Exercices Géométrie plane

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Exercices Géométrie plane"

Transcription

1 I Notions élémentaires et compléments sur les vecteurs Savoir-faire 1 : Démontrer avec des vecteurs Exercice 1 ABCD et BDFE sont deux parallélogrammes. Le point K est défini par BK = CB. 1. Justifier les égalités BE = DF et BC = AD.. Démontrer que KE = AF. 3. Que peut-on en déduire pour le quadrilatère KEFA? Exercice Soit ABC un triangle quelconque. On considère les points D et E définis par BD = BA + CA et AE = BA + CB. 1. Faire une figure. Quelle conjecture peut-on émettre?. En utilisant l égalité DE = DB + BA + AE, démontrer la conjecture faite à la question précédente. Exercice 7 Algorithmique Soit un point A(3; 4) et u ( a ) un vecteur du plan, où a et b sont des réels. b On considère le point M(x; y) défini par l églité AM = u. 1. Exprimer en fonction de a et de b les coordonnées du point M.. Recopier et compléter l algorithme suivant afin qu il affiche les coordonnées du point M à partir de la saisie des coordonnées de u. Savoir-faire 3 : Construire un point défini vectoriellement Exercice 3 ABC est un triangle. 1. Costruire le point D tel que AD = AB + AC.. Démontrer que, si M est un point du plan, alors MB + MC = MD + MA. Exercice 4 Soit A, B, C et D quatre points. Démontrer que AD + BC = AC + BD. Savoir-faire : Déterminer les coordonnées d un point Exercice 5 Soit les points A(3; ), B( ; 4) et C(5; 6). 1. Déterminer les coordonnées du point N tel que ON = 1 AC + BC.. Déterminer les coordonnées du point P tel que BP = AB AC. Exercice 6 Soit les points A(4; ), B( 1; 3) et C(6; 0). 1. Déterminer les coordonnées du point M tel que AM = AB + AC.. Déterminer les coordonnées du point N tel que BN = AB + 1 AC + 3BC. Exercice 8 Soit A, B et C trois points quelconques du plan. 1. Construire le point D tel que CD = AB.. Construire le point E tel que CE = 3 CA. 3. Construire le point F tel que BF = 0,5BC + AC. Exercice 9 A, B et C sont troix points non alignés. Construire les points M, N, P et Q tels que : 1. AM = AB. AN = 3AC 3. AP = AB + 3AC Exercice 10 Reproduire la figure ci-contre et construire les points D, E et F tels que : CD = 3 AB AE = CB + AC BF = 3 5 AC + 3 BC 4. BQ = AP

2 Exercice 11 Logique 1. L énoncé suivant est-il vrai? «Si AI = 1 AB alors I est le milieu de [AB]».. L énoncé réciproque est-il vrai? Exercice 1 Soit A et B deux points du plan. Construire le point M tel que 3MA MB = 0. Exercice 13 Soit A et B deux points du plan. Déterminer puis construire l ensemble des points M du plan tels que 4MA = 5MB. II Application du calcul vectoriel Savoir-faire 4 : Utiliser la formule de la norme Exercice 14 Considérons : u ( ) et v ( 7) et A(; 1) et B(3; 5) dans le plan Calculer les normes de u et de v.. Déterminer la norme du vecteur w = u + v. 3. Déterminer les coordonnées du vecteurs AB, puis calculer la norme de AB. Exercice 15 Déterminer la norme du vecteur AB. 1. A(4; 5) et B(1; 8).. A( 5; 7) et B(6; 3). Exercice 16 Soit les points A(3; ), B(; 1), C(8; 3) et D(9; 0). 1. Placer ces points dans un repère orthonormé.. Conjecturer la nature du quadrilatère ABCD. 3. Démontrer cette conjecture. Exercice 17 Soit les points A(6; ), B(4; 5) et C (10; 5 ). 1. Déterminer les coordonnées du point D tel que AD = AC + AB.. Déterminer les coordonnées du point E tel que BE = BC + 3AB. 3. Démontrer que ABED est un parallélogramme. 4. Calculer les longueurs BD et AE. Que peut-on en déduire pour le parallélogramme ABED? Exercice 18 Soit les points A(; 1) et B( 7; ). Déterminer les coordonnées du point M tel que MA 5MB = 0. Savoir-faire 5 : Utiliser la condition de colinéarité Exercice 19 On considère les points A(; 4), B(6; 7), C(4; 1) et D (10; 11 ). 1. Démontrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.. Soit E( 1; ). Les points A, B et E sont-ils alignés? Exercice 0 Soit les points A( 1; 1), B( 4; 1) et C(5; 5). Démontrer que les points A, B et C sont alignés. Exercice 1 Dans chacun des cas suivants, justifier si A, B et C sont ou non alignés. 1. A(1; 1), B(4; 1) et C(4; 5).. A(6; 3), B( 6; 1) et C(1; 4). 3. A(10; 10), B( 4; 4) et C(3 ; 3 ). Exercice Logique 1. L énoncé suivant est-il vrai? «Si deux vecteurs sont égaux, alors ils sont colinéaires.». L énoncé réciproque est-il vrai? Exercice 3 Un solide est placé sur un plan incliné sur lequel il est immobile. En l absence de frottements, ce solide est soumis à trois forces : son poids, représenté par le vecteur P, la réaction du sol R et une force F exercée par un câble qui évite le glissement du solide. Les trois vecteurs peuvent être représentés dans un plan muni d un repère orthonormé. P a pour coordonnées ( 0 10 ), F est colinéaire au vecteur u (3 1 ). Comme le solide est immobile, P + R + F = Justifier l existence d un réel k tel que les coordonnées de R sont ( k 3k ).. Déterminer les coordonnées des vecteurs R et F. 3. La norme du vecteur F donne l intensité, en newtons, de la force exercée par le câble. La déterminer.

3 Exercice 4 Soit les points A(; 1), B(3; 7) et C(4; y). Déterminer le réel y pour que A, B et C soient alignés. Exercice 5 Soit les points A(X A ; Y A ), B(X B ; Y B ) et C(X C ; Y C ). 1. Exprimer les coordonnées des vecteurs AB et AC en fonction des coordonnés des points A, B et C.. Ecrire la condition de colinéarité des vecteurs AB et AC. 3. Recopier et compléter l algorithme ci-après. Exercice 9 Soit les points A(4; 3), B(8; 7) et C(11; 1). 1. Déterminer les coordonnées du point D défini par AD = 3 AB + AC.. Déterminer les coordonnées du point E défini par AE = 5 AB + 1 BC Démontrer que les droites (BC) et (DE) sont parallèles. Exercice 30 Soit les points A( 1; 3), B(3; ) et C(1; ). 1. Faire une figure.. Calculer les coordonnées des points N, P et S tels que N est le milieu de [AB], P est le milieu de [NB] et S est défini par SA + SC = Placer les points N, P et S. 4. Démontrer que les droites (PC) et (SN) sont parallèles. Savoir-faire 6 : Décomposer un vecteur pour démontrer Exercice 6 Soit A(1; 5), B(3; 9), C(7; 1) et D(10; 5). 1. Démontrer que les vecteurs AB et CD sont colinéaires.. Que peut-on en déduire pour les droites (AB) et (CD)? Exercice 7 Dans chacun des cas suivants, justifier si les droites (OA) et (BC) sont ou non parallèles. 1. A(8; 16), B( 1; 7) et C(0; 35).. A( 1; ), B( 1; 7) et C(0; 36). 3. A ( 3 ; 4 ), B(1; 3) et C( 8; 13). 4 3 Exercice 8 Soit A( 3; 4), B(6; 3), C( 4; 9) et D(3; 4). 1. Déterminer les coordonnées du milieu I de [AB].. Les droites (ID) et (AC) sont-elles parallèles? Justifier. 3. Quel est le point d intersection des droites (ID) et (BC)? Exercice 31 ABC est un triangle. 1. Construire les points M et P définis par AM = 3AB + BC et BP = BC. 3. Exprimer AP en fonction de AB et BC. 3. En déduire que les points A, M et P sont alignés. Exercice 3 ABC est un triangle. On considère les points D et E définis par AD = 4AB + AC et BE = 1 BC Faire une figure.. Démontrer que A, D et E sont alignés. Exercice 33 Soit ABCD un parallélogramme de centre O. Démontrer que OA + OB + OC + OD = 0. Exercice 34 Soit ABCD un parallélorgramme, E le symétrique de A par rapport à B et F le symétrique dec par rapport à D. 1. Justifier que BE = AB.. Démontrer que BEDF est un parallélogramme.

