ELECTRICITE ELECTROMAGNETISME

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1 ELECTICITE ELECTOMAGNETISME GANDEUS FONDAMENTALES DE L ELECTOMAGNETISME Objectif du cous : - Mise en place des bases théoiques et des outils mathématiques pemettant de compende et modélise les systèmes magnétiques. - Ete capable à pati d une stuctue magnétique d élaboe la loi électique liant la tension et le couant alimentant le système : U = f (I). Cette elation pouvant ête linéaie ou non. A l issue de ce cous, les étudiants doivent ête à même de mette en équation les systèmes magnétiques. Cette mise en équation pemettant de dimensionne et évalue les pefomances d un système magnétique. L application diecte du cous est la compéhension de système tel que : - elais magnétique - obine de lissage - Tansfomateu - Machines tounantes : Machine à couant continu Machine Synchone Machine Asynchone Moteu pas à pas Olivie FANCAIS 1

2 SOMMAIE I CHAMP D INDUCTION MAGNÉTIQUE... 3 I.1 DÉFINITION... 3 I. EXEMPLE DE CALCUL... 3 I..1 Cas d un fil de longueu infini... 3 I.. Cas d une spie ciculaie : calcul su l axe de la spie... 4 II CHAMP D EXCITATION MAGNÉTIQUE H... 5 II.1 DÉFINITION... 5 II. THÉOÈME D AMPÈE... 5 II.3 EXEMPLE D APPLICATION... 6 III FLUX MAGNÉTIQUE... 6 III.1 DÉFINITION... 6 III. CAS D UNE SPIE INCLINÉE... 7 III.3 POPIÉTÉ : LOI DE CONSEVATION DU FLUX... 7 III.3.1 Notion de tube d induction... 7 III.3. Popiété... 7 IV MILIEUX MAGNÉTIQUES ISOTOPES... 7 IV.1 ELATION ENTE ET H DANS LE VIDE... 7 IV. MILIEUX MAGNÉTIQUES ISOTOPES... 8 IV.3 CLASSIFICATION DES MILIEUX MAGNÉTIQUES... 8 IV.4 LOI COMPOTEMENTALE DES MILIEUX FEOMAGNÉTIQUES : COUES =F(H)... 9 IV.4.1 Coube de pemièe aimantation et cycle d hystéésis... 9 IV.5 CLASSIFICATION DES MATÉIAUX FEOMAGNÉTIQUES IV.5.1 Matéiaux dus IV.5. Matéiaux doux IV.6. PETES DANS LA MATIÈE... 1 IV.6.1. Enegie magnétisante... 1 IV.6.. Petes pa hystéésis... 1 IV.6.3. Petes pa couants de foucault... 1 V CICUITS MAGNÉTIQUES V.1 CONSTITUTION V. MISE EN ÉQUATION : CAS PAFAIT V..1 Exemple N 1 : Cas d un cicuit magnétique sans entefe V.. Exemple N : Cicuit magnétique avec entefe V.3 ÉLUCTANCE LOI D HOPKINSON V.3.1 Foce magnétomotice V.3. éluctance V.3.3 Loi d Hopkinson V.4 ANALOGIE MAGNÉTIQUE ELECTIQUE V.5 EXEMPLE D APPLICATION DE L ANALOGIE PA SCHÉMA ÉQUIVALENT V.5.1 Cicuit avec entefe V.5. Cicuit avec deux tonçons V.6 CALCUL DE L INDUCTANCE POPE D UN CICUIT V.7 EXEMPLE D APPLICATION NUMÉIQUE : Olivie FANCAIS

