CH.26 : ELECTROSTATIQUE

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1 CH.6 : LCTROSTATIQU lan (Clique su le tite pou accéde au paagaphe) ********************** CH.6 : LCTROSTATIQU... 1 I. NOTION D CHAM LCTROSTATIQU... I.1. LOI D COULOMB... I.. CHAM CR AR UN CHARG ONCTULL... I.3. CHAM CR AR UN DISTRIBUTION D CHARGS... 3 I.3.1. chelle d obsevation mésoscopique... 3 I.3.. Distibution volumique de chages... 3 I.3.3. Modèles sufacique et linéique... 3 II. INVARIANCS T SYMTRIS... 4 II.1. XMLS D INVARIANCS... 4 II.. SYMTRIS T ANTISYMTRIS... 4 II.3. SITUATIONS A FORT SYMTRI... 4 II.4. RINCI D CURI... 4 II.4.1. noncé du incipe... 4 II.4.. Application aux gandeus vectoielles... 4 III. NOTION D OTNTIL LCTROSTATIQU... 5 III.1. CIRCULATION DU CHAM LCTROSTATIQU... 5 III.1.1. Définition... 5 III.1.. opiétés... 5 III.. INTRODUCTION DU OTNTIL... 5 III..1. Définition... 5 III... Lien ente les sufaces équipotentielles et les lignes de champ... 6 III..3. otentiel d une distibution de chages...6 IV. NRGI OTNTILL D UN CHARG DANS UN CHAM... 7 IV.1. CHARG DANS UN CHAM LCTROSTATIQU «XTRIUR»... 7 IV.. SYSTM D CHARGS N INTRACTION... 7 IV..1. Cas de chages... 7 IV... Cas de n chages... 7 V. THORM D GAUSS...7 V.1. NONC DU THORM... 7 V.. XMLS D ALICATION DU THORM... 8 V..1. Sphèe chagée unifomément en volume... 8 V... lan unifomément chagé en suface... 9 VI. NOTION D DIOL LCTROSTATIQU... 1 VI.1. CHAM CR AR UN DIOL LCTROSTATIQU... 1 VI.1.1. Définition d un dipôle électostatique... 1 VI.1.. xpession du potentiel céé... 1 VI.1.3. xpession du champ céé VI.1.4. quation des lignes de champ VI.. ACTION D UN CHAM LCTROSTATIQU UNIFORM SUR UN DIOL VI.3. NRGI OTNTILL D UN DIOL DANS UN CHAM XTRIUR... 1 VII. FORMULATION LOCAL D L LCTROSTATIQU... 1 VII.1. QUATIONS D MAXWLL D L LCTROSTATIQU... 1 age 1 Chistian MAIR duklub S.A. Tous doits de l auteu des œuves ésevés. Sauf autoisation, la epoduction ainsi que toute utilisation des œuves aute que la consultation individuelle et pivée sont intedites. Fichie généé pou Visiteu (), le 3/1/16

2 VII.. LIN AVC LA FORMULATION INTGR VII.3. RLATIONS D ASSAG OUR L CHAM T L OTNTIL VIII. CONDUCTURS N QUILIBR LCTROSTATIQU VIII.1. RORITS D UN CONDUCTUR A L QUILIBR VIII.1.1. Définitions VIII.1.. opiétés VIII.1.3. Théoème de Coulomb VIII.. RSSION LCTROSTATIQU VIII.3. CONDNSATURS VIII.3.1. Définition VIII.3.. Calculs de capacité VIII.3.3. negie électostatique d un condensateu plan RMARQU RLIMINAIR : ********************** Le cade de l électostatique est tel que les souces du champ électique sont des chages IMMOBILS dans le éféentiel d étude. Le chapite suivant sea consacé à la magnétostatique, où les souces du champ magnétique seont des couants (chages en mouvement) RMANNTS (indépendants du temps). Cependant, le caactèe RLATIF à un éféentiel des notions «d immobilité» et de «pemanence» est évident : le chapite 8 concenant l induction (égimes vaiables) montea le lien pofond ente champ électique et champ magnétique, et intoduia la notion de «champ électomagnétique», entité qui sea, quant à elle, invaiante pa changement de éféentiel. I. NOTION D CHAM LCTROSTATIQU I.1. LOI D COULOMB ( q1 ) M 1 u 1 ( q) M """""" qq qq M M F = F = u = / /1 1 3 MM 1 On s'intéesse aux foces électostatiques appaaîssant ente chages électiques ponctuelles; la loi de Coulomb s'écit: Rq : des chages de même signe se epoussent, contaiement à des chages de signe opposé qui s attient. I.. CHAM CR AR UN CHARG ONCTULL Dans la situation pécédente, nous allons considée, dans un pemie temps, que la chage q subit «l influence» de la chage q 1, qu elle «teste» une gandeu dont q 1 est la souce ; cette gandeu, définie en tout point de l espace, sea appelée «champ électostatique» céé pa la chage ponctuelle q 1 et s écia : age Chistian MAIR duklub S.A. Tous doits de l auteu des œuves ésevés. Sauf autoisation, la epoduction ainsi que toute utilisation des œuves aute que la consultation individuelle et pivée sont intedites. Fichie généé pou Visiteu (), le 3/1/16