4 Exercice 35 Exprimer les vecteurs a, b, c, w, z et t en fonction de u et v. 1.. Exercice 36 Soit ABC un triangle quelconque. A et B sont les milieux respectifs des côtés [BC] et [AC]. 1. Placer le point D tel que A D = BB.. Démontrer que A CDB est un parallélogramme. Exercice 37 Logique 1. L énoncé suivant est-il vrai? «Si les points A, B, C et D sont alignés, alors les vecteurs AB et CD sont colinéaires.». Enoncer la contraposée de cette proposition. A quoi peut-elle servir? 3. La proposition réciproque est-elle vraie? Exercice 38 Soit ABC un triangle quelconque. I est le milieu de [AB] et J est le milieu de [AC]. 1. Exprimer le vecteur IA en fonction de BA. Exprimer de même le vecteur AJ en fonction de AC.. En déduire que IJ = 1 BC. Exercice 39 ABCD est un parallélogramme. 1. Construire les points E, F et G définis par : DE = DB ; CF = 5CA et BG = 3AB.. Démontrer que les points E, F et G sont alignés. Exercice 40 Soit A, B et C trois points. 1. Construire le point M tel que AM = 1 AB + 1 AC.. Démontrer que M est le milieu de [BC]. Exercice 41 Soit ABC un triangle et M un point quelconque du plan. On note I le milieu de [AB] et J le milieu de [AC]. 1. Construire les points G et H définis par MG = MJ et MH = MI.. Démontrer que BCGH est un parallélogramme. Exercice 4 Soit ABC un triangle. 1. Construire les points I et K tels que KB = BA et KI = BC.. Démontrer que C est le milieu du segment [AI]. Exercice 43 On considère un triangle ABC. 1. Reproduire la figure.. Placer M défini par AM = 3 AC + AB. 3. Placer le point N défini par BN = AB AC. 4. Placer le point P défini par BP = AB 3 AC. 5. Démontrer que le quadrilatère NCMP est un parallélogramme.

5 III Equations de droites Savoir-faire 7 : Déterminer un vecteur directeur d une droite Exercice 44 Pour chacune des droites d 1, d, d 3, d 4 et d 5, trouver deux points puis un vecteur diecteur. Exercice 47 On donne un vecteur directeur u d une droite d. Dans chacun des cas suivants, déterminer, lorsqu il existe, le coefficient directeur de la droite d. 1. u ( 1 4 ). u (5 1 ) 3. u (4 8 ) 4. u ( 9 5 ) 5. u ( 0 ) 6. u ( ) Exercice 48 On donne deux points A et B. Déteminer une équation de la droite (AB). 1. A(4; 5) et B(3; 3).. A( 1 ; 1) et B(11; 3). 3. A( ; ) et B( ; ). 4. A(3 ; 7) et B(3; 9). Exercice 45 Dans chacun des cas suivants, justifier si le vecteur u dirige ou non la droite (AB). 1. A(1; ), B(3; 7) et u ( 5 ).. A( 3; ), B(4; 7) et u ( 5 1 ). 3. A( 1; 3), B(7; 3) et u ( 1 0 ). Savoir-faire 8 : Déterminer une équation d une droite Exercice 46 On donne un point A d une droite d et un vecteur directeur de cette droite. Déterminer, pour chaque cas, une équation de d. 1. A(3; 1) et u ( 4 7 ).. A( ; 3) et u ( 1 3 ). 3. A( 4; 6) et u ( 7 0 ). Exercice 50 Parmi les équation de droites données ci-dessous, retrouver celle qui correspond à chacune des droites tracées. 1. x 3 = 0.. x + y + = x + y = y 3 = x + y 9 = x y + 5 = 0. Exercice 51 Dans chacun des cas suivants, justifier si le point A appartient ou non à la droite d dont on donne une équation. 1. A(; 1) et d: 4x + 3y 5 = 0.. A( 5; 1) et d: x + y + 3 = A(3; 5) et d: x 6 = 0.

6 Savoir-faire 9 : Déterminer un vecteur directeur d une droite à partir d une de ses équations Exercice 5 Dans chacun des cas suivants, déterminer un vecteur directeur de la droite d dont on donne une équation. 1. d: 5x = 4y + 1. d: x 3 = 0 Exercice 53 Indiquer si d 1 et d sont parallèles. 1. d 1 : 7x + y 1 = 0 et d : x + 5y 3 = 0.. d 1 : x y 1 = 0 et d : x + y 3 = 0. Exercice 54 Déterminer une équation de la droite parallèle à la droite d et passant par le point A lorsque : d: 4x + y 5 = 0 et A(1; 1). Problème II Le cercle d Euler Soit un triangle ABC, H son orthocentre et O le centre de son cercle circonscrit. On note A, B et C les milieux respectifs des côtés [BC], [AC] et [AB]. On note P, Q et R les milieux respectifs des côtés [AH], [BH] et [CH]. On admet que l orthocentre H du triangle ABC vérifie l égalité : OH = OA + OB + OC (Pour ceux qui voudraient la démontrer, pensez à me réclamer un TP). Soit Ω le milieu de [OH]. Problème I La droite de Newton ABC est un triangle. Une droite d coupe (AB) en D, (AC) en E et (BC) en F. M 1 est le milieu de [CD], M est le milieu de [AF] et M 3 est le milieu de [BE]. On cherche à démontrer que les points M 1, M et M 3 sont alignés. On se place dans le repère (A, B, C). 1. Déterminer une équation de la droite (BC).. Justifier l existence de deux réels a et b tels que : AD = aab et AE = bac. a. Donner les coordonnées de D et E en fonction de a et de b. b. Démontrer que la droite (DE) a pour équation bx + ay ab = 0. c. Justifier que a ne peut pas être égal à b. 3. Déduire les coordonnées de F en fonction de a et b. 4. Déterminer les coordonnées de M 1, M et M 3 en fonction de a et b. 5. Justifier que M 1, M et M 3 appartiennent à une même droite. Cette droite est appelée «droite de Newton». 1. Montrer que ΩP = 1 OA.. Exprimer OB + OC en fonction de OA. Ecrire alors une relation liant OH, OA et OA. En déduire que ΩP = ΩA. 3. Etablir quatre égalités analogues concernant les points Q, R, B, C, B et C. 4. Soit Γ le cercle de centre Ω et de rayon R, où R est le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC. Montrer que les points P, Q, R, A, B et C appartiennent à Γ. 5. On note A 1 le pied de la hauteur du triangle ABC issue de A. a. En considérant le triangle PA 1 A, montrer que A 1 appartient à Γ. b. Montrer de même que les pieds B 1 et C 1 des hauteurs issues de B et de C appartiennent à Γ. A retenir : Γ est le cercle d Euler du triangle ABC. P, Q et R sont les points d Euler de ce triangle.

