Ch.2 : Continuité sur un intervalle

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1 T le ES - programme 1 mathématiques ch.1 cahier élève Page 1 sur Rappels 1 : Nombre dérivé Soit f une fonction définie sur I, et a un élément de I. Ch. : Continuité sur un intervalle Supposons que pour les valeurs de h de plus en plus proches de zéro, avec h, les nombres f (a + h) f (a) h deviennent de plus en plus proches d'un nombre fié l. Nous dirons alors que f est dérivable en a et que f est le nombre dérivé de f en a. Ce nombre dérivé est noté f ' (a). f (a + h) f (a) f ' (a) = lim. h h Questions-tests n 1 page 51 On pose =. Vérifiez que le tau d'accroissement de f entre a et a + h est égal à a + h. Déduisez-en que le nombre dérivé de f en a est égal à a. Construisez la courbe représentant la fonction f, puis la tangente à cette courbe au point d'abscisse 1. f (a + h) f (a) = (a + h) a ah + h = = a + h. h h h Lorsque h devient de plus en plus proche de, a + h devient de plus en plus proche de a. Donc le nombre dérivé de f en a est égal à a. En particulier, f ' (1) =. D'où le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 1 est égal à. Rappels : Dérivées des fonctions usuelles Fonction k (k constante réelle) n (n Z {}) 1 ( ) ( > ) Dérivée nn Questions-tests n page 51 Calculez f ' () dans chacun des cas suivants : a) = ; b) = ; c) = 3. a) f ' () = 1. b) f ' () =. c) f ' () = 3 4 = 3 4. Rappels 3 : Dérivée et sens de variation f est une fonction dérivable sur [a ; b]. Si f ' est strictement positive (respectivement strictement négative) sur l'intervalle ]a ; b[, alors f est strictement croissante (respectivement strictement décroissante) sur l'intervalle [a ; b]. Eemple : on pose, pour tout réel, =. Alors f ' () =, donc f ' () > si > et f ' () < si <. Donc la fonction f est strictement croissante sur [ ; +[ et strictement décroissante sur ] ; ]. Questions-tests n 3 page 51 Déterminez l'ensemble de définition et le sens de variation de la fonction f indiquée : a) f : b) f : +. a) f est définie sur IR. Pour tout IR, f ' () = 3. +

2 T le ES - programme 1 mathématiques ch.1 cahier élève Page sur f ' () + + b) f est définie sur IR. Pour tout IR, f ' () = f ' () + Questions-tests n 4 page 51 Déterminez l'ensemble de définition et le sens de variation de la fonction f indiquée : a) f : +. b) f : +. a) f est définie sur IR. Pour tout IR, f ' ()= + = ( + 1). 1 + f ' () + b) f est définie sur IR. Pour tout IR, f ' () = f ' () Questions-tests n 5 page 51 Déterminez l'ensemble de définition et le sens de variation de la fonction f indiquée : a) f : 3 3. b) f : a) f est définie sur IR. Pour tout IR, f ' () = 3 3 = 3( 1)( + 1) f ' () + + b) f est définie sur IR. f ' () = = 3( + 1). + f ' () + Questions-tests n 6 page 51 Déterminez l'ensemble de définition et le sens de variation de la fonction f indiquée : a) f :. b) f : 1. a) f est définie sur IR {} = IR*. Pour tout IR*, = 1, d où f ' () = 1 =.

3 T le ES - programme 1 mathématiques ch.1 cahier élève Page 3 sur + f ' () + + b) f est définie sur IR {} = IR*. Pour tout IR*, = 1 1, d où f ' () = 1 1 = 1. + f ' () Questions-tests n 7 page 51 Déterminez l'ensemble de définition et le sens de variation de la fonction f indiquée : a) f : b) f : a) f est définie sur IR {1}. Pour tout de IR {1}, f = u v avec u() = + 1 v() = 1. u' v v' u u' () = 1 D où, pour tout de IR {1}, f ' = v avec v' () = 1. 1( 1) 1( + 1) Soit, pour tout de IR {1} : f ' () = ( 1) = ( 1). 1 + f ' () b) f est définie sur IR { 1} Cette fonction est l'inverse de la précédente, d'où son tableau de variation : 1 + Questions-tests n 8 page 51 Déterminez l'ensemble de définition et le sens de variation de la fonction f indiquée : a) f : b) f : a) f est définie sur IR. Pour tout de IR, f = u v avec u() = 1 v() = + 1. u' v v' u u' () = 1 D où, pour tout de IR, f ' = v avec v' () =. Soit, pour tout de IR : f ' () = 1( + 1) ( 1) ( + 1) = ( + 1). Pour + + 1, on a : = 4( 1) 1 = 8 ; ce polynôme a deu racines : 8 = = 1 + et 1. ( 1) f ' ()

4 f ( 1 ) = f ( 1 + ) = b) f est définie sur IR {1}. T le ES - programme 1 mathématiques ch.1 cahier élève Page 4 sur 1 1 ( 1 ) + 1 = = ( 1 + ) + 1 = = 4 = ( 4 + ) ( 4 )( ) 4 + = ( 4 ) ( 4 + )( ) 4 + = = = = = 1 = 1 Cette fonction est l'inverse de la précédente, d'où son tableau de variation : f ( 1 ) = 4 = + = ; et f ( ) 1 + = 4 + = + = +. Questions-tests n 9 page 51 Déterminez l'ensemble de définition et le sens de variation de la fonction f indiquée : a) f : + b) f : 3. a) f est définie sur [, +[. 1 Pour tout de ] ; +[, f ' () = +. + f ' () + b) f est définie sur [, +[. Pour tout de ] ; +[, f ' () = 1 + f ' () Activité page 5 SANS LEVER LE CRAYON? Considérons les trois fonctions f, g et h définies sur [ ; ] par : = g() = 3, et donc f ' () = = si [, 1[ 1 si [1, ] si [, 1] h() = si [, 1]. A. Propriété des courbes représentatives 1) Précisez laquelle de ces courbes C 1, C, C 3 représente la fonction f, la fonction g, la fonction h... ) On constate que deu de ces courbes peuvent être tracées «sans lever le crayon» et qu'il n'en est pas de même pour la troisième. Précisez de quelles courbes et de quelles fonctions il s'agit. Les courbes représentatives de certaines fonctions peuvent être tracées sans lever le crayon. Il n'en est pas de même pour toutes les fonctions. A. Propriété des courbes représentatives

