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1 4 éme Année *** Maths Série d exercices Prof : Dhahbi. A *, Por : Géométrie dans l espace Dans tous les exercices, 1'espace est rapporté à un repère orthonormé ( 0, i, j, k ). EXER CICE N 1 : On donne le point A(,1,3) et le vecteur u = i + j + k et v = 3 i + j. Déterminer une représentation paramétrique de la droite perpendiculaire en A à P (A, u, v ). EXER CICE N : Soit la droite D : x = 1 - t y = 3 + t ; t IR et A (0, 3, -) z = -1 - t 1 / Déterminer la distance de A à un point M de la droite D. / Pour quelle valeur de t cette distance est elle minimale? 3 / En déduire les coordonnées du projeté orthogonal de A sur D. EXER CICE N 3: Pour tout réel m, on considère le plan P m d équation : (1 + m)x + y - m z - 3m - 4 = 0. Soit le point A ( 0, 3, - ) 1 / a) Déterminer la distance de A à P m. b) Déterminer les valeurs de m pour lesquelles la distance de A à P m est égale à / Soit la droite D : x = 1 - t y = 3 + t ; t IR z = -1 - t Montrer que pour tout m, la droite D est incluse dans P m. EXERCICE N 4: On considère le points A ( 1, - 1, ). 1 / Donner une représentation paramétrique de la droite ( D ) passant par A et de vecteur directeur u = - i + j + 3 k. / Soit la droite d équation cartésiennes : 4x + y = 0 x z = 0 a) Donner une équation paramétrique de. b) Montrer que les droites (D) et ( ) ne sont pas coplanaires. 3 / Soit P le plan passant par O et perpendiculaire à (D). a) Ecrire une équation cartésienne du plan (P). b) Montrer que la droite ( ) est contenue dans le plan (P). EXERCICE N 5: On donne les points A(,1, -1) ; B(-1, 1, -1) et C( 1,, 0). 1 / a) Calculer le composantes du vecteur AB AC. b) En déduire que les points A, B et C ne sont pas alignés. c) Calculer l aire du triangle ABC. / Soit P le plan d équation:x + y 5z - 4 = 0 et la droite d équations cartésiennes: x a) Déterminer l intersection de P et. b) Vérifier que la droite (BC) est incluse dans P et que passe par le pointa. 3 / a) Soit le point D(-,3,-1). Montrer que les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires. b) Calculer le volume du tétraèdre ABCD. 4 / Déterminer l ensemble des points M de (E) tel que ( DM AM ) BM 0 EXERCICE N 6 : On donne les quatre points A, B, C et I de coordonnées respectives : A(-1,,1) ; B(1, -6, -1) ; C(,, ) et I (0,1, -1). = y 1 = z / a) Calculer le produit vectoriel AB AC. b) Déterminer une équation cartésienne du plan (P) contenant les trois points A, B et C. Série d exercices : Géométrie dans 1'espace 1 Dhahbi. A

2 / Soit Q le plan d équation : x + y 3z + = 0 et ( Q ) le plan du repère (O, i, k ). a) Pourquoi les plans (Q) et (Q ) sont t il sécantes? Série d exercices : 4 éme Maths b) Donner un point E et un vecteur directeur u de la droite d intersection (D) des plans (Q) et (Q ). 3 / Donner une équation cartésienne de la sphère (S) de centre I et de rayon. 4 / On considère les points J et K de coordonnées respectives : J ( -, 0, 0 ) et k ( 1, 0, 1 ). Déterminer l intersection de la droite (S) et de la droite (JK). EXERCICE N 7 : On considère les points A(, 0, 0); B(0,, 0) et C (0, 0, 4).Soit G le point de E définie par: 3 GA - GB = 0. 