Phénomènes d échanges I: GCH200

Transcription

1 Pierre Proulx, ing. Ph.D., professeur Phénomènes d échanges I: GCH200 Supplément au livre de Bird, Stewart, Lightfoot: Transport Phenomena qui est utilisé comme texte de référence.

2 Phénomènes d échanges I: GCH200 Ces transparents doivent être utilisés comme suppléments au livre de Bird, ils seront utiles dans la mesure ou ils complètent la lecture des sections du livre qui sont indiquées. Ils viennent parfois ajouter des précisions dans les développements faits dans le livre ou aident à comprendre les développements mathématiques effectués.

3 Section 3: les bilans macroscopiques Chapitre 6: Lecture essentielle (toutes les sections) Chapitre 7: Lecture essentielle , Page 6-3

4 Chapitre 6: les coefficients interphase (momentum) Nombres adimensionnels Définition des coefficients de friction (Section 6.1) Facteurs de friction en conduite (Section 6.2) Facteurs de friction autours de sphères (Section 6.3) Facteurs de friction dans des lits de particules (Section 6.4) 200 Page 6-4

5 Nombres sans dimensions théorème pi de Buckingham Les groupements sans dimension ont plusieurs utilités Une des utilisations est la réduction de l'effort que demande un plan d'expériences. Avec un bon choix, on peut souvent réduire considérablement les couts car les variables à étudier sont alors réduites de beaucoup. Par exemple dans le cas de la loi d'hagen-poiseuille ci-après, le nombre de variables passe de 6 à 3, ce qui sur un plan expérimental factoriel représenterait une diminution d'un facteur de Page 6-5

6 Nombres sans dimensions théorème pi de Buckingham Une équation qui décrit un phénomène en utilisant m variables physiques avec n propriétés fondamentales (M L T t, etc...) peut être décrit avec m-n paramètres sans dimensions. 200 Page 6-6

7 Nombres sans dimensions théorème pi de Buckingham Essayons avec la loi d Hagen-Poiseuille: w= F ΔP, R, ρ,μ, L ou en reformulant de façon adimensionnelle w 1=0 ou encore f w, ΔP, R, ρ, μ, L =0 F ΔP,R, ρ, μ, L 200 Page 6-7

8 Nombres sans dimensions théorème pi de Buckingham Dans cette expression qui représente la loi d Hagen-Poiseuille, on a 6 variables et 3 propriétés, donc 3 nombres sans dimensions f w, ΔP, R, ρ, μ, L =0 200 Page 6-8

9 Nombres sans dimensions choix et construction w M t 1 On écrit les variables en termes des propriétés fondamentales (M-L- T) ΔP M L 1 t 2 R L ρ M L 3 μ M L 1 t 1 L L 200 Page 6-9

10 Nombres sans dimensions choix et construction On choisit 3 variables physiques parmi les 6 qui contiennent (entre elles) les 3 propriétés fondamentales Masse, Longueur et Temps. A partir de cette base ajoutera successivement les trois variables restantes pour construire les 3 nombres sans dimensions. ΔP M L 1 t 2 ρ M L 3 L L 200 Page 6-10

11 Nombres sans dimensions choix et construction On construit ensuite le premier nombre adimensionnel en multipliant les trois variables choisies par une des trois qui restent de la façon suivante: [ ΔP a ρ b L c ] μ d et en terme des propriétés fondamentales: M L 1 t 2 a M L 3 b L c M L 1 t 1 d 200 Page 6-11

12 Nombres sans dimensions choix et construction On peut mettre cette relation sous forme de tableau pour rendre plus clair le problème à résoudre: a b c d M L t La somme de chaque ligne doit etre 0 pour obtenir que toute l'expression soit adimensionnelle 200 Page 6-12

