la partie. Calculer l espérance de la variable aléatoire B donnant le gain effectif. b) Combien doit-on faire payer une partie pour qu elle soit équitable?

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