Théorie Quantique des Champs. Théorie quantique des champs : Compléments

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1 PHYS-F-440 Théorie Quantique des Champs PHYS-F-478 Théorie quantique des champs : Compléments Glenn Barnich Physique Théorique et Mathématique Université Libre de Bruxelles and International Solvay Institutes Campus Plaine C.P. 231, B-1050 Bruxelles, Belgique Bureau 2.O6. 217, gbarnich@ulb.ac.be, Tel : Le but du cours PHYS-F-440 est de donner une introduction aux techniques modernes de la théorie quantique des champs. Plus précisément, une partie du cours est dédiée aux divergences et corrections radiatives qui surviennent lors du calcul perturbatif de la matrice de diffusion. L autre partie est consacrée au traitement des champs à invariance de jauge. Le cours est centré sur l intégrale de chemins et l action effective : d un côté, il est montré comment reconstruire les éléments de la matrice de diffusion à partir de l action effective, d un autre côté l action effective est utilisée pour prouver la renormalisabilité à une boucle des théories du champs scalaire en interaction et des théories de Yang-Mills, y compris électro et chromodynamique quantique. Finalement, les fonctions β de ces théories sont calculées et leur comportement asymptotique est discuté. Le cours PHYS-F-478 traite de chapitres plus avancés de la théorie quantique des champs. Plus précisément, la régularisation par la fonction zêta est utilisée pour paramétriser de manière uniforme les divergences à une boucle du champ scalaire en diverses dimensions. Ensuite, elle est utilisée pour dériver la fonction de partition d un champ scalaire libre sans masse et aussi le rayonnement du corps noir, dont la dérivation par quantification canonique est également revue. Le dernier chapitre constitute une introduction aux anomalies chirales. Ces notes de cours en préparation suivent de très près certains chapitres des références citées en annexe. L étudiant intéressé est encouragé à consulter ces ouvrages pour plus de détails. Pré-requis utile : Quantification canonique des champs, PHYS-F-302 Mécanique quantique. Directeur de recherches du Fonds de la Recherche Scientifique-FNRS

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3 Table des matières 1 Intégrales de chemin Préliminaires Évolution dans le temps Image de Schrödinger Image de Heisenberg Image de Dirac ou d interaction Quantification canonique du champ scalaire réel libre Matrice S Formule Hamiltonienne Opérateur d évolution Eléments de matrices d opérateurs Equations de Schwinger-Dyson Exercices Rétablir Intégrale de chemin pour le symbole p-q Intégrale de chemin dans la représentation de l impulsion Fonction de partition Equations de Schwinger-Dyson en détails Passage à la matrice S Théorie des champs Représentation de l amplitude in-out Représentation de l amplitude vide-vide Sources externes Représentation des fonctions de Green Exercices Intégration gaussienne Intégrales de Fresnel Théorème de Wick Formule Lagrangienne Transformée de Legrendre en mécanique Intégration sur les moments Exercices Fonction de partition bis Règles de Feynman Théorème de Wick et développement perturbatif Propagateurs Règles de Feynman pour le champ scalaire Exercices

4 4 TABLE DES MATIÈRES Propagateur du champ vectoriel massif Représentation holomorphe Etats cohérents Noyau et symbole normal Opérateur d évolution Fonction de partition pour l oscillateur harmonique libre Formules de réduction Fermions Variables de Grassmann Exercices Intégration gaussienne fermionique Théorème de Wick fermionique Fonction de partition pour un oscillateur fermionique Opérateur d évolution Propagateur fermionique Symétries et identités de Ward Transformations finies Transformations infinitésimales Théorème de Noether Identités de Ward Transformations finies Transformations infinitésimales Equations de mouvement pour les fonctions de Green Version locale Méthodes fonctionnelles Fonctionnelle génératrice des fonctions de Green connexes Fonctionnelle normalisée et logarithme Fonctions de Green connexes Champ classique et inversibilité Action effective Transformée de Legendre Diagrammes connexes et relations topologiques Propagateur complet et vertex propre d ordre Développement semi-classique de l action effective Action effective comme fonctionelle génératrice des vertex propres Symétries de l action effective Méthode du champ de fond Renormalisation à 1 boucle et comportement asymptotique Action effective au premier ordre pour le champ scalaire Potentiel effectif Calcul de l intégrale divergente Constante de couplage renormalisée à une boucle Structure des divergences de l action effective au premier ordre Exercices Renormalisation des champs et tadpoles Absence de tadpoles en 4 dimensions pour un champ scalaire avec interaction quartique

5 TABLE DES MATIÈRES Théories renormalisables Conditions de normalisation Comportement asymptotique Invariance par dilatation Équation de Callan-Symanzik Comportement à haute énergie et théorie de masse nulle Constante de couplage "running" Exercices Equation de Callan-Symanzik en TF à l ordre Régularisation dimensionnelle et groupe de renormalisation Résumé Champs de jauge classiques Rappels de théorie des groupes Symétries globales des champs de matière Principe de jauge et dérivée covariante Transformations de jauge finies Champ de Yang-Mills Lagrangien de Yang-Mills Courants conservés pour les équations couplées Exercices Représentation adjointe et co-adjointe Variables invariantes de jauge Lagrangien de Chern-Simons Invariance de Lorentz du Lagrangien de Yang-Mills Constantes de couplage et invariance de jauge Invariant de jauge de dimension Hamiltonien du champs de Yang-Mills Champs de jauge quantiques Propagateurs et invariance de jauge Fixation de jauge et invariance BRST Indépendance du choix de fixation de jauge Identités de Slavnov-Taylor et équation de Zinn-Justin Jauge du champ de fond Structure des divergences à une boucle dans la jauge du champ de fond Constante de couplage renormalisée à une boucle Fonctions β en électrodynamique quantique et en théorie de Yang-Mills Chromodynamique quantique et liberté asymptotique Compléments Temps propre de Schwinger et régularisation par fonction zeta Représentation et régularisation par le temps propre de Schwinger Noyau chaleur Divergences à une boucle pour le champ scalaire Régularisation par fonction zeta Fonction de partition pour le champ scalaire libre sans masse Exercices Laplacien sur le cercle

6 6 TABLE DES MATIÈRES 6.2 Rayonnement du corps noir Le problème Fonction de partition par intégrale de chemin Dérivation par quantification canonique Champ électromagnétique dans une boîte Quantification canonique Fonction de partition et grandeurs thermodynamiques Note historique Anomalies chirales Transformation chirale Calcul par fonction zeta Divergence anomale du courant axial Phénoménologie Théorème de l indice d Atiyah-Singer Calcul direct des anomalies Anomalie "singlet" Anomalie non-abélienne Condition de cohérence de Wess-Zumino Commutateurs Fantômes et cohomologie Équations de descente Résultat à tous les ordres et antichamps Théories sans anomalies Exercices Théorème d Atiyah-Singer à toute dimension Bibliographie 135

