Rallye mathématiques cycle III-6ème

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1 Rallye mathématiques cycle III-6ème GUIDE METHODOLOGIQUE 1. ENJEUX - Améliorer l acquisition de la compétence 3 du socle commun relative à la résolution de problème. - Mettre en œuvre une séquence d apprentissage en résolution de problème. problèmes ouverts en utilisant la démarche scientifique afin de développer les capacités de raisonnement et de logique. problèmes en utilisant des procédures expertes. - Favoriser le passage à l abstraction, du langage oral au langage mathématique. 2. COMPETENCES A. COMPETENCES DU SOCLE COMMUN Deuxième palier pour la maîtrise du socle commun : compétences attendues à la fin du CM2 Compétence 1 : La maîtrise de la langue française - s exprimer à l oral comme à l écrit dans un vocabulaire approprié et précis, - utiliser ses connaissances pour réfléchir sur un texte (mieux le comprendre). Compétence 3 : Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique. A) Les principaux éléments de mathématiques - résoudre des problèmes relevant des quatre opérations, de la proportionnalité, et faisant intervenir différents objets mathématiques : nombres, mesures, «règle de trois», figures géométriques, schémas ; - savoir organiser des informations numériques ou géométriques, justifier et apprécier la vraisemblance d un résultat ; - lire, interpréter et construire quelques représentations simples : tableaux et graphiques. B) La culture scientifique et technologique - pratiquer une démarche d investigation : savoir observer, questionner ; - manipuler et expérimenter, formuler une hypothèse et la tester, argumenter ; - mettre à l essai plusieurs pistes de solution ; - exprimer et exploiter les résultats d une mesure ou d une recherche en utilisant un vocabulaire scientifique à l écrit et à l oral ; - mobiliser ses connaissances dans des contextes scientifiques différents et dans des activités de la vie courante. Compétence 6 : Les compétences sociales et civiques - respecter les règles de la vie collective ; - prendre part à un dialogue : prendre la parole devant les autres, écouter autrui, formuler et justifier un point de vue ; - coopérer avec un ou plusieurs camarades. Circonscription de Sainte Suzanne Page 1

2 Compétence 7 : L autonomie et l initiative - montrer une certaine persévérance dans toutes les activités ; - commencer à savoir s auto-évaluer dans des situations simples ; - s impliquer dans un projet individuel et/ou collectif. B. COMPETENCES DES PROGRAMMES DE 2008 CE2 CM1 CM2 - Lire des consignes de travail, les énoncés de problèmes dont le vocabulaire difficile ou nouveau a été élucidé par le maître. problèmes relevant des quatre opérations. - Reproduire des figures (sur papier uni, quadrillé ou pointé), à partir d un modèle. - Construire un carré ou un rectangle de dimensions données. problèmes dont la résolution implique les grandeurs ci-dessus. Organisation et gestion de données - Savoir organiser les données d un problème en vue de sa résolution. - Utiliser un tableau ou un graphique en vue d un traitement de données. - Lire sans aide les consignes de travail scolaire, les énoncés de problèmes. problèmes engageant une démarche à une ou plusieurs étapes. - Compléter une figure par symétrie axiale. - Tracer une figure simple à partir d un programme de construction ou en suivant des consignes. problèmes dont la résolution implique éventuellement des conversions. Organisation et gestion de données - Construire un tableau ou un graphique. - Interpréter un tableau ou un graphique. - Lire les coordonnées d un point. - Placer un point dont on connaît les coordonnées. - Utiliser un tableau ou la «règle de trois» dans des situations très simples de proportionnalité. - Lire à haute voix avec fluidité et de manière expressive un texte de plus de dix lignes, après préparation problèmes de plus en plus complexes. - Tracer une figure (sur papier uni, quadrillé ou pointé), à partir d un programme de construction ou d un dessin à main levée (avec des indications relatives aux propriétés et aux dimensions). problèmes dont la résolution implique des conversions. problèmes dont la résolution implique simultanément des unités différentes de mesure. Organisation et gestion de données problèmes relevant de la proportionnalité et notamment des problèmes relatifs aux pourcentages, aux échelles, aux vitesses moyennes ou aux conversions d unité, en utilisant des procédures variées (dont la «règle de trois»). Circonscription de Sainte Suzanne Page 2