13 Nombres sans dimensions détermination des exposants On détermine ensuite les puissances qui feront de ce groupe un groupe sans dimensions pour M : a b d=0 pour L: a 3 b c d=0 pour t : 2 a d=0 On a 3 équations à 4 inconnues, on doit fixer une des variables, par exemple a=1 donnera d=-2, b=1 et c=2 200 Page 6-13

14 Premier des 3 nombres N 1 = ΔP 2 L 2 2 Si on avait choisi une autre valeur pour a, on aurait une puissance de ce groupe, qui serait aussi sans dimensions 200 Page 6-14

15 Deuxième nombre On construit ensuite le deuxième nombre adimensionnel en multipliant les trois variables choisies par la deuxième variable restante: [ ΔP e ρ f L g ] R h et en terme des propriétés fondamentales: M L 1 t 2 e M L 3 f L g L h 200 Page 6-15

16 Deuxième nombre On détermine ensuite les puissances qui feront de ce groupe un groupe sans dimensions [ ΔP e ρ f L g ] R h M L 1 t 2 e M L 3 f L g L h e f g h M L t pour M : e f =0 pour L : e 3f g h=0 pour t : 2 e=0 e=0, f=0, g=-h, par exemple, choisissons h=1 200 Page 6-16

17 Deuxième nombre Le deuxième groupe est donc simplement: [ L 1 ] R 1 ou N 2 =R/ L 200 Page 6-17

18 Troisième nombre On construit ensuite le troisième nombre sans dimensions en multipliant les trois variables choisies par la troisième variable qui restait: [ ΔP i ρ j L k ] w l et en terme des propriétés fondamentales: M L 1 t 2 i M L 3 j L k Mt 1 l 200 Page 6-18

19 Troisième nombre On détermine ensuite les puissances qui feront de ce groupe un groupe sans dimensions [ ΔP i ρ j L k ] w l M L 1 t 2 i M L 3 j L k Mt 1 l i j k l M L t pour M :i j l=0 pour L : i 3j k=0 pour t : 2i l=0 l=-2, j=1, k=4, par exemple, choisissons i=1 200 Page 6-19

20 Nombres sans dimensions détermination des exposants Le troisième groupe est: [ ΔP ρ L 4 ] w 2 On peut aussi le formuler ainsi (ce sera plus pratique): w N = 3 ΔP ρ L Page 6-20

21 Nombres sans dimensions théorème pi de Buckingham Donc f w, ΔP, R, ρ, μ, L =0 peut maintenant être écrite Φ N 1, N 2, N 3 =0 200 Page 6-21

22 Donc la loi d Hagen-Poiseuille peut être écrite sous forme sans dimensions : Φ w ΔP ρ L 2, R L, ΔP ρ L2 μ 2 =0 ou w ΔP ρ L 2 =Φ 1 ΔP ρ L2 μ 2, R L Cette forme est une autre représentation 200 Page 6-22

23 w= πδ PR 4 ρ 8μL ou w ΔP ρ L 2 =π soit ΔP ρ L2 R 4 μ 2 L N 3 = N 1 N Page 6-23

24 Un autre exemple, la dissipation visqueuse dans un écoulement fluide. L'élévation de température est une fonction de la conductivité thermique, de la vitesse, de la dimension de la conduite. T=F, k,v, D ou f, k,v,t, D =0 Il y a 4 propriétés fondamentales (M,L,t et T) et 5 variables, donc un seul nombre sans dimension selon le théorème de Pi 200 Page 6-24

25 Dissipation visqueuse T a k b c V d D e en mettant les propriétés T a M L T 1 t 3 b M L 1 t 1 c L t 1 d L e a b c d e M L T t Ce qui donne en posant a=1, b=1, c=-1,d=-2, e doit être égal a 0 e doit etre 0 parce que le rang de la matrice ci-haut est en fait de 3 et non de 4 ce qui implique qu'une des variables ne participe pas au nombre sans dimension. C'est un résultat de la section 10.4 aussi, le bombre de Brinkman ne dépends pas de la dimension b. Ici l'analyse mathématique par le théorème de pi confirme le travail complet et détaillé des profils de températures fait au chapitre 10! 200 Page 6-25

