L ALGORITHMIQUE. Algorithme

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1 L ALGORITHMIQUE Inspirée par l informatique, cette démarche permet de résoudre beaucoup de problèmes. Quelques algorithmes ont été vus en 3 ième et cette année, au cours de leçons, nous verrons quelques exemples. J ai regroupé ici ces exemples mais en fait, ce n est pas une leçon. Un algorithme répond toujours au schéma général suivant : Algorithme Les entrées Le traitement Les sorties Nous utiliserons trois types d actions : Les affectations : initialisations des variables du problème, placement dans une variable d un résultat de calcul etc. : Mettre 15 dans la variable X par exemple. Les tests : Ils aurons tous la forme suivante : Si condition C vraie alors faire ACTION 1 sinon faire ACTION. Ils seront utilisés dans le traitement essentiellement. Les itérations ou répétitions : nous les mettrons sous la forme : Tant condition C vraie faire ACTION. Ou Faire ACTION jusqu à ce que C soit réalisée. Ceci permet de faire plusieurs fois la même action. Nous pouvons évidemment imbriqués ces trois actions, c est-à-dire à l intérieur d un «si» mettre une itération que l on appelle aussi «une boucle» ou bien mettre un autre «si» dans un «si» et aussi faire des affectations à tout moment. Un célèbre théorème d informatique dit : «Avec ces trois types d actions, nous pouvons résoudre tous les problèmes scientifiques» Ce théorème n est pas démontré mais il n a jamais jusqu à présent été infirmé par un exemple! Nous allons voir une dizaine d exemples d algorithmes traitables dans diverses leçons : Calculs et fonctions, géométrie, statistiques ou probabilités. Nous utiliserons EXCEL pour montrer comment nous pouvons mettre en œuvre ces algorithmes et donc après avoir regardé les deux ou trois premiers, à titre d exercices, vous devez essayer de trouver vous-même l algorithme répondant au problème posé puis le mettre en œuvre dans Excel. Pour le premier exemple, nous montrerons que l on peut programmer sa machine (Texas ou Casio). Certains de mes élèves s étaient mis à programmer des jeux assez compliqués. Voici les énoncés, puis dans la correction, vous trouverez l algorithme et sa mise en œuvre dans une feuille Excel. Bon courage, vous allez voir, on se prend facilement au jeu!

2 Exercice 1 «A la recherche d un entier inconnu» Dans une variable N, nous entrons un entier compris entre 1 et Tu dois trouver cet entier en proposant des entiers M à l invite : «Entrez un nombre entier» et nous devons répondre : «Tu as choisi trop grand» ou «Tu as choisi trop petit» et indiquer à quel moment tu auras trouvé le nombre mystérieux si cela est le cas. Montrer le programme sous Casio puis sous Texas. Mettre en œuvre l algorithme trouvé dans Excel en fixant par exemple 10 coups. Exercice «Seulement des affectations» (Facile) Ecrire un algorithme permettant de fabriquer la quantité (x + 3). Réaliser dans Excel et tracer la courbe représentant la fonction f(x) = (x + 3). Exercice 3 «Recherche des racines d une fonction donnée». On appelle racine d une fonction f de x toute valeur de la variable x qui annule la fonction f. Autrement dit, x est racine de f si et seulement si f(x) = 0. Soit f la fonction polynôme de degré 3 définie par f(x) = x 3 x + x + 5. Nous voulons chercher si cette fonction f a des racines dans l intervalle [ 5 ; 5]. Ecrire l algorithme qui va chercher les racines avec un pas de calcul de 0,5 et qui indiquera le nombre des racines. Cet algorithme devra afficher une valeur approchée à 0,5 prés par défaut de chaque racine. Réaliser cet algorithme dans Excel. (Montrer aussi le tracé de la courbe) Exercice 4 «Tous les diviseurs d un entier donné». Ecrire l algorithme donnant tous les diviseurs d un entier donné. Réaliser cet algorithme dans Excel (Voir Bonus). Exercice 5 «PGCD et PPCM». Ecrire l algorithme donnant le PGCD de deux entiers a et b (méthode des différences). Cet algorithme devra à la fin donner aussi le PPCM des deux entiers choisis. Réaliser dans Excel avec les entiers 40 et 150. Exercice 6 «Degrés Radians». Ecrire l algorithme qui transforme la mesure en degré d un angle en sa mesure en radian. Puis perfectionner l algorithme trouvé pour obtenir la mesure principale. Réaliser les deux algorithmes dans Excel. Exercice 7 «Partage d un triangle en deux parties de même aire». Soit un triangle (ABC), AC = 6, AB = 4 et mes Travaux préparatoires : Calculer la longueur de la hauteur [BI]. Calculer l aire de (ABC). C ÂB = 60.