3 3. DESCRIPTIF A) VADE-MECUM DU PROBLEME Définition d un problème «Un problème est généralement défini comme une situation initiale, avec un but à atteindre, demandant au sujet d élaborer une suite d actions ou d opérations pour atteindre ce but. Il n y a problème que dans un rapport sujet/situation où la solution n est pas disponible d emblée, mais possible à construire. C est dire aussi qu un problème pour un sujet donné peut ne pas être un problème pour un autre sujet, en fonction de leur niveau de développement intellectuel par exemple.» BRUN Jean, Math-Ecole n 141. Les types de problèmes : - Typologie basée sur les temps d apprentissage 1 ) Problèmes dont la résolution vise la construction d une nouvelle connaissance. (Des problèmes pour apprendre les mathématiques début d apprentissage) 2 ) Problèmes destinés à permettre le réinvestissement de connaissances déjà travaillées, à les exercer. (Des problèmes d application) 3 ) Problèmes plus complexes que les précédents dont la résolution nécessite la mobilisation de plusieurs catégories de connaissances. (Des problèmes d application : combinaison de plusieurs connaissances / procédures et résolution par étapes intermédiaires) - Typologie basée sur la nature de l opération à effectuer (d après Vergnaud) 1 ) Problèmes «additifs» (qui se résolvent avec une addition ou une soustraction) Problèmes avec deux parts mises ensemble (problèmes de réunion d états) [remarque : dans l exemple proposé on cherche une des parts] Exemple : Sur le parking, il y a des voitures et des camions. Il y a un total de cinquante-deux véhicules et il y a dix-sept camions. Combien y a-t-il de voitures? Problèmes avec quelque chose qui diminue dans le temps (problèmes de changement d état avec diminution) [remarque : dans l exemple proposé on cherche ce qu il y avait au début (l état initial)] Exemple : J ai 123 billes. Je viens d en perdre 67. Combien avais-je de billes avant? Problèmes avec quelque chose qui augmente dans le temps (problèmes de changement d état avec augmentation) [remarque : dans l exemple proposé on cherche ce qu il y avait au début (l état initial)] Exemple : Durant la récréation Jean a gagné 6 billes. Maintenant il a 15 billes. Combien avait-il de billes avant la récréation? Problèmes avec «de plus que» ou «de moins que» (problèmes de comparaisons d états) Exemple : Jean a sept ans de plus que Paul. Jean a quinze ans. Quel est l âge de Paul? Problèmes avec deux changements successifs (problèmes où l on compose deux changements d états) Circonscription de Sainte Suzanne Page 3

4 Exemple : Jean vient de faire deux parties de billes de suite. A la seconde partie, il vient de perdre 7 billes. Il a calculé qu il en avait gagné 5 au total. Que s est-il passé à la première partie? 2 ) Problèmes «multiplicatifs» (qui se résolvent avec une multiplication ou une division) Problèmes avec plusieurs parts égales mises ensemble Exemple : Un éleveur de poules dispose de 6984 œufs. Combien de boîtes de 12 œufs peut-il remplir? (on cherche le nombre de parts) ( problème de regroupement ) Exemple : J ai dépensé 18 euros pour acheter 6 gommes. Quel est le prix d une gomme? (on cherche la valeur d une part) (problème de partage ou de distribution) Exemple : Combien y a-t-il de bouteilles de bière dans 25 caisses de 12 bouteilles de bière? (on cherche le total) Problèmes avec «fois plus que» ou «fois moins que» (problème de comparaison d états) Exemple : Il y a trois fois plus de chaises à la cantine que dans la classe. A la cantine il y a 54 chaises. Combien y a-t-il de chaises dans la classe? 3 ) Problèmes ouverts : des problèmes centrés sur le développement des capacités des élèves à chercher En général, pour résoudre ces problèmes, la solution experte n est pas à la portée des élèves, elle n est en aucun cas le but recherché. Caractéristiques d un problème ouvert (TFM) L'énoncé est choisi de façon à ce que tous les élèves puissent engager une résolution, avec leurs connaissances : la compréhension de l'énoncé ne doit pas présenter de difficulté. Il est souhaitable que plusieurs démarches soient possibles, de niveaux différents du point de vue des connaissances à mettre en œuvre. Le problème doit "résister", donner lieu à des essais et recherches : c'est le contraire d'un problème d'application ; le problème de recherche est lié à l'idée de défi ; les élèves ne connaissent pas a priori de méthode de résolution ; ainsi le problème des trois nombres qui se suivent sera résolu en 3e à l'aide d'une équation du premier degré, et ne sera plus un problème de recherche à ce niveau. Le contexte doit être familier aux élèves, toujours dans l'idée que ceux-ci doivent facilement s'approprier l'énoncé ; comme pour les autres problèmes, les problèmes peuvent être issus de la vie courante (trouver comment faire 50 avec des billets de 10, de 5, et des pièces de 2 ), d'autres disciplines, ou porter sur des objets mathématiques. Le domaine mathématique peut être aussi bien d ordre numérique, géométrique, logique, que de l ordre de la mesure. B) POSITIONNEMENT DE L ACTION «RALLYE MATHEMATIQUES» DANS LE CADRE GLOBAL DES APPRENTISSAGES MATHEMATIQUES : Descriptif de l action Le rallye mathématique est une action qui s inscrit dans le plan pour les sciences et les technologies à l école. ( ) La maîtrise du calcul et des ordres de grandeur, l habitude du raisonnement doivent être acquis et régulièrement entretenus. Pour cela, les enseignements de mathématiques à l école doivent privilégier Circonscription de Sainte Suzanne Page 4

