La chaînette. 1 Le cosinus hyperbolique. Éléments de géométrie. Arnaud Bodin, avril 2012

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1 Éléments de géométrie Arnud Bodin, vril 202 L chînette L chînette est le nom que porte l courbe obtenue en tennt une corde (ou un collier, un fil, ) pr deux extrémités Sns plus trder voici l éqution d une chînette : ( x y(x) = ch ) Ici ( ch désigne ) le cosinus hyperbolique défini à prtir de l fonction exponentielle : y(x) = e x + e x, nous y reviendrons 2 Le prmètre dépend de l chînette : on peut écrter plus ou moins les mins Et même si l on grde les mins fixes, on peut prendre des cordes de différentes longueurs C est donc une courbe que vous voyez tous les jours : l chîne qui pend à votre cou ou le fil électrique entre deux pylônes Mis on le retrouve dns des endroits plus surprennt : si vous souhitez fire une rche qui s ppuie sur deux piles lors l forme l plus stble est une chînette renversée Gudi beucoup utilisé cette forme dns les bâtiments qu il construit Sur un bteu, si une voile rectngulire est mintenue pr deux mts horizontux et que le vent souffle perpendiculirement lors le profil de l voile est une chînette [[[dessin]]] Pour finir vous pouvez voir des chînettes vec des bulles de svon : trempez deux cercles métlliques prllèles dns de l eu svonneuse Il en sort une surfce de révolution dont le profil est une chînette Stop! Plce ux mths : nous llons expliquer comment clculer l éqution d une chînette Le cosinus hyperbolique 2 Dérivée des physiciens, dérivée des mthémticiens 3 3 Éqution de l chînette 4 4 Longueur d une chînette 9 5 Clcul du prmètre 0 6 Clcul de l tension 0 7 Exercices Le cosinus hyperbolique

2 Définition Le cosinus hyperbolique et le sinus hyperbolique sont l prtie pire et impire de l exponentielle ch x = ex + e x 2 Voici quelque propriétés dont nous urons besoin : Proposition ch 2 x sh 2 x =, pour tout x R ch x = sh x et sh x = ch x, sh x = ex e x 2 Remrque : le nom cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique ne sont ps un hsrd : souvenez-vous des formules d Euler pour le cosinus et sinus clssique (dits ussi circulire ) : cos x = eix + e ix, sin x = eix e ix 2 2i L nlogie vec l définition de ch x et sh x justifie les termes cosinus et sinus Reste à justifier le terme hyperbolique Si nous dessinons une courbe prmétrées pr (x(t) = cos t, y(t) = sin t) lors x(t) 2 + y(t) 2 = cos 2 t + sin 2 t = Donc nous vons ffire à un cercle (d où le terme circulire ) Pr contre si on dessine une courbe prmétrée pr (x(t) = ch t, y(t) = sh(t)) Alors x(t) 2 y(t) 2 = ch 2 t sh 2 t = C est l éqution d une brnche d hyperbole! 2 Fonctions réciproques Proposition 2 L fonction x ch x est une bijection de [0, + [ dns [, + [ S bijection réciproque est notée Argch x L fonction x sh x est une bijection de R dns R S bijection réciproque est notée Argsh x sin t M t cos t 2 sh t M t ch t

3 ch x (y = x) sh x (y = x Argsh x Argch x Pour résoudre une éqution différentielle nous urons besoin de l dérivée de Argsh x Proposition 3 Les fonctions x Argch x et x Argsh x sont dérivbles et Argch x = x 2, Argsh x = x Expression logrithmique En fit les fonctions hyperboliques inverses peuvent s exprimer à l ide des fonctions usuelles : Proposition 4 ( ) Argch x = ln x + x 2, pour x > ( ) Argsh x = ln x + x 2 +, pour x R 4 Les preuves À fire 2 Dérivée des physiciens, dérivée des mthémticiens Deux nottions pour l dérivée s ffrontent : celle du mthémticien f (x) et celle du physicien df Comprons-les L dérivée de f en x est pr définition l limite (si elle existe) du tux d ccroissement : f(x + h) f(x), x + h x 3