7 Chapitre 1 Intégrales de chemin Les intégrales de chemin permettent une reformulation intuitive de la mécanique quantique qui se généralise de manière directe à la théorie des champs. Elles constituent des outils puissants en théorie des perturbations (dérivation des règles de Feynman, identités de Ward...). Elles donnent également lieu à des développements théoriques qui vont au-delà de la théorie des perturbations, mais qui ne seront pas traités dans ce cours. Ce chapitre est basé sur [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7]. 1.1 Préliminaires Cette section suit [2] puis[1] Évolution dans le temps La dynamique d un système quantique est déterminée par un Hamiltonien Ĥ[q, p]. La dépendance temporelle d un élément de matrice de l opérateur Â[q, p] est déterminée par l équation ı d ψ Â φ = ψ [Â, Ĥ] φ. (1.1) dt Cette équation est suffisante car toute l information physique est dans les éléments de matrices. On peut cependant choisir d écrire des équations séparées pour le développement temporel des états et des opérateurs : si Ĥ = M + N, avec M, N hermitiens, on peut définir ı d dtâ = [Â, M], ı d dt ψ = N ψ. (1.2) Image de Schrödinger L image de Schrödinger consiste à mettre toute la dépendance temporelle dans les états, M = 0, N = Ĥ. On a donc ÂS(t) = ÂS(t 0 ), ψ(t) S = exp ıĥ(t t 0) ψ(t 0 ) S. Ceci est valable pour un Hamiltonien qui ne dépend pas explicitement du temps, ce qu on supposera être le cas dans la suite Image de Heisenberg L image de Heisenberg consiste à mettre toute la dépendance temporelle dans les opérateurs, M = Ĥ, N = 0. On a donc ÂH(t) = exp Ĥ(t ı t 0)ÂH(t 0 ) exp ıĥ(t t 0), ψ(t) H = ψ(t 0 ) H. Notons que Ĥ S = ĤH et que l on peut choisir d identifier ψ(t 0 ) S = ψ(t 0 ) H, ÂS(t 0 ) = ÂH(t 0 ). 7

8 8 CHAPITRE 1. INTÉGRALES DE CHEMIN Image de Dirac ou d interaction Si l Hamiltonian se décompose en une partie libre (=quadratique) et une partie d interaction, Ĥ = Ĥ 0 + V, l image d interaction consiste à transformer les opérateurs avec l Hamiltonien libre Ĥ0 et les états avec l Hamiltonien d interaction V, M = Ĥ0, N = V. Les opérateurs correspondants sont dénotés par ÂI(t). Dans cette image, Ĥ0 est indépendant du temps, ce qui implique donc que  I (t) = exp Ĥ0(t ı t 0 )ÂI(t 0 ) exp ıĥ0(t t 0 ). Les états ψ(t) I satisfont ı d ψ dt I = V I ψ I, avec V I (t) = exp Ĥ0(t ı t 0 ) V I (t 0 ) exp ı Ĥ0(t t 0 ). De nouveau, on identifie états et opérateurs des différentes images en t 0. Pour intégrer l équation d évolution des états, posons Ceci implique que ÛI(t, t) = 1 et d dtûi(t, t 0 ) = ı V I (t)ûi(t, t 0 ). En intégrant et en itérant, on trouve Û I (t, t 0 ) = 1 ı t Pour montrer que ceci vaut t 0 dτ V I (τ)ûi(τ, t 0 ) = N=0 ψ(t) I = ÛI(t, t 0 ) ψ(t 0 ) I. (1.3) ( ı )N t t 0 dτ 1... τn 1 t 0 dτ N VI (τ 1 )... V I (τ N ). N=0 ( ı )N N! t t dτ 1... dτ N T{ V I (τ 1 )... V I (τ N )}, t 0 t 0 on constate que pour t = t 0, cette expression vaut 1 (par définition) et que la derivée de cette expression par rapport t vaut ı V I (t) fois l expression elle-même. L expression satisfait donc la même équation différentielle du premier ordre et la même condition initiale que ÛI(t, t 0 ) et doit donc en être égale. On trouve alors Û I (t, t 0 ) = T exp ı t t 0 dτ V I (τ). (1.4) Si on identifie ψ(t 0 ) > I = ψ(t 0 ) > H = ψ > H, on tire de H < ψ ÂH(t) ψ > H = I < ψ(t) ÂI(t) ψ(t) > I que ÂI(t) = ÛI(t, t 0 )ÂH(t)ÛI(t 0, t) Quantification canonique du champ scalaire réel libre Ce chapitre est un bref rappel rappel de la quantification canonique du champ scalaire libre et sert à rendre ces notes auto-cohérentes. Puisque cette matière est traitée en détail dans un premier cours de théorie quantique des champs, elle ne sera pas répétée pour le cours standard en master. Prenons = 1. Action : S KG = d 4 x[ 1 2 µφ µ φ 1 2 m2 φ 2 ]. (1.5) Moments conjugués : π( x, t) = 0 φ( x, t), crochets de Poisson : {φ( x, t), π( y, t)} = δ( x y). Hamiltonien : H 0 = d 3 x[ 1 2 π2 ( x, t) kφ( x, t) k φ( x, t) m2 φ( x, t) 2 ] (1.6)

9 1.1. PRÉLIMINAIRES 9 Transformée de Fourier : φ( k, t) = π( k, t) = d 3 x exp ı k x φ( x, t), (1.7) d 3 x exp ı k x π( x, t). (1.8) Variables d oscillateurs : a( k, t) = φ( x, t) = π( x, t) = ı 1 (2π) [ ω( k) φ( 3/2 2 k, t) + d 3 k 1 (2π) 3/2 d 3 k (2π) 3/2 avec ω( k) = k2 + m 2. quantification : [â( k, t), â + ( k, t)] = δ( k k ). ı 2ω( k) π( k, t)], (1.9) 2ω( [a( k, t) exp ı k x + h.c.], (1.10) k) ω( k) 2 [a( k, t) exp ı k x h.c.] (1.11) : Ĥ0 := d 3 k ω( k)â + ( k, t)â( k, t). (1.12) Pourquoi faut-il prendre l ordre normal? En suivant les règles de quantification, on obtient Ĥ 0 = d 3 k ω( k)[â ( k)â( k)+ 1 2 δ(3) (0)]. En mettant le système dans une boîte, on trouve Ĥ0 = k ω k [â k â k ]. Il s agit de l énergie du point zéro, du vide, et la divergence provient du fait que même dans une boîte, on a une infinité de degrés de libertés, et on a des degrés de libertés avec une longueur d onde/énergie arbitrairement courte/élevée. L énergie du vide a une divergence ultraviolette. De plus le système dans un espace infini a une divergence infrarouge (δ (3) (0)) qui survit même si on décide de couper l intégration sur les moments à une certaine énergie. Comme on vient de le voir, cette partie de la divergence est éliminée en mettant le système dans une boîte. Ces divergences sont sans importances : (i) on ne peut mesurer que des différences d énergie, (ii) la théorie classique ne définit pas la théorie quantique, il y a des choix à faire. Un choix qui résout le probème ici est de prendre l ordre normal pour l Hamiltonien quantique. Équations du mouvement : d dtâ( k, t) = ı[â( k, t), : Ĥ 0 :] = ıω( k)â( k, t), ce qui implique que â( k, t) = exp iω( k)t â( k), φ(x) = d 3 k 1 [â( ] k) exp ık x + h.c. (2π) 3/2 2ω( k) (1.13) φ (+) (x) = = φ (+) (x) + φ ( ) (x), (1.14) d 3 k 1 (2π) 3/2 2ω( â( k) exp ık x, φ( ) (x) = ( φ (+) (x)). (1.15) k) On dit que φ (+) (x) contient des fréquences positives, tandis que φ ( ) (x) contient les fréquences négatives. Fonction à deux points :

