ANNEXE : Rappels sur les notions de dérivée et différentielle

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1 NNEXE : Rappels sur les notons de dérvée et dfférentelle Pente d une drote Eamnons géométrquement les drotes dans le plan cartésen La prncpale caractérstque qu dstngue une drote d une autre est son nclnason, que nous appelons coeffcent drecteur ou pente de la drote Un moen naturel de mesurer la pente d une drote est de partr de n mporte quel pont, et de se déplacer le long de la drote de sorte que la coordonnée de s accrosse d une unté La varaton correspondante de la coordonnée s appelle la pente de la drote Défnton : Soent, et, deu ponts quelconques sur la drote d, le rapport : a d est ndépendante des deu ponts choss sur d = s appelle la pente de la drote d L analse de la fgure montre que la pente de La pente d une drote apparaît comme le tau de varaton ou tau de crossance des ordonnées par unté d'abscsse Elle est constante le long de la drote 2 Equaton d une drote Mantenant cherchons à détermner l équaton que dovent satsfare les ponts stués sur une drote donnée D abord, supposons que la drote d at une pente a et que cette drote coupe l ae des ordonnées au pont, b Ce pont s appelle l ordonnée à l orgne de d Consdérons un pont quelconque, de la drote, on sat par défnton de la pente d une b drote que : a = b = a = a + b La drote dont la pente est égale à a et dont l ordonnée à l orgne est le pont, b a pour équaton : = a + b Remarque : On en dédut que les graphes des polnômes de degré qu s écrvent f = a + b sont des drotes, c est pourquo on appelle de telles fonctons des fonctons lnéares s b est nul, et affnes s b est non nul Interprétaton : La pente d une drote est un concept clé pour l économste Rappelons que la pente d une drote mesure la varaton de quand on se déplace le long de la drote en accrossant d une unté Par conséquent, la pente d une foncton lnéare f mesure l accrossement ou la varaton de f pour chaque unté d augmentaton de, elle mesure l effet margnal sur f d une augmentaton de La pente d une foncton lnéare f n est ren d autre que le tau de crossance ou tau de varaton untare de f, elle nous ndque de comben vare f quand vare d une unté

2 en sûr une pente a postve ndque que f croît de a quand augmente de, donc que la relaton entre ces deu varables est crossante c est le cas des relatons décrtes par d et d sur la fgure ; et une pente négatve ndque que f dmnue de a quand augmente de, c est-à-dre que la relaton entre les deu varables est décrossante c est le cas de la relaton décrte par d sur la fgure d d = < a d : = a + b a = > = ' ' = b a Fg Pentes de drotes dans le plan Cette façon de concevor la pente d une foncton lnéare comme la représentaton de son tau de varaton joue un rôle essentel dans l analse économque S C = CY est une foncton lnéare qu donne la consommaton globale des ménages C en foncton du revenu natonal Y, alors la pente de la foncton C mesure l accrossement de la consommaton globale quand le revenu natonal augmente d une unté On l appelle la propenson margnale à consommer Eemple : C =,8Y + 5 avec C la consommaton globale et Y le revenu natonal Comment nterpréter cette relaton? Elle nous ndque que la consommaton des ménages croît avec le revenu natonal et qu elle croît de,8 unté de revenu quand le revenu augmente d une unté : la propenson margnale à consommer est égale à,8 Elle nous ndque également que quand le revenu est nul Y = les ménages consomment quand même 5 untés de revenu grâce à leur épargne Il a donc un nveau de consommaton ncompressble, au-dessous duquel on ne peut descendre celu qu correspond à la satsfacton des besons élémentares, et qu est ndépendant du revenu on l appelle la consommaton autonome De manère plus générale, on pourrat écrre cette famlle de foncton de consommaton globale de la manère suvante : C = cy + C avec c et C deu réels postfs c représente la propenson margnale à consommer le revenu et C la consommaton ncompressble