3 ( ) F M = = q u = q M """""" M 1/ q MM 1 Rq : écipoquement, on poua considée que la chage ponctuelle q est la souce d un champ électostatique : I.3. q ( M ) = u 1 1. CHAM CR AR UN DISTRIBUTION D CHARGS I.3.1. chelle d obsevation mésoscopique Il est clai qu à l échelle micoscopique, les chages sont discontinues et que les gandeus telles que la densité volumique de chage ρ subissent de fotes vaiations spatiales. nte cette échelle et l échelle macoscopique (la nôte ), il existe une échelle intemédiaie 3 appelée «échelle mésoscopique», où les volumes typiques sont de 1µ m. n patique, nous nous intéesseons à des gandeus moyennées su ces volumes : ces gandeus seont «lissées» ou «nivelées», et leus vaiations moins butales. A note échelle, si nous sommes capables de donne la valeu des champs, ρ en tous les points distants de 1µ m les uns des autes, nous auons une desciption quasi-continue des champs étudiés. I.3.. Distibution volumique de chages (V) M ρ( ) dτ u M ( ) = udτ V I.3.3. Modèles sufacique et linéique modèle sufacique : si l une des dimensions de la distibution est tès inféieue aux autes, on l assimilea à une suface chagée, avec la notion de «densité sufacique de chage» σ : ds u (S) M σ ( ) M ( ) = uds S dq avec: σ ( ) =, en Cm. ds modèle linéique : pou une distibution filifome, et avec des notations identiques, il vient, en intoduisant λ = «densité linéique de chage» : λ( ) ( M ) = udl C dq avec : λ ( ) =, en dl Cm. 1 age 3 Chistian MAIR duklub S.A. Tous doits de l auteu des œuves ésevés. Sauf autoisation, la epoduction ainsi que toute utilisation des œuves aute que la consultation individuelle et pivée sont intedites. Fichie généé pou Visiteu (), le 3/1/16

4 II. INVARIANCS T SYMTRIS II.1. XMLS D INVARIANCS invaiance d une distibution pa otation autou d un axe : en coodonnées cylindiques ou sphéiques, le champ céé ne dépenda pas de l angle sevant à mesue cette otation ( θ ou ϕ ). invaiance d une distibution pa tanslation le long d un axe : le champ céé ne dépenda pas de la vaiable associée à cet axe. II.. SYMTRIS T ANTISYMTRIS plan de symétie : ( Π ) est un plan de symétie d une distibution si, pou tout point de cette distibution, son symétique pote la même chage que (et appatient à la distibution). plan d antisymétie : ( Π ) est un plan d antisymétie d une distibution si, pou tout point de cette distibution, son symétique pote une chage opposée à celle de. II.3. SITUATIONS A FORT SYMTRI symétie cylindique : si l on a invaiance pa otation et tanslation (autou et le long d un axe), alos les gandeus telles que le champ électique ou la densité volumique de chage ne dépendont que de la vaiable = distance pa appot à l axe. symétie sphéique : si l on a invaiance pa otation selon θ et ϕ (en coodonnées sphéiques), les mêmes gandeus ne dépendont que de = distance pa appot à l oigine. distibution unidimensionnelle : en coodonnées catésiennes, s il y a invaiance pa tanslation selon axes, les gandeus encontées ne dépendont que de la vaiable associée au toisième axe. II.4. RINCI D CURI II.4.1. noncé du incipe «La symétie des effets est au moins égale à celle des causes» Rq : les effets peuvent ête plus «symétiques» que les causes II.4.. Application aux gandeus vectoielles Des gandeus vectoielles, dont le sens ne dépend pas d une convention d oientation des otations dans l espace, obéissent au pincipe de Cuie ; ceci aua plusieus conséquences que nous exposeons en penant le champ électostatique pou exemple : Soit ( Π ) = plan de symétie d une distibution ; si ' = sym{ }/( Π ), alos : ( ') = sym { ( )}/( Π) Soit ( Π ) = plan d antisymétie d une distibution ; si ' = sym{ }/( Π ), alos : ( ') = sym { ( )}/( Π) Π un plan de symétie de la distibution passant pa le point M où l on veut Soit ( ) détemine le champ électostatique, alos : M ( ) Π ( ) Π un plan d antisymétie de la distibution passant pa le point M où l on désie Soit ( ) calcule le champ, alos : M ( ) ( Π) age 4 Chistian MAIR duklub S.A. Tous doits de l auteu des œuves ésevés. Sauf autoisation, la epoduction ainsi que toute utilisation des œuves aute que la consultation individuelle et pivée sont intedites. Fichie généé pou Visiteu (), le 3/1/16