1 / a) Démontrer que : OG = 3 OA - OB. b) En déduire les coordonnées de G. Calculer CG / Soit S l ensemble des points M de l espace tel que : (3 MA - MB ). MC = 0. a) Démontrer que : 3 MA - MB = MG. b) Démontrer que S est une sphère dont on précisera ces éléments caractéristiques. c) Démontrer qu une équation de S est : x + y + z 6x + 4y - 4z = 0. 3 / Soit P m le plan dont une équation de S est : y m = 0, ou m IR. a) Etudier, suivant les valeurs de m, la position de P m et S. b) Préciser P 0 S. 4 / On désigne par (1, 1, 0) et par h l homothétie de centre et de rapport - 3. a) Déterminer le centre I et le rayon R de la sphère S image de S par h. b) Déterminer l intersection de la sphère S et le plan P 0. EXERCICE N 8: x = 1 + On considère le point A( 1, 0, 1 ), B ( 0, - 1, ) et la droite : y = ; IR z = 1-1 / Vérifier que A et B appartiennent à la droite D. / On désigne par P le plan passant par A et perpendiculaire à D. Donner une équation cartésienne de P. 3 / On désigne par Q le plan passant par B et perpendiculaire à D et par S la sphère tangente en B au plan Q et dont l intersection avec le plan P est le cercle de centre A et de rayon. On désigne par I le centre de la sphère S. a) Montrer que I appartient à la droite (AB) ; on pose alors : I (1 +,, 1 - ) ; IR b) Montrer que : IB = IA + 4. c) Déduire alors que : 6 = 1. d) Déterminer les coordonnées du point I et écrire une équation cartésienne de la sphère S. EXERCICE N 9 : On considère les plans P : x - y - 3z = 0 ; P : 4x y 6 z + 1 = 0 et la droite. x = - - : y = -6-6 ; IR z = / Montrer que les plans P et P sont parallèles. 1 / Déterminer la translation qui transforme P en P et qui laisse globalement invariante. 3 / Déterminer le rapport de l homothétie h de centre le point ( 0, -4, 0 ) et telle que h ( P) = P. EXERCICE N 10: On considère le point A(1,-1,), P : x - y + z 1 = 0 ; P : x y z = 0. 1 / Montrer que les plans P et P sont perpendiculaires. / Déterminer un système d équations paramétriques de la droite (D). 3 / Déterminer une équation cartésienne du plan Q passant par A et perpendiculaire à la droite (D). 4 / On désigne par I(1, 3, 0) et par h l homothétie de centre I et de rapport 3. a) Donner l expression de analytique de h. b) Soit R le plan image de P par h. Donner une équation cartésienne de R. c) Vérifier que h (P) = P. d) En déduire un vecteur directeur de la droite D intersection des plans P et R. Série d exercices : Géométrie dans 1'espace Dhahbi. A

3 EXERCICE N 11 : Série d exercices : 4 éme Maths On considère le tétraèdre ABCE tel que A(1, 0, ) ; B(0, 0, 1) ; C(0, -1, 3) et AE = AB AC. 1 / a) Vérifier que E a pour coordonnées (0,, 3). b) Calculer le volume du tétraèdre ABCE. / a) Soit P le plan d équation: x y z + 5 = 0. Montrer que P est parallèle au plan (ABC). b) Soit K le point définie par: KE + KC = 0. Calculer les coordonnées du point K et vérifier que K appartient au plan P. 3 / Soit h l homothétie de centre E qui transforme le point C en K. a) Déterminer le rapport de h. b) Le plan P coupe les arêtes [EA] et [EB] respectivement en I et en J. Calculer le volume du tétraèdre EIJK. EXERCICE N 1 : On donne les points A( 1, 1, 1 ) ; B( 0, 1, -1 ) et C( -1, 0,1) et le plan P d équation : x z + 3 = 0. 1 / a) Calculer le composantes du vecteur OA OB. b) En déduire que les points O, A et B déterminent un plan Q. c) En déduire qu une équation cartésienne du plan Q est : x y z = 0 / Calculer l aire du triangle OAB. 3 / a) Montrer que les plans P et Q sont sécant suivant une droite dont on déterminera une représentation paramétrique. b) Calculer d(c, ). 