5 T le ES - programme 1 mathématiques ch.1 cahier élève Page 5 sur 1) f () = 4 ; g() = 1 et h() =. Donc C 1 est la courbe représentant la fonction f, C celle représentant g et C 3 celle représentant h. ) C 1 et C 3 peuvent être tracées «sans lever le crayon», courbes de f et h. B. Vers la propriété des valeurs intermédiaires Rappel f étant une fonction, «a est un antécédent de b» signifie que l'image de a par f est égale à b, c'est-à-dire f (a) = b. 1) Vérifiez graphiquement que : a) pour la fonction f, tout nombre de l'intervalle [ ; 4] admet un antécédent unique. b) pour la fonction h, tout nombre de l'intervalle [ ; 1[ admet deu antécédents. ) Pour la fonction g, epliquez pourquoi le nombre 3 n'admet aucun antécédent. 4 Pour certaines fonctions f définies sur [a ; b], il eiste des nombres de l'intervalle ]f (a) ; f (b)[ n'admettant aucun antécédent. B. Vers la propriété des valeurs intermédiaires 1) a) Toute parallèle à (O) d équation y = k avec k [ ; 4] coupe C f en un point et un seul. Donc tout nombre k de [ ; 4] admet, par f, un antécédent unique. b) Toute parallèle à (O) d équation y = k avec k [ ; 1[ coupe C h en deu points ; d où le résultat. ) La droite d équation y = 3 4 ne coupe pas la courbe C g ; donc 3 n admet pas d antécédent par g. 4 1 NOTION DE CONTINUITÉ : APPROCHE GRAPHIQUE f est une fonction définie sur un intervalle I. Lorsque la courbe de la fonction f se trace d'un trait continu, c'est-à-dire «sans lever le crayon», «sans sauts», on traduit cette idée intuitive en disant que la fonction f est continue sur l'intervalle I. Eemples : La fonction est continue sur [ ; +[. 1 La fonction 1 est continue sur ] ; [ et sur ] ; +[. Considérons la fonction f définie sur l'intervalle [ 1 ; 1] par : + 1 si [ 1, [ =. si [, 1] Sa courbe représentative est tracée ci-contre. Cette fonction n'est pas continue sur [ 1 ; 1]. Eercice n 1 page 6 Voici les courbes représentatives de deu fonctions f et g. Pour chacune de ces fonctions, dites si elle est continue sur l'intervalle [1 ; 4]. f : non ; g : oui. Eercice n 13 page 6 La fonction est-elle continue sur IR? Oui. Eercice n 14 page 6 Sur quels intervalles la fonction 1 est-elle continue? Sur tout intervalle inclus dans ], [ ], + [.

6 T le ES - programme 1 mathématiques ch.1 cahier élève Page 6 sur Eercice n 15 page 6 La fonction f est définie sur un intervalle I. Tracez la courbe représentative de f et dites si f est continue sur I. 1 Si [, [, = I = [ ; ]. Si [, ], =. Oui. Eercice n 16 page 6 La fonction f est définie sur un intervalle I. Tracez la courbe représentative de f et dites si f est continue sur I. Si [ 1, [, = 1. I = [ 1 ; 1] Si [, 1], = + 3. Non. Eercice n 18 page 6 La fonction f est définie sur un intervalle I. Tracez la courbe représentative de f et dites si f est continue sur I. Si [, 1[, = + 1. I = [ ; 4] Si [1, 4], =. Non. Eercice n 19 page 6 La fonction f est définie sur un intervalle I. Tracez la courbe représentative de f et dites si f est continue sur I. Si [, 1[, = 1. I = [ ; ] Si [1, ], = + 1.

7 T le ES - programme 1 mathématiques ch.1 cahier élève Page 7 sur Oui. Eercice n page 6 La fonction f est définie sur un intervalle I. Tracez la courbe représentative de f et dites si f est continue sur I. 5 Si [1, 4[, = I = [1 ; 5]. Si [4, 5], = 3. Non. Eercice n 1 page 6 La fonction f est définie sur un intervalle I. Tracez la courbe représentative de f et dites si f est continue sur I. Si [, 1[, = 3. I = [ ; 3] Si [1, ], = 3. Si ], 3], = 4. Non. Eercice n page 6 Tarifs postau Le tableau suivant définit la fonction qui associe au poids d'une lettre, en grammes, son tarif d'affranchissement en euros pour un envoi prioritaire en France métropolitaine d'une lettre de poids inférieur à 5 g (source : La Poste 11). 1) Représentez graphiquement cette fonction. ) Est-elle continue sur l'intervalle [ ; 5]? Poids (en g) jusqu'à : Tarif d'affranchissement (en ),6 5 1, 1 1,45 5,4

8 1) T le ES - programme 1 mathématiques ch.1 cahier élève Page 8 sur ) Non. PROPRIÉTÉ DES VALEURS INTERMÉDIAIRES.1 Quelques eemples f est continue et strictement croissante sur [ ; 3]. Alors f prend une fois et une fois seulement toute valeur c comprise entre f () et f (3), c'est-à-dire entre 1 et 5. En effet, la droite d'équation y = c coupe C f, en un seul point. g n'est pas continue sur [ ; 3] ; ici g ne prend pas toute valeur comprise entre g() et g(3), c'est-à-dire entre et ; par eemple, la valeur 1,7 n'est pas prise par g, car la droite d'équation y = 1,7 ne rencontre pas C f.. Propriété des valeurs intermédiaires : cas d une fonction strictement monotone Nous admettrons le théorème suivant, illustré graphiquement ci-dessous. THÉORÈME 1 Si f est continue et strictement monotone sur [a ; b], f prend une fois et une seule toute valeur comprise entre f (a) et f (b). Ceci signifie que, pour tout nombre c compris entre f (a) et f (b), il eiste un unique nombre de [a ; b] tel que f () = c. f est continue et strictement croissante sur [a ; b]. f est continue et strictement décroissante sur [a ; b]. Remarque : Résolution d'équation Le théorème ci-dessus peut être énoncé sous la forme suivante : THÉORÈME 1 bis Si f est continue et strictement monotone sur [a ; b], alors, pour tout réel k compris entre f (a) et f (b), l'équation = k admet une solution unique sur [a ; b]. En effet, notons k un nombre compris entre f (a) et f (b) ; les propriétés suivantes sont équivalentes : Il eiste un unique réel de l'intervalle [a ; b] tel que f (a) = k. L'équation = k admet comme unique solution sur [a ; b].