26 Dissipation visqueuse Le nombre est donc celui-ci: Ce nombre est en fait 1/Br, soit l'inverse du nombre de Brinkman vu à la section 10.4 T k V Page 6-26

27 Encore un autre exemple l'écoulement dans un lit fixe de particules 7 variables: viscosité, différence de pression, longueur et diamètre du lit, diamètre des particules, densité, débit massique 3 propriétés fondamentales: longueur, masse, temps 4 nombre sans dimensions 200 Page 6-27

28 Encore un autre exemple l'écoulement dans un lit fixe de particules Nombre 1: a b D pc D d en mettant les propriétés M L 1 t 1 a M L 3 b L c L d a b c d M L t On trouve facilement a=0, b=0 s'ensuit, et d=-c, on choisit d=1 donc 1 = D D p 200 Page 6-28

29 Nombre 2: a b D pc W e en mettant les propriétés M L 1 t 1 a M L 3 b L c M t 1 e a b c e M L t On trouve facilement b=0, on pose e=1 donc a=-1 et c=-1, ce qui donne 2 = W D p 200 Page 6-29

30 Nombre 3: a b D pc P f en mettant les propriétés M L 1 t 1 a M L 3 b L c M L 1 t 2 f a b c f M L t On pose f=1, donc on trouve a=-2, b=1, c=2 3 = P D p Page 6-30

31 Nombre 4: a b D pc L g en mettant les propriétés M L 1 t 1 a M L 3 b L c L g a b c g M L t On trouve facilement a=0, b=0 s'ensuit, et d=-c, on choisit g=1 donc 1 = L D p 200 Page 6-31

32 Un réacteur chimique homogène variables: Concentration, constante cinétique, longueur du réacteur, coefficient de diffusion propriétés fondamentales: longueur, temps, moles 1 nombre sans dimensions 200 Page 6-32

33 C a b D AB L c,,,d k 1 en mettant les propriétés M L 3 a L 2 t b L c t 1 d a b c d M L t On trouve facilement a=0, on pose b=1, donc c=-2 et d=-1 = D AB L 2 k 1,,, 200 Page 6-33

34 Section 6.1 Facteurs de friction Deux types: Écoulement interne (dans une conduite) Écoulement externe (autour d un objet) 200 Page 6-34

35 Section 6.2 Facteurs de friction a) Écoulement interne (dans une conduite) force exercée sur la conduite /aire de la conduite f = énergie cinétique volumique du fluide πr 2 P 0 P L f = ρ V z 2 2 2π RL = D 4L P 0 P L 1 2 ρ V z 2 Ce qui est un bilan macroscopique sur une longueur L de fluide dans une conduite 200 Page 6-35

36 Section 6.2 Facteurs de friction a) Écoulement interne (dans une conduite) force exercée sur la conduite /aire de la conduite f = énergie cinétique volumique du fluide L 2πR 0 dv z μ dr r=r dz 2π RL f = ρ V z 2 2 Alternative, en intégrant la force de friction sur la longueur du tube. Cette expression est équivalente à celle de la page précédente 200 Page 6-36

37 Section 6.2 Facteurs de friction a) Écoulement interne (laminaire dans une conduite) f = D 4L P 0 P L 1 2 ρ V z 2 Substituons ici l équation que l on a vu au chapitre 2, qui définit <V z >: f = D 2L V z = P 0 P L R 2 8μL P 0 P L ρ V z 2 = D 2L P 0 P L = 32 μl V z D 2 32 μl V z D 2 =16 ρ V z 2 μ ρ V z D =16 Re 200 Page 6-37

38 Section 6.2 Facteurs de friction a) Écoulement interne (laminaire dans une conduite) f = D 4L P 0 P L 1 2 ρ V z 2 Devient donc, pour un écoulement laminaire (jusqu à Re=2100): f = 16 Re 200 Page 6-38