3 I Champ d induction magnétique I.1 Définition Le champ d induction magnétique taduit l effet du déplacement des chages électiques. Si un couant constant tavese un conducteu électique de longueu élémentaie dl, on écit localement la loi de iot et Savat : µ 0 I dl u d = 4π Avec dl : longueu du cicuit soumis au couant I, oienté dans le sens de I. : distance de l élément dl au point d expession de l induction d, potée pa le vecteu u (vecteu unité allant de dl ves le point d expession de d). µ o :peméabilité magnétique du vide (µ o = 4π.10-7 U.S.I.). L induction s expime en Tesla. I. Exemple de calcul I..1 Cas d un fil de longueu infini Le calcul s effectue en deux étapes. Nous allons d abod calcule le champ céé pa une potion de fil de longueu dl puis nous intégeons le long du fil pou obteni le champ ésultant. Etude d un élément dl On epend la loi de iot et Savat µ 0 I dl u d = 4π Le calcul du poduit vectoiel dl u fait appaaîte l angle α ente le vecteu dl et le. vecteu u. Ainsi dl u = dl.1.sin( α) Si l on obseve le tiangle fomé pa l élément dl et le point de mesue de d (Voi figue ci-dessous), on obtient les elations suivantes : dl OO' = sin α dθ dθ OO' = sin soit : dlsin α = dθ Olivie FANCAIS 3

4 Ainsi, le module du champ d induction magnétique céé pa l élément dl a pou expession : µ 0I dθ d = 4π Son oientation est donnée pa la ègle du tie-bouchon, ici entant dans la «feuille» (couant allant du bas ves le haut, champ à calcule à doite). Etude pou un fil infini Dans ce cas, il faut intége la valeu du champ d su un angle θ allant de -π/ à +π/ : +π/ µ = o I d dθ avec = où d est la plus petite distance du point de mesue au fil. 4π cos θ π/ Lignes de champ µicosθ µ I dθ = 4πd d +π/ 0 = π/ π d1 1 3 La valeu du champ diminue avec la distance. Pa symétie, les lignes de champ foment des cecles autou du fil. I.. Cas d une spie ciculaie : calcul su l axe de la spie La spie possède un ayon. Le point de mesue est à une distance de la spie, la spie est vue sous un angle β pa appot à son axe : Idl 0 Avant d effectue le calcul, il faut emaque que la ésultante du champ, pa symétie, sea paallèle à l axe de la spie. En effet, deux points de la spie diamétalement opposés ajoutent leu composante axiale mais compensent leu composante adiale. 0 d1 d d=d1+d Olivie FANCAIS 4

5 Seule la composante su l axe est donc à calcule : d = x d sin β. O : µ 0I dl dx = sin β ( dl u = dl ) 4π dl = dθ et = sin β Avec θ : angle de pacous de la spie vis à vis du point de calcul de. Donc : = π 0 µ 0I 4π 3 µ 0I dθ = * 3 Au cente de la spie le champ d induction a pou module : µ 0 I = Pa la suite, dans le domaine de l électotechnique, l induction magnétique ne sea pas à détemine pa la elation de iot et Savat ca les calculs qui en découlent sont top complexes. Nous utiliseons le vecteu d excitation magnétique H. II Champ d excitation magnétique H II.1 Définition Le champ d excitation H end compte de l influence du milieu magnétique su les gandeus. Il s expime en Ampèes pa mète. Dans le vide ou dans l ai : l induction et l excitation magnétique sont colinéaies : = µ H Au sein d un matéiau magnétique : il en est de même. Mais on fait inteveni la peméabilité elative du matéiau µ : II. Théoème d Ampèe µ o o = µ H La ciculation du vecteu H le long d une coube femée (C) quelconque est égale à la somme algébique des couants tavesant la suface s appuyant su le contou (C). = ± C H.dl Le couant sea pis positivement si il est dans le sens de la nomale à la suface (ègle du tie-bouchon pa appot au sens de pacous du contou C). Le couant sea pis négativement si il est dans le sens contaie de la nomale à la suface (ègle du tie-bouchon pa appot au sens de pacous du contou C). j I j Olivie FANCAIS 5