9 T le ES - programme 1 mathématiques ch.1 cahier élève Page 9 sur.3 Cas d une fonction continue, mais non strictement monotone Si la fonction continue f n'est pas strictement monotone, toute valeur c comprise entre f (a) et f (b) est prise par f, mais pas forcément une seule fois. Ceci est illustré par la figure ci-contre : dans ce cas, la valeur c est prise trois fois. Ce résultat est également connu sous le nom de propriété des valeurs intermédiaires..4 Tableau de variation : une convention importante On conviendra que, dans un tableau de variation, les flèches de variation traduisent la continuité et la stricte monotonie de la fonction sur l'intervalle considéré. Eemple : Une fonction f définie sur [ 3 ; 3] admet le tableau de variation suivant : D'après la convention précédente, la fonction f est continue et strictement décroissante sur [ 3 ; 1]. Le nombre est compris entre f ( 3) et f (1). Donc, d'après la propriété des valeurs intermédiaires, il eiste un unique réel de l'intervalle ] 3 ; 1[ tel que f () =. De même, f est continue et strictement croissante sur [1 ; 3]. Le nombre 4,5 est compris entre 5 et 4 ; donc, d'après la propriété des valeurs intermédiaires, il eiste un unique nombre de l'intervalle ]1 ; 3[ tel que f () = 4,5. 3 RÉSOLUTION DE L ÉQUATION = 3.1 Un eemple Considérons une fonction f définie sur l'intervalle [1 ; ] et admettant le tableau de variation ci-contre. D'après la convention du paragraphe.4, f est continue et strictement croissante sur [1 ; ]. f (1) = et f () = 3. Or le nombre appartient à l'intervalle ] ; 3[. Donc d'après la propriété des valeurs intermédiaires, il eiste un unique réel de l'intervalle ]1 ; [ tel que f () =. 3. Une propriété Dire que le nombre est compris entre f (a) et f (b) équivaut à dire que f (a) et f (b) sont de signes contraires. On a donc : THÉORÈME Si f est continue et strictement monotone sur [a ; b] et si f (a) et f (b) sont de signes contraires, alors il eiste un unique réel de l'intervalle ]a ; b[ tel que f () =. Eercice n 7 page 63 La figure ci-contre représente une fonction f définie sur l'intervalle I = [ ; ]. 1) Epliquez pourquoi on peut appliquer à f la propriété des valeurs intermédiaires sur I. ) Donnez alors graphiquement un encadrement de vérifiant f () = 1. 1) f est continue sur I. Elle est de plus strictement croissante sur I. ) < <,5.

10 T le ES - programme 1 mathématiques ch.1 cahier élève Page 1 sur Eercice n 9 page 63 Le tableau de variation ci-contre est celui d'une fonction f définie sur [ 1 ; 4] : Epliquez pourquoi il eiste un unique réel de l'intervalle [ 1 ; 4] tel que f () =. D après le tableau de variation, f est continue et strictement croissante sur [ 1 ; 4]. De plus f ( 1) < < f (4). Donc, d après le théorème des valeurs intermédiaires, il eiste un unique réel de [ 1 ; 4] tel que f () =. Eercice n 3 page 63 f est une fonction continue et strictement croissante sur [ 3 ; 4]. On sait de plus que f ( 3) = 1 et f (4) = 5. Donnez le nombre de solutions dans [ 3 ; 4] de l'équation = 1. f est continue et strictement croissante sur [ 3 ; 4]. De plus f ( 3) < 1 < f (4). Donc, d après la propriété des valeurs intermédiaires, il eiste un unique réel de [ 3 ; 4] tel que f () = 1. L équation = 1 possède une seule solution dans [ 3 ; 4]. Eercice n 31 page 63 La fonction f, définie sur [ ; 3] admet le tableau de variation suivant : 1) La fonction f est-elle strictement monotone sur [ ; 3]? ) En appliquant à deu reprises la propriété des valeurs intermédiaires à f, montrez que l'équation = possède dans l'intervalle ] ; 3[ deu solutions. 1) f est strictement décroissante sur [ ; 1[ et strictement croissante sur [1 ; 3], donc non, f n est pas strictement monotone sur [ ; 3]. ) f est continue et strictement décroissante sur [ ; 1], avec f (1) < < f ( ). Donc, d après le théorème des valeurs intermédiaires, l équation = possède une solution et une seule dans [ ; 1]. De même f est continue et strictement décroissante sur [1 ; 3], avec f (1) < < f (3). Donc, d après le théorème des valeurs intermédiaires, l équation = possède une solution et une seule dans [1 ; 3]. D où, finalement, l'équation = possède deu solutions dans ] ; 3[. 4 CAS PARTICULIER DES FONCTIONS DÉRIVABLES 4.1 Dérivation et continuité Considérons une fonction f, et notons C f sa courbe représentative. On conçoit graphiquement que, si la courbe C f, admet une tangente en chacun de ses points, cette courbe peut être tracée de manière continue. Nous admettrons le théorème suivant : THÉORÈME 3 Toute fonction dérivable sur I est continue sur I. Remarque : La réciproque de ce théorème est fausse, car une fonction peut être continue, mais non dérivable. Il en est ainsi, par eemple, de la fonction continue sur [ 1; 1] dont la courbe représentative est indiquée ci-contre : la courbe n'admet pas de tangente au point O. 4. Continuité des fonctions usuelles THÉORÈME 4 Les polynômes et les fonctions rationnelles sont continus sur leur ensemble de définition. La fonction est continue sur [ ; +[. Démonstration : On sait que les polynômes et les fonctions rationnelles sont dérivables sur leur ensemble de définition. Ces fonctions sont donc continues d'après le théorème 3. est dérivable sur ] ; +[ ; cette fonction est donc continue sur ]; +[. Elle est aussi continue en d'après l'allure de sa courbe représentative.