3 Nous voulons partager (ABC) en deux parties en utilisant une perpendiculaire à [AC]. Soit un point J de [AC], nous posons AJ = x. La perpendiculaire à [AC] passant par J coupe selon le cas [AB] en M 1 ou bien [BC] en M. Dans quel intervalle x va-t-il varier? Montrer qu il y a deux cas à envisager pour le calcul des aires et montrer les deux cas de figure. Si 0 x, calculer la longueur JM 1 puis l aire de (AJM 1 ). Si < x 6, calculer, avec le théorème de Thalès, la longueur J M puis l aire de (J M C). Démontrer que la valeur de x cherchée appartient à [ ; 6]. Ecrire alors l algorithme permettant de déterminer à 0,1 prés, la valeur de x qui va permettre en traçant la perpendiculaire à [AC] de partager le triangle en deux parties de même aire. Réaliser cet algorithme dans Excel. Utiliser CABRI GEOMETRE pour illustrer ce problème. Exercice 8 «Un lieu géométrique». Dans un repère orthonormal de (P), nous prenons deux points M et N tels que M se déplace sur l axe des abscisses dans l intervalle [0 ; 6] et N se déplace sur l axe des ordonnées dans l intervalle [0 ; 6] avec x M + y N = 6. Nous posons OM = x, exprimer les coordonnées de M et N en fonction de x. Nous voulons étudier comment se déplace le milieu de [MN] lorsque M et N varie dans les conditions exposées ci-dessus. Ecrire un algorithme donnant les coordonnées de I en fonction de x quand x varie dans l intervalle [0 ; 6]. Réaliser dans Excel en calculant x I et y I et montrer la courbe sur laquelle se déplace I quand x varie entre 0 et 6. Exercice 9 «Vecteurs colinéaires ou pas?». Soit u r (a ; b) et v r (a ; b ) dans un repère orthonormal de (P). Ecrire un algorithme permettant de savoir si u r et v r sont ou ne sont pas colinéaires. Tester cet algorithme dans Excel. Exercice 10 «Une étude statistique». (Nous faisons une enquête dans la classe.) J ai demandé à un échantillon d élèves de la classe (18 sur 35, enquête au 1 sur ) «le nombre de Km pour venir au Lycée en arrondissant au Km le plus proche). Enquête : Ecrire un algorithme permettant de saisir ces données et de calculer la moyenne. Illustrer dans Excel en présentant, un tableau où les données sont classées par ordre croissant puis calculer Mo, Mé et x. Donner ensuite un diagramme à bâtons.