4 / a) Ecrire une équation cartésienne de la sphère S de centre I(-1,0,1) et de rayon 1. b) Montrer que S P est un cercle dont on précisera le centre H et le rayon r. EXERCICE N 13: Dans la figure ci-contre, ABCDEFGH un cube d arêtes 1. On désigne par I, J et K sont les milieux respectifs des arêtes [BC], [AE] et [DC]. On munit alors l espace du repère orthonormée direct (A, AB, AD, AE ) orienté par celui-ci. 1 / a) Vérifier que I a pour coordonnées (1, 1,0) et que K a pour coordonnées ( 1,1, 0). b) Déterminer les composantes du vecteur GI GK c) Calculer alors le volume de tétraèdre JGKI. / a) Montrer que le plan (GIK) à pour équation : x + y z 3 = 0. x = 1 b) Montrer que (CJ): y = 1 ; IR z = 3 / La droite (CJ) coupe le plan (GIK) en H. a) Vérifier que la droite (CJ) est perpendiculaire au plan (GIK). b) Déterminer les deux points de (CJ) dont la distance au plan (GIK) est égale à 1. 4 / Montrer qu il existe deux sphères de rayon 1 tangentes au plan (GIK) en H. EXERCICE N 14: On considère le pont ( 3, -, -3) et les droites D et D définie par : x = x = 1-6 : y = - ; IR y = ; IR z = 1 + z = -1 - Montrer qu il existe une homothétie de centre et qui transforme D en D. Déterminer son rapport. Pour une bonne réussite Série d exercices :Géométrie dans 1'espace 3 Dhahbi. A

4 4 éme Année *** Maths Série d exercices Prof : Dhahbi. A *, Por : Géométrie dans l espace Dans tous les exercices, 1'espace est rapporté à un repère orthonormé ( 0, i, j, k ). EXERCICE N 1: On donne les points A(,1, -1) ; B(-1, 1, -1) et C( 1,, 0). 1 / a) Calculer le composantes du vecteur AB AC. b) En déduire que les points A, B et C ne sont pas alignés. c) Calculer l aire du triangle ABC. / Soit P le plan d équation:x + y 5z - 4 = 0 et la droite d équations cartésiennes: x c) Déterminer l intersection de P et. d) Vérifier que la droite (BC) est incluse dans P et que passe par le pointa. 3 / a) Soit le point D(-,3,-1). Montrer que les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires. b) Calculer le volume du tétraèdre ABCD. 4 / Déterminer l ensemble des points M de (E) tel que ( DM AM ) BM 0 EXERCICE N : = y 1 = z -1. On considère les points A(, 0, 0); B(0,, 0) et C (0, 0, 4).Soit G le point de E définie par: 3 GA - GB = 0. 1 / a) Démontrer que : OG = 3 OA - OB. b) En déduire les coordonnées de G. Calculer CG / Soit S l ensemble des points M de l espace tel que : (3 MA - MB ). MC = 0. d) Démontrer que : 3 MA - MB = MG. e) Démontrer que S est une sphère dont on précisera ces éléments caractéristiques. f) Démontrer qu une équation de S est : x + y + z 6x + 4y - 4z = 0. 3 / Soit P m le plan dont une équation de S est : y m = 0, ou m IR. a) Etudier, suivant les valeurs de m, la position de P m et S. b) Préciser P 0 S. 4 / On désigne par (1, 1, 0) et par h l homothétie de centre et de rapport - 3. c) Déterminer le centre I et le rayon R de la sphère S image de S par h. d) Déterminer l intersection de la sphère S et le plan P 0. EXERCICE N 3: x = 1 + On considère le point A( 1, 0, 1 ), B ( 0, - 1, ) et la droite : y = ; IR z = 1-1 / Vérifier que A et B appartiennent à la droite D. / On désigne par P le plan passant par A et perpendiculaire à D. Donner une équation cartésienne