10 10 CHAPITRE 1. INTÉGRALES DE CHEMIN i F (x y) < 0 T φ(x) φ(y) 0 > =< 0 φ (+) (x) φ ( ) (y) 0 > θ(x 0 y 0 ) + (x y), =< 0 [ φ(+) (x), φ ] ( ) (y) 0 > θ(x 0 y 0 ) + (x y). (1.16) [ φ (+) (x), φ ] ( ) (y) = 1 (2π) 3 d 3 kd 3 k exp ık x exp ık 1 y 2 ω( k)ω( δ( k k ) k ) = 1 d 3 1 k (2π) 3 2ω( exp ık (x y). (1.17) k) Donc < 0 T φ(x) φ(y) 0 >= 1 (2π) 3 d 3 1 k 2ω( k) [exp ık (x y)θ(x0 y 0 ) + (x y)]. (1.18) On a θ(t) = 1 2πi + exp ist ds s + iɛ. En effet, si t > 0 on ferme le contour en bas dans le plan complexe s et on attrape la contribution du pôle en s = iɛ. Si t < 0, on ferme le contour vers le haut, il n y a pas de pôle et le résultat est zéro. s, t > 0 s, t < 0 En injectant cette expression, on trouve F (x y) = 1 d k (2π) 4 2ω( k) k 0 + iɛ exp [ i(k0 + ω( k))(x 0 y 0 ) + i k ( x y)] + (x y) = 1 d p exp ip(x y) + (x y) (2π) 4 2ω( p) p 0 ω( p) + iɛ = 1 d 4 1 p (2π) 4 2ω( p) ( 1 p 0 ω( p) + iɛ + 1 ) exp ip(x y) p 0 ω( p) + iɛ = 1 d 4 1 iɛ/ω( p) p exp ip(x y) (2π) 4 p 2 + m 2 2iɛω( p) 1 = d 4 1 p exp ip(x y). (1.19) (2π) 4 p 2 + m 2 iɛ

11 1.1. PRÉLIMINAIRES 11 La dernière ligne est due au fait que seulement le pôle pour p 0 est important. En effet, on a (p 0 ) 2 = p 2 + m 2 iɛ et donc les pôles sont en p 0 = p 2 + m 2 iɛ et en p 0 = p 2 + m 2 + iɛ. Si x 0 y 0 > 0, on ferme le contour vers le bas et on attrappe le premier pôle, si x 0 y 0 < 0, on ferme le contour vers le haut et on attrappe le 2ème pôle. On peut alors facilement vérifier que l on retrouve l expression de départ. pº, xº-yº > 0 pº, xº-yº < 0 A partir de (1.19), on vérifie directement que F (x y) est une fonction de Green de l opérateur de Klein-Gordon, ( m 2 ) F (x y) = δ 4 (x y). De plus, si x 0 y 0 > 0, on voit à partir de (1.17) que F (x y) ne contient que des fréquences positives, et si x 0 y 0 < 0, il n y a que des fréquences négatives. On dit que F (x y) satisfait des conditions aux limites de radiation Matrice S Ce chapitre peut être négligé lors d une première lecture. Dans la théorie en interaction Ĥ = Ĥ0 + V, le problème n est en général plus linéaire et ne peut être résolu exactement. On s intéresse à des processus de diffusion, avec des particules libres loin les unes des autres, puis qui interagissent pour redevenir libres plus tard. Pour décrire cette situation, on fait alors l hypothèse que l espace de Fock de la théorie en interaction est le même que l espace de Fock de la théorie libre associée à Ĥ0. Si on se met dans l image de Heisenberg, on admet que, à l intérieur d éléménts de matrice, l opérateur du champ devienne proportionnel à l opérateur du champ libre suffisamment loin dans le futur et dans le passé : où Z 1/2 est un facteur de proportionalité et φout in au paragraphe précédent 1. φ( x, t) t ± Z 1/2 φout ( x, ± ), in sont les champs de la théorie libre définis explicitement Dénotons par α, out in > les vecteurs de bases orthornormées de l espace de Fock dans le futur, respectivement passé, lointain, c-à-d l espace de Fock créé par (â + ) out in ( k). Comme on est en image de Heisenberg, ces états décrivent le système à tout instant ; cependant, un observateur qui analyse un état α, in > en t l analyse avec â in ( k) et cet état peut par exemple apparaître comme un système de particules libres et simple, préparé à l avance. Par contre si cet observateur analyse le même état en t +, 1. Une manière d implémenter cette idée est de considérer que les constantes couplages g dans V dépendent explicitement de x et s annullent dans le passé et le futur lointain. Il faut alors discuter la limite adiabatique g(x) g, cste.

12 12 CHAPITRE 1. INTÉGRALES DE CHEMIN il l analysera avec des opérateurs â out ( k) et il peut apparaître comme une superposition compliquée de particules libres résultant d un processus de diffusion à t fini. La matrice S est définie par S βα =< β; out α; in >. (1.20) Elle décrit l amplitude de probabilité pour passer d un état de particules libres dans le passé lointain à un autre état de particules libres dans le futur lointain. L unitarité de la matrice S est une conséquence directe du fait que les bases α, out in > sont orthornormées : par exemple γ < β; in γ; out >< γ; out α; in >= δ βα implique que γ S βγ S γα = δ βα. Considérons encore α, une base de l espace de Fock de la théorie libre avec Hamiltonien Ĥ0 en image de Heisenberg. Les états α, β de la théorie ont le même contenu en particules que les états α; in, β; out. L opérateur Ŝ est alors défini comme l opérateur dans l espace de Fock de la théorie libre tel que S βα =< β Ŝ α >. (1.21) Il est alors naturel d utiliser l image d interaction car alors le développement temporel des opérateurs est la même dans la théorie libre et la théorie en interaction. On choisit d identifier les états de Heisenberg et d interactions de la théorie en interaction à l instant 0. Comme en l absence d interactions, en t, les états en image d interactions ne bougent plus, on a α( ) I = α, I β(+ ) = β. On a alors < β Ŝ α > =< β; out α; in >= I β(0) α(0) I = I β(+ ) ÛI(+, ) α( ) I = β ÛI(+, ) α. (1.22) Donnons aussi la démonstration en image de Schrödinger, où on prend α; in( ) S = α( ) S, S β; out(+ ) = S β; (+ ) avec i t α; in(t) S = Ĥ α; in(t) S et i t α; (t) S = Ĥ0 α; (t) S. En introduisant la notation Û(t, t) = exp ıĥ(t t) et Û0(t, t) = exp ıĥ0(t t), on a < β Ŝ α >=< β; out α; in >= S β; out(0) α; in(0) S = S β; out(+ ) Û(, 0)Û(0, ) α; in( ) S On trouve donc = S β; (+ ) Û(+, ) α( ) S = S β(0) Û0(0, )Û(+, )Û0(, 0) α(0) S (1.23) Ŝ = ÛI(+, ) = Les deux expressions sont compatibles car lim exp ıĥ0t exp ıĥ(t t 0) exp ıĥ0t 0. (1.24) t,t 0 Û I (t, t 0 ) = exp ıĥ0t exp ıĥ(t t 0) exp ıĥ0t 0 = Ω (t) Ω(t 0 ), Ω(t) = exp i Ĥt exp iĥ0t. (1.25) En effet, le membre de droite satisfait la même condition initiale et la même équation différentielle du premier ordre que l opérateur ÛI(t, t 0 ), d dtûi(t, t 0 ) = exp ıĥ0t[i(ĥ0 Ĥ)] exp ıĥ(t t 0) exp ıĥ0t 0 = ı V I (t)ûi(t, t 0 ). On en tire aussi que β; out >= Ω(+ ) β >, α; in >= Ω( ) α >. (1.26) En combinant avec (1.4), a donc démontré la série de Dyson pour l opérateur Ŝ : + Ŝ = T exp ı dτ V I (τ). (1.27)