11 T le ES - programme 1 mathématiques ch.1 cahier élève Page 11 sur 4.3 Dérivée de signe constant sur un intervalle On sait que si f ' > sur ]a ; b[, alors f est strictement croissante sur [a ; b]. D'où, d'après la propriété des valeurs intermédiaires, f prend une fois et une seule toute valeur de l'intervalle [f (a) ; f (b)]. On a un résultat analogue si f ' < sur ]a ; b[. THÉORÈME 5 Si f ' > sur ]a ; b[ ou si f ' < sur ]a ; b[, alors : f prend une fois et une seule toute valeur comprise entre f (a) et f (b). pour tout réel k compris entre f (a) et f (b), l'équation = k admet une solution unique sur [a ; b]. Eemple : On pose = f ' () = 3 + ; donc, pour tout réel, f ' () >. Or f ( 1) =, f () = 1 et f (1) = 4. D'après la propriété des valeurs intermédiaires appliquée sur l'intervalle [ ; 1], on peut affirmer que, pour tout réel k de l'intervalle [1 ; 4], l'équation = k admet une solution unique sur [ ; 1]. Appliquons cette propriété sur [ 1 ; ]. f () et f ( 1) sont de signes contraires, donc l'équation = admet une solution unique sur l'intervalle ] ; 1[. Eercice n 41 page 65 La fonction f est définie sur I = [3 ; 4] par : = On se propose de montrer que l'équation = possède une solution unique dans I. 1) Calculez f ' (). ) Étudiez le signe de f ' () sur I. 3) Calculez f (3) et f (4). 4) Montrez que l'équation = possède une solution unique dans I. 5) Comment savoir si la solution appartient à [3 ; 3,5] ou bien à ]3,5 ; 4]? 1) Pour tout [3 ; 4], f ' () = 3 1. ) Pour tout [3 ; 4], f ' () = 3( 4) = 3( )( + ) f ' () + 3) f (3) = = 8, et, f (4) = = 17. 4) Pour tout [3 ; 4], f ' () > avec f (3) et f (4) de signes contraires, donc, d après le théorème des valeurs intermédiaires, l équation = possède une solution unique dans I. 5) f (3,5) < < f (4), donc [3 ; 3,5]. Eercice n 1 page 58 On considère la fonction f dont le tableau de variation sur l'intervalle [ 3; 4] est indiqué ci-contre : 1) Précisez le sens de variation de f sur l'intervalle [ 3 ; 4]. ) Epliquez pourquoi : a) il eiste un unique réel de ]1 ; 4[ tel que f () = ; b) l'équation = 3 admet deu solutions et sur l'intervalle [ 3 ; 4]. 3) Résolvez les inéquations : a) >. b) 3. 1) f est strictement croissante sur [ 3, 1] et strictement décroissante sur [1, 4]. ) a) f est continue et strictement décroissante sur [1 ; 4], de plus f (4) < < f (1). Donc, d'après la propriété des valeurs intermédiaires, il eiste un unique réel de ]1 ; 4[ tel que f () =. b) f est continue et strictement croissante sur [ 3 ; 1], de plus f ( 3) < 3 < f (1). Donc, d'après la propriété des valeurs intermédiaires, il eiste un unique réel de ] 3 ; 1[ tel que f () = 3. f est continue et strictement décroissante sur [1 ; 4], de plus f (4) < 3 < f (1). Donc, d'après la propriété des valeurs intermédiaires, il eiste un unique réel de ]1 ; 4[ tel que f () = 3. Finalement l'équation = 3 admet deu solutions et sur l'intervalle [ 3 ; 4]. 3) 3 1 4

12 T le ES - programme 1 mathématiques ch.1 cahier élève Page 1 sur a) D après le tableau ci-dessus, l inéquation > a pour ensemble de solutions [ 3, [. b) D après le tableau ci-dessus, l inéquation 3 a pour ensemble de solutions [, ]. Eercice n page 58 Voici le tableau de variation d'une fonction f : 1) Précisez le sens de variation de f sur l'intervalle [ ; 9]. ) Epliquez pourquoi l'équation = possède deu solutions sur ] ; 9[. On notera ces solutions et, avec <. 3) Résolvez l'inéquation :. 1) f est strictement décroissante sur [, 4] et strictement croissante sur [4, 9]. ) f est continue et strictement décroissante sur [ ; 4], de plus f (4) < < f (). Donc, d'après la propriété des valeurs intermédiaires, il eiste un unique réel de [ ; 4] tel que f () =. f est continue et strictement croissante sur [4 ; 9], de plus f (4) < < f (9). Donc, d'après la propriété des valeurs intermédiaires, il eiste un unique réel de [4 ; 9] tel que f () =. Finalement l'équation = admet deu solutions et sur l'intervalle [ ; 9]. 3) D après le tableau ci-dessus, l inéquation a pour ensemble de solutions [, ]. Eercice n 3 page 58 Voici le tableau de variation d'une fonction f sur IR +. On sait de plus que f (3) = 5. 1) Epliquez pourquoi l'équation = possède sur ] ; 3[ une solution unique. ) En utilisant le sens de variation de f sur IR + donnez le nombre de solutions de l'équation = sur IR +. 1) f est continue et strictement croissante sur [ ; 3], de plus f () < < f (3). Donc, d'après la propriété des valeurs intermédiaires, l'équation = possède une solution unique sur ] ; 3[. ) f est strictement croissante sur IR Donc, pour tout > 3, > f (3), c'est-à-dire > 5. Donc sur ]3 ; +[, l'équation = n'a pas de 5 solution. Finalement, l'équation = possède une seule solution sur IR +. Elle appartient à ] ; 3[. Eercice n 4 page 58 On considère la fonction f définie sur [ 4 ; 4] dont le tableau de variation est : 1) Epliquez pourquoi l'équation = : a) admet deu solutions sur ] 4 ; 4[ ; b) admet trois solutions sur [ 4 ; 4]. ) Epliquez pourquoi l'équation = 1 admet une solution sur [ 4 ; [. 1) a) f est continue et strictement croissante sur [ 4 ; ], de plus f ( 4) < < f ( ). Donc, d'après la propriété des valeurs intermédiaires, l'équation = admet une solution unique sur ] 4 ; [. f est continue et strictement décroissante sur [ ; ], de plus f ( ) < < f (). Donc, d'après la propriété des valeurs intermédiaires, l'équation = admet une solution unique sur ] ; [ tel que f () =. f est continue et strictement croissante sur [ ; 4], de plus f (4) =. Donc, pour tout [ ; 4[, <, soit l'équation = n admet pas de solution sur ] ; 4[. Finalement l'équation = admet deu solutions et sur l'intervalle [ 4 ; 4]. b) Comme f (4) =, alors l'équation = admet trois solutions sur [ 4 ; 4]. ) Une solution sur [ 4 ; ] d'après la propriété des valeurs intermédiaires. De plus, pour tout ] ; [, > 1. D'où pas de solution sur cet intervalle; et donc une seule solution sur [ 4 ; [. Eercice n 5 page 58 3