de P. 3 / On désigne par Q le plan passant par B et perpendiculaire à D et par S la sphère tangente en B au plan Q et dont l intersection avec le plan P est le cercle de centre A et de rayon. On désigne par I le centre de la sphère S. a) Montrer que I appartient à la droite (AB) ; on pose alors : I (1 +,, 1 - ) ; IR b) Montrer que : IB = IA + 4. c) Déduire alors que : 6 = 1. d) Déterminer les coordonnées du point I et écrire une équation cartésienne de la sphère S. EXERCICE N 4 : On considère les plans P : x - y - 3z = 0 ; P : 4x y 6 z + 1 = 0 et la droite. x = - - : y = -6-6 ; IR z = / Montrer que les plans P et P sont parallèles. 1 / Déterminer la translation qui transforme P en P et qui laisse globalement invariante. 3 / Déterminer le rapport de l homothétie h de centre le point ( 0, -4, 0 ) et telle que h ( P) = P. Série d exercices : Géométrie dans 1'espace 1 Dhahbi. A

5 Série d exercices : 4 éme Maths EXERCICE N 5: On considère le point A(1,-1,), P : x - y + z 1 = 0 ; P : x y z = 0. 1 / Montrer que les plans P et P sont perpendiculaires. / Déterminer un système d équations paramétriques de la droite (D). 3 / Déterminer une équation cartésienne du plan Q passant par A et perpendiculaire à la droite (D). 4 / On désigne par I(1, 3, 0) et par h l homothétie de centre I et de rapport 3. e) Donner l expression de analytique de h. f) Soit R le plan image de P par h. Donner une équation cartésienne de R. g) Vérifier que h (P) = P. h) En déduire un vecteur directeur de la droite D intersection des plans P et R. EXERCICE N 6 : On considère le tétraèdre ABCE tel que A(1, 0, ) ; B(0, 0, 1) ; C(0, -1, 3) et AE = AB AC. 1 / a) Vérifier que E a pour coordonnées (0,, 3). b) Calculer le volume du tétraèdre ABCE. / a) Soit P le plan d équation: x y z + 5 = 0. Montrer que P est parallèle au plan (ABC). b) Soit K le point définie par: KE + KC = 0. Calculer les coordonnées du point K et vérifier que K appartient au plan P. 3 / Soit h l homothétie de centre E qui transforme le point C en K. b) Déterminer le rapport de h. b) Le plan P coupe les arêtes [EA] et [EB] respectivement en I et en J. Calculer le volume du tétraèdre EIJK. EXERCICE N 7: Dans la figure ci-contre, ABCDEFGH un cube d arêtes 1. On désigne par I, J et K sont les milieux respectifs des arêtes [BC], [AE] et [DC]. On munit alors l espace du repère orthonormée direct (A, AB, AD, AE ) orienté par celui-ci. 1 / a) Vérifier que I a pour coordonnées (1, 1,0) et que K a pour coordonnées ( 1,1, 0). b) Déterminer les composantes du vecteur GI GK c) Calculer alors le volume de tétraèdre JGKI. / a) Montrer que le plan (GIK) à pour équation : x + y z 3 = 0. x = 1 b) Montrer que (CJ): y = 1 ; IR z = 3 / La droite (CJ) coupe le plan (GIK) en H. c) Vérifier que la droite (CJ) est perpendiculaire au plan (GIK). d) Déterminer les deux points de (CJ) dont la distance au plan (GIK) est égale à 1. 4 / Montrer qu il existe deux sphères de rayon 1 tangentes au plan (GIK) en H. EXERCICE N 8: On considère le pont ( 3, -, -3) et les droites D et D définie par : x = x = 1-6 : y = - ; IR y = ; IR z = 1 + z = -1 - Montrer qu il existe une homothétie de centre et qui transforme D en D. Déterminer son rapport. Pour une bonne réussite Série d exercices :Géométrie dans 1'espace Dhahbi. A