3 C C : C=,8 Y + 5 C = 5 c =,8 C = C Fg2 Foncton de consommaton Y 3 Cas partculers Drote parallèle à l ae des abscsses : une drote parallèle à l'ae des abscsses a une équaton de la forme = b où b est un nombre qu mesure la hauteur algébrque postve ou négatve de la drote par rapport à l'ae des abscsses On dt parfos qu'une telle drote est horzontale Tous les ponts d'une telle drote ont la même ordonnée : c'est b Sur la fgure 3, les drotes d et d2 ont pour équatons respectves = 3 et = -2 La pente d'une drote horzontale parallèle à l'ae des abscsses est nulle : a = une telle drote entre dans le cadre des équatons de la forme = a + b Interprétaton : Quelle est la sgnfcaton d une telle relaton = b? Elle ndque smplement que est ndépendant de : quand vare d une unté, ne vare pas a = mas reste égale à b Eemples : - La consommaton ncompressble de l eemple précédent, ndépendante du revenu Y, peut être représentée graphquement par la drote horzontale d équaton C = C dans le repère Y, C fgure 2 - Tpquement, l nvestssement I dépend du tau d ntérêt réel r : plus le tau d ntérêt réel est élevé, plus le coût de l nvestssement est élevé et mons on nvestt Mas on peut également penser que, pour une part, l nvestssement est ndépendant du tau d ntérêt Comment tradure en langage mathématque et le plus smplement cette relaton entre I et r? S l on écrt : I = α r + I, avec α < et I un réel postf, que l on peut représenter graphquement dans le repère r, I par une drote décrossante de pente α et d ordonnée à l orgne I, on tradut ben la relaton décrte précédemment S r augmente de, I vare de α, c est-à-dre dmnue pusque α est supposé négatf Mas la foncton d nvestssement chose montre ben également qu une part de

4 l nvestssement est détermnée ndépendamment du tau d ntérêt pusque quand r = l nvestssement est égal à I et cette part ne vare pas quand r vare, c est ce que l on appelle l nvestssement autonome qu est représenté graphquement par la drote horzontale d équaton I= I dans le repère r, I fgure 3 I d = 3 I I = I a = d2 _ = -2 I = α r + I a = α r Foncton d nvestssement Fg3 Drotes horzontales Drote parallèle à l ae des ordonnées : une drote parallèle à l'ae des ordonnées possède une équaton de la forme = k où k est un nombre qu mesure l'écart algébrque de la drote par rapport à l'ae des ordonnées On dt parfos qu'une telle drote est vertcale Tous les ponts d'une telle drote ont la même abscsse : c'est k Sur le dessn, les drotes d3 et d4 ont pour équatons respectves = -2 et = 3 Une drote vertcale parallèle à l'ae des ordonnées n'a pas de pente au sens propre Son équaton de tpe = k n'est pas de la forme = a + b : c'est un cas spécal, on peut parler de pente nfne! Interprétaton : Quelle est la sgnfcaton d une telle relaton = k? Elle ndque qu une varaton untare de condut à une varaton nfnment grande de Sur la fgure 4, on vot ben que ce cas correspond au cas lmte d une drote très pentue d5, c est-à-dre d une relaton où est très sensble au varatons de Eemple : Tpquement, les agents ont le cho entre conserver leur épargne sous forme lqude conserver de la monnae ou la placer sous forme de ttres Selon Kenes, cet arbtrage, et donc la quantté de monnae et de ttres que les agents vont demander, dépend du tau d ntérêt nomnal en ce qu l détermne le rendement des ttres la monnae quant à elle a un rendement nul Son analse est la suvante : s le tau d ntérêt est élevé, un grand nombre d agents antcpent qu l a de grande chance de basser deman et qu ls ont donc ntérêt à acheter des ttres aujourd hu, pusque les ttres éms deman auront un rendement plus fable S au contrare, le tau d ntérêt est fable, la plupart des agents antcpent qu l rsque d augmenter, et donc que les ttres éms deman à ce tau seront meu rémunérés, ls ont donc ntérêt à attendre deman pour acheter des ttres et conserver leur épargne sous forme lqude, c est-à-dre demander de la monnae Donc plus le tau d ntérêt est fable, plus les agents seront nombreu à demander de la monnae plutôt que des ttres u nveau agrégé, la demande de monnae notée L est donc une foncton décrossante du tau d ntérêt nomnal Mantenant consdérons une stuaton dans laquelle le tau d ntérêt est très fable, s fable que personne n antcpe qu l peut