7 Problème III Intersection d une parabole et d une droite paramétrée Soit a un réel. On considère la parabole Γ d équation y = x + 5x + 5 et l ensemble d a des points M(x; y) dont les coordonnées vérifient l équation : (a + 1)x (a + 1)y + 1 = 0 On cherche à étudier l intersection de Γ et l ensemble d a. 1. Justifier que, pour tout réel a, l ensemble d a est une droite.. On suppose dans cette question que a = 1. Déterminer une équation de la droite d 1. Et en déduire que Γ et d 1 se coupent en un unique point que l on déterminera. 3. On suppose désormais que a 1. a. Ecrire l équation de d a sous la forme y = mx + p. Et en déduire qu un point du plan est un point d intersection de Γ et de d a si et seulement si son abscisse est solution de l équation du second degré E a : x + 3a + 4 5a + 4 x + a + 1 a + 1 = 0. b. Calculer le discriminant Δ a de l équation E a et vérifier l égalité a(11a + 1) Δ a = (a + 1) c. Etudier le signe de Δ a en fonction des valeurs de a. 4. En déduire le nombre de points d intersection de Γ et de d a suivant les valeurs de a. Problème IV Billard et trajectoire Le plateau ABCD d un billard est un rectangle de longueur 00 cm et de largeur 100 cm. On munit ce plateau d un repère orthonormé de centre A et de point B(0; 0) ; le point C(0; 10) et le point D(0; 10). On place une boule au point E(1; 8) et on cherche la position du point d impact F sur le segment [AB], [BC] et [CD]. La balle état frappée sans effet : Elle suit une trajectoire rectiligne entre deux rebonds. Après chaque rebond, sa trajectoire est symétrique à celle précédent le rebond par rapport à la perpendiculaire au côté percuté. On note F(a; 0) le point d impact de la boule avec le côté [AB], avec a ]1; 0[. 1. a. Déterminer les coordonnées du symétrique E du point E par rapport à la droite d équation x = a. b. Justifier que la droite (FE ) a pour équation : 8x + (a 1)y + 8a = 0 c. Déterminer les coordonnées du point G, intersection des droites (FE ) et (BC), puis vérifier que ce point appartient au segment [BC].. a. Justifier que, après avoir rebondi sur le côté [BC], la boule suit une trajectoire parallèle à la droite (EF). b. Déterminer une équation de la droite, parallèle à (EF) et passant par G. c. En déduire que le point H, intersection des droites et (DC), a pour coordonnées ( a ; 10), puis justifier que ce point appartient au 8 segment [DC]. 3. Déterminer une équation de la parallèle à (FG) passant par H et conclure.

Nom : VECTEURS 2nde. Exercice 1. ABCD est un parallélogramme de centre O. Donner l ensemble des égalités vectorielles possibles sur cette figure.

Nom : VECTEURS 2nde. Exercice 1. ABCD est un parallélogramme de centre O. Donner l ensemble des égalités vectorielles possibles sur cette figure. Exercice 1 ABCD est un parallélogramme de centre O. Donner l ensemble des égalités vectorielles possibles sur cette figure. Illustration D. Le Fur 1/?? Exercice 2 ABCD est un parallélogramme de centre

Plus en détail

Chapitre : VECTEURS SESSION ABCD est un parallélogramme de centre O. Donner l ensemble des relations vectorielles possibles sur cette figure.

Chapitre : VECTEURS SESSION ABCD est un parallélogramme de centre O. Donner l ensemble des relations vectorielles possibles sur cette figure. SESSION 2006 Chapitre : VECTEURS 1 ABCD est un parallélogramme de centre O. Donner l ensemble des relations vectorielles possibles sur cette figure. D. Le FUR 1/ 21 2 ABCD est un parallélogramme de centre

Plus en détail

Exercices sur les vecteurs

Exercices sur les vecteurs Exercices sur les vecteurs Exercice 1 : Associativité de la somme de trois vecteurs. On donne trois vecteurs u, v et w. Sur les deux figures suivantes tracer la somme u + v + w de deux manières : u + v

Plus en détail

Seconde 4 Repérage dans le plan Vecteurs

Seconde 4 Repérage dans le plan Vecteurs Exercice 1 : repères du plan coordonnées de points et de vecteurs Quadrillage à maille carrée Lire les coordonnées dans le repère (O ; i ; j ) : a) des points A, B, C, D, E b) des vecteurs u et v Exercice

Plus en détail

Exercices sur le barycentre

Exercices sur le barycentre Exercices sur le barycentre Exercice 1 : ABCD est un quadrilatère quelconque, I le milieu de [AD] et J celui de [BC]. 1) Ecrire IJ comme la somme de AB et de deux autres vecteurs que l on précisera. 2)

Plus en détail

NOM : PRODUIT SCALAIRE 1ère S

NOM : PRODUIT SCALAIRE 1ère S Exercice 1 R D Q C Soit un carré ABCD. On construit un rectangle AP QR tel que : P et R sont sur les côtés [AB] et [AD] du carré ; AP = DR. Le problème a pour objet de montrer que les droites (CQ) et (P

Plus en détail

On dit que M est l origine du vecteur et N son extrémité.

On dit que M est l origine du vecteur et N son extrémité. ❶ - Vecteurs I-- Définition d un vecteur Définition : Lorsqu on choisit deux points distincts M et N dans cet ordre, on définit : - une direction : celle des droites parallèles à (MN) ; - un sens : de

Plus en détail

Première S 2 mai 2011

Première S 2 mai 2011 Première S mai 011 Exercices 11 1 Homothétie 1 Mathématiques Soit ABC un triangle, ( Γ ) son cercle circonscrit et O le centre de ( Γ ) Soit H le milieu de [BC] et D le point de ( Γ ) diamétralement opposé

Plus en détail

Exercices de géométrie analytique

Exercices de géométrie analytique Exercice 1 Exercices de géométrie analytique (1) Déterminer les coordonnées des vecteurs représentés dans la base ( i, j ) () Déterminer les coordonnées des vecteurs représentés dans la base ( j, i ) ()

Plus en détail

I. Propriétés de géométrie analytique.

I. Propriétés de géométrie analytique. I. Propriétés de géométrie analytique. Activité 1 Dans un repère orthonormé (O ; I ; J), a. Distance entre deux points. Dans un repère orthonormée (O ; I ; J) on considère deux point A(2 ; 1) et B(5 ;

Plus en détail

Exercices sur le produit scalaire

Exercices sur le produit scalaire Exercices sur le produit scalaire Exercice 1 : Sur les expressions du produit scalaire Pour les sept figures suivantes, calculer AB AC. Exercice : Sur les expressions du produit scalaire Sur la figure

Plus en détail

1) Construire un parallélogramme et le point, symétrique du point par rapport au point. 2) Démontrer que est un parallélogramme.