4 lorsque h tend vers 0 Notons h = et df = f(x + h) f(x) = f(x + ) f(x) lors le tux d ccroissement vut df et comme est un nombre ussi petit que l on veut (il est infinitésiml) on identifie ce quotient df vec l limite lorsque 0 L vntge de l nottion des physiciens est que cel peut correspondre à un risonnement physique On peut risonner sur des petits morceux (de longueur petite mis ps nulle) et en déduire une reltion vec des dérivées C est ce que nous ferons dns le prgrphe 33 Autre vntge de cette nottion, il est fcile de retenir l formule : df = dy df dy Il s git juste de «simplifier» le numérteur vec le dénominteur Cette opértion est justifiée cr il s git de l dérivée de l composée f ( y(x) ) qui est bien ( f ( y(x) )) = y (x) f ( y(x) ) 3 Éqution de l chînette Soit (O, i, j) un repère orthonormé direct, j est un vecteur verticl dirigé vers le hut (c està-dire opposé u chmp de pesnteur) 3 Découpge infinitésiml de l chînette Nous découpons l chînette en petits morceux, chque morceu étnt compris entre les bscisses x et x + Ici désigne donc un réel ussi petit que l on veut Nous noterons dl l longueur de ce petit morceu Trois forces s ppliquent à notre mini-bout de chînette : Le poids P C est une force verticle, proportionnelle à l msse du morceu Si µ est l msse linéique (c est-à-dire l msse que ferit un mètre de chîne, exprimée en kg/m), l msse de notre petit bout est µ dl Si g dénote l constnte de grvittion lors le poids est P = P j = µ dl g j L tension à guche T(x) L tension à guche, s pplique u point dont l bscisse est x Pr un principe physique, les forces de tension de notre morceu à l équilibre sont des forces tngente à l chînette L tension à droite T(x+) L tension à droite s pplique u point d bscisse x+ Comme notre morceu est en équilibre elle s oppose à l tension à guche du morceu T(x) x T(x + ) dl P x + 4

5 suivnt compris entre x + et x + 2 L tension à droite de notre morceu est donc l opposée de l tension à guche du morceu suivnt, cette force est donc T(x + ) Une remrque : pour cette modélistion nous supposons que est le même pour tous les morceux de chîne Pr contre x vrie, mis ussi l longueur du morceux de chîne entre les bscisses x et x + devrit être plutôt notée dl(x) u lieu de dl Le poids d un morceux de chîne dépend donc ussi de x et devrit plutôt être noté P(x) 32 Principe fondmentl de l mécnique Le principe fondmentl de l mécnique nous dit que, à l équilibre, l somme des forces est nulle, donc : P + T(x) T(x + ) = 0 () Décomposons chque force de tension en un tension horizontle et une tension verticle : T(x) = Th (x) i T v (x) j L convention pour le choix des signes permet d voir des vleurs T h (x) et T v (x) positives Alors le principe fondmentl de l mécnique devient : P j T h (x) i T v (x) ( j T h (x + ) i T v (x + )) j T h (x) i T(x) T v (x) j Comme ( i, j) est une bse nous reformulons le principe fondmentl de l mécnique en deux équtions : { Th (x + ) T h (x) = 0 (2) T v (x + ) T v (x) P = 0 33 Tension horizontle L première éqution du système (2) nous permet de montrer que l tension horizontle est constnte Lemme L tension horizontle est indépendnte de x : T h (x) = T h 5

6 Démonstrtion En effet fixons x, nous svons T h (x + ) T h (x) = 0, donc le rpport T h (x + ) T h (x) x + x = 0 Ceci est vri quelque soit l élément infinitésiml Ce tux d ccroissement étnt toujours nul, l limite lorsque tend vers 0 est nulle Mis l limite est -pr définition- l dérivée T h (x) Biln : T h (x) = 0 L fonction T h(x) est donc une fonction constnte comme nous l vions nnoncé 34 Tension verticle et poids Nous noterons y(x) l éqution de l chînette Nous considérons que chque morceu infinitésiml de l chîne est rectiligne, nous pouvons lors ppliquer le théorème de Pythgore : dl 2 = 2 + dy 2 Cel conduit à : D où ( ) dl 2 = + dl = + ( ) dy 2 ( ) dy 2 Nous llons mintennt nous concentrer sur l deuxième éqution du principe fondmentl (2), le poids étnt P = µgdl : T v (x + ) T v (x) = µgdl dl y(x) dy Cel donne en divisnt pr : T v (x + ) T v (x) = µg dl = µg + ( ) dy 2 En terme de dérivée dy vut à l limite y (x) et Tv(x+) Tv(x) vut à l limite T v(x) Nous vons donc montré : T v(x) = µg + y (x) 2 (3) 6