5 Rq1 : v (= vecteu vitesse), a (= vecteu accéléation), F = ma, = F / q obéissent au pincipe de Cuie : on dit qu ils ont un caactèe «polaie» (dans le «jagon» des physiciens, on pale de «vais vecteus»). Rq : y auait-il donc de «faux» vecteus? Si l on considèe le moment cinétique d un point """" matéiel de masse m pa appot à un point O, on a : σ o = OM mv ; le ésultat de ce poduit vectoiel dépend d une convention. Ainsi, le sens de otation a une signification «physique», mais le sens de n en a pas. σ o Des vecteus liés à une convention d oientation des otations dans l espace (comme Ω = vecteu otation instantanée, ou le champ magnétique B défini pa un poduit vectoiel à pati d un «vai» vecteu selon : F = qv B) sont de type «axial» : on pale également de B «pseudo-vecteu». Nous veons plus loin (chapite 7) qu ils suivent d autes ègles de symétie. III. NOTION D OTNTIL LCTROSTATIQU III.1. CIRCULATION DU CHAM LCTROSTATIQU III.1.1. Définition La ciculation du champ su une coube (K) est définie pa : M 1 (K) dl M Rq : la ciculation d une foce epésente son tavail. III.1.. opiétés C ( M M ) = ( M ) dl ( K ) 1 M ( K) On peut monte, à pati de constatations expéimentales, que la ciculation du champ ente les points M 1 et M ne dépend pas du chemin suivi (c est-à-die de la coube (K)) : on dit que est à «ciculation consevative». Cette ciculation ne dépendant que des points de dépat et d aivée, elle sea nulle su une coube femée, appelée «contou» ; d où, pou un contou noté (C), la elation : M ( ) dl= # M ( C) III.. INTRODUCTION DU OTNTIL III..1. Définition a définition, nous poseons : M CM ( M) = VM ( ) VM ( ) = dl 1 1 où V sea le potentiel électostatique dont «déive» le champ. Ainsi, pou M1 et M voisins, on a : dv = dl ou elie à V """"" de manièe intinsèque et locale, nous allons défini un nouvel opéateu appelé «GRADINT» (noté gad ) tel que : M1 (1) age 5 Chistian MAIR duklub S.A. Tous doits de l auteu des œuves ésevés. Sauf autoisation, la epoduction ainsi que toute utilisation des œuves aute que la consultation individuelle et pivée sont intedites. Fichie généé pou Visiteu (), le 3/1/16

6 dv """"" = gadv dl pa identification, il vient : = """"" gadv () Rq : la elation () est vaie en tout point de l espace, c est en ce sens qu elle est «locale» (son caactèe «intinsèque» vient du fait qu elle est écite sans éféence aucune à un système de coodonnées paticulie) ; la elation (1) en est la fome «intégée» : dans la suite du cous de physique, nous etouveons souvent cette dualité ente fome locale et fome intégée d un même théoème. Coodonnées catésiennes : dl = dxex + dyey + de V V V dv = dx + dy + d x y dl = de + dθ e + de Coodonnées cylindiques : θ """"" V V V gadv = e + e + e x y x y """"" V 1 V V gadv = e + eθ + e θ III... Lien ente les sufaces équipotentielles et les lignes de champ Considéons deux points M et M ' voisins et appatenant à une même suface équipotentielle ; on a alos : V( M ') V( M) = dv = dl = (où dl = """"" MM ') dl n tout point M, la ligne de champ qui passe pa M est donc pependiculaie à l équipotentielle passant pa ce point. III..3. otentiel d une distibution de chages chage ponctuelle : en coodonnées sphéiques, nous pouvons écie : M q q """"" V dv e M ( ) = e = gadv= e = e d (le champ étant poté pa e V V, les déivées patielles et θ ϕ avec les invaiances pa otation en θ et ϕ ). Apès intégation et en penant V ( ) = (possible losqu il n y a pas de chages à l infini), on a : q V( M) = sont nulles : ceci est cohéent distibutions de chages : avec les mêmes notations qu au paagaphe 1.3, il vient : distibution volumique : distibution sufacique : distibution linéique : V( M) V( M) = = V( M) = C V S ρ( d ) τ σ ( ds ) λ( dl ) age 6 Chistian MAIR duklub S.A. Tous doits de l auteu des œuves ésevés. Sauf autoisation, la epoduction ainsi que toute utilisation des œuves aute que la consultation individuelle et pivée sont intedites. Fichie généé pou Visiteu (), le 3/1/16