1) Construire un parallélogramme et le point, symétrique du point par rapport au point. 2) Démontrer que est un parallélogramme. Seconde Exercices sur les vecteurs Page 1 Définition, égalité de vecteurs ---------------------------------------------------------------------------------------------------- Exercice 1 : A vue d œil,

Plus en détail

Sommaire. Qu est-ce qu un vecteur du plan? Somme de vecteurs Vecteur nul - Opposé d un vecteur Produit d un vecteur par un nombre réel

Sommaire. Qu est-ce qu un vecteur du plan? Somme de vecteurs Vecteur nul - Opposé d un vecteur Produit d un vecteur par un nombre réel Sommaire 1 Vecteurs Qu est-ce qu un vecteur du plan? Somme de vecteurs Vecteur nul - Opposé d un vecteur Produit d un vecteur par un nombre réel 2 Vecteurs colinéaires Définition Conséquences 3 Base du

Plus en détail

Annales sur la géométrie dans l espace

Annales sur la géométrie dans l espace Annales sur la géométrie dans l espace Exercice I : France juin 200 Soient a un réel strictement positif et OABC un tétraèdre tel que : OAB, OAC et OBC sont des triangles rectangles en O, OA = OB = OC

Plus en détail

Produit scalaire. A) Définitions et propriétés.

Produit scalaire. A) Définitions et propriétés. Produit scalaire A) Définitions et propriétés Soient u et v sont deux vecteurs non nuls Les quatre définitions suivantes sont équivalentes, on pourrait donc choisir comme point de départ chacune d elle

Plus en détail

P R O D U I T S C A L A I R E.

P R O D U I T S C A L A I R E. ère S 00/005 Produit scalaire J TAUZIEDE P R O D U I T S C A L A I R E I- DEFINITION ET PREMIERES PROPRIETES ) Produit scalaire de deux vecteurs colinéaires Définition Soit u et v deux vecteurs colinéaires

Plus en détail

Translations et vecteurs

Translations et vecteurs Translations et vecteurs A) Translation. 1. Définition. Soient trois points A, B et M. L image du point M par la translation qui transforme A en B est le point M tel que ABM M, dans cet ordre, soit un

Plus en détail

Chapitre 9 : Géométrie vectorielle

Chapitre 9 : Géométrie vectorielle Chapitre 9 : Géométrie vectorielle I Notion de vecteur 1 Translation et vecteur Soit A et B deux points du plan La translation qui transforme A en B associe à tout point C du plan l unique point D tel

Plus en détail

Exercices supplémentaires Géométrie plane

Exercices supplémentaires Géométrie plane Exercices supplémentaires Géométrie plane Partie A : Coordonnées de vecteurs, colinéarité Exercice 1 Dans un repère, on considère 6; 1, ; 1, 15; 4 et ; 2. 1) Les points, et sont-ils alignés? Justifier.

Plus en détail

EXERCICES CORRIGES DE MATH

EXERCICES CORRIGES DE MATH EXERCICES CORRIGES DE MATH PAR Ahmed Mowgli, PROFESSEUR DE MATH ET PHYSIQUE-CHIMIE Ce document est la propriété de son auteur, vous avez le droit de l utiliser, de le lire et même de le travailler! Je

Plus en détail

Chapitre 5 GE0 3. Produit Vectoriel

Chapitre 5 GE0 3. Produit Vectoriel Chapitre 5 GE Produit Vectoriel À la fin de ce td, vous devez être capable de : Savoir tracer une courbe paramétrée définie par des fonctions polynomiales. Établir le tableau des variations conjointes

Plus en détail

Chapitre 1 : Équations de la droite dans le plan

Chapitre 1 : Équations de la droite dans le plan EQUATIONS DE LA DROITE DANS LE PLAN 1 Chapitre 1 : Équations de la droite dans le plan 1.1 Introduction Exercice d introduction : On considère l équation vectorielle: x = 3 3 + k. y 2 2 Représenter, dans

Plus en détail

EXERCICES SUR LES SUITES

EXERCICES SUR LES SUITES EXERCICES SUR LES SUITES EXERCICE 1 u est une suite définie sur IN par u 7 = 6 et u 10 = 162 Déterminer sa raison, son premier terme u 0, ainsi que la somme S = u 10 + u 11 + + u 25 : 1) dans le cas où

Plus en détail

Chapitre 14 Propriétés de Thalès

Chapitre 14 Propriétés de Thalès Chapitre 14 Propriétés de Thalès Pour les exercices 1 et 2, écrire les égalités données par le théorème de Thalès sans rédiger la justification. 1 a. Les droites (NP) et (QM) sont parallèles. b. Les droites

Plus en détail

NOM : ANGLES ET ROTATIONS 1ère S

NOM : ANGLES ET ROTATIONS 1ère S Exercice 1 ABC est un triangle de sens direct rectangle en A. On construit à l extérieur du triangle les carrés ACDE et BCF G. Démontrer que les droites (BD) et (AF ) sont perpendiculaires, et que BD =

Plus en détail

3 ème BREVET : théorème de Thalès

3 ème BREVET : théorème de Thalès Exercice 1 1 Tracer en triangle ABC rectangle en A tel que : AB = 5 cm et AC = 3 cm. Placer le point D sur [AB] tel que BD = 4 cm. Tracer la perpendiculaire à (AB) passant par D, elle coupe [BC] en E.

Plus en détail

Géométrie analytique plane

Géométrie analytique plane Exercice 1 EXERCICES SUR LE CHAPITRE 8 Géométrie analytique plane Soit ( O, i ) un repère d une droite d (1) Placer sur cette droite les points I ( 1), A ( 3) et B( 2) (2) Déterminer l abscisse du point

Plus en détail

2 nde Savoirs minimaux Enoncés Droites

2 nde Savoirs minimaux Enoncés Droites 2 nde Savoirs minimaux Enoncés Droites Le plan est muni d un repère O, I, J Exercice 9 p 186 Les points A 3 ; 2, B 0 ; 5, C 12 ; 47 et D 1 ; 3 appartiennent-ils à la droite d équation y 3x 11? Exercices

Plus en détail

S13. Autour des théorèmes de PYTHAGORE et THALES

S13. Autour des théorèmes de PYTHAGORE et THALES CRPE S1. Autour des théorèmes de PYTHAGORE et THALES Mise en route A. Dans chaque exercice, une configuration à reconnaître une propriété à connaitre une démonstration à rédiger 1. ARC est un triangle

Plus en détail

CHAPITRE I GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE DANS LE PLAN EXERCICES

CHAPITRE I GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE DANS LE PLAN EXERCICES CHAPITRE I GÉOÉTRIE ANALYTIQUE DANS LE PLAN EXERCICES 1) Le plan étant muni d un repère ( O, i, j ) 4 u 6 et v Calculez les coordonnées de : 1 2,4 a) AB d) u + v b) 2 CA c) BC, on donne A( 5; 7,3), ( 9;0)

Plus en détail

Fiche d exercices 9 : Géométrie et orthogonalité dans l espace

Fiche d exercices 9 : Géométrie et orthogonalité dans l espace Fiche d exercices 9 : Géométrie et orthogonalité dans l espace Droites et plans de l espace Exercice SABC est un tétraèdre, la droite (SA) est orthogonale au plan (ABC), le triangle ABC est rectangle en

Plus en détail

DROITES, PLANS ET VECTEURS DE L ESPACE.