39 Section 6.2 Facteurs de friction a) Écoulement interne (turbulent dans une conduite) f = D 4L P 0 P L 1 2 ρ V z 2 Pour un écoulement turbulent, l expression pour <V z > n est pas constante mais varie en fonction du débit. Pour une conduite parfaitement lisse, dans la région entre Re=2,100 et Re=100,000, l expression est approximativement f = Re Page 6-39

40 Section 6.2 Facteurs de friction a) Écoulement interne (turbulent dans une conduite) f = D 4L P 0 P L 1 2 ρ V z 2 Pour des conduites réelles, le facteur de friction est donné par la figure (courbes de Moody). turbulent k/d rugosité laminaire 200 Page 6-40

41 Courbes lisses (graphe 6.2-2) laminaire Blasius Prandl Barenblatt Page 6-41

42 détail de la zone de transition) laminaire Blasius Prandl Barenblatt Page 6-42

43 Exercice 6A1 f = D P 0 P L 4L 1 2 ρ V z 2 P 0 P L = L= 1234 m +longueur équivalente pour les coudes L=1234+4*32*D+2*15*D L= D= = mètres 2fL ρ V z 2 D Re=1000*40.0*0.25/1.0019E-3 ~ 1 x 10 7 f=0.002 environ P 0 P L = =32. 6 MPa 200 Page 6-43

44 Exercice 6A2 f = D 4L P * 0 P * L 1 2 ρ V z 2 P * 0 P * L = L= 95 pi+2*15*d= = pi=31.29 m Viscosité=1.002 cp =6.73E-4 lbm/pi-sec= kg/m-sec Densité=998.2 kg/m3 D= m 1 US gal/min m³/s Donc <V>=18* /(π )/4= m/sec Re=998.2* *0.0779/ =18500 f= par Blasius P * 0 P * L = =310 Pa fl ρ V z 2 D La pression modifiée est définie en fonction de l'orientation de la gravité. Ici, comme en la gravité est orientée dans le sens contraire de la coordonnée z Donc: P*= P + gz P * 0 P * L =310 Pa= P 0 P L ρg L i cos Pa= P 0 P L =P 0 P L kpa 200 Page 6-44

45 Exercice 6A2 310 Pa=P 0 P L kpa P 0 P L = 105.8kPa 200 Page 6-45

46 Exercice supplémentaire section 6.2 Dans une conduite on a mesuré la différence de pression sur une longueur L et on a trouvé: P 0 P L = A Quelle sera donc la valeur que l on trouvera si on double le débit: a)dans la région laminaire b) Dans la région turbulente 200 Page 6-46

47 Section 6.3 Facteurs de friction Deux types selon la section 6.1: Écoulement interne (dans une conduite) Écoulement externe (autour d un objet) 200 Page 6-47

48 Section 6.3 Facteurs de friction Écoulement externe (sphère en chute libre) force exercée sur la sphère /aire projetée de la sphère f = énergie cinétique volumique du fluide p.r. à la sphère 4 3 πr3 ρ sph g 4 3 πr3 ρg f = ρv 2 2 πr 2 = 4 3 gd v 2 ρ sph ρ ρ 200 Page 6-48

49 Section 6.3 Facteurs de friction Pour une sphère se déplaçant lentement dans un fluide, la loi de Stokes donne le facteur de friction en fonction du nombre de Reynolds f = 24 Re Le nombre de Reynolds étant défini comme: Re= ρv D μ 200 Page 6-49

50 Section 6.3 Facteurs de friction Jusqu à environ Re=1, la loi de Stokes s applique, ensuite, jusqu à environ Re=6000, la loi empirique d Abraham approxime bien les données f = 24 Re Page 6-50

51 Section 6.3 Facteurs de friction Dans une grande gamme, d environ Re=1000 à 100,000, la loi approximative de Newton est remarquablement simple et précise f = Page 6-51