6 Exemple : I H I3 I1 I4 I5 (C) Le couant I n intevient dans le calcul. L application du théoème d ampèe donne : C H.dl = I1 I3 + I4 I5 II.3 Exemple d application Cas du fil infini : I H Les lignes de champ des vecteus et H sont des cecles dont l axe est le conducteu électique. Nous allons pende comme contou femé une ligne de champ située à une distance. Su ce contou, le champ est constant. H.dl = I = H * π C I H = π q : On etouve le ésultat calculé en I..1 (=µ o H). III Flux magnétique III.1 Définition Le flux du vecteu d induction magnétique à taves une suface femée (S) est définie pa : Φ S = (S). n ds n (S) Avec n vecteu nomal à la suface S. Le flux magnétique s expime en Webe (Wb). Olivie FANCAIS 6

7 III. Cas d une spie inclinée On supposea le champ d induction constant au taves de la spie S. On appellea α l angle ente la nomale à la spie et le champ : Φ S = (S). n ds = S cos αds = cos α S ds Φ S = Scos α n (S) III.3 Popiété : loi de consevation du flux III.3.1 Notion de tube d induction Un tube d induction (ou de champ) est un moceau d espace femé s appuyant su deux contous femés C1 et C, où chaque point de C1 est elié à un point de C pa une ligne de champ magnétique (le champ y est tangentiel). III.3. Popiété Le flux magnétique est consevé suivant au sein d un tube de champ. Φ S1 = Φ S 1.S1 =. S (S) 1 (S1) On peut généalise ce pincipe en disant qu au sein d un volume femé, le flux entant est égal au flux sotant. Exemple : 1.S1.S En appliquant la loi de consevation du flux on obtient comme elation : 1.S1 =.S + 3.S3 3.S IV Milieux magnétiques isotopes IV.1 elation ente et H dans le vide Nous avons déjà vu que dans le vide, le champ d induction et le champ d excitation H, étaient colinéaies et liés pa la elation : vide. µ = o H avec µ 0 la peméabilité magnétique du Olivie FANCAIS 7

8 IV. Milieux magnétiques isotopes Au sein d un matéiau, le champ d excitation H est toujous donné pa le théoème d Ampèe. Sous le champ d excitation H, il va se poduie une influence du milieu qui va se supepose au champ d excitation pou poduie le champ d induction. On définit cette éaction à l aide du vecteu d aimantation J : = µ 0 H+ µ 0 J Cette aimantation J est popotionnelle au champ d excitation et peut se mette sous la fome : J = χh où χ est la susceptibilité magnétique du matéiau. Ainsi le champ d induction ésultant peut s écie sous la fome : = µ µ H 0 Avec µ la peméabilité elative du matéiau et µ =(1+χ). On classifiea les matéiaux suivant la valeu de leu susceptibilité magnétique χ. IV.3 Classification des milieux magnétiques Les valeus données ci-dessous sont valables à tempéatue ambiante. χ<0 : Milieux diamagnétiques La susceptibilité χ est faible et de valeu négative. H et J sont donc de sens contaie. Matièe susceptibilité χ Silicium (Si) -1,.10-6 Cuive (Cu) -1, Plomb (Pb) -1, χ>0 : Milieux paamagnétiques La susceptibilité χ est faible et de valeu positive. H et J sont de sens identique. Matièe susceptibilité χ Aluminium (Al) 7, Tungstène (W) 3, Platine (Pt) 1,.10-5 χ >>0 : Milieux feomagnétiques La susceptibilité χ est gande. Ces matéiaux sont essentiels pou l électotechnique. Ils se basent su l utilisation du Fe, Cobalt, Nickel et leus alliages. La coube cidessous donne un ode de gandeu et l évolution de la peméabilité elative pou tois matéiaux feomagnétiques en fonction du champ magnétique qui les tavesent. Olivie FANCAIS 8

9 Il est à note que la valeu de la susceptibilité χ dépend à la fois de la tempéatue mais sutout de la valeu du champ d excitation qui est appliquée au matéiau. Cela implique que le elation ente et H peut se complexifie : = µ(h). H La figue ci-dessous ésume le compotement des 3 catégoies de matéiaux : IV.4 Loi compotementale des milieux feomagnétiques : coubes =f(h) IV.4.1 Coube de pemièe aimantation et cycle d hystéésis Ces coubes montent comment un cops feomagnétique éagit à l excitation magnétique H : Coube de pemièe aimantation : coube = f(h) losque le cops feomagnétique ne possède aucune aimantation. Cycle d hystéésis : coube = f(h) losque le cops feomagnétique possède déjà une aimantation. Olivie FANCAIS 9