DROITES, PLANS ET VECTEURS DE L ESPACE. DROITES, PLANS ET VECTEURS DE L ESPACE. I- Droites et plans de l espace : Rappels des règles de base Par deux points distincts de l espace, passe une unique droite. Par trois points non alignés passe un

Plus en détail

Exercices Trigonométrie

Exercices Trigonométrie I Le cercle trigonométrique Savoir-faire 1 : Associer nombres réels et points du cercle trigonométrique Exercice 1 Tracer le cercle trigonométrique, puis placer les points A, B, C et D, images par enroulement

Plus en détail

Géométrie dans l' espace

Géométrie dans l' espace Exercice 1 Le repère ( A, AB, AD,AF ) formé sur le cube ABCDEFGH est orthonormé direct Calculer les produits vectoriels suivants AB AD, AB AC, AC BD et AC FH Dans tous les exercices qui suivent, l espace

Plus en détail

DROITES, PLANS ET VECTEURS DE L ESPACE.

DROITES, PLANS ET VECTEURS DE L ESPACE. DROITES, PLANS ET VECTEURS DE L ESPACE. : la perspective cavalière Pour représenter un objet de l espace par une figure plane, on adopte un mode de représentation appelé «perspective cavalière» qui est

Plus en détail

Chapitre 4 : Triangles.

Chapitre 4 : Triangles. Chapitre 4 : Triangles. I Somme des angles d un triangle. 1 Propriété. La somme des mesures des angles d un triangle est égale à 180. Dans le triangle JKL, on a + + = 180. 2 Triangles particuliers. Triangle

Plus en détail

Géométrie de l espace

Géométrie de l espace [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 4 septembre 06 Enoncés Géométrie de l espace Notions communes Exercice [ 087 ] [Correction] À quelle(s) condition(s) simple(s) l intersection de trois plans de l

Plus en détail

GEOMETRIE ANALYTIQUE DANS LE PLAN

GEOMETRIE ANALYTIQUE DANS LE PLAN WORKBOOK PCD -GEOMETRIE ANALYTIQUE DU PLAN 016 GEOMETRIE ANALYTIQUE DANS LE PLAN 1 Déterminer l'équation du cercle centré en C et de rayon r si : a) C (0; 0) et r = 1; b) C = (1; ) et r c) C (3; -4) et

Plus en détail

NOM : BARYCENTRES 1ère S

NOM : BARYCENTRES 1ère S Exercice 1 ABCD est un quadrilatère et G est le barycentre de (A ; 1), (B ; 1), (C ; 3) et (D ; 3). Construire le point G. Expliquer. D. LE FUR 1/ 50 Exercice 2 ABC est un triangle. 1) G est le barycentre

Plus en détail

b) Déterminer les valeurs de m pour lesquelles la distance de A à P m est égale à

b) Déterminer les valeurs de m pour lesquelles la distance de A à P m est égale à 4 éme Année *** Maths Série d exercices Prof : Dhahbi. A *, Por : 97441893 Géométrie dans l espace Dans tous les exercices, 1'espace est rapporté à un repère orthonormé ( 0, i, j, k ). EXER CICE N 1 :

Plus en détail

UNIVERSITE DE LIEGE EXAMEN D ADMISSION AUX ETUDES D INGENIEUR CIVIL. Enoncés et solutions de l examen de première session 2012

UNIVERSITE DE LIEGE EXAMEN D ADMISSION AUX ETUDES D INGENIEUR CIVIL. Enoncés et solutions de l examen de première session 2012 UNIVERSITE DE LIEGE EXAMEN D ADMISSION AUX ETUDES D INGENIEUR CIVIL Géométrie et géométrie analytique Enoncés et solutions de l examen de première session 01 Enoncés On demandait de résoudre trois questions

Plus en détail

* Addition de deux vecteurs : 1) La relation de Chasles : 2) La règle du parallélogramme :

* Addition de deux vecteurs : 1) La relation de Chasles : 2) La règle du parallélogramme : I Rappels- Les vecteurs I-1 Généralités : * tout couple de points (,B dans un plan, est associé un vecteur B Soit u un représentant de B, alors u = B Lorsque = B,alors u = 0 * La norme du vecteur B est

Plus en détail

5. Exercices et corrigés

5. Exercices et corrigés 5. Exercices et corrigés Rappels et questions-tests p.166 1) ABC est un triangle. Placez les points D et E tels que : BD = AC et AE = BA. Quelle est la nature du quadrilatère ADCE? ) ABC est un triangle.

Plus en détail

ANNEXES. I. Documents cinquième. a. Fiche modèle à rendre avec la figure. Données. Je sais que D après la propriété J en conclus que

ANNEXES. I. Documents cinquième. a. Fiche modèle à rendre avec la figure. Données. Je sais que D après la propriété J en conclus que ANNEXES I. Documents cinquième a. Fiche modèle à rendre avec la figure Noms : Données Je sais que D après la propriété J en conclus que Travail en groupe Exercice Groupe 1 Construire un triangle ABC rectangle

Plus en détail

UNIVERSITE DE LIEGE EXAMEN D ADMISSION AUX ETUDES D INGENIEUR CIVIL. Enoncés et solutions de l examen de première session 2010

UNIVERSITE DE LIEGE EXAMEN D ADMISSION AUX ETUDES D INGENIEUR CIVIL. Enoncés et solutions de l examen de première session 2010 UNIVERSITE DE LIEGE EXAMEN D ADMISSION AUX ETUDES D INGENIEUR CIVIL Géométrie et géométrie analytique Enoncés et solutions de l examen de première session 010 Enoncés On demandait de résoudre trois questions

Plus en détail

Fiche 1 Calcul vectoriel dans R 2 et R 3

Fiche 1 Calcul vectoriel dans R 2 et R 3 Université Paris, IUT de Saint-Denis Année universitaire 0-0 Licence Pro MDQ Géométrie Fiche Calcul vectoriel dans R et R Dans les exercices suivants, on suppose le plan muni d un repère orthonormal (O,,

Plus en détail

Barycentre. Table des matières

Barycentre. Table des matières 1 Barycentre Table des matières 1 Rappels sue les vecteurs 2 1.1 Définition................................. 2 1.2 Opérations sur les vecteurs....................... 2 1.2.1 Somme de deux vecteurs....................

Plus en détail

Le point. 2. Axiome d'euclide (III ème IV ème siècle av J.C.) 3. Parties d'une droite. RAPPELS DE GÉOMÉTRIE

Le point. 2. Axiome d'euclide (III ème IV ème siècle av J.C.) 3. Parties d'une droite. RAPPELS DE GÉOMÉTRIE 1. Le point. C'est l élément élémentaire de la géométrie. Une infinité de points constitue une droite. Sur le dessin, la droite (D) passe par une infinité de points : on dit que ces points sont alignés.