52 Section 6.3 exemple Calculer le diamètre pour avoir une vitesse donnée. On connaît par la définition du facteur de friction l équation 6.1-7, et la courbe (équation ) qui exprime f en fonction de Reynolds. 200 Page 6-52

53 Section 6.3 exemple f = 4 3 donc 4 3 ou gd v 2 D= 3 4 gd v 2 (ρ sph ρ ) ρ ( ρ sph ρ) ρ ρv 2 et f =( 24 Re ) 2 =( 24 Re ) 2 g ( ρ sph ρ) ( 24 Re ) Page 6-53

54 Section 6.3 exemple D= 3 4 ρv 2 g (ρ sph ρ ) ( 24 Re ) 2 est transcendante La méthode numérique utilisée est appelée méthode de point fixe. Il s agit d écrire la fonction sous la forme x=f(x), et d itérer jusqu à ce que les deux côtés de l équation soient égaux. On doit démarrer avec un estimé de D qui nous permet de calculer le terme de droite, ce qui donne une nouvelle valeur de D, et ainsi de suite. Voici le tableau des itérations: L estimé de départ est de 10 cm et après 2 itérations on a déjà pratiquement la solution. Dans ce cas, l estimé a très peu d effet sur la convergence, on peut même utiliser un estimé de 1 mètre et cela n ajoute qu une ou 2 itérations!! 200 Page 6-54

55 Section 6.3 Facteurs de friction sphère 200 Page 6-55

56 Section 6.4: les facteurs de friction pour les systèmes particulaires denses Applications: colonnes à distiller, lits fixes, lits fluidisés, colonnes à garnissages, etc 200 Page 6-56

57 Section 6.4: les facteurs de friction pour les systèmes particulaires denses Illustrations: assistant virtuel 200 Page 6-57

58 Section 6.4: les facteurs de friction pour les systèmes particulaires denses a) Faibles nombres de Reynolds, laminaire, équation de Blake-Kozeny, valide pour D p G 0 10 et ε 0.5 μ 1 ε 1 ε 2 75 f = avec G ε 3 D p G 0 / μ 0 =ρv 0 et v 0 =ε v et en substituant dans la définition de f on obtient : P 0 P L L =150 μv 0 1 ε 2 2 D P ε Page 6-58

59 Section 6.4: les facteurs de friction pour les systèmes particulaires denses b) Nombres de Reynolds élevés, équation de Burke- Plummer, valide pour D p G 0 μ 1 ε 1000 P 0 P L L = 7 ρv D p 1 ε ε Page 6-59

60 Section 6.4: les facteurs de friction pour les systèmes particulaires denses c) Nombres de Reynolds intermédiaires, équation d Ergun, valide pour 10 D p G 0 μ 1 ε 1000 P 0 P L ρ 2 G 0 D p L ε 3 1 ε =150 1 ε D P G 0 / μ Page 6-60

61 Section 6.4: les facteurs de friction pour les systèmes particulaires denses, figure Page 6-61

62 Exercices pour le chapitre 6 6A4 6A8 6A9 6A10 6B2 6B3 6B8 200 Page 6-62

63 Quelques images qui montrent la trainée Page 6-63

64 6A4 a F= 4 3 πr3 ρ sph g 4 3 πr3 ρg F= π F=8. 7 b f = 4 3 f =396 gd v 2 ρ sph ρ ρ = c posons f =24 /Re μ= f 24 ρv D = =3.7 vérifions si Re 1 Re= /3. 7=0.06 ok 200 Page 6-64

65 6A8 Reynolds est très élevé, de l ordre de On utilisera approximativement la loi de Newton avec C d ~0.44 F=πR ρv 2 f π F= = 200 Page 6-65

66 6A9 Ce problème demande une utilisation du graphe Préparons les données μ= ρ 25 =44. 5 ρ 3 =5. 4 ε 3 1 ε =0. 12 ρ=25 D p L = ΔP=2,222, Page 6-66

