5.3 Espaces vectoriels normés de dimensions finies

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1 Démonstration Tout à fait similaire à celle effectuée pour les applications linéaires, sauf en ce qui concerne (v) (i) (car il n y a plus l intermédiaire (vi)). Mais on a, si (a 1,a 2 ) E 1 E 2 u( 1, 2 ) u(a 1,a 2 ) = u(a 1 1,a 2 2 )+u( 1 a 1,a 2 ) +u(a 1, 2 a 2 ) (facile) et donc, si (v) est vérifiée u( 1, 2 ) u(a 1,a 2 ) k a 1 1 a k 1 a 1 a 2 + k a 1 2 a 2 ce qui montre clairement la continuité (non uniforme) de u au point (a 1,a 2 ). Eemple La formule v u v u montre que l application bilinéaire de composition est continue sur les espaces d applications linéaires continues adéquats. 5.3 Espaces vectoriels normés de dimensions finies Equivalence des normes Lemme Toutes les normes sur R n sont équivalentes. Démonstration Posons =ma i et montrons que toute autre norme N est équivalente à cette norme. Soit (e 1,...e n ) la base canonique de R n et R n.onan() =N( i e i ) i N(e i ) ma i N(e i )=β. i On en déduit que N() N(y) N( y) β y ce qui démontre que l application N :(R n,. ) R est continue. Soit S = { R n =1} ; S est une partie compacte de (R n,. ) (fermée bornée), donc l application N y atteint sa borne inférieure. Soit α =inf N() =N( 0). On a 0 0 (car 0 S) donc α>0. Alors, si R n, S 0, on a S soit N( ) α soit encore N() α. On a donc trouvé α et β strictement positifs tels que R n,α N() β, ce qu il fallait démontrer. Théorème Sur un K-espace vectoriel normé de dimension finie toutes les normes sont équivalentes. Démonstration Tout C-espace vectoriel normé étant aussi un R-espace vectoriel normé, il suffit de le montrer lorsque le corps de base est R. Soit N 1 et N 2 deu normes sur E ; soit E = (e 1,...,e n ) une base de E et u : R n E définie par u( 1,..., n ) = i e i (u est un isomorphisme d espaces vectoriels). Alors N 1 u et N 2 u sont deu normes sur R n (facile), elles sont donc équivalentes, et donc il eiste α et β strictement positifs tels que R n, αn 1 (u()) N 2 (u()) βn 1 (u()). Mais tout élément de E s écrivant sous la forme u(), on a, y E, αn 1 (y) N 2 (y) βn 1 (y), ce qu il fallait démontrer Propriétés topologiques et métriques des espaces vectoriels normés de dimension finie Remarque Tout C-espace vectoriel normé étant aussi un R-espace vectoriel normé, il suffit de considérer le cas où le corps de base est R. Soit (E,. ) un espace vectoriel normé de dimension finie, soit E =(e 1,...,e n ) une base de E et u : R n E définie par u( 1,..., n )= i e i (u est un isomorphisme d espaces vectoriels). Alors N : u() est une norme sur R n qui est équivalente à la norme. ; de plus l application u :(R n,n) (E,. ) est une isométrie ; on en déduit que (E,. ) a, en tant qu espace vectoriel normé, les mêmes propriétés que (R n,. ) c est-à-dire Théorème Tout espace vectoriel normé de dimension finie est complet ; les parties compactes en sont les fermés bornés. Corollaire Tout sous-espace vectoriel de dimension finie d un espace vectoriel normé est fermé. Démonstration Muni de la restriction de la norme, il est complet, donc fermé.