4 Correction Exercice 1 Voici l algorithme Afficher : «Nous cherchons un nombre entier compris entre 1 et 1000» Entrées Mettre dans N, E(1000*alea() +1) (alea() nombre aléatoire dans l intervalle ]0 ;1[) Faire Afficher le message : «Entrez un nombre entier» ; Mettre dans M le nombre choisi par l utilisateur ; Traitement Si M > N alors Afficher : «Tu as choisi trop grand» sinon Si M = N alors afficher : «Tu as gagné!» sinon afficher : «Tu as choisi trop petit» ; Jusqu'à ce que M = N ; Sorties Afficher : «Le nombre mystérieux était», M Nous utilisons la fonction partie entière E pour fabriquer un entier à partir d un nombre aléatoire compris entre 0 et 1. Dans le traitement, nous avons si imbriqués en effet, il y a trois cas possibles M > N ou M = N ou enfin M < N. Dans le traitement, nous avons une boucle en effet, les tests se déroulent tant que le nombre n est pas trouvé. En programmation CASIO cela donne : INT(1000*ran#+1) N (0 < ran# < 1 ; 0 < 1000*ran# +1 < 1001 )( validation) DO (Début de la boucle) Entrez un entier compris entre 1 et 1000 (message affiché)? M (Nous plaçons le nombre tapé dans M) IF M > N (Début du premier test) THEN «Tu as choisi trop grand» ELSE IF M=N (Deuxième test) THEN «Tu as gagné!» ELSE «Tu as choisi trop petit» IF END IF END (Fin des tests) LP WHILE M = N (Fin de la boucle) «FIN» Avec une TEXAS, le programme est sensiblement le même : PROGRAM «NB MYST» : Int(1000*rand+1) N : REPEAT M = N : OUTPUT( Entrez un entier compris entre 1 et 1000 ) PROMPT M : IF M > N : THEN OUTPUT(«Tu as choisi trop grand») : ELSE IF M=N : THEN OUTPUT(«Tu as gagné!»)

5 : ELSE OUTPUT(«Tu as choisi trop petit») : END : END : END : OUTPUT(«FIN») Dans Excel Le nombre Mysterieux Choisi par la machine en A13 puis recopié avec la poignée vers le bas autant de fois que nécessaire Nous entrons des entiers M dans la colonne B et C sert pour les tests (=ent(1000*alea()+1) puis on appuie sur f9 pour que dans la recopie la valeur ne change pas) (Lors du jeu, on pourra obscurcir cette colonne avec la couleur noire) (Le test en contient, si M=N alors nous affichons "Gagné" (sinon nous guidons la recherche en indiquant "Trop haut" ou "Trop bas") (=SI(A15=B15;"Gagné";SI(A15<B15;"Trop haut";"trop bas"))) A B C D E F 1 N M Test Trop bas Trop haut Trop bas etc etc etc etc etc etc etc etc etc etc etc etc 837 etc etc etc etc etc etc etc etc etc etc Gagné (On entre les nombres M en B puis on recopie les tests C vers le bas) Ici, nous avons 15 essais simulés. Exercice Cet algorithme est très simple : Il ne contiendra que des affectations de variables. (x + 3) = 4x + 1x + 9. (Identité remarquable (a + b) ) Il y a deux façons de fabriquer le résultat de cette fonction et voici les deux algorithmes qui en découlent. Algorithme 1. Entrée Mettre un nombre réel dans a ; Mettre 4*a dans b ; Traitement Mettre 1*a dans c ; Mettre 9 dans d ; Sortie Afficher : b + c + d.

6 Algorithme. Entrée Mettre un nombre réel dans a ; Mettre *a dans b ; Traitement Mettre 3 dans c ; Mettre b + c dans d ; Sortie Afficher d. Il s agit en fait de «deux automates ou machines» réalisant un calcul. Dans Excel : Tracer d'une parabole f(x) = (x + 3)² x x x+3 (x+3)² Si on veut mettre en évidence la symétrie alors, il faut un tableau de valeurs symétrique par rapport à x = -1,5. (par exemple, -11,5;8,5) (Voir les valeurs de f pour - et -1;-3 et 0 etc.) (Faire la même chose avec f(x) = 4x² + 1x + 9, c'est-à-dire l'autre automate de calcul) (On obtient évidemment la même courbe) Exercice 3 f(x) = x 3 x + x + 5. Nous voulons chercher si cette fonction f a des racines dans l intervalle [ 5 ; 5]. Nous cherchons donc x [ 5 ; 5] tels que f(x) = 0.