13 T le ES - programme 1 mathématiques ch.1 cahier élève Page 13 sur On considère la fonction f sur admettant le tableau de variation suivant : 1) Epliquez pourquoi l'équation = admet une solution unique sur ] ; ] et sur [ ; +[. Précisez ces solutions. ) Epliquez pourquoi l'équation = 1 admet deu solutions sur [ ; ]. 3) Résolvez les inéquations : a) < ; b). 1) f est continue et strictement croissante sur ] ; ], de plus f ( ) =. Donc, d'après la propriété des valeurs intermédiaires, l équation = admet une solution unique sur ] ; [. f est continue et strictement décroissante sur [ ; +[, de plus f () =. Donc, d'après la propriété des valeurs intermédiaires, l équation = admet une solution unique sur [ ; +[. ) f est continue et strictement croissante sur [ ; ], de plus f ( ) < 1 < f (). Donc, d'après la propriété des valeurs intermédiaires, l équation = 1 admet une solution unique sur [ ; ]. f est continue et strictement décroissante sur [ ; ], de plus f () < 1 < f (). Donc, d'après la propriété des valeurs intermédiaires, l équation = 1 admet une solution unique sur [ ; ]. Finalement l'équation = 1 admet deu solutions et sur l'intervalle [ ; ]. 3) a) D après le tableau de variations de f, l inéquation < a pour ensemble de solutions ], [ ], +[. b) D après le tableau de variations de f, l inéquation a pour ensemble de solutions [, ]. Eercice n 6 page 59 Questions sur le cours Complétez comme il convient. 1) Lorsque la courbe de la fonction f se trace sur un intervalle I «sans lever le crayon», la fonction f est sur I. ) Toute fonction dérivable sur I est sur I. 3) Si f ' > sur [a ; b] (ou f ' < sur [a ; b]), alors pour tout réel k compris entre et, l'équation = k admet une solution unique sur [a ; b]. 1) Lorsque la courbe de la fonction f se trace sur un intervalle I «sans lever le crayon», la fonction f est continue sur I. ) Toute fonction dérivable sur I est continue sur I. 3) Si f ' > sur [a ; b] (ou f ' < sur [a ; b]), alors pour tout réel k compris entre f (a) et f (b), l'équation = k admet une solution unique sur [a ; b]. Eercice n 7 page 59 Vrai ou fau Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses? Justifiez votre réponse. 1) Toute fonction définie sur un intervalle I est continue sur I. ) Toute fonction dérivable sur un intervalle I est continue sur I. 3) Toute fonction continue sur un intervalle I est dérivable sur I. 4) Si f est continue sur [a ; b], avec f (a) et f (b) de même signe, alors l'équation = n'a pas de solutions dans [a ; b]. 1) Fau. Par eemple, la fonction f définie par : = si < et = 1 si est définie sur IR, mais n'y est pas continue. ) Vrai, d après un théorème du cours (théorème 3). 3) Fau. Par eemple, la fonction : est continue sur [ ; +[, mais n'est pas dérivable sur cet intervalle. En effet, elle n'est pas dérivable en.