7 IV. NRGI OTNTILL D UN CHARG DANS UN CHAM IV.1. CHARG DANS UN CHAM LCTROSTATIQU «XTRIUR» Soit une chage q placée au point M dans un champ électostatique ; considéons le tavail de la foce électique s exeçant su cette chage pou un déplacement élémentaie dl : """"" δ W = q( M ) dl = qgadv dl = qdv ( M ), où V( M ) est le potentiel électostatique en M. F On sait que l on peut «constuie» une énegie potentielle à pati du tavail d un opéateu, s opposant à celui de la foce considéée, en écivant : = qv ( M ) (à une constante pès) d = δw = δw = qdv op F IV.. SYSTM D CHARGS N INTRACTION IV..1. Cas de chages On considèe chages q 1 et q distantes de 1 ; chaque chage essent le potentiel céé pa la deuxième (potentiel expimé au paagaphe 3..3). a symétie, on aua : qq = = = (on pale d énegie potentielle «d inteaction») IV... Cas de n chages n notant ij la distance ente chages quelconques qq i j = (, i j) ij i j q et q, il vient : i j On peut également écie, en faisant attention à ne pas compte fois le même teme d énegie potentielle : n 1 = qv avec : i i i= 1 V i n q j = ( i j= 1 ij ( j i) V est le potentiel essenti pa la chage q i ) Rq : la notion d énegie potentielle électostatique est tès patique pou détemine les positions d équilibe stables et/ou instables d une paticule chagée. V. THORM D GAUSS V.1. NONC DU THORM On considèe une suface femée (S), limitant un volume (V), oientée ves l éieu et enfemant des chages; on monte que le flux du champ électique céé pa la distibution de chages à taves (S) peut se calcule pa : $ S q ds = int age 7 Chistian MAIR duklub S.A. Tous doits de l auteu des œuves ésevés. Sauf autoisation, la epoduction ainsi que toute utilisation des œuves aute que la consultation individuelle et pivée sont intedites. Fichie généé pou Visiteu (), le 3/1/16

8 Rq1 : dans le cas d une distibution volumique, on a : qint ρ( ) dτ Rq : l analogie fomelle ente le champ de gavitation g et le champ électique pemet d établi un «théoème de Gauss» pou la gavitation, soit : $ g ds = 4 πgm S (où G est la constante univeselle de la gavitation et mint la masse contenue dans le volume V ; le signe «moins» vient du fait que chages de même natue se epoussent alos que masses de même signe s attient). V.. XMLS D ALICATION DU THORM V..1. int = Sphèe chagée unifomément en volume ds M V ρ = cste O a (S) Soit une sphèe de ayon a, unifomément chagée en volume; nous allons calcule le champ électostatique céé pa cette sphèe, à l'intéieu et à l'éieu de celle-ci Topologie du champ : Invaiances : la distibution est invaiante pa otation selon θ et ϕ le champ ne dépend que de (coodonnées sphéiques). Syméties : tout plan contenant la doite OM est plan de symétie ; le champ devant appateni à l intesection de tous ces plans est donc poté pa e ; en ésumé : = () e Théoème de Gauss : de manièe généale, il faut touve une «bonne» suface de Gauss, c est-à-die une suface su laquelle le poduit scalaie ds est simple à calcule ; en choisissant une sphèe de cente O et de ayon, le poduit scalaie se amène à un poduit simple et le module de sea constant, ce qui nous autoisea à le soti de l intégale ; d où : qint 4 3 a: ρ ds = () ds () ds ()4 π π S = S = = S = ρ $ $ $ = e 3 3 ρ ρa a: 4 π ( ) = πa = e 3 3 Rq : on constate que le champ électique est continu en =a (où il vaut ρa 3 ) ; cette continuité du champ électique (et du potentiel) est une popiété généale des distibutions volumiques. age 8 Chistian MAIR duklub S.A. Tous doits de l auteu des œuves ésevés. Sauf autoisation, la epoduction ainsi que toute utilisation des œuves aute que la consultation individuelle et pivée sont intedites. Fichie généé pou Visiteu (), le 3/1/16