5 encore basser Tout le monde antcpant que ne pourra être que plus élevé deman, donc que les ttres éms deman auront un rendement plus élevé que ceu éms aujourd hu, personne ne voudra acheter de ttres aujourd hu et tout le monde voudra conserver son épargne sous forme monétare : la demande de monnae devent nfne L économe est alors dans ce que Kenes appelle «la trappe à lqudté», toute épargne supplémentare sera thésaursée par les agents Comment représenter graphquement cette analse de la demande de monnae pour motf de spéculaton? On a une relaton décrossante entre la demande de monnae et le tau d ntérêt pour > mn et en dessous de mn plus personne ne veut détenr de ttres, quel que sot son nveau d épargne, la demande de monnae devent nfne, on peut alors la représenter par une drote vertcale d équaton = cf fgure 4 mn d3 d4 d5 L L=L = - 2 = 3 Fg4 Drotes vertcales mn Demande de monnae 4 Pente des fonctons non lnéares et dérvée Nous venons de vor que la pente d une drote, en tant que mesure d un effet margnal, état un concept clé pour les fonctons lnéares en théore économque Cependant, la grande majorté des fonctons qu apparassent dans les applcatons ne sont pas lnéares Comment mesure-t-on alors les varatons pour ces fonctons non lnéares? Consdérons l étude de la foncton non lnéare = f et supposons que nous soons au pont, f sur le graphe de f Nous voulons mesurer le tau de varaton de f ou l nclnason du graphe de f lorsque = Une soluton naturelle de ce problème consste à tracer la tangente au graphe de f en, comme le montre la fgure 5 Dans la mesure où la tangente est une bonne appromaton de f au vosnage de, f Sa pente, devrat être une bonne mesure de la pente de la foncton f en Remarquons que pour des fonctons non lnéares, la pente de la tangente vare d un pont à l autre cf fgure 5

6 C f C C = f Fg5 Pente et dérvée Mas au fat, c'est quo une tangente? La tangente à une courbe en un pont est une drote Par défnton, c est la drote "lmte" prse par les drotes lorsque le pont se rapproche ndéfnment du pont tout en restant sur ladte courbe f = f +h 3 +h 2 = +h Fgure 6 Lorsque le pont se rapproche du pont, la drote se rapproche à jamas de la tangente à la courbe en Donc la pente de la drote tend vers la pente de notre tangente Or le coeffcent drecteur ou pente de la drote est égale à : f f = Donc, la pente de la tangente à la courbe en peut être vue comme étant la lmte du f f quotent lorsque tend vers

7 Ecrt autrement : Pente de la tangente f f = lm Cette pente est auss appelée nombre dérvé de la foncton f en Il est noté f' Quand l este, on dt que la foncton f est dérvable en Défnton : Dre que la foncton f est dérvable en sgnfe que la lmte lorsque tend f f vers du quotent este et qu'elle est fne Lorsque c'est le cas, elle est appelée nombre dérvé de la foncton f en et est notée f' utrement écrt : f ' = lm f f ou f ' = lm h f + h h f 2 La dérvée d une foncton f en un pont n est donc ren d autre que la pente de la tangente au graphe de f au pont, f, c est-à-dre la varaton de f rapportée à la varaton de, f sot le rapport, pour une varaton nfntésmale de f + f Etant donnée que, par défnton, f ' = lm, on en dédut que pour f + f pett : f ' 3, où sgnfe «est une bonne appromaton de» ou «est proche de» S on pose que =, alors on a : f + f f ' ; ce qu sgnfe que la dérvée de f en est une bonne appromaton de la varaton margnale de f en Eemple : consdérons la foncton de producton F N = N Supposons que la frme 2 utlse untés de traval N, de sorte que sa producton sot de 5 untés La dérvée de la / 2 foncton de producton F est donnée par la foncton : F N= N, et au pont N = elle 4 2 est égale à F ' = / = =, 25 C est une bonne mesure de la producton 4 4 addtonnelle qu peut être obtenue en emploant une unté supplémentare de traval, c est la productvté margnale du traval L augmentaton eacte de la producton est : F F =,2494, qu est à peu près égale à,25 Même s ce n est pas eactement la varaton de Y = FN due à une augmentaton d une unté de N, les économstes consdèrent quand même F' N comme la varaton margnale de F Il est souvent en effet plus facle de travaller avec le seul terme F' qu avec la dfférence F + F Il est en effet courant d avor des nformatons sur le sens de la relaton entre deu varables, sur la pente de la foncton, sans connaître la foncton elle-même