13 1.2. FORMULE HAMILTONIENNE Formule Hamiltonienne cf [1], [5] Opérateur d évolution Considérons un système quantique en image de Schrödinger. Opérateurs (hermitiens) de position : Q a, moments conjugués : P b avec [ Q a, P b ] = iδ a b, [ Q a, Q b ] = 0, [ P a, P b ] = 0 a, b = 1,..., n, (1.28) où on a posé = 1. États propres de position : Q a q >= q a q >. Ces états sont orthonormés et complets, et de même pour P b, P b p >= p b p >, < q q >= δ(q a q a ) δ(q q), (1.29) a 1 = dq a q >< q dq q >< q, (1.30) a Conséquence : < p p >= δ(p b p b ) δ(p p), (1.31) b 1 = dp b p >< p dp p >< p. (1.32) p < q p >= 1 2π n exp ıq a p a = a 1 2π exp ıqāpā, (1.33) (sans sommation sur les indices surlignés). En effet, dans la représentation de position, ψ(q) =< q ψ >, < q Q a ψ >= q a ψ(q), < q P p ψ >= ı ψ(q). q b Donc, < q P b p >= ı < q p >, mais aussi < q P q b b p >= p b < q p >, ce qui implique que < q p >= α exp ıq a p a. Normalisation : δ(p p) =< p p >= dq < p q >< q p >= αα dq exp ıq a (p a p a). Explicitement, a δ(p a p a ) = αα a dq a exp ıqā(pā p ā). Ceci implique αα = 1 n et on peut donc choisir α = 1 2π n, car pour une copie δ(p a p a ) = 1 2π 2π dq a exp ıqā(pā p ā), voir intégrales gaussiennes plus loin. Pour un Hamiltonien qui ne dépend pas explicitement du temps, on a, en image de Heisenberg : Q a (t) = exp ıĥt Q a exp ıĥt, (1.34) P b (t) = exp ıĥt P b exp ıĥt. (1.35) Etats propres : Q a (t) q; t >= q a q; t >, P b (t) p; t >= p b p; t >, ce qui implique que q; t >= exp ıĥt q >, p; t >= exp ıĥt p >. On a aussi < q ; t q; t >= δ(q q), 1 = dq q; t >< q; t, (1.36) < p ; t p; t >= δ(p p), 1 = dp p; t >< p; t, (1.37) < q; t p; t >= a 1 2π exp ıqāpā, (1.38)

14 14 CHAPITRE 1. INTÉGRALES DE CHEMIN État initial : q; t >, état final q ; t >. On veut calculer l amplitude de transition, < q ; t q; t >=< q Û(t, t) q >, Û(t, t) = exp ıĥ(t t), (1.39) où Û(t, t) est l opérateur d évolution. On note que Ĥ( Q, P ) = Ĥ( Q(t), P (t)). En effet, on fait l hypothèse que Ĥ est un polynôme. On utilise Ĥ = exp ıĥt Ĥ exp ıĥt et on insére 1 = exp ıĥt exp ıĥt autant de fois qu il le faut. Pour la suite, ordonnons tous les Q à gauche des P en utilisant les relations de commutations (1.28) : Ĥ = m,n kb1...bm a 1...a n Qa 1... Q an P b1... P bm. Pour un intervalle de temps infinitésimal, t = τ + dτ, t = τ, on a < q ; τ + dτ q; τ >=< q ; τ exp ıĥdτ q; τ >=< q ; τ 1 ıĥ( Q(τ), P (τ))dτ q; τ > = dp < q ; τ 1 ıĥ( Q(τ), P (τ))dτ p; τ >< p; τ q; τ > ( = dp < q ; τ p; τ > 1 ı( ) k b 1...b m a 1...a n q a 1... q an p b1... p bm )dτ < p; τ q; τ > m,n = ( dp a 2π ) exp ı[p a(q a q a ) H(q, p)dτ] (1.40) a où la fonction H(q, p) est obtenue en remplaçant les opérateurs par des fonctions dans l opérateur Ĥ où tous les Q ont été ordonnés à gauche des P. Cette fonction s appelle le symbole q p de l opérateur Ĥ. t t τ τ τ N+1 N N Pour un intervalle de temps fini, on coupe en morceaux : τ = τ k+1 τ k = t t N+1 et τ τ < q ; t q; t >= dq 1... dq N < q ; t q N ; τ N >< q N ; τ N q N 1 ; τ N 1 >... < q 1 ; τ 1 q; t >. (1.41) Si N, les intervalles deviennent infinitésimaux et on peut utiliser (1.40) pour chaque élément pour obtenir < q ; t q; t >= lim N N N [ dqk][ a k=1 a k=0 a dp ak 2π ] N+1 exp ı [(qk a qk 1)p a ak 1 H(q k, p k 1 )dτ] (1.42) k=1 avec q a 0 = q a et q a N+1 = q a. En utilisant des fonctions q(τ), p(τ) interpolant entre les différents points, q a (τ k ) = q a k, p a(τ k ) = p ak, l intégration peut être vue comme une intégration sur tous les chemins q(τ) qui passent de q(t) à q(t ) et sur tous les chemins p(τ) sans conditions aux bords.

15 1.2. FORMULE HAMILTONIENNE 15 t t q q q Si les fonctions d interpolation sont suffisamment régulières, l argument de l exponentielle de (1.42) devient N+1 [(q a (τ k ) q a (τ k 1 )p a (τ k 1 ) H(q(τ k ), p(τ k 1 ))dτ] = k=1 N+1 = [( q a (τ k )p a (τ k ) H(q(τ k ), p(τ k ))dτ + O(dτ 2 )], k=1 en utilisant q a (τ k ) = q a (τ k 1 ) + dqa dτ (τ k)dτ + O(dτ 2 ), et p a (τ k ) = p a (τ k 1 ) + O(dτ), et à la limite N, on obtient t t dτ [ q a (τ)p a (τ) H(q(τ), p(τ)) S H [q, p]. A la limite N, la mesure de l intégrale de chemin se note comme suit : lim N N N [ dqk][ a k=1 a k=0 a dp q(t )=q ak 2π ] = q(t)=q dq a (τ) a,τ a,τ dp a (τ) 2π. Cette mesure est donc définie par passage à la limite d une mesure discrétisée qui contient une intégrale de plus sur les p que sur les q. Notons qu une définition rigoureuse du passage à la limite pose problèmes. Par passage à la limite, on obtient donc < q ; t q; t >= q(t )=q q(t)=q dq a (τ) a,τ a,τ dp a (τ) 2π exp ıs H [q, p], (1.43) où S H [q, p] est l action Hamiltonienne du premier ordre.