9 V... lan unifomément chagé en suface ds σ x O (a) y O - (b) σ Topologie du champ : Invaiances : le plan étant illimité, il y a invaiance pa tanslation selon x et y le champ ne dépend que de. Syméties : le plan étant illimité, tout plan paallèle à xo est plan de symétie de la distibution ; il en est de même pou tout plan paallèle à yo. Le champ appatient donc à l intesection de ces plans et est poté pa e ; en ésumé : = ( ) e Rq : xoy étant plan de symétie, est changé en son symétique los d une symétie pa appot à ce plan ( ) = ( ) Théoème de Gauss : nous allons choisi pou suface de Gauss l enveloppe d un cylinde doit de section (S), d axe O et s étendant ente et (voi figue (b)). Remaquons que su les sufaces de base du cylinde, et ds sont colinéaies, alos que su la suface latéale ds = ; enfin, la chage intéieue au cylinde est contenue su la potion de suface S du plan chagé et vaut σ S puisque σ est constante. On peut alos écie : int ds = ( ) ds = ( ) ds = S = = cyl bases bases q σ S $ σ = e (pou >) Rq1 : on constate qu en définitive, le champ électique ne dépend pas de : cela peut semble supenant, mais il faut emaque que le plan étant illimité, on voit ses «émités» sous un angle solide de π stéadians, ceci quel que soit le point M de l axe O (il y a donc bien invaiance pa tanslation selon ). Rq : quand on fanchit le plan =, on obseve que : + σ σ σ ( ) ( ) = [ ( )] e = e Cette discontinuité du champ électique à la tavesée d une suface chagée est généale (le potentiel, quant à lui, este continu). age 9 Chistian MAIR duklub S.A. Tous doits de l auteu des œuves ésevés. Sauf autoisation, la epoduction ainsi que toute utilisation des œuves aute que la consultation individuelle et pivée sont intedites. Fichie généé pou Visiteu (), le 3/1/16

10 VI. NOTION D DIOL LCTROSTATIQU VI.1. CHAM CR AR UN DIOL LCTROSTATIQU VI.1.1. Définition d un dipôle électostatique Un dipôle électostatique est constitué de chages ponctuelles immobiles de signe opposé, sépaées pa une distance tès inféieue aux distances où l on calculea le champ céé pa ce dipôle pou détemine l inteaction du dipôle avec d autes chages éventuelles. Nous tavailleons en coodonnées sphéiques et adopteons les notations suivantes : M A (-q) O B (q) A B θ On a la elation: a% On définit la gandeu: """ p = q AB = qae ="moment dipolaie" (en Cm. ) a La notion de dipôle électique est d une gande impotance, en paticulie en chimie où l étude des inteactions ente molécules fea appel à cette notion. n éalité, les phénomènes sont plus complexes, ca, en généal, il y a plus de chages mises en jeu : les points A et B coespondont alos aux baycentes des chages «moins» et des chages «plus». Nous appelleons «dipôle igide» un dipôle où les gandeus a et q estent sensiblement constantes au cous de l étude : ce sea le cas des molécules polaies ( p est alos constant) pa opposition aux molécules apolaies mais polaisables (on palea alos de «dipôle induit»). VI.1.. xpession du potentiel céé Invaiances et syméties : le dipôle est invaiant pa otation autou de l axe le potentiel et le champ ne dépendont que de et ce plan ; θ. Le plan OM est plan de symétie d où : V = V(, θ) et: = (, θ) e + θ(, θ) eθ ( ϕ = ) q 1 1 On a donc : V( M) = ( ) ; pa ailleus : B A a a a a A = ( sin θ) + ( + cos θ) = + a cos θ + = (1 + cos θ + ) 4 4 Un développement limité au 1 e ode en 1/ conduit à : a cosθ a cosθ A & (1 + ) ; de même, on touve : B & (1 ). Il vient alos : q acosθ 1 acosθ 1 V( M) = [(1 ) (1 + ) ] ; au pemie ode, on obtient : """" qa cosθ pcosθ p OM V( M) & V( M) = = 3 Rq : le potentiel d un dipôle électostatique est donc en d une chage ponctuelle. 1 et décoît donc plus vite que celui age 1 Chistian MAIR duklub S.A. Tous doits de l auteu des œuves ésevés. Sauf autoisation, la epoduction ainsi que toute utilisation des œuves aute que la consultation individuelle et pivée sont intedites. Fichie généé pou Visiteu (), le 3/1/16