7 L algorithme est nettement plus difficile. Mettre 5 dans a ; Mettre 5 dans b ; (Nous entrons les bornes de l intervalle d étude) Entrées Mettre 5 dans x ; (x la variable pour le traitement) Mettre 0 dans N (N le nombre des racines) Tant que x b Mettre x^3 x^ + x + 5 dans F. Mettre (x + 0,5)^3 (x + 0,5)^ + (x + 0,5) + 5 dans G. Traitement Si F*G 0 Alors «nous avons trouvé une racine» ; Mettre x dans R[N] ; (R est un tableau contenant) N reçoit N+1 ; (les racine trouvées :) Sinon x reçoit x + 0,5 ; (R[1] première racine) Fin de tant que (R[] la deuxième etc ) Sorties Si N = 0 Alors affichons «Pas de racine dans l intervalle [ 5 ; 5] Sinon de 1 à N, affichons R[N]. Le test est basé sur le fait le calcul de f(x) avant et après une racine va donner deux nombres de signes contraires (F*G 0). Dans Excel Les racines de f(x) = x^3-x^+x+5 dans l'intervalle [- 5;5] x f(x) f(x+0,5) ,88 pas de racine dans [ -5-4,5 ] -4,5-110,88-79 pas de racine dans [ -4,5-4 ] ,65 pas de racine dans [ -4-3,5 ] -3,5-53,65-34 pas de racine dans [ -3,5-3 ] ,375 pas de racine dans [ -3 -,5 ] -,5-19,375-9 pas de racine dans [ -,5 - ] ,15 pas de racine dans [ - -1,5 ] -1,5 -,15 On a une racine dans. [ -1,5-1 ] -1 4,15 pas de racine dans [ -1-0,5 ] -0,5 4,15 5 pas de racine dans [ -0,5 0 ] 0 5 5,375 pas de racine dans [ 0 0,5 ] 0,5 5,375 6 pas de racine dans [ 0,5 1 ] 1 6 7,65 pas de racine dans [ 1 1,5 ] 1,5 7,65 11 pas de racine dans [ 1,5 ] 11 16,875 pas de racine dans [,5 ],5 16,875 6 pas de racine dans [,5 3 ] ,15 pas de racine dans [ 3 3,5 ] 3,5 39,15 57 pas de racine dans [ 3,5 4 ] ,375 pas de racine dans [ 4 4,5 ] 4,5 80, pas de racine dans [ 4,5 5 ] ,63 pas de racine dans On peut ensuite affiner la recherche en changeant l'intervalle d'étude.

8 Ici par exemple, nous prendrions [-1,5:-1] avec comme pas 0,1 Le test : =SI(B5*C5 0;"On a une racine dans ";"pas de racine dans ") Si nous affinons la recherche : f(-1,3) = -0,187 et f(-1,)=0,63 f(-1,8)=-0,015 et f(-1,7)=0,0687 etc. Exercice 4 Dans N, un nombre b est diviseur de a si et seulement si a = bq, q N (q quotient). Remarque : si b n est pas un diviseur de a alors nous avons a = bq + r (égalité caractéristique de la division euclidienne) r est le reste de la division que l on n a pas poussée après la virgule, 0< r b 1. Exemple : 5 divise 30, nous pouvons écrire 30 = 6 x 5. (q = 6) 5 ne divise pas 34, nous écrivons 34 = 6 x (q = 6 et r = 4) Voici l algorithme : Mettre l entier choisi dans a ; Entrées Mettre 1 dans b ; (1 sera le premier diviseur testé) Mettre 0 dans NB ; (NB le nombre de diviseurs de a) Tant que b E(a/) (Nous arrêtons la recherche à) Mettre E(a/b) dans q ; (la moitié de a car tous les diviseurs) Mettre a bq dans r ; (auront été trouvés) Si r = 0 Traitement Alors afficher le diviseur b ; NB devient NB+1 ; (Incrémentation du compteur NB) Sinon ne rien afficher ; b devient b+1 ; (On passe au nombre b suivant) Fin de tant que Afficher le dernier diviseur a ; (a n est pas trouvé si on arrête à E(a/)) Nb devient NB + 1 ; Sorties Afficher le nombre NB de diviseurs. (Les diviseurs ont été affichés au) (cours du traitement)

