Exercice 1 sur 6,5 points

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1 NOM PRENOM : Bac blanc Mathématiques TSMG2 Mercredi 12 février 2014 Exercice 1 sur 6,5 points Une entreprise de menuiserie fait une étude sur la fabrication de chaises en bois pour une production comprise entre 5 et 60 chaises par jour. On admet que le coût de production, en euros, de x chaises par jour est donné par 2 C( x) x 10x 200 où C est une fonction définie sur l intervalle[5;60]. La courbe représentative de C est représentée ci-dessous. Le prix de vente d une chaise est de 50. Partie A : Coût de production 1. Déterminer par le calcul le coût de production de 20 chaises (le calcul doit donc apparaître). 2. Par lecture graphique, estimer la quantité de chaises correspondant à un coût de production de 500. (On laissera apparents les traits nécessaires à la lecture graphique) Partie B : Equation d une tangente à C 1. Calculer la fonction dérivée de C sur [5;60] 2. En déduire l équation réduite de la tangente à la courbe C au point d abscisse Tracer cette tangente sur le graphique en indiquant les points choisis pour le tracé. Partie C : Étude graphique du bénéfice 1. On appelle Rx ( ) la recette correspondant à la vente de x chaises. Montrer que Rx ( ) est donné par : R( x) 50x Page 1/4

2 2. Représenter graphiquement la fonction R sur l intervalle [5;60] sur le graphique ci-dessus. 3. Le bénéfice Bx ( ) réalisé par l entreprise en fonction du nombre x de chaises vendues est la différence entre la recette et le coût de production. À l aide du graphique, déterminer l intervalle dans lequel doit se trouver le nombre de chaises à vendre pour que l entreprise réalise un bénéfice positif (On laissera apparents les traits nécessaires à la lecture graphique). Partie D : Étude algébrique du bénéfice Le bénéfice réalisé par l entreprise, exprimé en euros, est modélisé par la fonction B définie sur l intervalle [5;60] Montrer que B( x) x 60x À l aide de la calculatrice, remplir le tableau de valeurs de la fonction B : 3. Calculer la dérivée de la fonction B. 4. Déterminer, en fonction de x, le signe de 2x 60, sur l intervalle [5;60]. 5. En déduire les variations de la fonction B sur l intervalle [5;60]. 6. On suppose que la production est entièrement vendue. Déterminer le nombre de chaises que doit produire l entreprise pour réaliser un bénéfice maximum. Exercice 2 sur 2,5 points Les résultats d une étude sur l énergie éolienne en France de 2000 à 2010 sont donnés dans le tableau ci-contre (Source : La «capacité en MW» est la quantité annuelle d électricité fournie par l ensemble du parc éolien, exprimée en mégawatts et arrondie à l unité. Le «pourcentage d évolution» est le taux d évolution de la capacité par rapport à celle de l année précédente. Partie A Dans cette partie, les résultats donnés en pourcentage seront arrondis au centième. 1. a ) Calculer le taux d évolution de la capacité de 2002 à ,00% 2003, exprimé en pourcentage. b) Calculer la capacité en MW de l année 2006, arrondie à l unité. 2. Calculer le taux d évolution global de la capacité de 2007 à 2010, exprimé en pourcentage. 3. Déterminer, parmi les équations proposées, celle qui permet de déterminer le taux d évolution moyen annuel t de 2007 à On ne demande pas de calculer ce taux. (Aucune justification n est nécessaire. Une réponse juste rapporte 1 point, une réponse fausse enlève 0,5 point) t 2,3055 b) (1 t) 2,3055 c) (1 t) 1,3055 a) 3 Année Capacité en MW Pourcentage d évolution ,71% ,79% ,65% ,11% ,00% ,67% ,66% ,96% Page 2/9