2 5.3.3 Continuité des applications linéaires Théorème Soit E et F deu espaces vectoriels normés, E étant supposé de dimension finie. Alors toute application linéaire de E dans F est continue. Démonstration Soit E =(e 1,...,e n ) une base de E ; comme toute les normes sur E sont équivalentes, on peut prendre la norme définie par =sup i si = i e i. On a alors u() = i u(e i ) i u(e i ) u(e i ) = K Ceci montre la continuité de l application linéaire u. Remarque Ce résultat s étend sans difficulté au applications bilinéaires de E 1 E 2 dans F à condition que E 1 et E 2 soient de dimensions finies ; de même pour des applications p-linéaires. 5.4 Compléments : le théorème de Baire et ses conséquences Le théorème de Baire Théorème (Baire). Soit E un espace métrique complet et (U n ) une suite d ouverts denses dans E. Alors U n est encore dense dans E. Démonstration Rappelons qu une partie est dense si et seulement si elle rencontre tout ouvert non vide. Soit donc U un tel ouvert de E, soit 0 U U 0 (qui est non vide par densité deu 0 et ouvert comme intersection de deu ouverts). Soit r 0 > 0 tel que B ( 0,r 0 ) U U 0. Supposons n et r n construits et voyons comment nous allons construire n+1 et r n+1. Comme U n+1 est dense et B( n,r n ) est un ouvert, U n+1 B( n,r n ) est ouvert et non vide ; soit donc n+1 U n+1 B( n,r n )etr n+1 < r n 2 tel que B ( n+1,r n+1 ) U n+1 B( n,r n ). On construit ainsi une suite de boules fermées B ( n,r n ) telles que B ( n+1,r n+1 ) B ( n,r n ) avec r n < r 0.Lethéorème des fermés emboîtés nous 2n garantit que B ( n,r n ) (car δ(b ( n,r n )) < 2r n tend vers 0). Mais on a B ( 0,r 0 ) U U 0 et pour n 1, B ( n,r n ) U n.onendéduit que U U n, ce qui achève la démonstration. En passant au complémentaire, on obtient une version équivalente Théorème (Baire). Soit E un espace métrique complet et (F n ) une suite de fermés d intérieurs vides de E. Alors F n est encore d intérieur vide dans E. Eemple On montre facilement qu un sous-espace vectoriel de E distinct de E est d intérieur vide (eercice). On en déduit que, si E, espace vectoriel normé de dimension infinie, est complet, E (qui n est pas d intérieur vide) ne peut pas être réunion dénombrable de sous-espaces vectoriels de dimension finie (dont on sait qu ils sont fermés). En particulier E ne peut pas admettre de base dénombrable. C est ainsi que R[X] (qui admet une base dénombrable) n est complet pour aucune norme Les grands théorèmes Nous en citerons trois qui concernent tous des applications linéaires dans des espaces vectoriels normés complets. Théorème (Banach-Steinhaus). Soit E un espace vectoriel normé complet et F un espace vectoriel normé. Soit H un ensemble d applications linéaires continues telles que E, K 0, u H, u() K Alors il eiste K 0 tel que u H, u K. Démonstration Posons pour E, p() =sup u() ( K ) et considérons E n = { E p() n}. u H Remarquons tout d abord que E n est fermé : en effet si ( q ) est une suite d éléments de E n qui converge vers E, on a pour tout u dans H, q N, u( q ) n; en faisant tendre q vers + et en utilisant la continuité deu, on a encore u() n et donc E n. Maintenant notre hypothèse implique que chaque de E appartient à l un des