14 4) Fau. Par eemple : T le ES - programme 1 mathématiques ch.1 cahier élève Page 14 sur Eercice n 8 page 59 Q.C.M. Une seule réponse eacte Pour chaque affirmation, une seule réponse est eacte. Identifiez-la en justifiant votre réponse. Voici la courbe représentative d'une fonction f sur [ 1 ; 1]. 1) f est continue sur : a) [ 1 ; 1] b) [ ; 1] c) 1, 1. ) Tout réel de ] ; 1[ admet un antécédent unique dans : a) ] 1 ; 1[ b) ] ; 1[ c) ] 1 ; [. 3) Voici le tableau de variation d'une fonction f continue sur [ 3 ; 4]. L'équation = sur [ 3 ; 4] admet eactement : a) une solution b) deu solutions c) aucune solution. 4) Voici le tableau de variation d'une fonction f continue sur [ 1 ; 4]. L'équation = admet une seule solution comprise entre : a) et 4 b) 3 et 1 c) 1 et. 1) Réponse eacte : b. Parmi les trois intervalles proposés, la courbe de f peut être tracée sans lever le crayon seulement sur [ ; 1]. ) Réponse eacte : c. Il eiste des réels de ] ; 1[ : - admettant deu antécédents sur ] 1 ; 1[ ; - n'admettant pas d'antécédent sur ] ; 1]. Par contre, tout réel de ] ;1[ admet un antécédent unique sur ] 1 ; [. 3) Réponse eacte : b. f est continue et strictement monotone sur [ 3 ; 3] avec f ( 3) et f (3) de signes contraires. Deu solutions uniques sur [ 3 ; 3] à l'équation =. Même raisonnement sur [3 ; 4]. D'où deu solutions. 4) Réponse eacte : c. f est continue et strictement croissante sur [ 1 ; ], avec f ( 1) et f () de signes contraires. Donc solution unique sur [ 1 ; ]. Eercice n 9 page 59 Q.C.M. Au moins une réponse eacte Pour chaque affirmation, plusieurs réponses peuvent être eactes. Identifiez-les en justifiant votre réponse. 1) Voici la courbe représentative d'une fonction f continue sur [ 3 ; ]. Alors toute équation = k possède eactement deu solutions lorsque : a) k [ ; 4[ b) k [ ; ] c) k [ 3 ; ]. ) Si f est dérivable sur un intervalle I, alors : a) f est définie sur I b) f est continue sur I c) f est croissante sur I. 3) La fonction f est continue et strictement croissante sur [a ; b]. Alors la droite d'équation y = k coupe la courbe représentative de f en un seul point : a) quel que soit le réel k b) si k [f (a) ; f (b)] c) si f (a) < k < f (b). 4) Si f est continue et strictement décroissante sur [ ; 5], alors : a) f () f (5) b) f () f (5) < c) l'équation = k où k [ ; 5] possède une unique solution. 1) Réponses eactes : a et b. En effet, les droites d'équation y = k coupent la courbe en deu points distincts lorsque k [ ; 4] et donc lorsque k [ ; ]. f ne prend pas de valeurs négatives, donc c) est fau.

15 ) Réponses eactes : a et b. T le ES - programme 1 mathématiques ch.1 cahier élève Page 15 sur a) est vrai, par définition de f dérivable sur I. b) est vrai, d'après le théorème 3. c) est fau, car on ne connaît pas le signe de sur I. 3) Réponses eactes : b et c. a) est fau, car f étant croissante, ne varie qu'entre f (a) et f (b). b) est vrai, d'après le théorème 1. b) étant vrai, c) est vrai, a fortiori. 4) Réponse eacte : a. a) est vrai car f est strictement décroissante sur [ ; 5] et < 5. Donc f () > f (5) et donc f () > f (5). b) est fau car f () f (5) < signifie que f () et f (5) sont de signes contraires, ce que l on ne peut garantir. c) est fau. Il faudrait que k appartienne à [f (5) ; f ()]. Eercice n 4 page 65 En étudiant les variations d'une fonction, montrez que l'équation = possède une unique solution dans l'intervalle I = [1 ; ] indiqué. En utilisant la table de votre calculatrice, donnez un encadrement de de longueur 1 1. Pour tout [1 ; ], posons = Pour tout [1 ; ], f ' () = D où f ' () > sur [1 ; ], et donc f est strictement croissante sur [1 ; ]. De plus f (1) = 1 et f () = 11 sont de signes contraires. D où, d après le théorème des valeurs intermédiaires, l équation = possède une solution unique dans [1 ; ]. À la calculatrice, on obtient f (1,1) < < f (1,), d où 1,1 < < 1,. Eercice n 44 page 65 En étudiant les variations d'une fonction, montrez que l'équation = possède une unique solution dans l'intervalle [ ; 1]. En utilisant la table de votre calculatrice, donnez un encadrement de de longueur 1 1. Pour tout [ ; 1], posons = Pour tout [ ; 1], f ' () = D où f ' () > sur [ ; 1], et donc f est strictement croissante sur [ ; 1]. De plus f () = 1 et f (1) = 1 sont de signes contraires. D où, d après le théorème des valeurs intermédiaires, l équation = possède une solution unique dans [ ; 1]. À la calculatrice, on obtient f () < < f (,1), d où < <,1. Eercice n 45 page 65 En étudiant les variations d'une fonction, montrez que l'équation = possède une unique solution dans l'intervalle [1 ; ] indiqué. En utilisant la table de votre calculatrice, donnez un encadrement de de longueur 1 1. Pour tout [1 ; ], posons = Pour tout [1 ; ], f ' () = D où f ' () > sur [1 ; ], et donc f est strictement croissante sur [1 ; ]. De plus f (1) = 1 et f () = 15 sont de signes contraires. D où, d après le théorème des valeurs intermédiaires, l équation = possède une solution unique dans [1 ; ]. À la calculatrice, on obtient f (1,1) < < f (1,), d où 1,1 < < 1,. Eercice n 46 page 65 1) Est-il besoin d'étudier la continuité et les variations de la fonction f : pour trouver le nombre de solutions dans de l'équation =? ) Peut-on trouver les solutions eactes? 3) Résolvez l'inéquation : <. 1) Non, puisqu il s agit d une équation du second degré que l on sait résoudre de manière eacte.