16 16 CHAPITRE 1. INTÉGRALES DE CHEMIN Eléments de matrices d opérateurs Pour un opérateur Ô, utilisons les règles de commutation (1.28) pour ordonner les P à gauche des Q, et calculons un élément de matrice avec des insertions de tels opérateurs. Pour un intervalle infinitésimal, on a < q ; τ + dτ Ô( P (τ), Q(τ)) q; τ >= dp < q ; τ exp ıĥdτ p; τ >< p; τ Ô( P (τ), Q(τ)) q; τ > = ( dp a 2π ) exp ı[p a(q a q a ) H(q, p)dτ]o(p(τ), q(τ)). a où O(p, q) est le symbole p q de l opérateur Ô. Pour l élément de matrice avec insertion d un produit Ô A ( P (t A ), Q(t A ))ÔB( P (t B ), Q(t B ))... où on fait l hypothèse que t A > t B >.... Dans la décomposition de l intervalle de temps, si τ k+1 > t A > τ k, t A t B t t τ τ k+1 k l opérateur ÔA sera inséré dans < q k+1 ; τ k+1 ÔA q k ; τ k > et < p k ; τ k ÔA q k ; τ k >= O A (p(t A ), q(t A )) < p k ; τ k q k ; τ k > +O(dτ). Les termes d ordres dτ s annulent à la limite car il n y a qu un nombre fini de tels termes (contrairement au cas précédent où il fallait les garder car leur nombre croissait comme N). En suivant le raisonnement précédent, on trouve donc pour t > t A > t B > > t, < q ; t ÔAÔB... q; t >= = q(t )=q q(t)=q dq a (τ) dp a (τ) 2π O A(p(t A ), q(t A ))O B (p(t B ), q(t B ))... exp ıs H [q, p]. a,τ a,τ Dans le membre de droite l ordre des temps est sans importance (on a affaire à des fonctions ordinaires). Supposons donc que les temps t A, t B,... ne soient pas ordonnés. Alors, le membre de droite correspond au membre de gauche où les temps sont arrangés par ordre décroissant. En dénotant par un T l ordre chronologique décroissant, on a donc démontré : < q ; t T{ÔA( P (t A ), Q(t A ))ÔB( P (t B ), Q(t B ))...} q; t >= q(t )=q = dq a (τ) dp a (τ) q(t)=q 2π O A(p(t A ), q(t A ))O B (p(t B ), q(t B ))... exp ıs H [q, p]. (1.44) a,τ a,τ Equations de Schwinger-Dyson Soit z α = (q a, p a ) et prenons comme opérateur à insérér le 1er membre des équations du mouvement, Ô A (z α (t A )) = δs H δz α (t A ) avec δs H δz α (t A ) = ( ṗ a H q a )(t A), ( q b H p b )(t A ) (1.45)

17 1.2. FORMULE HAMILTONIENNE 17 et t < t A < t. On a δs H δz α (t A ) O δ ( B(z(t B ))... exp ıs H [z] = ı δz α OB (z(t (t A ) B ))... exp ıs H [z] ) + ( δ ı δz α (t A ) [O B(z(t B ))... ] ) exp ıs H [z]. Comme on intègre sur tous les z α intermédiaires, et donc aussi sur z α (t A ) de à +, on peut s attendre à ce que le premier terme, qui se réduit à ı[(o B (z(t B ))... exp ıs H [z]] zα (τ)=+ z α (τ)=, s annule (voir exercices pour plus de justifications). On a donc : < q ; t T{ δs H δz α (t A ) ÔB(ẑ(t B ))...} q; t >= = ı < q δ ; t T{ δz α (t A ) [O B(z(t B ))... ]} q; t >. (1.46) Ce sont les équations de Schwinger-Dyson qui expriment la forme que les équations du mouvement classiques prennent dans la théorie quantique Exercices Rétablir Rétablir les facteurs de dans les formules précédentes Intégrale de chemin pour le symbole p-q Donner les symboles q p et p q de Ĥ = 1 2 ( Q P + P Q) et dériver une expression en intégrale de chemin pour < q ; t q; t > dans laquelle le symbole p q de l Hamiltonien apparaît. Montrer que les p sont alors evalués plus tard que les q. Indication : Insérer la décomposition de l identité à gauche plutôt qu à droite Intégrale de chemin dans la représentation de l impulsion Dériver l expression en intégrale de chemin pour < p ; t p; t > (i) directement et (ii) par transformée de Fourier de < q ; t q; t >. Montrer que l action qui apparaît alors dans l intégrale est Fonction de partition S H p q + pq = t t dτ [ ṗ a q a H]. Vérifier que Tr Û(t, t) dq < q exp ı t) q >= Ĥ(t dp(τ) dq(τ) 2π exp ı S H[q, p], (1.47) chemins periodiques en q,p Indication : On peut définir p an+1 = p a0 car p an+1 n apparaît pas dans S H discrétisé. Montrer que Tr Û(t, t) = n N n exp ıe n (t t),

18 18 CHAPITRE 1. INTÉGRALES DE CHEMIN où la somme est sur les différents niveaux d énergies E n et N n est la dégénérescence d un niveau (on suppose le spectre de Ĥ discret). En posant t t = ı β, on obtient Tr Û(t, t) = Tr exp βĥ Z(β), où Z(β) est la fonction de partition de la mécanique statistique (quantique). Dériver par calcul direct une représentation en intégrale de chemin de Z(β). Réponse : Z(β) = dq < q exp βĥ q >= dp(τ) dq(τ) 2π exp 1 Se H[q, p], (1.48) chemins periodiques en q,p avec S e H [q, p] = β 0 dτ [ ı q(τ )p(τ )+H(q(τ ), p(τ ))]. L intégration est sur tous les chemins périodique de période est β. Montrer que cette expression peut être obtenue à partir de l expression pour Tr Û(t, t) en posant τ = ıτ et en tournant le chemin d intégration de 90 degrés dans le plan complexe de τ. Conclusion : Les intégrales de chemins peuvent donc aussi être utilisées en mécanique statistique Equations de Schwinger-Dyson en détails Dériver les équations de Schwinger-Dyson à partir de la représentation en intégrale de chemin de < q ; t T{ÔB(ẑ(t B ))...} q; t > en faisant le changement de variables z α (τ) z α (τ) + ξ α (τ)δ(τ t A ) avec ξ α infinitésimal en faisant l hypothèse que la mesure de l intégrale de chemin est invariante par translation. Dériver les équations de Schwinger-Dyson T{ δs H δz α (t A ) Ô(ẑ(t))} = ıt δo(z(t)) δz α (t A ) dans le formalisme des opérateurs, ẑ α (t) étant les opérateurs dans l image de Heisenberg. Indications : En utilisant la règle de correspondance [Â, B] = i {A, B}, vérifier que les équations du mouvement dans l image de Heisenberg s écrivent δs H δz α (t A ) = 0. Attention : ceci ne signifie pas que le membre de gauche de l équation de Schwinger-Dyson s annule à cause de la présence de ẑ β (t A ) dans les équations du mouvement. A partir des définitions pour le produit chronologique et pour la dérivée, montrer que T{Â(t 1) B(t 2 )} = Â(t 1) B(t 2 )θ(t 1 t 2 ) + B(t 2 )Â(t 1)θ(t 2 t 1 ), ẑ ẑ β (t β A + ɛ 2 (t A ) = lim ) ẑβ (t A ɛ 2 ), ɛ ɛ T{ ẑ β (t A )Â(t)} d T{ẑ β (t A dt )Â(t)} A = ẑ β (t A )Â(t)θ(t A t) + Â(t) ẑ β (t A )θ(t t A ) + δ(t A t)[ẑ β (t A ), Â(t)] Utiliser la règle de correspondance pour conclure. Remarque : pour pouvoir utiliser la règle de correspondance sans termes correctifs d ordre supérieur en, il faut faire l hypothèse que les fonctions, en l occurence H et O, soient au plus des fonctions quadratiques de l espace des phases. Ce calcul justifie dans une certaine mesure l invariance par translation de l intégrale de chemin et l hypothèse que ı[(o B (z(t B ))... exp ıs H [z]] zα (τ)=+ z α (τ)= = 0.