11 VI.1.3. xpession du champ céé Nous pouvons calcule le champ gâce à la elation locale ente champ et potentiel : """"" V 1 V ( M ) = gadv = e e θ θ pcosθ psinθ M ( ) = e+ e 3 3 θ Il est possible de donne une expession intinsèque du champ ; on monte que : """" """" 3( pomom ) M ( ) = 5 p (avec : = OM """" ) VI.1.4. quation des lignes de champ Les lignes de champ sont de évolution autou de l axe O ; nous allons tace ces lignes dans un plan méidien et utilise les coodonnées polaies (, θ ). civons que le champ et un déplacement élémentaie dl le long d une ligne sont colinéaies : d dθ d dθ d d(sin θ) ' dl = = = Ln( ) = Ln[sin ( θ )] + cste cosθ sinθ sinθ θ K θ = sin ( ) (où K est une constante >) Tacé : l allue des lignes de champ est la suivante : p Rq: dans un plan méidien, les lignes équipotentielles sont nomales aux lignes de champ et ont pou équation: = K'cosθ VI.. ACTION D UN CHAM LCTROSTATIQU UNIFORM SUR UN DIOL La ésultante des foces est donnée pa : F = q + ( q) = ( ( A) = ( B) champ est unifome). """ """ """ Le moment ésultant en O s écit : Γ = OA ( q) + OB q = q AB o, ca le Γ = p (les actions d un champ électique éieu su un dipôle igide se éduisent à un couple, qui ne dépend pas du point d application O choisi). Rq : si le champ éieu n est pas unifome (mais ne vaie «pas top» à l échelle du dipôle), on monte que, dans le cade de l appoximation dipolaie, le moment gade la même expession ( une ésultante de foce non nulle : F = ( p """"" gad) étant une valeu «typique» du champ su le dipôle, en O pa exemple) et qu il appaaît age 11 Chistian MAIR duklub S.A. Tous doits de l auteu des œuves ésevés. Sauf autoisation, la epoduction ainsi que toute utilisation des œuves aute que la consultation individuelle et pivée sont intedites. Fichie généé pou Visiteu (), le 3/1/16

12 VI.3. NRGI OTNTILL D UN DIOL DANS UN CHAM XTRIUR a sommation des énegies potentielles des chages tès poches l une de l aute, il vient : = p (à une constante pès) Rq : cette expession est valable même si le champ éieu n est pas unifome. ositions d équilibe : les positions d équilibe sont données pa p et colinéaies (dans ce cas, on a bien Γ = ). équilibe stable : équilibe instable : est minimum est maximum p et p et emum, donc pou sont de même sens sont de sens contaie Remaque su la notion de dipôle : dans le cas d une distibution de chages de somme nulle, le potentiel peut se mette sous la fome d un «développement multipolaie» : A( θ) B( θ) C( θ) V(, θ ) = Le teme en 1/ est le teme quadupolaie (voi l execice 6.1), le teme en 1/ est appelé «octupolaie» etc (si la somme des chages n était pas nulle, on auait un teme en 1/ de type «monopolaie»). L appoximation consistant à assimile des molécules polaies à de simples dipôles sea d autant mieux véifiée que le teme en 1/ sea pépondéant, donc que les molécules seont tès éloignées les unes des autes, donc que la matièe étudiée sea moins condensée. VII. FORMULATION LOCAL D L LCTROSTATIQU Remaque péliminaie : ce paagaphe appatient au cous de Spé et fait appel à de nouveaux outils mathématiques (opéateus, elations et théoèmes d analyse vectoielle ). VII.1. QUATIONS D MAXWLL D L LCTROSTATIQU Dans le cade de l électostatique (chages fixes), Maxwell a postulé les équations suivantes : ρ div = """ (Maxwell-Gauss) et : ot = """ «div» est l opéateu divegence et «ot (Maxwell-Faaday)» est l opéateu otationnel ; ils sont à connaîte uniquement en coodonnées catésiennes, soit : div x y x y = + + et : """ y x x y y x y x ot = ex + ey + e Rq : pou avoi une théoie complète, il faut aussi postule la loi de foce de Loent F = q. age 1 Chistian MAIR duklub S.A. Tous doits de l auteu des œuves ésevés. Sauf autoisation, la epoduction ainsi que toute utilisation des œuves aute que la consultation individuelle et pivée sont intedites. Fichie généé pou Visiteu (), le 3/1/16