5 l entraînement aux techniques opératoires ainsi que l acquisition d automatismes, facteurs essentiels de la réussite des élèves dans la résolution de problèmes. ( ) L action se propose d accompagner les enseignants et à fortiori les élèves dans leur enseignement/apprentissage de la résolution de problème en référence au programme De plus, elle contribue au renforcement de la continuité pédagogique école-collège en visant une articulation des programmes et des enseignements au service de la réussite des élèves. Ce rallye comporte trois épreuves de même nature : des situations problèmes portant sur des champs mathématiques différents sont proposées dès la deuxième période à la classe entière qui dispose de 2 semaines pour retourner son bulletin-réponse. La résolution de problèmes sera travaillée tout au long de chaque période dans le cadre d une progression. Méthodologie La démarche suivante est proposée (à l image de la démarche d investigation) : Mise en place de la situation problème Formulation des questions et recueil des représentations initiales Emission d hypothèses Investigation, recherche individuelle/par groupe Mise en commun et verbalisation des stratégies développées Confrontation avec les hypothèses de départ Synthèse et choix d une réponse pour la classe. Appliquée au champ de la résolution de problème, elle peut être schématisée de la manière suivante. Circonscription de Sainte Suzanne Page 5

6 Résoudre un problème : oui, mais comment? Rallye mathématiques-guide méthodologique Année scolaire 2013/ 2014 Circonscription de Sainte Suzanne Page 6

7 COMPETENCES DES PROGRAMMES 2008 POLE ENSEIGNANT POLE ELEVE CE2 CM1 CM2 Démarche proposée : la démarche scientifique Connaissances mobilisées Stratégies Elles sont déterminées - Lire sans aide les consignes de travail en fonction du domaine scolaire, les énoncés de traité dans les situations problèmes. problèmes proposées. - Lire des consignes de travail, les énoncés de problèmes dont le vocabulaire difficile ou nouveau a été élucidé par le maître. problèmes relevant des quatre opérations. - Reproduire des figures (sur papier uni, quadrillé ou pointé), à partir d un modèle. -Construire un carré ou un rectangle de dimensions données. problèmes dont la résolution implique les grandeurs ci-dessus. Organisation et gestion de données - Savoir organiser les données d un problème en vue de sa résolution. - Utiliser un tableau ou un graphique en vue d un traitement de données. problèmes engageant une démarche à une ou plusieurs étapes. - Compléter une figure par symétrie axiale. - Tracer une figure simple à partir d un programme de construction ou en suivant des consignes. problèmes dont la résolution implique éventuellement des conversions. Organisation et gestion de données - Construire un tableau ou un graphique. - Interpréter un tableau ou un graphique. - Lire les coordonnées d un point. - Placer un point dont on connaît les coordonnées. - Utiliser un tableau ou la «règle de trois» dans des situations très simples proportionnalité. de - Lire à haute voix avec fluidité et de manière expressive un texte de plus de lignes, après préparation problèmes de plus en plus complexes. - Tracer une figure (sur papier uni, quadrillé ou pointé), à partir d un programme de construction ou d un dessin à main levée (avec des indications relatives aux propriétés et aux dimensions). problèmes dont la résolution implique des conversions. problèmes dont la résolution implique simultanément des unités différentes de mesure. Organisation et gestion de données -Résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité et notamment des problèmes relatifs aux pourcentages, aux échelles, aux vitesses moyennes ou aux conversions d unité, en utilisant des procédures variées (dont la «règle de trois»). La résolution de problème sera travaillée tout au long de chaque période dans le cadre d une progression qui visera les objectifs suivants : - Développer des procédures de résolution (agir ou non sur les objets, anticiper sa réponse) - Verbaliser ses actions et les résultats obtenus pour prendre conscience des procédures utilisées et leur effets - Utiliser les écritures provisoires (dessin, schéma ) pour communiquer une information. TERRIEUX Josette, L école maternelle, Hachette livre 2008 De façon plus globale, l enseignant veillera à développer tout au long de l année les axes de travail suivants : - La mise en place d un contrat (qu est-ce qui est attendu des élèves dans les activités de résolution de problèmes?) - L appropriation par l élève du problème proposé, - La sélection et le traitement de l information, - Le développement des méthodes de résolution par essais. Institut national de recherche pédagogique ERMEL, Apprentissages numériques et résolution de problèmes CP, Hatier 2005 Circonscription de Sainte Suzanne Page 7 Il s agit de demander aux élèves de résoudre des problèmes pour lesquels le modèle expert leur est inconnu, mais où ils peuvent : - procéder par essais, faire des hypothèses ; - contrôler les essais.