16 T le ES - programme 1 mathématiques ch.1 cahier élève Page 16 sur ) Pour =, on a : = ( 3) = 5, il y a donc deu solutions : = ou = ) Oui, on peut trouver les solutions eactes L ensemble des solutions est S = ] 3 5, [. Eercice n 49 page 66 Équation et inéquation On se propose de résoudre l'équation = et ensuite l'inéquation A. Équation = Soit la fonction f : ) Dressez le tableau de variation de f à partir du signe de f ' (). ) Montrez que dans l'intervalle [ 1 ; 1], l'équation possède une solution unique. 3) a) Trouvez un nombre a inférieur à 1 tel que f (a) <. b) Montrez que sur l'intervalle ] ; 1[, il eiste une unique solution. Aide Placez-vous sur l'intervalle [a ; 1] et ensuite sur ] ; a[. 4) Utilisez la méthode précédente pour montrer que sur l'intervalle ]1 ; +[, il eiste une unique solution. 5) Donnez un encadrement de longueur 1 1 pour chacune des solutions, et. Indiquez le procédé utilisé. A. Équation = 1) Pour tout IR, f ' () = 6 6 = 6( 1) = 6( 1)( + 1) f ' () ) Pour tout ] 1 ; 1[, f ' () < avec f ( 1) < < f (1). Donc, d après le théorème des valeurs intermédiaires, l équation = possède une solution unique. 3) a) Comme f ( ) = 3 <, alors on peut choisir, par eemple, a =. b) Pour tout [ ; 1], f ' () > avec f ( ) < < f ( 1), donc solution unique sur [ ; 1[. Sur ] ; [, f est strictement croissante ; d où pour tout <, < f ( ) <, et donc pas de solution sur cet intervalle. D où solution unique sur ] ; 1[. 4) f () = 5 >. D où, avec un raisonnement semblable à celui du 3), solution unique sur ]1 ; ] et pas de solution sur ] ; + [. D où solution unique sur ]1 ; + [. 5) En utilisant par eemple la table de la calculatrice : 1,9 < < 1,8 ;,1 < <, ; 1,6 < < 1,7. B. Inéquation En utilisant les variations de f, résolvez cette inéquation. B. Inéquation L ensemble des solutions est : S = [, ] [, + [. Eercice n 5 page 66 Différentes approches pour une équation f est la fonction définie pour, par = On se propose de résoudre l'équation =. 1) Avec la calculatrice a) Tracez sur l'écran de la calculatrice la courbe représentative de f. b) Combien l'équation semble-t-elle avoir de solutions? c) Donnez un encadrement de chacune des solutions en utilisant la touche Trace. +

17 1) Avec la calculatrice a) T le ES - programme 1 mathématiques ch.1 cahier élève Page 17 sur b) La courbe représentative de f semble couper deu fois l ae des abscisses. Donc l'équation = semble avoir deu solutions et. c),6 < <,1 ; 13,88 < < 14,4. ) Avec la propriété des valeurs intermédiaires En étudiant les variations de f, montrez que l'équation possède eactement deu solutions, l'une dans [ ; 1], l'autre dans [13 ; 14]. ) Avec la propriété des valeurs intermédiaires 4 Pour tout >, f ' () = 1 =. f est continue et strictement décroissante sur [ ; 4], avec f (4) < f () <. Donc, d après le théorème des valeurs intermédiaires, l équation = possède une solution unique sur [ ; 4[. f est continue et strictement croissante sur [4 ; 14], avec f (14),33 >. Donc, d après le théorème des valeurs intermédiaires, l équation = possède une solution unique sur [4 ; 14]. De plus f (13) <, alors cette solution appartient à [13 ; 14]. f (14) > et f strictement croissante sur [14 ; + [, donc l équation = n a pas de solution sur [14 ; + [. 3) Résolution eacte En posant y =, constatez que l'on peut en fait résoudre eactement cette équation. 3) Résolution eacte En posant y =, l équation = équivaut à : y 4y + 1 =. Étudions celle-ci : = 16 4 = 1, il y a deu solutions : y = 4 1 D où l équation = équivaut à : = 3 ou = + 3, soit à : = ( 3),71 ou = ( ) = 4 3 = 3 et y = ,98. 4) Comparez les résultats trouvés. 4) La méthode 3) permet d obtenir les valeurs eactes des solutions. Ces valeurs, au nombre de deu, appartiennent bien au intervalles trouvés au 1) avec la touche Trace de la calculatrice. La méthode ) permet d affirmer qu il y a bien eactement deu solutions, mais n en donne pas les valeurs eactes. Eercice n 5 page Avec la dérivée seconde On souhaite obtenir les variations de la fonction f définie par = 1) Dérivée de f a) Déterminez l'ensemble de définition D de f. b) Vérifiez que : D, f ' () = ( + 1) 3. c) Epliquez comment, connaissant le signe de : on peut en déduire sur D celui de f ' (). 1) Dérivée de f a) eiste si, et seulement si, g() = , Or = ( + 1), donc D = ] ; 1[ ] 1 ; +[ = IR { 1}. b) Pour tout D, f ' () = 3 ( + 1) ( + 1)( 3 1) ( + 1) 4 = ( + 1)( ) 3 ( + 1) ( 3 1) ( + 1) 4 = ( + 1) 3 = ( + 1) 3.

18 T le ES - programme 1 mathématiques ch.1 cahier élève Page 18 sur 1 c) = g() ( + 1) 3. Sur ] ; 1[, on a ( + 1) 3 <, donc le signe de est le signe contraire de celui de g(). Sur ] 1 ; + [, on a ( + 1) 3 >, donc le signe de est le signe de g(). ) Signe de g() a) Calculez g' () et étudiez son signe. b) Dressez le tableau de variation de g. c) Montrez que l'équation g() = possède une seule solution dans l'intervalle [ 4 ; 3] et que, dans IR, il n'y a pas d'autre solution. Donnez un encadrement de de longueur 1. d) Donnez le signe de g(). ) Signe de g() a) g' () = = 3( + ). b) g' () + + g() 6 c) g est continue et strictement croissante sur [ 4 ; ], de plus g( 4) = 14 < et g( ) = 6 >. Donc, d après le théorème des valeurs intermédiaires, l équation g() = possède une solution unique dans l intervalle [ 4 ; ]. De plus g( 3) = >, donc [ 4 ; 3]. g est strictement croissante sur ] ; 4[, et g( 4) <, donc l équation g() = n a pas de solution sur ] ; 4[. g est strictement décroissante sur ] ; [, et g() >, donc l équation g() = n a pas de solution sur ] ; [. g est strictement croissante sur ] ; + [, et g() >, donc l équation g() = n a pas de solution sur ] ; + [. D où finalement, l équation g() = possède une seule solution unique dans IR. A la calculatrice, on obtient 3, < < 3,19. a) + g() 6 g() + 3) Tableau de variation de f a) Déduisez des questions précédentes le signe de f ' (). b) Dressez le tableau de variation de f. 3) Tableau de variation de f a) b) Avec f () 6,97. Eercice n 53 page 67 Intersection de deu courbes La fonction f est définie par = ( + 1) et la fonction g par g() = 1. On se propose de trouver les coordonnées des points d'intersection des courbes représentatives de ces deu fonctions. A. Avec un traceur Avec le logiciel GeoGebra par eemple, tracez la courbe de f et celle de g. En utilisant la fonction Intersection [<objet>, <objet)] située dans Calculs & Fonctions, constatez qu'il semble n'y avoir qu'un seul point d'intersection. Lisez sur l'écran ses coordonnées. Note Si vous ne disposez pas d'un ordinateur, tracez les deu courbes sur votre calculatrice et utilisez la fonction intersect située dans nd CALC pour TI ou, dans SHIFT G-Solv, puis ISCT, pour Casio. A. Avec un traceur