6 EXERCICE N 1 : On donne les points A( 1, 1, 1 ) ; B( 0, 1, -1 ) et C( -1, 0,1) et le plan P d équation : x z + 3 = 0. 1 / a) Calculer le composantes du vecteur OA OB. b) En déduire que les points O, A et B déterminent un plan Q. c) En déduire qu une équation cartésienne du plan Q est : x y z = 0 / Calculer l aire du triangle OAB. 3 / a) Montrer que les plans P et Q sont sécant suivant une droite dont on déterminera une représentation paramétrique. b) Calculer d(c, ). 4 / a) Ecrire une équation cartésienne de la sphère S de centre I(-1,0,1) et de rayon 1. b) Montrer que S P est un cercle dont on précisera le centre H et le rayon r. EXERCICE N 6 : On donne les quatre points A, B, C et I de coordonnées respectives : A(-1,,1) ; B(1, -6, -1) ; C(,, ) et I (0,1, -1). 1 / a) Calculer le produit vectoriel AB AC. b) Déterminer une équation cartésienne du plan (P) contenant les trois points A, B et C. / Soit Q le plan d équation : x + y 3z + = 0 et ( Q ) le plan du repère (O, i, k ). c) Pourquoi les plans (Q) et (Q ) sont t il sécantes? d) Donner un point E et un vecteur directeur u de la droite d intersection (D) des plans (Q) et (Q ). 3 / Donner une équation cartésienne de la sphère (S) de centre I et de rayon. 4 / On considère les points J et K de coordonnées respectives : J ( -, 0, 0 ) et k ( 1, 0, 1 ). Déterminer l intersection de la droite (S) et de la droite (JK). EXERCICE N 4: On considère le points A ( 1, - 1, ). 1 / Donner une représentation paramétrique de la droite ( D ) passant par A et de vecteur directeur u = - i + j + 3 k. / Soit la droite d équation cartésiennes : 4x + y = 0 x z = 0 a) Donner une équation paramétrique de. b) Montrer que les droites (D) et ( ) ne sont pas coplanaires. 3 / Soit P le plan passant par O et perpendiculaire à (D). a) Ecrire une équation cartésienne du plan (P). b) Montrer que la droite ( ) est contenue dans le plan (P). EXERCICE N 11 : L espace est rapporté à un repère orthonormé direct (O, i, j, k ). On donne les points A(, 1, 0 ) ; B( 1,, ) et C( 3, 3, 1). 1 / a) Calculer le composantes du vecteur AB AC. b) En déduire que les points A, B et C ne sont pas alignés. c) Montrer qu une équation cartésienne du plan P est : x y + z - 1 = 0. d) Calculer le volume du tétraèdre OABC. / Soit H le projeté orthogonal du point O sur le plan (ABC). Déterminer OH. 3 / a) Montrer que le triangle ABC est équilatéral. b) Déterminer les coordonnées du point G centre de gravité du triangle ABC. 4 / Soit S l ensemble des points M ( x, y, z ) de E tels que : x + y + z x - 6y + 5 = 0. a) Vérifier que S est une sphère dont on précisera les coordonnées du centre I et le rayon r. b) Vérifier que les points A, B et C appartiennent à (S). c) En déduire l intersection de la sphère (S) et le plan P. c) Donner des équations cartésiennes des plans P 1 et P parallèles à P et tangents à la sphère (S) EXER CICE N 3: On donne les points A (- 1, 1, ) ; B ( 0, 0, 1 ) et C (, 4, 1 )

7 1 / Montrer que les points A,B et C ne sont pas alignés. / Justifier que AB AC est normal au plan (ABC). 3 / a) Déterminer les coordonnées de vecteur AB AC. b) En déduire une équation cartésienne du plan (ABC). 4 / Déterminer une représentation paramétrique de la droite passant par O et perpendiculaire au plan (ABC). 5 / Soit S la sphère de centre A et de rayon. a) Soit

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