7 35 Clcul de l éqution Théorème Une éqution de l chînette est où est une constnte qui vut = T h µg y(x) = ch ( x ), Démonstrtion Tout d bord nous lions l tension horizontle T h et l tension verticle T v en fonction de l ngle que forme l chînette vec l horizontle T dénote l norme de T En considérnt que le l portion infinitésimle forme un tringle nous obtenons : T h (x) i T(x) T v (x) j α(x) T h (x) = T(x) cos α(x), T v (x) = T(x) sin α(x) Ce qui conduit à T v (x) = T h (x) tn α(x) Mintennt, dns le tringle infinitésiml, nous vons ussi que tn α(x) = dy = y (x) Ce qui nous mène à l reltion : T v (x) = T h (x) y (x) Nous svons que l tension horizontle est constnte (lemme ), donc en dérivnt cette églité nous vons T v(x) = T h y (x) Avec l éqution (3) nous écrivons µg + y (x) 2 = T h y (x) C est une éqution différentielle du second d ordre : y (x) = µg T h + y (x) 2 (4) Soit l constnte = T h µg Posons z(x) = y (x) Cel nous conduit à une éqution différentielle du premier ordre z (x) = + z(x) 2 ou encore : z (x) + z(x) 2 = 7

8 Une primitive de z (x) +z(x) 2 est Argsh z(x), donc Argsh z(x) = x + α où α est une constnte En composnt des deux côtés pr le sinus hyperbolique : ( x ) y (x) = z(x) = sh + α Une primitive de sh x étnt ch x, il ne reste plus qu à intégrer : ( x ) y(x) = ch + α + β Si l on suppose que le point le plus bs de l chînette pour coordonnées (0, ) lors y(0) = et l on peut choisir α = 0 et β = 0 pour les deux constntes L éqution est lors y(x) = ch ( x ) (0, ) 36 Éqution prmétrique Proposition 5 Une éqution prmétrique de l chînette est : x(t) = ln t y(t) = ( t + ) 2 t Démonstrtion Nous connissons l éqution crtésienne y = ch ( x ), qui est équivlente à Argch ( y) = x ( Utilisons l forme logrithmique de l fonction Argch : Argch u = ln u + ) u 2 (pour u ) Nous obtenons : ln ( y + ) (y ) 2 = x Nous cherchons mintennt une prmétristion (x(t), y(t)) de l chînette, posons x(t) = ln(t) Alors l éqution précédente conduit à (près simplifiction des ln) : y(t) + (y(t) ) 2 = t, 8

9 ou encore (y(t) ce qui implique en élevnt u crré : ) 2 = t y(t) ( ) y(t) 2 ( ) y(t) 2 = t 2 + 2t y(t) d où y(t) = t+ 2t, et donc y(t) = ( t + t ) (x 0, y 0 ) 4 Longueur d une chînette Proposition 6 L longueur de l portion de l chînette de prmètre entre le point le plus bs (0, ) et le point d bscisse x 0 est : l = sh x 0 (0, ) l Démonstrtion Pr définition l longueur vut l = x0 0 + y (x) 2 Ainsi : x0 l = = = 0 x0 0 x0 0 + sh 2 x ch 2 x = sh x 0 ch x = [ sh x cr ch x = sh x cr + sh2 u = ch 2 u ] x0 0 9

10 5 Clcul du prmètre L chînette ne dépend que du seul prmètre Ce prmètre vut = T h µg et est fonction de l msse µ du fil pr unité de longueur, de l constnte de grvittion g et de l tension horizontle T h, qui elle dépend de l écrtement de deux points pr lesquels psse l chînette Ce qui fit qu il n est ps fcile de clculer insi Fixons deux points, pour simplifier nous supposerons qu ils sont à l même huteur (même ordonnées) Prenons une chînette de longueur 2l fixée (et connue!) Nous llons clculer le prmètre en fonction de l longueur 2l et de l flèche h L flèche est l huteur entre les deux points d ccroche et le point le plus bs de l chînette Proposition 7 Pour une chînette de longueur 2l et de flèche h lors = l2 h 2 2h Démonstrtion Soient (±x 0, y 0 ) les coordonnées des points d ccroche L éqution de l chînette étnt y = ch x, lors y 0 = ch x 0 qui vut ussi y 0 = + h Qunt à l longueur elle vut 2l = 2 sh ( x 0 ) Nous vons donc les équtions : { l = sh x 0 h = ch x 0 h (x 0, y 0 ) Nous obtenons donc : l 2 h 2 = 2 sh 2 x 0 ( ch x 0 ) 2 = 2 sh 2 x 0 2 ch 2 x ch x 0 ( = 2 + ch x ) 0 cr ch 2 u sh 2 u = = 2h Th T (x 0, y 0 ) Tv Ainsi = l2 h 2 2h 6 Clcul de l tension Proposition 8 Nous pouvons clculer l tension en un point (x 0, y 0 ) de l chînette On note h l flèche correspondnte et l l longueur entre le point le plus bs et (x 0, y 0 ) l h 0