19 1.3. PASSAGE À LA MATRICE S Transition à la matrice S cf. [1], [8] Théorie des champs Pour une théorie de champs, L élément de matrice d opérateurs a alors l expression Q a Q x,m Q m ( x), Pb P y,n P n ( y), (1.49) S H [q, p] = δ a b δ x,m y,n δm n δ 3 ( x y). (1.50) < q ; t T{ÔA[ẑ(t A )]ÔB[ẑ(t B )]...} q; t >= q m ( x, t) = q m dq ( x) m ( x, τ) dp m ( x, τ) 2π q m ( x, t ) = q m m, x,τ m, x,τ ( x) t t O A [z(t A )]O B [z(t B )]... exp ı S H[q, p], (1.51) { } dτ d 3 x q m ( x, τ)p m ( x, τ) H[z(τ)] Représentation de l amplitude in-out En théorie des champs, on ne veut pas des amplitudes de probabilité entre des états propres des opérateurs de position, mais des éléments de matrice S, c-à-d des amplitudes de probabilité entre des états qui dans le passé lointain t et dans le futur lointain t + contiennent un nombre fixe de particules avec des propriétés données. Ces états sont appellés états in et out et notés α; in >, β; out >. Les lettres α et β dénotent ici des ensembles de particules caractérisées par exemple par leurs moments, le spin etc. Pour y arriver, on multiplie (1.51) par les fonctions d onde < β; out q ; t > et < q; t α; in > à t fixé dans le passé lointain et t fixé dans le futur lointain où il n y a par hypothèse pas d interaction. Ensuite on intègre sur les arguments q m ( x) = q m ( x, ) et q m ( x) = q m ( x, + ). A cause des relations de complétude on obtient dans le membre de gauche < β; out T{ÔA[ẑ(t A )]ÔB[ẑ(t B )]...} α; in > (1.52) Dans le membre de droite, on avait une intégrale de chemin contrainte en t et t par des conditions aux bords, mais maintenant on intègre également sur ces conditions aux limites et on obtient donc une intégrale de chemin sans conditions aux bords : (1.52) = dq m ( x, τ) dp m ( x, τ) O A [z(t A )]O B [z(t B )]... exp ı 2π S H[q, p] m, x,τ m, x,τ < β; out q(+ ); + >< q( ); α; in >, (1.53) + { } S H [q, p] = dτ d 3 x q m ( x, τ)p m ( x, τ) H[z(τ)].

20 20 CHAPITRE 1. INTÉGRALES DE CHEMIN Représentation de l amplitude vide-vide Prenons maintenant comme états initial et final les vides respectifs, β; out >= V AC; out > et α; in >= V AC; in >, définis par â in ( p, m) V AC; in >= 0, (1.54) â out ( p, m) V AC; out >= 0. (1.55) où m représente par exemple le type de particule (photon, électron,...) et aussi d autres caractéristiques telles que le spin par exemple. Rappel : Z 1/2 â in et Z 1/2 â out sont les opérateurs qui apparaissent comme coefficients de exp (ı p x ıω( p)t) dans le développement de Q m ( x, t) en t ±, où on a un opérateur de champ libre. Dans le cas d un champ scalaire, on n a pas besoin de l indice m et on note habituellement Q( x, t) = Φ( x, t) et P ( x, t) = Π( x, t). On a t Φ( x, t) Z 1/2 (2π) 3/2 d 3 p(2ω( p)) 1/2 [â in ( p) exp ıp x + h.c.] (1.56) out Π( x, t) t d dt Φ( x, t) t Z 1/2 ı(2π) 3/2 d 3 p( ω( p) 2 )1/2 [â in out ( p) exp ip x h.c.] (1.57) avec p 0 = ω( p) = p 2 + m 2, p x = η µν p µ x ν et η µν = diag( 1, 1, 1, 1). En inversant la transformée de Fourier pour en extraire les opérateurs de création et de destruction, on obtient Z 1/2 â in = lim out t (2π) 3/2 exp ıω( p)t d 3 x exp ı p x [( ω( p) 2 )1/2 Φ( x, t) + ı(2ω( p)) 1/2 Π( x, t)]. (1.58) On a vu que sur les fonctions d onde dans la base φ, Π( x, δ t) agit comme ı, et la définition des δφ( x) vides devient d 3 δ x exp ı p x [ δφ( x) + ω( p)φ( x)] < φ( x); V AC; in out >= 0. (1.59) Rappelons d un côté que l équation différentielle ( d dy + ωy)f(y) = 0 a comme solution f(y) = N exp 1 2 ωy2 et d un autre côté que les dérivées fonctionnelles sont définies par δφi ( y) δφ j ( x) = δ δi jδ( y x), δφ j ( x) y φ i ( y) = m δj i y δ( y x) etc. m On essaie alors l ansatz Gaussien : < φ( x); V AC; in out >= N exp 1 2 d 3 xd 3 y Ω( x, y)φ( x)φ( y), (1.60) où il faut déterminer le noyau symétrique Ω( x, y) = Ω( y, x) et la constante N. En substituant dans l équation différentielle, on obtient 0 = d 3 x exp ı p x [ d 3 y Ω( x, y)φ( y) ω( p)φ( x)] [ d = d 3 x exp ı p x d 3 3 p ] y Ω( x, y) ω( p) (2π) exp ı p ( x y) φ( y) (1.61) 3

21 1.3. PASSAGE À LA MATRICE S 21 Comme cette équation doit être vraie quelque soit φ( y), on en déduit que d d 3 x exp ı p x Ω( x, y) = d 3 3 p x (2π) ω( p) exp ı x ( p p) exp ı p y 3 = ω( p) exp ı p y. (1.62) En inversant la transformée de Fourier, on trouve d 3 p Ω( x, y) = ω( p) exp ı p ( x y). (1.63) (2π) 3 La constante N peut être obtenue (formellement) par la normalisation du vide, mais on n a pas besoin d une expression explicite ici. On a donc que le dernier terme de (1.53) est donné par < V AC; out φ(+ ); + >< φ( ); V AC; in >= N 2 exp 1 d 3 xd 3 y Ω( x, y)[φ( x; + )φ( y; + ) + φ( x; )φ( y; )] 2 = N 2 exp ɛ d 3 xd 3 y dτω( x, y)φ( x; τ)φ( y; τ) exp ɛ τ, (1.64) avec ɛ > 0 infinitésimal. En effet, On trouve donc ( = lim ɛ 0 + ( = lim ɛ 0 + lim ɛ ɛ 0 + ( + = lim ɛ dτ f(τ) exp ɛτ + ɛ dτ f(τ) d exp ɛτ + dτ dτ d (f(τ) exp ɛτ) + dτ dτ d (f(τ) exp ɛτ) dτ dτ f(τ) exp ɛ τ ) dτ f(τ) exp ɛτ dτ f(τ) d ) dτ exp ɛτ dτ f (τ) exp ɛτ ) dτ f (τ) exp ɛτ = f(0) + f(+ ) f(0) + f(0) f(0) + f( ) = f(+ ) + f( ). dπ(x) < V AC; out T{ÔAÔB...} V AC; in >= N 2 dφ(x) 2π O AO B + { exp ı dτ d 3 x φ( x, τ)π( x, τ) H[φ, π] + ıɛ 1 } d 3 xd 3 y Ω( x, y) exp ɛ τ φ( x, τ)φ( y, τ). 2 (1.65) Comme on va le voir, les termes en ıɛ vont donner les termes en ıɛ des propagateurs. Pour compléter la transition à la matrice S, il faudra rappeler le lien entre < β; out T{ÔAÔB...} α; in > et la matrice S Sources externes Prenons maintenant des sources externes J A ( x, t) et le potentiel V J (t) = V (t) d 3 x J A ( x, t)ôa( x, t). La matrice S devient une fonctionnelle de J A ( x, t) : β; out α; in J.