3 Partie B On suppose qu à partir de 2010 le taux d évolution de la capacité reste égal à 26% par an. Pour visualiser l évolution de la quantité d électricité fournie par l ensemble du parc éolien, on utilise la feuille de calcul ci-dessous. 1. Calculer la capacité en MW en 2011, à l unité près. 2. Écrire la formule saisie dans la cellule C2, permettant par recopie vers la droite de compléter les cellules de D2 à H2. Exercice 3 sur 5 points Florence a besoin d économiser au moins 1250 pour s acheter un scooter. Pour cela elle décide d effectuer un dépôt chaque mois. Avec un tableur, elle effectue une simulation de deux formules possibles. Formule A : Le 1 er mois, elle fait un dépôt de 150 ; elle augmente ensuite chaque dépôt mensuel de 20 Formule B : Le 1 er mois, elle fait un dépôt de 130 ; elle augmente ensuite chaque dépôt mensuel de 20% On appelle formule B A n et B n les montants respectifs du n-ième dépôt mensuel de Florence avec la formule A et avec la 1. a) Déterminer la nature de la suite ( A n) et préciser son terme initial ainsi que sa raison. b) Déterminer la nature de la suite ( B n) et préciser son terme initial ainsi que sa raison. 2. Exprimer A n et B n en fonction de n 3. Florence souhaite acheter son scooter dans 6 mois. a) Quel sera le montant du 6 ième dépôt, arrondi à l euro, pour chaque formule? b) Quelle somme Florence aura-t-elle économisée au bout de 6 mois, arrondie à l euro, pour chaque formule? c) Quelle formule va-t-elle retenir pour acheter son scooter? Exercice 4 sur 6 points Partie A On a étudié le salaire mensuel des ouvriers d une société lors de l année 2011, on a obtenu le tableau ci-dessous. Salaire Nombre d ouvriers Effectifs cumulés croissants Compléter le tableau. Page 3/9

4 2. Le gérant de l entreprise annonce que durant l année 2011 : a) le salaire mensuel moyen dans la société est supérieur de 2,5% au SMIC mensuel moyen évalué à 1365 (en 2011 en France). b) Plus de 65% des salaires de la société sont compris entre 1000 et 1500 Confirmer ces deux informations. (La rigueur de l expression sera prise en compte.) 3. Déterminer le salaire médian, les deux autres quartiles ainsi que l écart type de cette série statistique arrondi à 0,1 près. Partie B L évolution du SMIC mensuel en France exprimé en euros entre 2006 et 2011, et arrondi à l entier, est donnée dans le tableau suivant (source INSEE) : Année : x i SMIC mensuel : y i Le nuage de points associé à cette série est en partie représenté sur le graphique ci-dessous : 1. Compléter les deux points manquants 2. Déterminer les coordonnées du point moyen G et le placer sur le graphique. 3. Déterminer à la calculatrice, l équation de la droite d ajustement du nuage de points par la méthode des moindres carrés. Vous arrondirez les coefficients à 3 décimales. 4. On admet que la droite passe par le point de coordonnées (2005 ; 1 240). Tracer cette droite sur le graphique. 5. En utilisant l ajustement de la question 3, a) Estimer la valeur du SMIC mensuel en 2015 (arrondir à l entier) b) Déterminer à partir de quelle année le SMIC mensuel dépassera euros. Page 4/9

5 Corrigé Tracé en rouge. Note : Pour ceux qui ne parviennent pas à retenir cette méthode, il est possible d utiliser la formule ci-dessous (qui n est pas au programme). Cette formule permet d obtenir l équation de la tangente à Cf au point d abscisse a : y f ( a) f '( a)( x a) Page 5/9

6 Dans notre cas, on cherche l équation réduite de la tangente à la courbe représentant la fonction C au point d abscisse 30 donc on applique la formule avec a 30 On commence par chercher C (30) comme précédemment et on trouve que C(30) 800 Puis C '(30), on a trouvé C '(30) 50 On en déduit l équation de la tangente : y ( x 30), ce qui donne en développant : y x x 700 Donc le point de coordonnées (60;2300) appartient à la tangente. Le point de coordonnées (30;800) est aussi un point de la tangente. On en déduit le tracé de la tangente à la courbe au point d abscisse 30, elle est représentée en violet. Le tracé de R est en vert, cette droite coupe C en un point d abscisse environ 56 Page 6/9

7 Remarque : On pouvait aussi calculer VF VI VI ,676 67,6% Page 7/9

8 Salaire Nombre d ouvriers Effectifs cumulés croissants =5+9= =14+23= =37+45= =114-( )= Page 8/9

9 Elle est représentée en rouge. Page 9/9

10 Page 10/9

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