19 T le ES - programme 1 mathématiques ch.1 cahier élève Page 19 sur, et y, (Si l on demande, par eemple, 8 chiffres après la virgule.) B. Une démonstration à présent 1) Quelle équation doit-on résoudre pour obtenir les abscisses des points d'intersection des deu courbes? ) Montrez que la résolution de cette équation se ramène à celle de l'équation : ( + 1) 1 =. B. Une démonstration à présent 1) = g(), soit ( + 1) = 1. ) ( + 1) = 1 équivaut au équations suivantes : ( + 1) 1 = ( + 1) 1 = ( + 1) 1 =. 3) Soit h la fonction définie par h() = ( + 1) 1. a) Étudiez les variations de h. b) Montrez que h ne s'annule qu'en une seule valeur de IR. c) Donnez un encadrement de de longueur 1. d) Comparez avec le résultat trouvé avec GeoGebra. 3) a) h() = ( ) 1 = , d où h' () = Étudions ce polynôme : = = 16, il y a deu racines : 8 16 = 8 4 = = et = = 1 6. b) h est strictement croissante sur ] ; 1 ] et f 1 <, donc l équation h() = n a pas de solution sur ] ; 1 ]. h est strictement décroissante sur ] 1 ; 1 6 ] et f 1 <, donc l équation h() = n a pas de solution sur ] 1 ; 1 6 ]. h est continue et strictement croissante sur [ 1 6 ; 1], de plus h(1) = 8 > et h 1 < 1 <. Donc, 6 d après le théorème des valeurs intermédiaires, l équation h() = a une solution unique sur [ 1 6 ; 1]. h est strictement croissante sur ]1 ; +[ et h(1) >, donc l équation h() = n a pas de solution sur ]1 ; +[. Finalement h ne s'annule qu'en une seule valeur de IR. c) Avec la table de la calculatrice, on obtient :,34 < <,35. d) La valeur approchée affichée par GeoGebra appartient bien à l encadrement ci-dessus. Mais GeoGebra peut afficher 15 chiffres après la virgule! Eercice n 6 page 7 Eercice commenté Rédigez la solution de cet eercice en vous aidant des conseils. Soit l'équation (E) : 1 = où l'inconnue est un réel de l'intervalle ] ; +[. On se propose d'étudier cette équation par trois méthodes différentes.

20 1) T le ES - programme 1 mathématiques ch.1 cahier élève Page sur a) Tracez sur votre calculatrice les courbes d'équation y = 1 et y = pour >. Vérifiez que l'on obtient le graphique ci-contre. b) Au vu du graphique, combien l'équation (E) semble-t-elle admettre de solutions sur ] ; +[. ) On considère la fonction g définie sur ] ; +[ par : g() = 1. a) Calculez g' (). Montrez que g est strictement croissante sur ] ; +[. b) Déduisez-en le nombre de solutions de (E) et donnez-en un encadrement. 3) Vérifiez que (E) équivaut à l'équation 11 =. Résolvez alors cette dernière équation sur ] ; +[. Conseils 1.b) Commencez par écrire que résoudre l'équation (E), c'est trouver les abscisses des points d'intersection entre Analyser l'énoncé Il s'agit d'une résolution graphique. Analyser l'énoncé L'étude de la stricte croissance de g fait penser à une utilisation de la propriété des valeurs intermédiaires. Analyser l'énoncé Il s'agit d'une équation du second degré. Remarque Répétez bien, dans votre réponse, le mot «semble» figurant dans l'énoncé. On ne vous demande pas de donner la valeur eacte de la solution. les courbes d'équation y = 1 et y =..a) On calcule g'() et on détermine aisément son signe. Attention! Attention au signe lors du calcul de la dérivée de 1. b) g étant strictement croissante, on peut appliquer la propriété des valeurs intermédiaires ; mais sur quel intervalle? Recherchez deu nombres a et b tels que g(a) < et g(b) >. Essayez par eemple des valeurs entières pour a et b. 3) Dans ] ; +[, on peut multiplier les deu membres de l'équation par, qui ne s'annule pas, et on obtient une équation du nd degré. 1) a) b) Une seule solution. ) 3) Remarque Veillez à ne retenir que la solution positive, car on résout dans ] ; +[. a) g' () = >. Donc g est strictement croissante sur ] ; +[. b) g est continue et strictement croissante sur ] ; +[. g() = 1 < ; g(3) = >. g() et g(3) sont de signes contraires. Donc sur l'intervalle [ ; 3], l'équation g() = possède une solution unique. g est strictement croissante sur [ ; +[, d'où : pour tout ] ; [, g() < g() avec g() < ; donc pas de solution sur ] ; [. pour tout ]3 ; +[, g() > g(3) avec g(3) > ; donc pas de solution sur ]3 ;+[. D'où finalement, une seule solution sur ] ; +[. Avec la table de la calculatrice, un balayage à partir de avec un pas de,1, puis avec un pas de,1, permet d'obtenir :,41 < <,4. 1 = équivalent à : 1 = et ], +[ et ], +[ (en multipliant les deu membres par qui ne s'annule pas sur ] ; +[. Équation du second degré à résoudre dans ] ; +[ : = 1 +. On obtient avec cette dernière méthode la valeur eacte de.

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