TRAVAUX DIRIGÉS DE O 1

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Daniel Bonin
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1 D O Correction PCS RAVAUX DRGÉS DE O Exercice : Loi e Cauchy La formule e Cauchy simplifiée, onnant l inice un verre pour une raiation monochromatique e longueur one λ est : n = A + B λ où A et B sont es constantes Quelles sont les imensions et unités légales e A et B Des mesures effectuées avec un même verre ont onné : n r =,68 pour une raiation rouge e longueur one ans le vie λ r = 768 nm et n v =,65 pour une raiation violette e longueur one ans le vie λ r = 434 nm (a) Calculer les valeurs e A et B (b) Déterminer la valeur e l inice n j pour une raiation jaune e longueur one ans le vie λ j = 589 nm L inice e réfraction est une graneur sans imension : [n] = = [A] + [B] [B] = [A] + [λ ] L Pour que la relation e Cauchy soit homogène, il faut onc que [A] = et [B] = L : A sans imension (ni unité) et B homogène à une longueur carrée (ie une surface ont l unité légale est le m ) Calcul e A, B et n j : (a) Les onnées nous permettent e resser un système e eux équations à eux inconnues (A et B) : n r = A + B λ r n v = A + B λ v () () n r n v = A A+B [ ] B(λ = v λ r ) λ r λ v λ r λ v B = λ r λ v (n r n v ) λ v λ r et () A = n r B = n λ r λ v(n r n v) ce qui conuit, après vérification e l homogénéité r λ v λ r et application numérique à B 9,40 5 m et A,60 (b) l s agit maintenant une simple application numérique : n j = A + B,63 (résultat λ j cohérent car n r < n j < n v ) Exercice : Équerre optique Soient eux miroirs plans faisant un angle e 45 On consière un rayon incient subissant une et une seule réflexion sur chacun es miroirs Déterminer la éviation, c est-à-ire l angle entre le rayon incient et le rayon émergent

2 D O Correction PCS Faire la figure et orienter tous les angles ans le sens trigonométrique Par utilisation e la loi e la réflexion, on peut écrire r = i et r = i (optique) La somme es angles orientés un triangle est égale à (géométrie) Dans le triangle O, on a onc 4 + i + i = i + i = 4 De même, ans le triangle, on a D + ( r) + i + ( r ) + i = O 4 i En combinant les relations précéentes, on obtient D + i + i = D = (i + i ) = On vérifie la cohérence sur la figure avant e conclure D = On parle équerre optique, ce système est parfois utilisé ans le bâtiment Exercice 3 : Mise en évience e faibles rotations Un pinceau lumineux arrive perpeniculairement en à la surface un miroir plan (M) Ce miroir peut tourner autour un axe passant par et perpeniculaire au plan incience Le miroir tourne un angle autour e De quel angle β tourne le rayon réfléchi ans le même temps? À la istance D = m, on place une règle R grauée perpeniculaire au pinceau réfléchi Le plus petit éplacement visible e la tache lumineuse réfléchie arrivant sur la règle est min = mm Quel est le plus petit angle e rotation mesurable avec ce ispositif? i r i r D Comme souvent en optique, la plus grane ifficulté est franchie quan on a réalisé une figure correcte Voir cours β = Vu les valeurs numériques e et D, on peut estimer que β reste faible evant ra On a alors tan β = D β où β = D Pour = min, on mesure min = min D = 50 4 ra soit,7 D β Exercice 4 : Construction uygens Cette construction géométrique permet e construire le rayon réfracté corresponant à un rayon incient onné Du point incience comme centre, on trace eux emi-cercles e rayons et On prolonge le rayon incient jusqu à ce qu il rencontre le emi-cercle e rayo Du point intersection, on mène la tangente qui coupe le ioptre en À partir e, on mène la tangente à l autre emi-cercle ce qui éfinit un point Le rayon réfracté est alors Suivre le moe opératoire ans les eux cas : < et > Vérifier que cette construction est bien conforme aux lois e Snell-Descartes 3 Retrouver les cas e la réfraction limite et e la réflexion totale Constructions :