Plus en détail

Seconde 2 DST2 vecteurs Sujet 1-9 février 2015

Seconde 2 DST2 vecteurs Sujet 1-9 février 2015 Seconde DST vecteurs Sujet 1-9 février 01 Exercice 1 : ( points) Soit ABCD un parallélogramme. I, J, K et L sont les milieux respectifs de [AB], [BC], [CD] et [DA]. Recopier et compléter les égalités suivantes

Plus en détail

Equations cartésiennes. Fiche(1)

Equations cartésiennes. Fiche(1) Fiche(1) Le tableau suivant indique, dans la case située ligne l et colonne c, l altitude (exprimée en centaines de mètres) au point dont l abscisse est c et l ordonnée l : par exemple, l altitude du point

Plus en détail

Équations cartésiennes de plans et de droites

Équations cartésiennes de plans et de droites Chapitre 4 Équations cartésiennes de plans et de droites Sommaire 4.1 Équation cartésienne d un plan........................................... 25 4.1.1 Équation cartésienne d un plan........................................

Plus en détail

Vecteurs. Seconde. Eric Leduc 2014/2015. Lycée Jacquard. Vecteurs. Eric Leduc. Translations - Vecteurs associés. Opérations sur les vecteurs

Vecteurs. Seconde. Eric Leduc 2014/2015. Lycée Jacquard. Vecteurs. Eric Leduc. Translations - Vecteurs associés. Opérations sur les vecteurs - Seconde Lycée Jacquard 2014/2015 Rappel du plan - 1-2 3 4 5 Translation - Définition n o 1: Translation On considère deux points A et B du plan. On appelle translation qui transforme A en B la transformation

Plus en détail

CHAPITRE 2 : Géométrie plane

CHAPITRE 2 : Géométrie plane CHAPITRE 2 : Géométrie plane 1 Egalité de deux vecteurs... 2 2 Somme de deux vecteurs... 3 2.1 Relation de Chasles... 3 2.2 Règle du parallélogramme... 3 3 Vecteurs dans un repère... 4 3.1 Coordonnées

Plus en détail

1 Calcul vectoriel. 2 Vecteurs colinéaires. 1.1 coordonnées d un vecteur dans un repère. 1.2 Caractérisation du milieu d un segment

1 Calcul vectoriel. 2 Vecteurs colinéaires. 1.1 coordonnées d un vecteur dans un repère. 1.2 Caractérisation du milieu d un segment Chapitre : Géométrie plane 1 Calcul vectoriel 1.1 coordonnées d un vecteur dans un repère Définition 1. Soit #» u un vecteur du plan. Pour tout point O du plan, il existe un unique point M tel que OM #»

Plus en détail

Triangle rectangle, cercle et médiane

Triangle rectangle, cercle et médiane Triangle rectangle, cercle et médiane A) Activités préparatoires. 1. Parallèles et milieux. Exercice n 1 : Recopier et compléter les chaînons suivants : 1 er cas : (AB) est parallèle à (CD). (MN) est parallèle

Plus en détail

REPERAGE DANS LE PLAN

REPERAGE DANS LE PLAN 1 sur 12 REPERAGE DANS LE PLAN I. Repère du plan Trois points distincts deux à deux O, I et J du plan forment un repère, que l on peut noter (O, I, J). L origine O et les unités OI et OJ permettent de

Plus en détail

Méthodes sur le produit scalaire

Méthodes sur le produit scalaire Méthodes sur le produit scalaire G. Petitjean Lycée de Toucy 10 juin 2007 G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur le produit scalaire 10 juin 2007 1 / 32 1 connaître les différentes façons de calculer

Plus en détail

Seconde sujets Année

Seconde sujets Année Seconde sujets Année 2016-2017 Ph DEPRESLE 0 avril 2017 Table des matières 1 Devoir n 1 Septembre 2016 2 heures 2 2 Devoir n 2 Octobre 2016 2 heures Devoir n Novembre 2016 2 heures 5 4 Devoir n 4 Novembre

Plus en détail

Vecteurs (I) 1 Notion de vecteur. Exercice 1. Sur le quadrillage ci-dessous, on a representé trois points A, B et C.

Vecteurs (I) 1 Notion de vecteur. Exercice 1. Sur le quadrillage ci-dessous, on a representé trois points A, B et C. Vecteurs (I) Exercice 1. Sur le quadrillage ci-dessous, on a representé trois points A, B et C. B A 1. Indiquez par une phrase le déplacement qu il convient d effectuer pour aller de A à B. 2. On effectue

Plus en détail

Parallélogrammes Particuliers

Parallélogrammes Particuliers Parallélogrammes Particuliers I) Définitions et propriétés Les parallélogrammes particuliers étudiés sont les rectangles, les carrés et les losanges. 1) Le rectangle a) Définition : Un rectangle est un

Plus en détail

(donnés) a et b tels que : f : x où a est le coefficient directeur de f et b l ordonnée à l origine.

(donnés) a et b tels que : f : x où a est le coefficient directeur de f et b l ordonnée à l origine. ❶ - Fonctions affines I-1- Définitions et vocabulaire Définition 1: On dit que f est une fonction affine si pour tout réel, il eistent deu réels (donnés) a et b tels que : f : a + b où a est le coefficient

Plus en détail

Produit scalaire dans le plan

Produit scalaire dans le plan ème année Maths Produit scalaire dans le plan Octobre 009 A LAATAOUI Exercice n 1 La figure ci-dessous représente un rectangle ABCD tel que : AB = 5 et BC = ; un triangle ABF équilatéral et un triangle

Plus en détail

x(a + b) = 2 Pythagore et Thalès

x(a + b) = 2 Pythagore et Thalès Pythagore et Thalès Exercice 1 : On a découpé 4 exemplaires de la figure 0 pour les assembler et obtenir la figure 1. La mesure de l aire de la figure 1 est celle d un carré dont le côté a pour mesure

Plus en détail

COMPLEXES. Sujets. septembre Antilles-Guyane. novembre Amérique du Sud. avril Pondichéry. mai Liban.

COMPLEXES. Sujets. septembre Antilles-Guyane. novembre Amérique du Sud. avril Pondichéry. mai Liban. COMPLEXES Sujets septembre 01 novembre 01 avril 01 mai 01 Antilles-Guyane Amérique du Sud Pondichéry Liban Formulaire COMPLEXES 1 Antilles-Guyane septembre 01. EXERCICE Le plan complexe est rapporté à

Plus en détail

Terminale S Chapitre «Géométrie dans l espace» Page 1 sur 17

Terminale S Chapitre «Géométrie dans l espace» Page 1 sur 17 Terminale S Chapitre «Géométrie dans l espace» Page sur 7 Terminale S Chapitre «Géométrie dans l espace» Page sur 7 I) Produit scalaire Dans tout ce paragraphe, on travaillera dans un repère orthonormé

Plus en détail

La calculatrice est autorisée. Il sera tenu compte de la rigueur et du soin apporté au devoir. Vous devez composer sur le sujet.