22 22 CHAPITRE 1. INTÉGRALES DE CHEMIN Les dérivées de la matrice S par rapport à j sont reliées à l amplitude de transition avec insertion d opérateurs en image de Heisenberg entre les états correspondants : [ δ r ] δj A (x A )δj B (x B )... β; out α; J=0 in J =< β; out T{ıÔA(x A )ıôb(x B )...} α; in >. (1.66) Prenons comme Hamiltonien H J (t) = H(t) d 3 xj A ( x, t)o A ( x, t) dans (1.53) considéré sans insertion d opérateurs. En prenant la derivée par rapport aux sources externes et en les mettant à zéro, on trouve dans le membre de droite une représentation en intégrale de chemin avec insertion de fonctions. On conclut en utilisant de nouveau (1.53) cette fois-ci avec insertion d opérateurs. Remarque : La dérivation directe de ce résultat en termes de Ŝ[J] = T exp ı + nettement plus compliquée que cette dérivation par intégrale de chemin. J dτ V I (t) est Représentation des fonctions de Green Si on prend α; in >= V AC; in >, β; out >= V AC; out > et on considère en particulier un couplage aux champs fondamentaux de la théorie, d 3 x J A ( x, t)o A ( x, t) = d 3 x J m ( x, t)φ m ( x, t), on a δ r δj m1 (x 1 )... δj mr (x r ) V AC; out V AC; in J J=0 = ( ı )r V AC; out T{ Φ m 1 (x 1 )... Φ mr (x r )} V AC; in = ( ı )r N 2 dφ(x) dπ(x) 2π Φm 1 (x 1 )... Φ mr (x r ) exp ı [S H + ıɛterme]. (1.67) Les éléments de matrice < V AC; out T{ Φ m 1 (x 1 )... Φ mr }(x r ) V AC; in > sont les fonctions de Green. Si Z[J] dénote leur fonctionnelle génératrice, on a donc Z[J] 1 r! ( ı )r r=0 dx 1... dx r J m1 (x 1 )... J mr (x r ) < V AC; out T{ Φ m 1 (x 1 )... Φ mr }(x r ) V AC; in > dπ(x) = N 2 dφ(x) 2π exp ı [S H + d 4 x J m (x)φ m (x) + ıɛ terme]. (1.68) Exercices Intégration gaussienne Montrer que G(α) = + dx exp αx 2 = Indication : Prendre le carré et utiliser des coordonnées polaires. Si on définit T α (x) = α π exp αx2 et montrer que + δ(x) = lim α T α (x), dx δ(x)f(x) = f(0). π α, α > 0.

23 1.3. PASSAGE À LA MATRICE S 23 Indication : Utiliser un développement de f(x) en série de Taylor autour de 0 et + dn dx x 2n exp αx 2 = ( ) n (dα) n G(α). Pour α > 0, montrer en complétant le carré que si alors J = + J = dx exp Q(x), Q(x) = αx 2 + βx + γ, π β exp Q( x), x = α 2α. La valeur de l intégrale J est donc égale à π fois la valeur de l exponentielle à son extremum. α Montrer que Indication : Calculer + + comme indiqué au point précédent et puis calculer Prendre la limite α. Montrer que si J(A, b, c) + + dp exp ıpy dp exp ıpy = 2πδ(y) dx exp ıpx T α (x) + dx exp ıpx T α (x). dx i exp Q(x), Q(x) = 1 2 A ijx i x j + b i x i + c, i où A ij, b i, c sont réels et A ij est symétrique et défini positif, alors J(A, b, c) = (det( A 1 1 2π )) 2 exp ( 2 b i(a 1 ) ij b j c) = (det( A 1 2π )) 2 exp Q( x), où x k est un extremum de Q(x). Indication : Diagonaliser A par une matrice orthogonale O, ((O T AO) ij = λīδ ij, λ i > 0 et effectuer le changement de variables x i = O i jx j Intégrales de Fresnel Montrer que Indication : Utiliser où le contour d intégration C est + dx exp ±ıx 2 = ±ıπ. dz exp ız 2 = 0, C

24 24 CHAPITRE 1. INTÉGRALES DE CHEMIN Im z R exp(iπ /4) C O R Re z Théorème de Wick Si on définit + < x k 1... x k l >= (J(A, 0, 0)) 1 dx i x k 1... x k l exp 1 2 xi A ij x j, on a par définition < 1 >= 1. Montrer que : Indication : Appliquer < x k 1... x k l >= b k1... b kl paires de k 1...k l paires i (A 1 ) paires d indices. à J(A, b, 0) en b = 0 pour montrer que < x k1... x k l >= [... exp ( 1 b k1 b kl 2 b i(a 1 ) ij b j )] b=0.

25 1.4. FORMULE LAGRANGIENNE Formule Lagrangienne Transformée de Legrendre en mécanique Comment (re)passer du principe variationnel Hamiltonien au principe variationnel Lagrangien? avec g ab symétrique, défini positif. 0 = δs H = t2 t 1 S H [q, p] = t2 t 1 dτ [ q a p a H(q, p)], (1.69) H = 1 2 gab (q)p a p b + h a (q)p a + V (q), (1.70) dτ ( q b H p b )δp b + d dt (p aδq a ) + ( ṗ a H q a )δqa. (1.71) Conditions aux bords : δq a (t 1 ) = 0 = δq a (t 2 ), pas de conditions pour p b. Equations du mouvement : q b H = 0, p b ṗ a H q = 0 (1.72) a Les équations δs H δp b (t) = 0 qb g ba p a h b = 0 p b = g ba ( q a h a ) π b (q, q) peuvent être résolues algébriquement pour p b en fonction de q, q. Terminologie : p b sont des champs auxiliaires. Rappel : H est défini comme la transformée de Legendre de L par rapport à q a : L = L(q, q), p b = L q b (q, q). Si 2 L q a q 0, cette dernière relation est inversible, b qa = U a (q, p) ou encore, et L q b q=u = p b U a p= L/ q = q a, (1.73) L équation q a H(q, p) = (p b q b L) q=u, (1.74) H q U a p = p b b q a H p q = U a U + p b b a p a L q a q=u L q U b b q=u q a = H p a est donc la relation inverse de p b dans la deuxième équation Hamiltonienne ṗ a H q a Lagrangienne d dt ( L q b ) + L q b = L q a q=u (1.75) L q U b b q=u p a = U a. (1.76) = L q b. En substituant cette dernière relation = 0 et en utilisant (1.75), on retrouve l équation = 0, qui est l équation dérivant du principe variationnel Lagrangien 0 = δs L = δ t2 t 1 dτ L(q, q), δq a (t 1 ) = 0 = δq a (t 2 ). (1.77)