3 D O Correction PCS < > Le rayon réfracté est bien ans le plan incience, reste à montrer que sin = sin Comme souvent ans ce genre e problème, on cherche es triangles rectangles ayant un coté commun On ientifie ici les triangles et e coté commun La somme es angles orientés est égale à et ans, on en éuit (,)+(,)+(,) = + + (,) = onc l angle aigu (,) est Par application e relations analogues ans le triangle, on montre que l angle aigu (, ) est Dans on lit ensuite sin = = sin avec = où = De même, ans e sin =, on éuit = sin Par ientification, on reconnaît bien sin = sin sin 3 Les cas e la réfraction limite et e la réflexion totale corresponent à la situation pour laquelle est situé sur le cercle extérieur, on obtient alors les figures suivantes : < = > = Pour effectuer le secon tracé, on pourra utiliser le principe u retour inverse e la lumière Exercice 5 : raversée une lame à faces parallèles Sur la face supérieure une lame e verre formée par eux ioptres plans parallèles, épaisseur e = 8,0 cm, inice =,5 plongée ans l air ont on supposera l inice égal à, arrive un pinceau lumineux sous une incience = 60 Cf figure ci-essous 3

4 D O Correction PCS Y a-t-il toujours un rayon transmis e l autre coté e la lame? Exprimer la éviation latérale u faisceau en fonction e e, et, l angle e transmission ans la lame 3 À partir e la relation précéente, montrer que la éviation latérale peut se mettre sous la forme = e( cos cos ) sin e Effectuez l application numérique 4 À quelle conition la éviation sera-t-elle proportionnelle à e et? > K e i 3 = En, la lumière passe un milieu à un milieu inice >, on a onc toujours réfraction sur le premier ioptre En, sur le euxième ioptre, l angle incience est Conformément au principe e retour inverse e la lumière, on aura a toujours un rayon transmis, sous l incience i 3 = On cherche à exploiter les relations trigonométriques ans es triangles rectangles ayant un coté commun On choisit e travailler ans et K e coté commun Dans, cos = e = e sin et ans K, sin( ) = = sin( ) On en éuit = e sin( ) cos 3 Dans la relation précéente, on éveloppe sin( ) = sin cos sin cos (mathématique) et on utilise sin = sin (optique) : = e sin cos sin cos cos = e(sin cos sin cos ) = e( cos cos ) sin 4, cm 4 On cherche maintenant à linéariser la relation précéente, il faut alors penser à l approximation es angles faibles (evant ra) On a peut alors écrire sin et cos où e ( ), proportionnelle à e et Exercice 6 : Vu u fon e l eau Un poisson est posé sur le fon un lac : il regare vers le haut et voit un isque lumineux e rayon r, centré sur sa verticale et ans lequel il voit tout ce qui est au essus e l eau Expliquez cette observation à l aie une figure 4

5 D O Correction PCS Le rayon u isque est r = 30 cm, en éuire la profoneur h à laquelle se trouve le poisson i lim = arcsi n eau 48,7 et h = r tan i lim 6,3 cm Exercice 7 : Méthoe e mesure e l inice un liquie On éclaire la face gauche u cube e verre sous ifférentes inciences La goutte e liquie apparaît brillante à partir e = (75 egrés et 56 minutes) L inice u verre est n =,500, celui e l air est n air =,0000 En éuire la valeur e l inice u liquie < n Verre (n) Liquie ( ) On reprouit la figure et on la complète en essinant les rayons à l intérieur u verre Verre (n) Liquie ( ) La goutte apparaît brillante si la lumière parvient à l œil, c est à ire si il y a réflexion totale en, sur le ioptre verre liquie En appliquant les lois e la réfraction en et et e la réflexion en, on complète la figure en introuisant les angles orientés et avec + = Comme on a réfraction en et en, on peut écrire n sin = n air sin = sin( ) = cos Par ailleurs, on a réflexion totale en à partir un angle incience = arcsin n On a onc sin( ) = cos = n Reste, à partir es relations précéentes, à lier à On utilise pour cela la relation mathématique cos + si = cos = si n = cos soit finalement n = cos,5004 Rappel : minute correspon à un soixantième e egré, où = , Exercice 8 : Mirage optique Lors une forte chaleur, la température e l air est plus élevée au niveau u sol qu un peu au-essus Expliquer comment ceci peut entraîner un phénomène e mirage On suppose que la température e l air soit 0 sur une hauteur h et passe ensuite à < 0, l inice e l air passant, lui e n 0 à n Pour un observateur ont les yeux sont à une hauteur > h au essus u sol, éterminer à quelle istance minimale se situe le mirage = n 0 n0 5

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