3 E n (par eemple pour n = E(K ) + 1). Donc E qui est d intérieur évidemment non vide est réunion d une famille de fermés. Le théorème de Baire implique que l un des E n est d intérieur non vide : soit donc N N, 0 E et r>0 tel que B ( 0,r) E N. Prenons alors B (0, 1) et u H. Alors 0 + r B ( 0,r) et donc u( 0 + r) N. Mais alors u() = 1 r u( 0 + r) u( 0 ) 1 r (N + u( 0 ) =K. On a donc u H, u K. Remarque Sous les mêmes hypothèses, on montre alors facilement qu une limite simple d applications linéaires continues est encore continue (attention à l hypothèse E complet) ; en effet le théorème de Banach Steinhaus implique que la suite est équicontinue (le module de continuité en 0, η(ε, 0 ), ne dépend pas de n) et on montre simplement qu une limite simple d une suite équicontinue est continue. Théorème (théorème de Banach). Soit E et F deu espaces vectoriels normés complets, et u : E F linéaire, continue, bijective. Alors u 1 est encore continue. Démonstration On va montrer que u(b (0, 1)) F contient une boule de centre 0 dans F, B (0,r 1 ). On aura alors B (0,r 1 ) u(b (0, 1)), soit u 1 (B (0,r 1 )) B (0, 1) et donc si y F avec y 1, on aura u 1 ( r 1 2 y) B (0, 1) soit encore u 1 (y) 2 ce qui montrera que u 1 est continue. r 1 Soit r>0. On a E = nb (0,r), on en déduit que F = u(e) = nu(b (0,r)) et a fortiori F = nu(b (0,r)). L espace vectoriel normé complet F qui est son propre intérieur est réunion d une famille dénombrable de fermés ; donc l un d entre eu (Baire) est d intérieur non vide. Mais si nu(b (0,r)) est d intérieur non vide, il en est de même de u(b (0,r)). Soit donc y 0 F et ρ>0 tel que B (y 0,ρ) u(b (0,r)). On a aussi (puisque l application laisse invariante B (0,r)), B ( y 0,ρ) u(b (0,r)), et alors, si y B (0,ρ), 2y =(y y 0 )+(y + y 0 ) B ( y 0,ρ)+B(y 0,ρ 0 ) or B ( y 0,ρ)+B(y 0,ρ 0 ) u(b (0,r)) + u(b (0,r)) u(b (0, 2r)) (facile) et donc y u(b (0,r)). On a donc trouvé, pour tout r>0unρ>0tel que B (0,ρ) u(b (0,r)). Les translations étant des homéomorphismes, on a évidemment pour tout E, B (u(),ρ) u(b (, r)). Montrons alors que sous ces hypothèses B (0,ρ) u(b (0, 2r)). Soit en effet y B (0,ρ). Soit ρ n le réel associé à r 2 n par la propriété ci dessus. Quitte à remplacer les ρ n par des réels plus petits, on peut supposer que ρ n tend vers 0. On va construire un élément n de E par récurrence de manière àvérifier n+1 n r 2 n et y u( n) ρ n.on pose 0 =0 ; supposons n construit. On a donc y B (u( n ),ρ n ) u(b ( n, r )) et donc on peut trouver un point 2n n+1 B ( n, r 2 n ) tel que y u( n+1) ρ n+1, soit y B (u( n+1 ),ρ n+1 ), ce qui achève la construction par récurrence. On a donc pour tout n, n+1 n r 2 n et y u( n) ρ n.ona n+p n r 2 n + r r n+1 2 n+p 1 r 2 n 1, ce qui montre que la suite ( n ) est une suite de Cauchy. Comme E est complet, elle converge. Soit sa limite. On a 0 2r d après l inégalité ci dessus pour n =0etp tendant vers +. D autre part l inégalité y u( n ) ρ n et la continuité deu nous montrent que y = u(), donc y appartient à u(b (0, 2r)). On a alors aussi B (0, ρ 2r ) u(b (0, 1)), ce qui montre comme on l a remarqué, que u 1 est continue. Théorème (théorème du graphe fermé). Soit E et F deu espaces vectoriels normés complets, et u : E F linéaire. Alors u est continue si et seulement si son graphe est fermé dans E F. Démonstration Supposons tout d abord que u est continue et soit ( n,u( n )) une suite du graphe qui converge vers (, y) E F. Alors lim n = et par continuité deu, lim u( n )=u(); mais alors l unicité de la limite nécessite y = u(), donc (, y) est encore dans le graphe de u, ce qui montre bien que le graphe est fermé (il s agit là d une propriété tout à fait générale des espaces métriques, mais la réciproque est fausse en général). Supposons maintenant que u est linéaire de graphe Γ fermé. Alors Γ est un sous-espace vectoriel fermé dee F, donc il est complet. L application Γ E, (, u()) est linéaire continue et bijective. D après le théorème de Banach, sa réciproque (, u()) est continue et donc u() aussi. Remarque Il s agit d une technique