Méthodes Mathématiques en Théorie du Risque

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Geoffrey Lavallée
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1 Méthodes Mathématiques en Théorie du Risque Christian Mazza Hiver 2005

2 I: Introduction Un modèle simple pour l évolution stochastique de la réserve r d uned assurance

3 R n Réserve de l assurance après n périodes X n Somme des valeurs des sinistres Pour l assurance durant la période (n-1,n] Prime encaissée dans (0,t) = ct u réserve initiale u n-1 Période entre Deux inventaires n n X n X n+1 c=taux instantané de prime R n =u+cn n i=1 X i

4 Probabilité de ruine τ u Temps aléatoire de la ruine τ u =min{n 1; R n <0} Ψ(u) = P( n 1 {R n <0}) = P(τ u <+ ) Probabilité de ruine en temps infini

5 Ψ(u,n)=P(τ u n) Probabilité de ruine avant l instant n Difficile à calculer en général La théorie du risque donne des approximations pour cette probabilité

6 Modèle un peu plus généralg Primes encaissées es durant (n-1,n]: variable aléatoire atoire Z n Somme des sinistres durant (n-1,n] Réserve de l l assurance R n =u+ n i=1 (Z i X i ) X n

7 Surplus de sinistres S n = n i=1 (X i Z i ) Y i =X i Z i S n = n i=1 Y i R n =u S n

8 S n Est une marche aléatoire Ψ(u)=P(max n 1 S n >u) Problème classique de probabilité sur les marches aléatoires

9 Charge relative de sécurits curité Si E(Y)>0, la loi des grands nombres implique que S n + On suppose que E(Y)<0. Par exemple dans (0,T], taux de prime c, E(X 1 )<ct On définit d la charge relative de sécurits curité Λ= ct E(X 1) E(X 1 ) >0

10 Un modèle à temps continu Description plus fine du processus dans chaque période? Soient t 0 =0<t 1 < <t k <t Les instants des sinistres dans (0,t] k=n t Le processus qui compte le nb de sinistres dans (0,t]

11 Le processus croît linéairement avec une pente c entre les instants des sinistres; R t =u+c(t 1 t 0 ) X 1 + +c(t k t k 1 ) X tk +c(t t k ), N t =k R t =u+ct N t i=1 X i Modèle stochastique pour le processus N t À valeurs dans les entiers et pour la loi des sinistres

12 Le modèle classique du risque On suppose que les temps inter-sinistres sont indépendants i.i.d. de loi exponentielle Dans ce cas, le processus qui compte est un processsus de Poisson On suppose que les montants des sinistres sont indépendants i.i.d. Dans ce cas, on peut parfois donner des formules exactes pour les probabilités s de ruine

13 But du cours Donner des bornes et des approximations pour la probabilité de ruine (marches aléatoires, atoires, martingales) Inégalit galité de Lundberg Extension à d autres processus de renouvellement Quelques méthodes m numériques (Panjer) Notions de réassurancer

14 II: Processus à temps discret Dans le modèle simple on doit calculer Ψ(u)=P(max n 1 S n >u) S n = n i=1 Y i {Y i } i i.i.d Marche aléatoire On généralise g un peu en utilisant la notion d échangeabilité de variables aléatoires atoires

15 P(τ u n)=p(max i n S i >u) S n à accroissements échangeables si les variables sont telles que la loi jointe du vecteur aléatoire est égale à celle du vecteur (Y 1,Y 2,,Y N ) (Y σ(1),y σ(2),,y σ(n) ) pour toute permutation σ

16 Ceci veut dire que P(X 1 x 1,,X n x n )=P(X i1 x 1,,X in x n ) Si les valeurs des variables X ne prennent que des valeurs Entières, ceci est équivalent à P(X 1 =x 1,,X n =x n )=P(X i1 =x 1,,X in =x n )

17 Théorème 1: {S n } n Processus à accroissements échangeables Tels que les incréments peuvent prendre Les valeurs 1,0, 1, 2, On a alors que, si S 0 =x, P(S n =y, S i <y, i=1,, n 1)=P(S n =y) y x n

18 III: Processus à temps continu

19 Un modèle à temps continu Description plus fine du processus dans chaque période? Soient t 0 =0<t 1 < <t k <t Les instants des sinistres dans (0,t] k=n t Le processus qui compte le nb de sinistres dans (0,t]

20 Le processus croît linéairement avec une pente c entre les instants des sinistres; R t =u+c(t 1 t 0 ) X 1 + +c(t k t k 1 ) X tk +c(t t k ), N t =k R t =u+ct N t i=1 X i Modèle stochastique pour le processus N t À valeurs dans les entiers et pour la loi des sinistres

21 N t Processus qui compte Définition: On appelle processus qui compte (counting process) un processus stochastique N t dont les trajectoires sont des fonctions en escalier avec des sauts de hauteur 1. On suppose que N 0 =0

22 Les durées inter-sinistres T i =t i t i 1 forment une suite de v.a. i.i.d. (processus de renouvellement) Définition: Lorsque les v.a. T i sont exponentielles, on parle de processus de Poisson i.e. le processus qui compte le nombre de sinistres avant t est un processus de Poisson

23 Définition équivalente: : Un processus qui compte N t est un processus de Poisson de paramètre λ>0 si il possède des accroissements indépendants et stationnaires tels que P(N t+h N t =k)= (λh)k k! exp( λh) (Loi de Poisson)

24 N t λ Définition: Soient un processus de Poisson de paramètre et une suite de variables i.i.d. X 1, X 2,, indépendante du processus de Poisson. Le processus S t =X 1 + +X Nt est appelé processus de Poisson composé.

25 Notation: Si F désigne la distribution des variables X, alors F n Désigne la loi de la somme N variable de Poisson de paramètre d X 1 + +X n S=X 1 + +X N P(S s) = P(S s N =n)p(n =n) = n=0 n=0 λ F n (s) λn n! exp( λ)

26 IV: La ruine et le processus du risque

27 Réserve R t =x+ct S t Somme cumulée e des sinistres S t = 1 i N t X i Temps inter-sinistres exponentiels, sinistres i.i.d. N t Poisson E(N t )=λt E(X 1 )=µ E(S t )=λµt Charge relative de sécurits curité positive Λ= c λµ 1>0

28 Tempsdelaruine: T =inf{t R t <0} ProbabilitederuineΨ(x)=P(T < ) Ψ(x,t)=P(T <t R 0 =x) ProbabilitedesurvieU(x)=1 Ψ(x) U(x,t)=1 Ψ(x,t)

29 Charge relative de sécurité: Λ= c λµ 1>0 Théor orème 2: U(0)=1 Ψ(0)= Λ 1+Λ

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