10 On définit plusieus zones dans la coube =f(h) : Zone linéaie : dans cette zone, = µ.h avec µ constante. C est cette zone qui est généalement exploitée pou les tansfomateus et les machines tounantes. Satuation du milieu feomagnétique : losque H devient top gand, ne vaie pesque plus. Le matéiau magnétique est dit satué. On a toujous = µ.h, mais µ n est plus constant («il s écoule»). tend ves le champ de satuation s. Champ émanent : champ qui subsiste losque H = 0 (i 1 = 0). Excitation coecitive Hc : excitation H nécessaie pou annule le champ émanent. Hystéésis : c est le dédoublement de la caactéistique (H) du matéiau magnétique. Donc dépend non seulement de H, mais aussi de l aimantation antéieue. Les substances feomagnétiques sont donc douées de mémoie. Le cycle d hystéésis a pou conséquence : Il subsiste une induction émanente losque l on annule l excitation. Si l on souhaite annule, il faut invese le champ d excitation H, on appelle la valeu de ce champ le champ coecitif H c. Ci dessous, l évolution de la coube =f(h) pou difféentes amplitudes d excitation : IV.5 Classification des matéiaux feomagnétiques On sépae les matéiaux magnétiques en deux familles qui se distingue pa leu coube =f(h). IV.5.1 Matéiaux dus Matéiaux qui pésentent une fote aimantation émanente et difficile à annule (Hc est gand). Ils sont utilisés pou faie des aimants pemanents (ex :acie). Ce sont des matéiaux qui pésentent un cycle d hystéésis tès lage ( 10 4 A/m < Hc < 10 6 A/m ). Ils sont utilisés en généal comme aimant. On les utilise dans le 4 ème quadant ( >0 et H<0 ). Hc devient alos le champ démagnétisant à ne pas dépasse. Olivie FANCAIS 10

11 Exemples de caactéistiques (T) Alnico 40% Samaium Cobalt 5% 1,5 0,85 0,7 Evolution =f(h) pou matéiaux dus Caactéistiques d Aimant H (ka/m) Exemples d alliages utilisés pou les aimants. Feite (oxyde de fe) Satuation à 0,6 T 0,4 T - Hc 00 ka/m Samaium-Cobalt (Sm-Co) satuation à 1 T = 0,8 T - Hc = 500 ka/m IV.5. Matéiaux doux Matéiaux qui possèdent une aimantation émanente facile à annule (Hc est petit). A l opposé des matéiaux dus, un matéiau doux pésente un cycle d hystéésis tès petit voi inexistant ( 1E- A/m < Hc < 100 A/m). C est la base des machines tounantes ou de tout système magnétique voyant une induction altenative (µ dans la zone linéaie : 50 à 1E4). Matéiaux doux Ils sont éalisés à base de Fe. En fonction de l alliage utilisée, on touve difféente valeu de champ de satuation s : Fe : s, T. FeSi : s 1,8 T. onne tenue mécanique (Moteu, Tansfomateu) FeCo : s,4 T. Faibles petes Che!! Exemples d alliages utilisés pou les tôles des tansfomateus : Céamique : s 0,5 T. Tès faibles petes (H.F.) FeNi : s 1,3 T faible Hc (Alim à découpage. FeSi 3,5% de Si Satuation à T Hc 0 µ = 7000 à 50 Hz FeSi à gains oientés satuation à 3 T - = 1,4 T - Hc = 8 A/m µ > à 50 Hz Olivie FANCAIS 11