13 VII.. LIN AVC LA FORMULATION INTGR Les elations d analyse vectoielle pemettent d écie : """ """"" ot = V tel que: = gadv ρ ρdτ q div = divdτ ds = = = V $ S V (on etouve le théoème de Gauss, apès application du théoème de Geen-Ostogadski). """"" ρ div = div( gadv ) = V = ou : int ρ V + = (= équation de oisson) Rq1 : est l opéateu laplacien scalaie, donné en coodonnées catésiennes pa : V V V V = + + x y Rq : la ésolution de l équation de oisson est le potentiel coulombien, du type: Rq3 : dans une égion vide de chage, on a : V = (équation de Laplace). VII.3. RLATIONS D ASSAG OUR L CHAM T L OTNTIL et V Distibution volumique de chages : V = ρdτ sont continus à la tavesée de la suface délimitant la distibution. Distibution sufacique de chages : considéons une suface chagée (densité sufacique de chage =σ ), sépaant milieux (1) et () ; soit n 1 la nomale locale à la suface, oientée de (1) ves (). Juste de pat et d aute de cette suface, on a la elation de passage : σ = n 1 1 (la composante tangentielle du champ est donc continue à la tavesée). Quant à lui, le potentiel V este continu los de cette tavesée. Distibution linéique de chages : et V divegent su le «fil». VIII. CONDUCTURS N QUILIBR LCTROSTATIQU Remaque péliminaie : ce paagaphe fait patie du pogamme M, mais utilise les seules notions intoduites pécédemment ; dans l exemple simple du condensateu plan, nous établions une fomule pemettant de calcule la densité volumique d énegie électostatique : nous admettons son caactèe tès généal et la appelleons dans le chapite 9. VIII.1. RORITS D UN CONDUCTUR A L QUILIBR VIII.1.1. Définitions Conducteu : c est un cops à l intéieu duquel des chages peuvent se déplace sous l action d une foce aussi petite soit-elle. quilibe électostatique : un conducteu sea à l équilibe si, à l échelle mésoscopique, les chages sont fixes (à l échelle micoscopique, ces chages pouont cependant avoi un mouvement désodonné). age 13 Chistian MAIR duklub S.A. Tous doits de l auteu des œuves ésevés. Sauf autoisation, la epoduction ainsi que toute utilisation des œuves aute que la consultation individuelle et pivée sont intedites. Fichie généé pou Visiteu (), le 3/1/16

14 VIII.1.. opiétés (si le champ intéieu n était pas nul, une foce mettait les chages en mouvement) = cste (elation obtenue en écivant : int = """"" gadvint ) int = Vint ρ int = (pa application du théoème de Gauss à une sphèe de ayon, entouant un point hypothétique où ρ int seait non nulle) Le champ électostatique au voisinage éieu d un conducteu à l équilibe lui est NORMAL (la suface limitant le conducteu est une équipotentielle à la suface) Rq : un conducteu à l équilibe ne peut donc pote que des chages sufaciques (en fait, contenues à l intéieu d une couche de faible épaisseu). VIII.1.3. Théoème de Coulomb n appliquant la elation de passage du paagaphe VII.3, et en tenant compte du fait que, on touve pou le champ au voisinage éieu d un conducteu à l équilibe : int = σ = n VIII.. (σ est la densité sufacique de chages et n la nomale oientée ves l éieu) RSSION LCTROSTATIQU Nous allons considée un modèle de conducteu où les chages sont épaties su une couche d épaisseu a tès faible ; su cette couche, le champ électostatique passe pogessivement de la valeu nulle (intéieu d un conducteu) à la valeu +d n ds -a conducteu d σ. Raisonnons su la figue ci-dessous : Nous admettons que dans la couche chagée: = ( ) e a ailleus, la chage contenue dans le cylinde doit de hauteu a et de base ds vaut: δ q = ρ() dsd = σ d a Ce qui pemet d'établi: σ = a ρ( d ) Appliquons le théoème de Gauss au cylinde élémentaie de base ds et de hauteu d. Le flux latéal est nul, et l on emaque que ds( ) = dse et ds ( + d ) = dse ; il vient alos : qint dsd [ ( + d) δ ρ ( )] ds = = d( ) ρ( ) = d La foce électostatique totale s exeçant su le cylinde de base ds et de hauteu a vaut alos : d dsn df = q = dsd = dsd = dsn d = d ds df σ = n df ; on posea : σ p = = = «pession électostatique» dsn () ( ) δ ( ) ρ ( ) ( ) ( ) [ ( )] cyl a a a ( a) age 14 Chistian MAIR duklub S.A. Tous doits de l auteu des œuves ésevés. Sauf autoisation, la epoduction ainsi que toute utilisation des œuves aute que la consultation individuelle et pivée sont intedites. Fichie généé pou Visiteu (), le 3/1/16