importante ; il est en effet considérablement plus facile de montrer qu un graphe est fermé plutôt qu une continuité ; si ( n ) est une suite de limite, il s agit de montrer non plus que la suite u( n ) converge vers u() mais plutôt que la suite u( n ) ne peut pas avoir d autre limite que u() ; un eemple typique d application linéaire de graphe fermé est la dérivation pour la topologie de la convergence uniforme : le théorème de dérivation des suites uniformément convergentes ne fait que traduire la fermeture du graphe (si la suite des dérivées

4 converge uniformément, alors c est vers la dérivée de la limite) ; attention cependant que la dérivation n est pas continue pour la topologie de la convergence uniforme (le théorème du graphe fermé ne s applique pas car l espace des applications C 1 n est pas complet). 5.5 Compléments : conveité dans les espaces vectoriels normés Jauge d un convee Soit E un espace vectoriel normé réel et K un convee borné qui contient 0 dans son intérieur. On définit alors une application j K de E dans R + par j K () =inf{λ >0 λ K} Cette définition a bien un sens, car si B(0,r) K, ona λ Définition La fonction j K est appelée la jauge du convee K. B(0,r) K dès que λ> r. Proposition Soit E un espace vectoriel normé réel et K un convee borné qui contient 0 dans son intérieur. Alors l application j K vérifie (i) j K () =0 =0 (ii) j K (µ) =µj K () si µ 0 (iii) j K ( + y) j K ()+j K (y) Si de plus K = K, alors j K est une norme. Démonstration ((i)) Puisque K est borné, soit M 0 tel que y K, y M. Sij K () =0, il eiste une suite λ n tendant vers 0 telle que K, soit Mλ n. On a donc =0. La réciproque est évidente. λ n ((ii)) est évident puisque µ K λ µλ K ((iii)) Supposons que λ et y µ appartiennent à K. Comme K est convee, λ et µ positifs, on a aussi 1 λ + µ (λ λ +µ y µ ) K soit encore + y K. On a donc λ + µ {λ >0 λ K} + {µ >0 y µ K} {ν>0 + y ν En prenant les bornes inférieures on a donc j K ( + y) j K ()+j K (y). Si de plus, K = K, onaj K ( ) =j K () et donc µ R, j K (µ) = µ j K () qui était la seule propriété des normes qui manquait. K} Remarque On a évidemment, K j K () 1etj K () < 1 K, autrement dit B jk (0, 1) K B j K (0, 1) ; si on suppose de plus que K est fermé, on a facilement K = B j K (0, 1) ; autrement dit un convee, fermé, borné et équilibré (K = K) est une boule fermée pour une certaine norme ; la réciproque étant évidente Projection sur un convee fermé Théorème Soit E un espace euclidien et K une partie non vide, convee fermée de E ; pour tout de E, il eiste un unique élément p K () de K tel que d(, p K ()) = d(, K). Pour y K, ona y = p K () z K, ( y z y) 0 Démonstration Nous allons donner une démonstration de ce résultat qui ne fera pas appel à la dimension finie de E, mais uniquement au fait qu il est complet. Soit (y n ) une suite de K qui vérifie y n 2 d(, K) n.l égalité de la médiane nous donne alors y p y q 2 = (y p ) (y q ) 2 = 2 y p 2 +2 y q 2 (y p )+(y q ) 2 = 2 y p 2 +2 y q 2 4 y p + y q 2 ) 2

5 avec y p 2 d(, K) p et y q 2 d(, K) q. Mais comme K est convee, y p + y q K et donc 2 y p + y q ) 2 d(, K) 2. On a donc y p y q 2 2( 1 2 p + 1 q ). La suite (y n) est une suite de Cauchy dans E, donc elle converge. Soit y sa limite dans E. Comme K est fermé, on a y K et on a évidemment en passant à la limite à partir de d(, K) 2 y n 2 d(, K) 2 + 1,l égalité d(, K) =d(, y). n Soit y ainsi trouvé et soit z K. Pour tout t [0, 1], (1 t)y + tz K et donc (1 t)y tz 2 y 2. En développant, on obtient t 2 y z 2 2t( y z y) 0. Pour t ]0, 1] on a donc t y z 2 2( y z y) 0 et en faisant tendre t vers 0, on obtient ( y z y) 0. Inversement