La calculatrice est autorisée. Il sera tenu compte de la rigueur et du soin apporté au devoir. Vous devez composer sur le sujet. Composition n 1 de Mathématiques NOM : Prénom : Seconde... 3 novembre 2011 Note : /20 Signature : Observations : La calculatrice est autorisée. Il sera tenu compte de la rigueur et du soin apporté au devoir.

Plus en détail

64 = + (b ( 5)) 2 = Pour que le triangle soit équilatéral il faut en plus, par exemple, que AB = BC. Ce qui donne 3 =

64 = + (b ( 5)) 2 = Pour que le triangle soit équilatéral il faut en plus, par exemple, que AB = BC. Ce qui donne 3 = 1ES Correction du problème sur les paraboles. Dans tout ce qui suit le plan sera muni du repère orthonormé (O, ı, j). 1. Soient A(3, 5), B( 8, ) et C ( 1 3, 5) trois points du plan. Calculer les distances

Plus en détail

TRANSLATION et VECTEURS : Composition de deux symétries centrales. 3ème_Chap.5_Translation et Vecteurs

TRANSLATION et VECTEURS : Composition de deux symétries centrales. 3ème_Chap.5_Translation et Vecteurs TRANSLATION et VECTEURS : Composition de deux symétries centrales 1 Activité «avant de démarrer» p200 LIEN ENTRE TRANSLATION ET VECTEUR 2 I VECTEURS 1. Définition Un vecteur est défini par une direction,

Plus en détail

BC = 3 4 AB ( BA 8

BC = 3 4 AB ( BA 8 1 e S - programme 011 mathématiques ch8 cahier élève Page 1 sur 6 Ch8 : Produit scalaire Exercice n A page 5 : Calcul vectoriel Reproduire la figure et compléter le texte On considère le triangle ABC donné

Plus en détail

DROITES REMARQUABLES DANS UN TRIANGLE - EXERCICES CORRIGES SERIE 3

DROITES REMARQUABLES DANS UN TRIANGLE - EXERCICES CORRIGES SERIE 3 THEME : DROITES REMARQUABLES DANS UN TRIANGLE - EXERCICES CORRIGES SERIE 3 Exercice 14 : O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. Soient A',B' et C' les milieux des côtés respectifs [BC],

Plus en détail

ISEFC Juin 2007 Département de Mathématiques MA115. Série d exercices: Géométrie élémentaire du Plan

ISEFC Juin 2007 Département de Mathématiques MA115. Série d exercices: Géométrie élémentaire du Plan ISEFC Juin 2007 Département de Mathématiques MA115 Série d exercices: Géométrie élémentaire du Plan Exercice 1: Soient (ABC) et (ABD) deux triangles tels que C et D soient de part et d autre de la droite

Plus en détail

MILIEUX ET PARALLELES DANS UN TRIANGLE. CORRECTION(s) EXERCICES SERIE 1

MILIEUX ET PARALLELES DANS UN TRIANGLE. CORRECTION(s) EXERCICES SERIE 1 THEME : Correction MILIEUX ET PARALLELES DANS UN TRIANGLE CORRECTION(s) EXERCICES SERIE 1 Exercice : Soit ABC un triangle. Soit D le milieu de [BC]. Soit M le milieu de [AD]. Les parallèles à la droite

Plus en détail

Exercices sur le produit scalaire

Exercices sur le produit scalaire Exercices sur le produit scalaire Exercice 1 La figure ci-dessous représente un rectangle ABCD tel que : AB = 5 et BC = ; un triangle ABF équilatéral et un triangle BCE rectangle et isocèle en C. Le point

Plus en détail

TS Géométrie vectorielle dans l espace Cours. Les définitions et calculs sur les vecteurs du plan peuvent être prolongés à l espace

TS Géométrie vectorielle dans l espace Cours. Les définitions et calculs sur les vecteurs du plan peuvent être prolongés à l espace TS Géométrie vectorielle dans l espace Cours I. Vecteurs de l espace 1. Notion de vecteur dans l espace Les définitions et calculs sur les vecteurs du plan peuvent être prolongés à l espace Deux vecteurs

Plus en détail

( ) Exercice 1. Exercice 5

( ) Exercice 1. Exercice 5 Exercice 1 1. Effectuer : A 11 5 4 B F + 5 4 6 7 C G 7 1 + 7 Exercice 5 1 5 5 5 5 D 1 6 1+ 6 E 1 H 18 0. Compléter alors le tableau suivant en utilisant le symbole ou. A B C D E F G H IN On donne Ax x

Plus en détail

M : Zribi. 4 ème Maths Cour. Produit scalaire dans l espace : Définition:

M : Zribi. 4 ème Maths Cour. Produit scalaire dans l espace : Définition: Produit scalaire dans l espace : Définition: Soit A, B et C trois points, le produit scalaire des vecteurs AB et AC est le réel défini par : AB AC = si AB = 0 ou AC = 0 AB AC = si AB 0 et AC 0 Conséquence

Plus en détail

1 e S - programme 2011 mathématiques ch.2 cahier élève Page 1 sur 38 Ch.7 : Géométrie plane Partir d'un bon pied. b) 4

1 e S - programme 2011 mathématiques ch.2 cahier élève Page 1 sur 38 Ch.7 : Géométrie plane Partir d'un bon pied. b) 4 1 e S - programme 011 mathématiques ch cahier élève Page 1 sur 8 Ch7 : Géométrie plane Partir d'un bon pied Exercice n A page 198 : Multiplication d'un vecteur par un réel QCM Déterminer la (ou les) bonne(s)

Plus en détail

1S DS 4 Durée : 2h. ( 5,5 points ) Exercice 1

1S DS 4 Durée : 2h. ( 5,5 points ) Exercice 1 1S DS Durée : h Exercice 1 (, points ) Dans un repère orthonormé (annexe exercice 1), on donne la droite (d) d équation x 3y + 6 = 0, le point A(1; 7) et le vecteur v (; 3). 1. Pour tracer (d) on peut

Plus en détail

Chapitre 1. Produit scalaire. 1.1 Définitions produit scalaire et norme

Chapitre 1. Produit scalaire. 1.1 Définitions produit scalaire et norme Géométrie métrique plane 1 Chapitre 1 Produit scalaire 1.1 Définitions produit scalaire et norme Le produit scalaire est une notion importante en géométrie pour traiter des questions de longueurs, angles

Plus en détail

Le théorème de Thalès

Le théorème de Thalès Le théorème de Thalès Programmes : 4 e : - Triangles, milieux et parallèles : théorèmes relatifs aux milieux de deux côtés d un triangle - Triangles déterminés par 2 droites parallèles coupant deux demi-droites

Plus en détail

GEOMETRIE ANALYTIQUE

GEOMETRIE ANALYTIQUE 1 Session du brevet 1996 GEMETRE ANALYTQUE Afrique 96 La liste suivante contient les équations de dix droites : y = 1 2 x + 4 y = 1 2 x 4 y = 1 2 x + 4 y = 1 2 x 4 y = x + 4 y = x 4 y = 2x + 4 y = 2x 4

Plus en détail

5 ème COURS triangles et droites remarquables. 1 Inégalité triangulaire

5 ème COURS triangles et droites remarquables. 1 Inégalité triangulaire 1 Inégalité triangulaire Quels que soient les points A, B et C on a l inégalité : AB AC + CB appelé linégalité triangulaire. A, B et C, sont trois points. On a l inégalité triangulaire : AB AC + CB Ecrire

Plus en détail

Géométrie de l'espace

Géométrie de l'espace [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 3 novembre 07 Enoncés Géométrie de l'espace Notions communes Exercice 7 [ 0878 ] [Correction] Soient D et D deux droites distinctes sécantes de l'espace. Montrer

Plus en détail

Repérage dans le plan

Repérage dans le plan Repérage dans le plan I Les repères a) Définition Définition : Un repère du plan est défini par la donnée de trois points distincts non alignés O, I et J. Le repère est alors noté (O ; I ; J). Le point

Plus en détail

(6 points) c. En déduire les dimensions de la boîte ayant le plus grand volume et donner la valeur de volume maximal. (5 points)

(6 points) c. En déduire les dimensions de la boîte ayant le plus grand volume et donner la valeur de volume maximal. (5 points) Bac Blanc - Maths - 1S - 08/0/01 (sur 0 durée : h - calculatrice autorisée La présentation et la qualité de rédaction seront prises en compte dans la note EXERCICE 1 Un chocolatier veut faire fabriquer

Plus en détail

I Exercices I I I I I I I I I I I-2

I Exercices I I I I I I I I I I I-2 Chapitre 9 Équations de droites TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre 09 Équations de droite s Table des matières I Exercices I-1 1................................................ I-1 2................................................

Plus en détail

On appelle H la projection orthogonale de A sur la droite (BC).

On appelle H la projection orthogonale de A sur la droite (BC). Première S 2010-2011 Exercices sur le produit scalaire, équations de droite et de cercles Exercice 1 : Distance d'un point à une droite. On se donne une droite ( ) dont l'équation cartésienne est de la

Plus en détail

S12. Autour des POLYGONES Quadrilatères et polygones réguliers convexes. Un quadrilatère qui a deux côtés parallèles est un parallélogramme

S12. Autour des POLYGONES Quadrilatères et polygones réguliers convexes. Un quadrilatère qui a deux côtés parallèles est un parallélogramme CRPE Mise en route 1. Trouver l intrus. Justifier. 2. Voici des polygones convexes S12. Autour des POLYGONES Quadrilatères et polygones réguliers convexes 1 2 3 4 5 6 7 8 Lesquels sont : des quadrilatères?

Plus en détail

DEMONTRER. 1) Démontrer qu un point est le milieu d un segment. 2) Démontrer que deux droites sont parallèles

DEMONTRER. 1) Démontrer qu un point est le milieu d un segment. 2) Démontrer que deux droites sont parallèles DEMONTRER 1) Démontrer qu un point est le milieu d un segment 2) Démontrer que deux droites sont parallèles 3) Démontrer que deux droites sont perpendiculaires 4) Démontrer qu un triangle est rectangle

Plus en détail

Brevet blanc 2012 La rédaction et la présentation seront notées sur 4 points. L'emploi de la calculatrice est autorisé.

Brevet blanc 2012 La rédaction et la présentation seront notées sur 4 points. L'emploi de la calculatrice est autorisé. Activités numériques (12 points) Brevet blanc 2012 La rédaction et la présentation seront notées sur 4 points. L'emploi de la calculatrice est autorisé. Exercice 1 :(détailler chacun des calculs suivants)

Plus en détail

THEOREMES DES MILIEUX DROITES PARALLELES Corrigés 1/9

THEOREMES DES MILIEUX DROITES PARALLELES Corrigés 1/9 DROITES PARALLELES Corrigés 1/9 Corrigé 01 Corrigé 02 On sait que ABC est un triangle, que I est le milieu de [ AB ] et J le milieu de [ BC ]. (IJ) est donc parallèle à la droite (BC). Corrigé 03 On sait

Plus en détail

Géométrie _ Equations de droites

Géométrie _ Equations de droites Géométrie _ Equations de droites Exercice 1 : Cinéma et concert Sous thème : Coordonnées d un point, droites (livre Maths, 2 nde, Nathan 2010) Un groupe d amis, dont certains sont étudiants, va au cinéma.

Plus en détail

DROITES REMARQUABLES DANS UN TRIANGLE

DROITES REMARQUABLES DANS UN TRIANGLE THEME : DROITES REMARQUABLES DANS UN TRIANGLE Médiatrice d un segment ( Rappels ) Définition : La médiatrice d un segment est la droite perpendiculaire à ce segment qui passe par le milieu du segment.

Plus en détail

Définition. Dans le plan muni d un repère (O;! i,! j ), les coordonnées d un vecteur! u sont les coordonnées de l unique point M tel que. OM=! u.

Définition. Dans le plan muni d un repère (O;! i,! j ), les coordonnées d un vecteur! u sont les coordonnées de l unique point M tel que. OM=! u. Interprétation Propriété Coordonnées d un vecteur Dans le plan muni d un repère (O; i, j ), les coordonnées d un vecteur u sont les coordonnées de l unique point M tel que OM= u. On écrit u (x; y) pour

Plus en détail

LES TRIANGLES. Dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des 2 autres. L INEGALITE TRIANGULAIRE :

LES TRIANGLES. Dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des 2 autres. L INEGALITE TRIANGULAIRE : I) L inégalité triangulaire : 1) Propriété : Dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des 2 autres. B A C L INEGALITE TRIANGULAIRE : BC BA + AC BA BC + AC AC AB + BC 2) Conséquences

Plus en détail

Configurations du plan et trigonométrie

Configurations du plan et trigonométrie Configurations du plan et trigonométrie A) Le triangle rectangle. 1. Le théorème de Pythagore et sa réciproque. Si ABC est un triangle rectangle en A, alors Théorème réciproque : Si ABC est un triangle

Plus en détail

Configurations fondamentales - Seconde

Configurations fondamentales - Seconde Configurations fondamentales - Seconde Exercices de géométrie plane avec GéoPlan : puzzle, triangle, point fixe. Sommaire 1. Puzzle et triangle isocèle 2. Puzzle et carrés 3. Propriété de Thalès 4. Utiliser

Plus en détail

Parallélogrammes particuliers

Parallélogrammes particuliers Parallélogrammes particuliers C H A P I T R E 16 Énigme du chapitre. Construire un parallélogramme ABCD de périmètre 36 cm de périmètre et dont la longueur AB est le double de la longueur BC. Objectifs

Plus en détail

Angles : Définitions utiles. Angles : Propriétés utiles. Triangle : Droite des milieux. Triangle : Généralités

Angles : Définitions utiles. Angles : Propriétés utiles. Triangle : Droite des milieux. Triangle : Généralités Angles : Définitions utiles Angles : Propriétés utiles D1: Deux angles qui ont un sommet commun et un côté commun sont dits adjacents. Sur la figure ci contre, l angle en rouge et l angle en vert ont en

Plus en détail

Produit scalaire et géométrie analytique de l espace. Corrigés d exercices

Produit scalaire et géométrie analytique de l espace. Corrigés d exercices Produit scalaire et géométrie analytique de l espace Corrigés d exercices Les exercices du livre corrigés dans ce document sont les suivants : Page 319 : N 76, 77, 81 Page 35 : N 117 Page 30 : N 85, 86,

Plus en détail