15 Rq : quel que soit le signe de σ, la foce de pession électostatique est diigée ves l éieu, et tend donc à aache les chages sufaciques. VIII.3. CONDNSATURS VIII.3.1. Définition V V 1 Q 1 Q 1 On appelle condensateu un système de conducteus, dont l'un est ceux et entoue complètement l'aute. L'espace sépaant les amatues peut ête vide ou empli d'un isolant ("diélectique"). Les faces en egad potent des chages opposées. amatue ene amatue intene Q = C( V V ) où C est la capacité du condensateu en Faad (F) (C>) On pose : 1 1 VIII.3.. Calculs de capacité Condensateu sphéique : V 1 Q 1 a O. b V Les syméties et les invaiances donnent: = () e Le théoème de Gauss appliqué à une sphèe de cente O, de ayon conduit à: Q1 = e La méthode est alos généale : on fait cicule le champ d une amatue à l aute. D où : """"" V() dv Q d Q 1 1 = gadv = = V V = = ( ) d a b ab Q = C( V V ) C = (1) b a O : 1 1 Condensateu cylindique : b a V 1. a V b h On considèe cylindes illimités et coaxiaux. On cheche la capacité d'un tonçon de hauteu h. Les syméties et les invaiances nous donnent: = () e (=distance à l'axe) age 15 Chistian MAIR duklub S.A. Tous doits de l auteu des œuves ésevés. Sauf autoisation, la epoduction ainsi que toute utilisation des œuves aute que la consultation individuelle et pivée sont intedites. Fichie généé pou Visiteu (), le 3/1/16

16 On applique le théoème de Gauss à un cylinde de ayon (a b) et de hauteu h, en emaquant que le flux à taves les sufaces de base sea nul ( ds ) et que su la suface et ds sont colinéaies ; enfin, on se sevia du fait que le module de est constant latéale, su cette même suface latéale, ce qui conduit à : int 1 $ ds = () () cyl ds = π h= = s. lat Ciculation ente les amatues : Condensateu plan : e x q Q Q1 = e π h Q b 1 d Q1 V 1 V = Ln( b/ a) π h = π h a C π h Ln ( b / a ) = () + - Q + - -Q + - S On considèe que: e% S n négligeant les "effets de bod", les invaiances et les syméties pemettent d'écie: = ( x) e x e Appliquons l équation de Laplace ente les amatues (vide de chages) ; il vient : dv( x) V = = (puisque les gandeus sont invaiantes pa tanslation selon x et y) ;o : dx """"" dv = gadv x = = cste dx σ Q des amatues vaut : = = S Q e V V = e= C = S S e ; on détemine la constante sachant que le champ à la suface La ciculation du champ pemet d obteni : 1 Rq1 : la fomule ci-dessus est à eteni ; si, ente les amatues, il y a un diélectique (isolant) de pemittivité elative, la fomule devient : C e = ( étant supéieue à 1, on a ainsi la possibilité d augmente la capacité du condensateu ; pou de fotes valeus de C, il faut que e soit la plus petite possible : pou V 1 V fixée, le module du champ va augmente ainsi que les foces qui s execent su les chages liées du diélectique il fauda veille à ce que ce denie ne «claque» pas, c est-à-die qu il este isolant). Rq : losque la distance qui sépae les amatues est faible devant les dimensions du condensateu, on peut pose : b=a+e, avec e/a% 1 ; on peut alos développe les expessions (1) et () au pemie ode en e/a, soit : (1) : posons R = a+ e/ = b e/ (R= ayon «moyen» du condensateu sphéique) ( R e/ )( R+ e/ ) 4πR C = C & on etouve la fomule du condensateu e e plan avec : S = 4π R. S age 16 Chistian MAIR duklub S.A. Tous doits de l auteu des œuves ésevés. Sauf autoisation, la epoduction ainsi que toute utilisation des œuves aute que la consultation individuelle et pivée sont intedites. Fichie généé pou Visiteu (), le 3/1/16

17 () : π h π ah & on etouve la même fomule avec : S = π ah C = Ln (1 + e / a ) e VIII.3.3. negie électostatique d un condensateu plan n électocinétique, nous avons vu que l énegie emmagasinée pa un condensateu était de la 1 WC = CU, où U est la tension aux bones du condensateu. S V1 V U e et: C e 1 S = = ; es epésente le volume délimité pa les amatues e 3 w = ( en Jm. ) fome : ou un condensateu plan, nous avons noté que : WC e es la densité volumique d énegie électostatique s écit : = = = ; alos : On admetta la validité généale de cette expession, même losque le égime sea non pemanent ; en égime vaiable, les phénomènes magnétiques seont liés aux phénomènes électiques, il fauda alos teni compte de la densité volumique d énegie magnétique. ******************* CONCLUSION : pou calcule un champ électostatique, nous disposons de 3 méthodes : 1) calcul diect pa : ) calcul du potentiel pa : ρdτ = u V ρdτ V =, puis : = """"" gadv D (calcul vectoiel attention aux pojections ) (le 1 e calcul est scalaie) 3) pa le théoème de Gauss : ecommandé dans les situations à fote symétie age 17 Chistian MAIR duklub S.A. Tous doits de l auteu des œuves ésevés. Sauf autoisation, la epoduction ainsi que toute utilisation des œuves aute que la consultation individuelle et pivée sont intedites. Fichie généé pou Visiteu (), le 3/1/16