12 IV.6. Petes dans la matièe IV.6.1. Enegie magnétisante Pou obteni un champ magnétique au sein d un matéiau, cela nécessite l appot d une énegie ω dite magnétisante. Elle est popotionnelle au volume du matéiau: ω = Hd v. 0 L énegie stockable dans un milieu de peméabilité µ est: ω = 1 µ Ainsi dans le cas d un cicuit avec un entefe, l essentiel de l énegie vienda se place dans celui-ci. Les matéiaux magnétiques ont un ôle essentiellement de canaliseu, de cicuit de tansit. Un tansfomateu n aua pas d entefe, alos qu une inductance de lissage aua tès cetainement un entefe pou faie office de stockage 0 H d énegie afin de pas satue le cicuit. IV.6.. Petes pa hystéésis Ce type de pete est lié au cycle d hystéésis du matéiau. Le pacous du cycle (H) fait appaaîte une pete d énegie qui coespond alos à un échauffement de la matièe. Elles sont donc popotionnelles à la féquence et sont liées à la stuctue du matéiau. P h =α. M. f H Dans le cade de tansfomateu, on utilise des matéiaux doux pou cette simple aison. IV.6.3. Petes pa couants de foucault Les vaiations du champ magnétique dans la matièe génèent pa induction des couants induits qui se ebouclent su eux-mêmes. Il y a donc échauffement pa effet joule. Cette fois-ci ces petes sont popotionnelles au caé de la féquence: P f =β. M. f Afin de les limite, on cheche à éduie le pacous des couants induits, c est pou cette aison que l on utilise des cicuits magnétiques feuilletés isolés. Olivie FANCAIS 1

13 V Cicuits magnétiques Ils sont basés su l utilisation de matéiaux feomagnétiques avec comme but d obteni un champ d induction dans une zone pécise (entefe). Pou ce faie, on cée un champ d excitation H à l aide de bobinage puis on le canalise ves la zone d utilisation (entefe). V.1 Constitution On peut ésume un cicuit magnétique à cette géométie : On etouve tois éléments :! : Le bobinage qui génèe l excitation et donc le champ " : la culasse qui diige le champ H ves la zone utile. La culasse impose le pacous du champ magnétique de pat sa gande peméabilité pa appot à l ai. Le matéiau qui compose la «culasse» se compote comme un tube de champ. # : l entefe où l on souhaite utilise le champ. L entefe est la zone d inteaction avec l extéieu. V. Mise en équation : cas pafait La mise en équation se base su les tois lois fondamentales que nous avons établies : Consevation du Flux Théoème d Ampèe Loi des matéiaux Dans le cas pafait, le cicuit magnétique se confond avec un tube de champ. Tout le flux est canalisé pa le cicuit. De plus, il a un compotement linéaie en tout point : =µh (µ=µ o µ ). Il en est de même dans l entefe : =µ o H. V..1 Exemple N 1 : Cas d un cicuit magnétique sans entefe D apès le théoème d Ampèe : HL = NI L : longueu moyenne des lignes de champ (m) (L=π) N : nombe de spies de la bobine I : couant dans la bobine (A) H : excitation magnétique (A/m) La valeu du champ magnétique est donc : = µ µ NI / L o Olivie FANCAIS 13

14 V.. Exemple N : Cicuit magnétique avec entefe D apès le théoème d Ampèe: H(L e) + H0 e = NI L : longueu moyenne des lignes de champ (m) e : longueu de l entefe (m) N : nombe de spies de la bobine I : couant dans la bobine (A) H : excitation magnétique dans la matièe (A/m) H0 : excitation magnétique dans l entefe (A/m) En considéant le cicuit magnétique pafait, on peut considée que les ligne de champ este dans l alignement du matéiau magnétique : De plus, si e << L, les lignes de champs tavesent l entefe sans top de pete. Loi de consevation du flux mat =ai µ 0.µ.H = µ 0.H 0 µ.h = H 0 µ 1000 pou du fe. H 0 est 1000 fois plus impotant que H! Donc si l on a besoin d une excitation donnée dans l entefe, on peut calcule le couant qui sea nécessaie. Celui-ci sea d autant plus faible que µ sea gand. On en déduit la valeu du champ magnétique dans l entefe : µ oni = L e + e µ V.3 éluctance Loi d Hopkinson V.3.1 Foce magnétomotice De manièe à simplifie l étude des cicuits magnétiques on définit ξ, la foce magnétomotice, à pati du théoème d Ampèe : ξ = NI = Le sens de cette foce magnétomotice est donné pa la méthode du tie-bouchon en appot avec le sens de pacous de C. V.3. éluctance De même, en tenant compte de la loi constitutive du matéiau, on peut établi en tout point M du pacous C : C H.dl M = M µ M H On peut alos expime le théoème d ampèe sous la fome : Olivie FANCAIS 14