supposons que z K, ( y z y) 0. Alors z 2 = ( y) (z y) 2 = y 2 + z y 2 2( y z y) y 2 avec égalité si et seulement si z = y. Ceci montre à la fois que d(, y) =d(, K) et que y est unique. Remarque La condition ( y z y) 0 correspond géométriquement à : l angle ( y, yz) est obtus. z y angle obtus Hahn-Banach (version géométrique) Remarque Il eiste plusieurs théorèmes à la Hahn Banach. Certains sont de type analytique et concernent des propriétés de prolongement de formes linéaires ou de semi-normes d un sous-espace vectoriel à l espace tout entier. D autres sont de type géométrique et concernent des propriétés de séparation d un convee et d un point ou de deu convees. Nous avons choisi ici d en présenter une version géométrique simple. Théorème Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie, K un convee fermé non vide et / K. Alors il eiste un hyperplan affine qui sépare strictement et K, c est-à-dire que et K sont dans les deu demi-espaces ouverts définis par l hyperplan. Démonstration Puisque toutes les normes sont équivalentes, on peut supposer que E est muni d une norme euclidienne. Soit alors y la projection de sur le convee K. L hyperplan médiateur du segment [, y] convient évidemment. z y angle obtus H Remarque Une autre façon de formuler le théorème est de dire que si K est un convee fermé et/ K, il eiste une forme linéaire f sur E telle que f() < inf y K f(y). Corollaire Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie, K 1 un convee compact non vide et K 2 un convee fermé non vide tels que K 1 K 2 =. Alors (i) il eiste un hyperplan H qui sépare strictement K 1 et K 2 (ii) il eiste une forme linéaire f telle que sup f() < inf f() K 1 K 2 Démonstration La fonction d(, K 2 ) est continue sur le compact K 1, donc atteint sa borne inférieure en 0. Il suffit alors d appliquer la méthode précédente à 0 et à K 2.

6 5.5.4 L enveloppe convee : Carathéodory et Krein Millman Définition Soit E un R-espace vectoriel et A une partie de E. L ensemble des convees contenant A admet un plus petit élément appelé l enveloppe convee de A : c est encore l ensemble des barycentres à coefficients positifs de points de A. Démonstration L intersection de tous les convees contenant A est encore un convee contenant A et c est le plus petit. L ensemble des barycentres à coefficients positifs de points de A est un convee (les barycentres à coefficients positifs de barycentres à coefficients positifs sont encore des barycentres à coefficients positifs) contenant A donc il contient l enveloppe convee ; mais comme celle-ci est stable par barycentrage à coefficients positifs, elle doit contenir tout barycentre à coefficients positifs de points de A, d où l égalité. Théorème (Carathéodory). Soit n =dim E. Alors l enveloppe convee de A est encore l ensemble des barycentres à coefficients positifs de n +1 points de A. Démonstration Il suffit évidemment de démontrer que si est barycentre à coefficients positifs de p n + 2 points de A, c est encore un barycentre à coefficients positifs de p 1 points de A. Soit donc = λ i i avec λ i 0et λi =1. La famille ( i p ) 1 i p 1 de E est une famille de p 1 n +1éléments dans E de dimension n, donc p 1 elle est liée. On peut trouver α 1,...,α p 1 non tous nuls tels que α i ( i p ) =0. Posons α p = (α α p 1 ). On a donc α i i =0avec α i =0. Soit t R +. On a alors = (λ i tα i ) i avec (λ i tα i ) =1. Il suffit alors de choisir t de telle sorte que i, λ i tα i 0 avec pour un certain i 0, λ i0 tα i0 =0 pour aboutir au résultat souhaité. Or, si α i 0, on a évidemment λ i tα i 0. Il suffit donc de considérer les α i > 0 et de prendre t =min{ λ i α i > 0} = λ i 0. α i α i0 Corollaire Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie et A une partie compacte de E. Alors l enveloppe convee de A est encore compacte. Démonstration Soit n =dim E, C = {(λ 1,...,λ n+1 ) R n+1 i, λ i 0et λ i =1} C est une partie compacte de R n+1 (car fermée et bornée dans un espace vectoriel normé de dimension finie) et l enveloppe convee de A est l image de l application continue ϕ : C A n+1 E définie par ϕ(λ 1,...,λ n+1, 1,..., n+1 )= n+1 λ i i. Comme C A n+1 est compacte, cette image est compacte. Remarque Soit maintenant K un convee. On peut essayer de trouver une partie minimale de K qui engendre K, c est-à-dire dont K soit l enveloppe convee. Une telle partie doit évidemment contenir les points de K qui ne sont pas barycentres d autres points de K (autrement que de façon triviale). Nous allons voir que pour un convee compact, ces points suffisent presque à engendrer K. Définition Soit K un convee. Un point de K est dit un point etrémal de K si on a y, z K, [y, z] = y ou = z Un sous-ensemble S de K est dit etrémal si y, z K, ]y, z[ S y S et z S Lemme Soit K un convee compact, f une forme linéaire sur E, µ =sup f(). Alors K = { K f() =µ} K est un sous-ensemble compact etrémal de K. Démonstration En effet, soit y, z K, ]y, z[ K ;onaf() =µ avec = ty +(1 t)z et t ]0, 1[. Alors µ = tf(y)+(1 t)f(z) avec t>0, 1 t>0, f(y) µ, f(z) µ ; ceci n est possible que si f(y) =µ et f(z) =µ, soit y K et z K.

7 Théorème (Krein-Millman). Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie et K un convee compact de E. Alors K est l adhérence de l enveloppe convee de ses points etrémau. Démonstration Nous montrerons ce résultat par récurrence sur dim E (le cas de la dimension 1 est laissé au lecteur). Soit P l ensemble des compacts etrémau non vides de K. Remarquons que tout intersection d éléments de P est soit vide, soit encore dans P. Soit S P. Montrons tout d abord que S contient un point etrémal. Si toute forme linéaire f est constante sur S, alors S est un singleton réduit à un point etrémal. Sinon, soit f une forme linéaire non constante sur S, µ =sup f() ets = { S f() =µ}. Alors S est un sous ensemble convee compact S de l hyperplan H d équation f() =µ. En vectorialisant cet hyperplan, on obtient par récurrence que S admet un point etrémal. Montrons par l absurde que est un point etrémal de K. Si ]y, z[ avec y, z K, ona]y, z[ S, donc y S et z S. Mais comme S est un sous-ensemble etrémal de S et ]y, z[ S, onay, z S ; ceci contredit le fait que soit un point etrémal de S. On a donc montré que toute partie compacte etrémale contenait un point etrémal. Soit donc K 0 l adhérence de l enveloppe convee des points etrémau de K.OnaK 0 K et puisque tout ensemble etrémal contient un point etrémal, K 0 rencontre tout ensemble etrémal. Supposons que K 0 K et soit K \K 0. D après le théorème de Hahn Banach, il eiste une forme linéaire f telle que f() > sup f(y). Soit µ =sup f(z) et y K 0 z K S = {z K f(z) =µ}. S est non vide (une fonction continue sur un compact atteint sa borne supérieure), etrémal d après le lemme précédent et S K 0 = (car si y K 0, f(y) <f() µ). Donc S est un sous-ensemble etrémal qui ne contient aucun point etrémal. C est absurde. Donc K = K 0. Eemple Un polygone et plus généralement un polyèdre est enveloppe convee de ses sommets. Remarque En dimension finie, on peut affiner le résultat en montrant qu en fait K est l enveloppe convee de ses points etrémau, et pas seulement l adhérence de l enveloppe convee. Ceci nécessite une version plus fine de Hahn-Banach.

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