Chapitre 11 Espérance et variance d une variable aléatoire continue

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1 Chapitre Espérance et variance d une variable aléatoire continue

2 Espérance d une variable continue Rappel : Dans le cas d une variable discrète, l espérance est définie par n E(X ) = X (ω i )P(ω i ) i= Ce concept peut être étendu au cas de variables continues Definition Soit X une vabiable aléatoire continue de densité f. L espérance de X est alors définie par l intégrale Remarque E(X ) existe si µ = E(X ) = xf (x)dx x f (x)dx < +

3 Variance d une variable continue En utilisant le fait que, Théorème Si X est une v.a. continue et φ : R R, alors si cette intégrale existe E(φ(X )) = φ(x)f (x)dx on a ensuite comme dans le cas discrêt : Definition σ = Var(X ) = E ( (X µ) ) = E(X ) [E(X )]

4 Le cas de la distribution uniforme Si X U(a, b) alors : E(X ) = b xf (x)dx = x a b a dx = [ x b a = b a (b a) = a + b le centre de [a,b] E ( X ) = b a b Var(X ) = a + ab + b 3 a x dx = b3 a 3 3(b a) = b + ab + a 3 (a + b) 4 = 4(a + ab + b ) 3(a + ab + b ) = a ab + b (b a) = ] b a

5 Le cas de la distribution normale Si X N (µ, σ) E(X ) = πσ En notant y x µ, on obtient E(X ) = πσ Or, par définition de la densité xe (x µ) σ dx ye y σ dy + µ πσ πσ e y e y σ dy σ dy =

6 Par ailleurs, ye y σ étant une fonction impaire : Ainsi, ye y σ dy = 0 Théorème Si X N (µ, σ), alors E(X ) = µ

7 Afin de calculer la variance d une distribution normale, il est utile d utiliser la fonction génératrice des moments. Definition La fonction génératrice des moments d une variable aléatoire X s écrit M X (t) = E(e tx ) En posant t = 0, elle nous permet de générer tout les moments de la variable X : M X (t) = E ( Xe tx ) M X (0) = E(X ) M X (t) = E ( X e ) tx M X (0) = E(X )... M (n) X (0) = E(X n )

8 Dans le cas de la distribution normale : = M X (t) = e tx (x µ) e σ dx = πσ e tx f X (x)dx = πσ Or, (x µ) σ + tx = σ [(x µ) σ tx σ [ x (µ + σ t)x + µ ] = σ [ [x (µ+σ t)] σ ] = e tx f X (x)dx (x µ) e σ +tx dx ] x (µ + σ t)x + (µ + σ t) (µ + σ t) + µ = ( ) + σ4 t +µσ t t)] = [x (µ+σ + µt + σ t σ σ

9 Ainsi, M X (t) = e µt+ σ t Or, Donc x (µ+σ e [ σ πσ Et M X (t) = e µt+ σ t t )] x (µ+σ e [ σ = πσ x (µ+σ e [ σ πσ t )] dx est la densité de N (µ + σ t, σ). t )] Alors M X (t) = eµt+ σ t (µ + σ t). On retrouve donc E(X ) = M X (0) = µ Par ailleurs, M X σ t (t) = eµt+ [(µ + σ t) + σ ] Donc E(X ) = M X (0) = µ + σ Ainsi Var(X ) = E(X ) [E(X )] = σ

10 Donc la signification des paramètre de la loi N (µ, σ) est la suivante : µ est la moyenne de X σ est l écart-type de X Definition Une variable X N (0, ) est appelée variable normale (ou gaussienne) centrée-réduite (en anglais standard normal ) Dans ce cas, f (x) = π e x. Et la fonction de distribution s écrit : Φ(x) = x π e y dy

11 On ne peut pas calculer cette intégrale explicitement mais on peut le faire numériquement avec une précision arbitraire. Cette fonction Φ(x) est implémentée dans les routines standards des logiciels mathématiques (Mathlab, VBA,...). En ce sens, elle n est pas plus compliquée que sin(x)

12 Cette distribution est primordiale car elle permet de retrouver n importe quelle distribution normale Théorème Si X N (µ, σ) alors Y X µ σ N (0, ) Démonstration : F Y (x) = P(Y x) = P( X µ σ x) = P(X σx + µ) = F X (σx + µ) f Y (x) = F Y (x) = σf X (σx + µ) = σf x(σx + µ) ((σx+u) µ) = σ e σ = e x πσ π Y N (0, )

13 Corollaire La fonction de distribution de N (µ, σ) peut être exprimée de la manière suivante ( ) x µ F (µ,σ) (x) = Φ σ Par conséquent, il suffit de connaître (savoir calculer) la fonction de distribution de N (0, ) pour pouvoir calculer F µ,σ (x) µ, σ. La relation correspondante pour les densités est : ( ) x µ f (µ,σ) = σ f (0,) σ

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