15 Φdl µ S M M NI =.dl = dl = soit NI = Φ C µ M On définit la éluctance : µ C M C M M = C µ dl M S M dl C µ M S M (On suppose et dl colinéaies) Ainsi, un baeau de longueu L, de section S et peméabilité µ aua une éluctance : L = µs La éluctance dépend de la géométie du cicuit magnétique. Elle peut vaie avec l intensité du champ pa l intemédiaie de µ. V.3.3 Loi d Hopkinson En combinant la foce magnétomotice à la éluctance, on obtient alos la elation d Hopkinson : ξ = NI = Φ La éluctance ne dépend que des caactéistiques géométiques du cicuit. La foce magnétomotice ξ epésente l excitation qui va génée le flux au sein du cicuit mais est indépendante de sa géométie. On est donc typiquement dans le cas analogue du généateu de tension que l on connecte à une ésistance ce qui va engende un couant I. U = I ξ = Φ V.4 Analogie magnétique Electique L obsevation des elations d Hopkinson pemet d effectue une analogie avec les cicuits électiques linéaies : U = I ξ = Φ A tout cicuit magnétique, on peut affecte une epésentation électique pemettant d étudie le compotement du cicuit à l aide de elation électique. Olivie FANCAIS 15

16 Le tableau ci-dessous ésume l analogie Magnétique/Electique : Gandeus magnétiques Gandeus électiques foce magnétomotice : ξ=ni A/m foce électomotice : E en Volts (V) flux d induction : Φ en Webes (Wb) Couant électique : i en Ampèes (A) 1 l l éluctance : = ésistance : = ρ µ 0µ S S ddp magnétique : υ = φ ddp électique : U = I maille magnétique : υmaille Maille électique : Umaille=0 nœud magnétique : φ nœud nœud électique : Ιnœud=0 emaque : Plus la éluctance d un cicuit est faible (µ gand), plus il attiea le flux. Un cicuit à fote peméabilité canalisea le flux et se compotea comme un tube de champ. V.5 Exemple d application de l analogie pa schéma équivalent V.5.1 Cicuit avec entefe obinage Flux mat Couant entefe Entefe Em Matéiau V.5. Cicuit avec deux tonçons Flux A Couant A obinage 1 Matéiau V.6 Calcul de l inductance pope d un cicuit Em=NI L inductance d un cicuit est définie pa le appot ente le flux total vu pa le bobinage (composé de N spies) divisé pa le couant d excitation : ΦT NΦ L = = avec Φ = NI I I L = Tout comme la éluctance, une inductance peut vaie avec l intensité du champ donc du couant. N Olivie FANCAIS 16

17 V.7 Exemple d application numéique : Toe de section ciculaie : ayon intéieu : i =10 cm ayon extéieu : e =15 cm Nombe de spies : 500 I=0.5A µ =000=Cste Calculez L, Φ, L, et l énegie stockée dans L? e i Section du toe : S = π avec = =.5cm S=1.9 e -3m² e + i ayon moyen : m = = 1.5cm longueu moyenne du toe L=π m =0.785m L 5 éluctance du cicuit : = = 1.59*10 A / Wb µ 0µ S NI Flux : Φ = =1.57 mwb N² Inductance : L = = 1.57H Φ Champ moyen : = = 0.8T S Enegie : W 1 = LI² = 0.19 J Olivie FANCAIS 17