8 C) MODALITES DE CORRECTION/VALIDATION DES REPONSES A l issue du temps imparti pour résoudre la ou les situations problèmes proposées, la classe transmettra son bulletin-réponse collectif à l équipe de circonscription pour correction/validation. L attribution des points s appuiera sur la démarche des élèves et non sur la démarche pédagogique de l enseignant. - Pour chaque épreuve, chaque classe pourra obtenir 40 points au maximum : * 10 points pour les deux premiers problèmes dont seule l étape de résolution est demandée (8 points pour la réponse et 2 points pour la présentation) * 20 points pour le troisième problème pour lequel les élèves doivent rédiger les diverses étapes de leur recherche (10 points pour la compréhension et la démarche, 8 points pour la réponse et 2 points pour la présentation). - Les classes sont réparties en 3 catégories : CE2 CM1 CM2-6 ème. A l issue des trois épreuves, un classement est établi par catégorie. 4. ECHEANCIER Date Activités Observations Septembre 2013 Novembre 2013 Mi novembre 2013 Mi février 2014 Début mars 2014 Début mai 2014 Mi mai 2014 Juin 2014 Remise du guide méthodologique Informations/Formation par l équipe de circonscription Première épreuve S appuyer sur la démarche scientifique pour mener la résolution de problème mathématique Retour des bulletins-réponses Production des réponses sur papier ou à la circonscription de Sainte envoi de la version numérique Suzanne complétée à l Inspection Deuxième épreuve S appuyer sur la démarche scientifique pour mener la résolution de problème mathématique Retour des bulletins-réponses Production des réponses sur papier ou à la circonscription de Sainte envoi de la version numérique Suzanne complétée à l Inspection Troisième épreuve S appuyer sur la démarche scientifique pour mener la résolution de problème mathématique Retour des bulletins-réponses Production des réponses sur papier ou à la circonscription de Sainte envoi de la version numérique Suzanne complétée à l Inspection Proclamation des résultats : classement par catégorie 5. ECRITS DE TRAVAIL ET TRACE MEMOIRE DE LA CLASSE Lors de la phase «d investigation, recherche individuelle», l enseignant de CE2, de CM1, de CM2 ou de 6ème incitera l enfant à utiliser son cahier de brouillon afin de favoriser le Circonscription de Sainte Suzanne Page 8

9 tâtonnement et de disposer d un espace de recherche visualisable par l enseignant (repérage des procédures et de l utilisation du langage mathématique). La mise en commun permettra d élaborer une trace écrite de groupe qui fera le point sur les procédures adoptées et leur valorisation, sans porter de jugement sur leur efficacité. 6. OUTILS - MEN, Les nouveaux programmes de l école primaire Télé Formation en Mathématiques : résolution de problèmes Espace «notions essentielles Champ théorique : Exploitation de données numériques et résolution de problèmes) - TERRIEUX Josette, L école maternelle, Hachette livre Institut national de recherche pédagogique ERMEL, Apprentissages numériques et résolution de problèmes CP, Hatier PERNOUX Dominique : et et - Préparation de la rentrée scolaire 2011 (encart, BO n 18 du 5 mai 2011) Circonscription de Sainte Suzanne Page 9