8 Qu en est-l s la varaton de n est pas d une unté Dans ce cas, d après 3 on a : = f + f f ' f + f + f ', où nous écrvons pour la varaton eacte de f lorsque vare de Cette relaton permet d appromer f, pour proche de quand f et f sont connus ou facles à calculer En effet, eamnons la fgure 7 La tangente à la courbe de f au pont passe par les ponts et C de coordonnées respectves, f et, C, et par défnton sa pente est égale au nombre dérvé f L équaton de la tangente C est donc donnée, d après la défnton de la pente d une drote, par : C f C f f ' = f ' = C = f + f ' + Le pont, qu lu est sur la courbe représentatve de f, a pour ordonnée : = f + Quand, C se rapproche de et C, on en dédut que pour une pette varaton de, C, sot f + f + f ' f + f f ', ou encore : f f f ' ' On vot ben graphquement que la qualté de cette appromaton dépend de la courbure de f, elle sera melleure s la courbure de f au vosnage de est fable D autre part, elle vaut pour une pette varaton de, mas devent de mons en mons bonne quand augmente Il n a que pour les fonctons lnéares que l appromaton est parfate pusqu alors la tangente et la courbe représentatve de la foncton sont confondues f + f f + C Tangente d = f Graphe de f d = f, pour pett f + Fgure 7 ppromaton lnéare d une foncton f De manère générale on écrt d et d les varatons le long de la tangente C, et l epresson : d = f d ou df = f d est appelée la dfférentelle de f au pont ' ' 5 Fonctons à pluseurs varables Consdérons une foncton f à pluseurs varables qu décrt l effet de pluseurs varables,, n sur la varable

9 Dérvées partelles Nous restregnons dans un premer temps l analse à l mpact des varatons d une seule des varables sur, les autres étant fées Pusque nous n envsageons pas la varaton totale de f mas smplement une varaton partelle portant sur une seule varable, la dérvée correspondante s appelle la dérvée partelle premère de f par rapport à Elle est notée ' avec la lettre d rond au leu de d d drot On utlse également la notaton f Rappelons que la dérvée d une foncton à une seule varable f en un pont donné s écrt : df d f + h f = lm h h La dérvée partelle d une foncton de pluseurs varables f,, n par rapport à au pont =,, est défne de manère smlare n Défnton : Sot une foncton f : R n R Pour chaque varable et en tout pont =,, appartenant au domane de défnton de f, on a : df d n f,, + h,, n f,, n,, n = lm s cette lmte este h h ns, seule le -ème varable change, les autres varables sont nchangées et tratées comme des constantes Interprétaton économque : étant donnée la foncton = f à une varable, sa foncton dérvée premère f mesure l effet d une varaton nfntésmale de sur La même nterprétaton reste valable pour les fonctons à pluseurs varables Productvtés margnales : Par eemple, sot la foncton de producton Y = F K, N, relant le volume de la producton Y au quanttés de captal et de traval utlsées Dans la cas d une entreprse utlsant K untés de captal et N untés de traval pour produre Y = F K, N untés d output, la dérvée partelle de F par rapport à K mesure le tau de varaton de la quantté produte lorsque la quantté de captal K utlsée est modfée d une unté, en supposant nchangée la quantté de traval N utlsée, fée à N, c est pourquo elle est appelée productvté margnale du captal De la même manère on défnt la productvté margnale du traval comme la varaton de la quantté produte consécutve à la modfcaton de la quantté de traval utlsée d une unté, en mantenant fée à K la quantté de captal, elle est donnée par la dérvée partelle de la foncton de producton par rapport à N : F N K, N Dfférentelle totale Intéressons-nous c au comportement d une foncton de deu varables f, au vosnage de, S nous fons =, et s nous modfons en +, alors : f = f +, f,, S mantenant est fé égal à et que vare de à + nous obtenons :

10 f = f, + f,, Quelles sont à présent les conséquences d une modfcaton smultanées des deu varables et Dans la mesure où une varaton de la foncton ne peut provenr que des effets lés au varatons de chacune des varables, on a : f = f +, + f,, +, u vosnage de,, on utlse les notatons suvantes : d =, d =, et df =, d +, d Cette epresson est appelée la dfférentelle totale de f au pont, Eemple : Sot Y le revenu d équlbre de l économe, l dépend des dépenses publques et de la masse monétare selon la relaton : Y = 3G + 2M Quel est l mpact sur le revenu d une varaton des dépenses publques de G = et de la masse monétare de M = 5? Quel est l effet d une varaton untare de G sur le revenu d équlbre Y? Par défnton, cette quantté est donnée par la dérvée partelle de Y par rapport à G, sot = 3 S la G varaton des dépenses est de G =, alors le revenu d équlbre vare de Y = G = 3 G = 3 = 3 G De même, l mpact d une varaton untare de la masse monétare est donnée par la dérvée partelle de Y par rapport à M, sot = 2 S la varaton de la masse monétare est de M M alors le revenu d équlbre vare de Y = M = 2 M = 2 5 = G S les dépenses publques et la masse monétare varent smultanément, la varaton du revenu d équlbre est donnée par la dfférentelle totale : dy = G, M dg + G, M dm = 3dG + 2dG = 3 = 4 G M