11 L tension horizontle T h est constnte et vut : Le tension verticle est : L tension totle est : T = T h = µg = l2 h 2 2h µg L tension croît donc vec l huteur du point T v = T h ch x 0 = T h l T 2 h + T 2 v = T h ch x 0 = T h + h Démonstrtion L tension horizontle été clculée lors du lemme, pour l dernière églité on utilise l clcul de l longueur vu lors de l proposition 6 Pr l preuve du théorème : T v (x) = T h y (x) = T h sh x 0 = T h l Le vecteur tension est T(x) = T h (x) i T v (x) j, donc l norme T(x) = T(x) = Th 2 + T v 2 = T h + sh 2 x 0 = T h ch x 0 = T h +h L dernière églité est juste le fit que y 0 = + h = ch x 0 7 Exercices Exercice (Tension minimle) On se donne deux poteux distnts d une longueur 2x 0 fixée et d une huteur suffisnte Prmi toutes les chînettes pssnt pr les sommets de ces poteux, on cherche celle qui les forces de tensions minimles Nous svons que l tension totle (voir l proposition 8) vut T x () = µg ch x Pour une chînette donnée l tension est donc mximle u point d ccroche (en x = x 0 ) cr le cosinus hyperbolique est une fonction croissnte sur [0, + [ Pour un fixé l tension mximle est donc T x0 () Notre problème, x 0 étnt fixé, est de trouver le qui minimise T x0 () ( x 0, y 0 ) (x 0, y 0 ) Tx0

12 Considértions physiques : Que vut l tension si l chînette est rectiligne (le longueur de l chînette est celle de l écrtement)? Que vut l tension si l longueur de l chînette est infinie? 2 Montrer que l éqution ch t = t sh t est équivlente à l éqution (t )e 2t = t+ Montrer que, sur [0, + [, cette éqution une unique solution τ Une vleur pprochée de τ est τ =, Montrer que l tension T x0 () est minimle en = x 0 τ 4 Clculer l longueur correspondnte, insi que l flèche [[[corrigé dns les commentires du fichier source]]] Exercice 2 (Pont suspendu) Nous llons clculer que l courbe du cble d un pont suspendu est une prbole Soit le tblier d un pont de longueur L et de msse totle M Un gros cble est ccroché entre deux pylônes À ce cble sont ccrochés un grnd nombre de petits cbles de suspension verticux relint le gros cble u tblier Nous llons clculer l éqution y(x) du cble On s inspirer pour les premières questions des clculs sur l chînette Quelle sont les forces qui s ppliquent à une portion de cble dont l bscisse est entre x et x + Pylône Tblier Cble Cbles de supension 2 Écrire l éqution du principe fondmentl de l mécnique ppliqué à cette portion 3 Montrer que l tension horizontle est indépendnte de x 4 Montrer que l tension verticle vérifie l éqution différentielle : T v(x) = T h y (x) 5 Dns toutes l suite nous supposerons que l msse du cble est négligeble devnt celle du tblier Cel revient à supposer que le poids P(x) du cble est négligeble devnt l chrge C(x) du tblier Nous posons donc P(x) = 0 Montrer que le principe fondmentl de l mécnique s écrit lors : T h y (x) = M L g 6 Quelle est l éqution y(x) du cble? 7 Clculer une éqution du cble du Golden Bridge (Sn Frnsisco) Le tblier mesure 280 mètres de long, les pylônes ont une huteur de 60 mètres (u-dessus du tblier) et le cble descend jusqu u tblier (u milieu du pont) 2

13 [[[corrigé dns les commentires du fichier source]]] 3