67 6A9 On ne connaît pas G 0 et on le cherche, posons D donc une valeur et essayons: p G 0 1. On lit μ 1 ε =100 sur le graphe que la valeur en ordonnée donne ~3, ce qui donnera après avoir inséré les valeurs connues G 0 =42. On insère dans la valeur de D p G 0 1 l abscisse et on trouve μ 1 ε =7600. On est dans le domaine de Blake-Plummer ou la valeur en ordonnée est constante à environ 1.8. On n a qu à substituer dans l expression de l ordonnée=1.8 et on trouvera G 0 ~60. Puisque le débit est donné par w=g 0 A (A est la section du lit) on trouvera w=0.471 kg/sec 200 Page 6-67

68 6A10 Le diamètre de la conduite nécessaire est de 2.16 barleycorn, à condition que le nombre de paradoxes hélicoïdaux soit réduit au minimum, tel que prescrit par la loi de conservation des schtroumpfs. Dans le cas contraire, l inverse n est pas toujours entièrement faux, ce qui peut avoir des conséquences majeures, mais pas nécessairement. 200 Page 6-68

69 6B2 Résultat donné au chapitre 4, laminaire F=1.328 ρμ LW 2 V 3 a) Définition du facteur de friction force exercée sur la conduite /aire de la conduite f = énergie cinétique volumique du fluide f = ρμ LW 2 V 3 /2WL ρ V 2 2 = ρμ LV 3 / L ρ V Page 6-69 f = μ = ρ LV Re L

70 6B2 turbulent b) Définition du facteur de friction F= ρv 2 WL LV ρ / μ 1/5 f = ρv 2 WL LV ρ/ μ 1/5 /2WL ρ V 2 2 = LV ρ / μ 1/5 f = μ ρ LV = Re L 200 Page 6-70

71 6B3 la «slot» Adaptons la définition de la conduite circulaire à la «slot» L 2πR dv z μ 0 dr r=r dz 2π RL f = ρ V z 2 2 L W 2 dv μ z 0 0 dx x=b dydz 2WL ρ V z 2 2 L W 2 τ xz x=b dydz 0 0 2WL f = ρ V z 2 2 L W 2 P 0 P B L 0 0 L dydz 2WL = ρ V z 2 2 P 0 P L L = ρ V z 2 2 B P 0 P L L f = ρ V z 2 2 B La vitesse moyenne du dénominateur est donnée par 2/3 de Vmax : V z = 2 3 P 0 P L B 2 2μL 200 Page 6-71

72 6B3 la «slot» Il reste donc simplement à mettre f en fonction de Reynolds P 0 P L L f = ρ V z 2 2 B V z = 2 3 P 0 P L B 2 2μL P 0 P L 2B ρl f = V z V z f = 6μ ρ V z B f = CQFD P 0 P L ρl 2B V z 2 3 P 0 P L B 2 2μL = 1 ρ V z 1 3 B 2μ 200 Page 6-72

73 6B3 la «slot» Si on utilisait le rayon hydraulique f = R h L P 0 P L ρ V z 2 2 V z = 2 3 P 0 P L B 2 2μL f =2 R h L P 0 P L V z V z R h 2WB/2W B f = 6μ ρ V z B identique = P0 PL f R h ρ L V z 2 3 P 0 P L B 2 2μL =Rh 1 ρ V z 1 3 B2 2μ 200 Page 6-73

74 6B8 a f =1 Re=100 par définition f = 4 3 gd v 2 ρ sph ρ ρ faisons apparaitre Re en bricolant D= ρ2 v 2 D 2 1 μ 2 ρ 1 D 2 μ2 3f 2 D=3ρv f 4g ρ sph ρ 4g ρ sph ρ D=Re 2 3μ2 f 4gρD 2 ρ sph ρ D= 3 3μ 2 f Re 2 4gρD 2 ρ sph ρ 200 Page 6-74