26 26 CHAPITRE 1. INTÉGRALES DE CHEMIN L action Lagrangianne s obtient à partir de l action Hamiltonienne en substituant les p a par leurs équations du mouvement : S H p= L/ q = = = t2 t 1 dτ [p b q b H] p= L/ q (1.78) t2 t 1 dτ [p b q b (p b q b L) q=u ] p= L/ q (1.79) t2 En particulier, le Lagrangien associé à l Hamiltonien (1.70) est donné par Intégration sur les moments t 1 dτ L(q, q). (1.80) L(q, q) = π b ( q b h b ) 1 2 π bg bc π c V (q) (1.81) = 1 2 ( qa h a )g ab ( q b h b ) V (q). (1.82) Que se passe-t-il au niveau de l intégrale de chemins? Les p b sont des variables d intégrations indépendantes : q, t q, t = S D H = N N dqk a a,k=1 b,k=0 dp bk 2π exp isd H, (1.83) N+1 [(qk a qk 1)p a ak 1 H(qk, a p ak 1 )dτ], (1.84) k=1 H(q a k, p ak 1 ) = 1 2 gab (q k )p ak 1 p bk 1 + h a (q k )p ak 1 + V (q k ). (1.85) On décale la somme de 0 à N et on utilise h a (q k+1 )dτ = h a (q k )dτ+o(dτ 2 ), et idem pour g ab (q k+1 ), V (q k+1 ), S D H = N [p ak (qk+1 a qk a + h a (q k )dτ) 1 2 gab (q k )p ak p bk dτ V (q k )dτ]. (1.86) k=0 L intégrale sur les p ak est Gaussienne pour chaque k, si g = det g ab, le préfacteur vaut : 1 (2π) [det igab (q k )dτ ] 1 1 (2π) n n 2 = [ 2π 2π n i n det g 1 ab (q k)(dτ) = g n (i. 2π(t t) N+1 )n extrémum : q a k+1 q a k + h a (q k )dτ g ab (q k )p bk dτ = 0, (1.87) p bk = g ba (q k )[ qa k+1 qa k dτ h a ] π bk, (1.88) S D H extr = lim N N [π bk g bc (q k )π ck dτ 1 2 gab (q k )π ak π bk dτ V (q k )dτ] = k=0 = t t dτ [ 1 2 g ab(q)( q a h a )( q b h b ) V (q)] = t t dτ L(q, q). (1.89)

27 1.4. FORMULE LAGRANGIENNE 27 Pour la dérivation des règles de Feynman, il est important d avoir toute la dépendance en les q dans l exponentielle, N g(qk ) = exp k=0 En effet, f k = N ln g(q k ) = exp i N dτ [ ( i) ln g(q k )]dτ k=0 N k=0 k=0 t N exp iδ(0) dτ i ln g(q(τ)). (1.90) t 2 δ t kk dτf k dτ N f(τ ) = dτf(τ) δ t kk t dτ = dτf(τ)δ(τ τ ), t et donc δ(τ τ δ ) = lim kk N, δ(0) = lim dτ N 1 On trouve donc : q(t )=q q ; t q; t = M i t dq(τ) exp dτl q (q(τ), q(τ)), (1.91) q(t)=q t avec dτ. L q = L i δ(0) 1 ln g, 2 (1.92) M = t) lim N (2πi (t ) 1 2 (N+1)n. N + 1 (1.93) Remarque : Si g ab ne dépend pas des q, on absorbe le terme avec g dans la mesure : q ; t q; t = M M = lim C est ce qu on fera dans la suite du cours Exercices Fonction de partition bis N ( q(t )=q q(t)=q dq(τ) exp i t t dτl, (1.94) g(n + 1) n ((2πi (t t)) ) 1 n 2 (N+1). (1.95) Pour un Hamiltonien du type H = 1 2 gab p a p b + V (q) avec g ab (q) une matrice définie positive, que devient la représentation en intégrale de chemin de la fonction de partition après intégration sur les moments? Réponse : A partir de (1.48), on déduit que l extrémum est donné par p b (τ) = g ab i q b. L intégration sur les moments donne Z(β) = dq < q exp βĥ q >= dq a (τ) [det(2πg)] 1/2 exp 1 Se L[q]. (1.96) chemins periodiques en q L intégration est sur tous les chemins périodique de période est β avec S e L[q, p] = β 0 dτ [ 1 2 g ab q a q b + V (q)], (1.97) G a,b (τ, τ ) = g ab (q(τ))δ(τ, τ ). (1.98)

28 28 CHAPITRE 1. INTÉGRALES DE CHEMIN 1.5 Règles de Feynman cf. [1] Théorème de Wick et développement perturbatif On se place maintenant dans le cadre d une théorie des champs avec q m ( x a, t a ) φ m (x a ) = φ A et on introduit la notation V AC; out in = 0; +. Une somme sur A sous-entend dorénavant une intégrale sur x a et une somme sur m. Pour les fonctions de Green, on a, en combinant les résultats des deux sections précédentes, + ; 0 T { φ A 1... φ Ar } 0; = N 2 M dφ φ A 1... φ Ar exp i I[φ] (1.99) Dφ φ A 1... φ Ar exp i I[φ], (1.100) avec I[φ] = + dτl + iε, L = d 3 xl 0 [φ m (x), µ φ m (x)] + L 1 [φ m (x), µ φ m (x)]. (1.101) Ici I 0 = d 4 xl 0 + iε est la partie quadratique, tandis que I 1 = d 4 xl 1 dénote les interactions qui sont cubiques ou d ordre plus élevées en les champs et leurs dérivées. Pour la fonctionnelle génératrice, on a Z[J] + ; 0 0; J = Dφ exp i (I[φ] + J Aφ A ), (1.102) et + ; 0 T { φ A 1... φ Ar } 0; = ( δ δ i )r... Z[J] δj A1 δj J=0. (1.103) Ar On peut alors traiter l interaction de manière perturbative en utilisant le développement Z[J] = exp i I 1[ δ i δj ] Dφ exp i (I 0[φ] + J A φ A ), (1.104) avec I 0 = 1 2 φa D AB φ B. En faisant les intégrales Gaussiennes discrétisées, ceci donne et donc Z[J] Z 0 [0] Z[J] = N 2 M[det( id 1 i 2π )] 2 exp I 1[ δ i δj ] exp i 2 J A(D 1 ) AB J B, (1.105) = Dφ exp i (I[φ] + J Aφ A ) Dφ exp i I 0[φ] = exp i I 1[ i δ δj ] exp i 2 J A(D 1 ) AB J B. (1.106) Cette dernière expression peut également servir comme définition perturbative de l intégrale de chemin. Si I 1 = 0, on retrouve le théorème de Wick, + ; 0 T { φ A 1... φ Ar } 0; + ; 0 0; = paires d indices ( i (D 1 ) paires d indices. (1.107) Si I 1 0, on développe perturbativement en l interaction. A un ordre donné, on a toujours le même type d intégrales Gaussiennes à faire, mais maintenant certains des φ A ne viennent pas de la dérivation par rapport à un J A externe, mais ils viennent de d 4 xl 1 [ δ i δj ] et comportent une intégrale sur xµ dans le cadre des théories de champs.