9 Dans Excel : Chercher les diviseurs d'un entier donné Exemple a = 4 A B C D 5 a b E(a/b) test Dans la cellule B6 : Dans B7 :=B6+1 puis recopie vers le bas Dans C6 : =ENT(A6/B6) puis recopie vers le bas Dans D6, le test : =SI(A6-(B6*C6)=0;B6;"") puis recopie vers le bas Nous ajoutons 4 qui ne peut pas être trouvé Dans D0 : =D17-D6+1- NB.VIDE(D6:D17) (Comptabilisation des diviseurs) et 4 8 diviseurs Nous savons décomposer un entier en facteur premier. Par exemple 4 = (^3) (3). Il existe un théorème disant : si la décomposition est de la forme n = (a α ) (b β ) alors, le nombre des diviseurs est donné par NB = (α +1)(β + 1) (Théorème démontré en TS) en l'occurrence ici : NB = (4)() = 8 diviseurs. L'algorithme ci contre ne donne pas 4 l'entier lui même car nous le stoppons à la moitié de 4 pour gagner du temps. Au fait, il y a un autre théorème (de TS) donnant la liste des diviseurs : Si n = (a α ) (b β ) alors la liste des diviseurs de n est donnée par : (1 + a 1 + a a α )(1 + b 1 + b b β ) = Dans notre exemple ceci donne : ( )(1 + 3) = ( )(1 + 3) = Nous avons bien les 8 diviseurs écrits dans le désordre.

10 Exercice 5 Nous devons écrire un algorithme donnant le PGCD de deux entiers par la méthode des différences. Mettre le premier entier dans a ; Les Entées Mettre le deuxième entier dans b ; Mettre a dans A ; (Nous conservons les valeurs initiales) Mettre b dans B ; (de a et b) Tant que a b Si a > b Alors mettre a b dans a Le Traitement Sinon mettre b a dans b ; Fin de tant que (Une boucle et un test) Les Sorties Afficher : «Le PGCD des deux entiers est», a. Afficher : «Le PPCM des deux entiers est», (A*B)/a. (Il y a un théorème disant : a N et b N ; (a)(b) = PGCD(a ;b) * PPCM(a ;b)) PGCD de deux nombres (méthode des différences) Exemple : PGCD(40;150) a b Nous entrons les deux nombres entiers a et b en dessous de chaque nombre, nous effectuons un test : en dessous de 40 :=SI(A5>B5;A5-B5;A5) en dessous de 150 :=SI(A5>B5;B5;B5-A5) (40 en A5 et 150 en B5) Nous recopions vers le bas tant que les deux colonnes n'affichent pas le même nombre. Le PGCD(40;150) est : 30 PPCM (40 ;150) = 100 ( =(A5*B5)/A9) A vous de retrouver ces résultats en utilisant les décompositions en facteurs premiers. Exercice 6 π x Nous savons que 180 vaut π radians donc x degrés vaudra :. 180 π 60 π Par exemple 60 vaut = radians soit environ 1,047 radians D abord, nous allons donner l automate de calcul qui transforme les degrés en radians, il est très simple puis nous écrirons un autre algorithme donnant la mesure principale de l angle. Définition : on appelle mesure principale d un angle, la mesure α P comprise entre π et π. Donc : Un angle a une infinité de mesure α K, α k = α P + kπ α P ] π ; π] (k Z, le nombre de tours dans un sens ou dans l autre sur le cercle trigonométrique)

11 Exemple : 6 π (30 ) est une mesure principale. Les autres mesures sont données par : π α k = + kπ, 6 k Z si k = 0 on trouve α P = 6 π π 13 π si k = 1 on trouve α 1 = + π = 6 6 (30 ) (390 ) π 11π si k = 1 on trouve α 1 = π = ( 330 ) 6 6 π 5 π si k = on trouve α = + 4π = 6 6 (750 ) etc. Premier algorithme (Il n y a que des affectations). Entrée Mettre dans α la mesure de l angle en degrés Traitement Mettre dans α R, (π*α)/180 Sortie Afficher : L angle en radians vaut, α R. Avec Excel Transformer des degrés en radians (=(A6*PI())/180) α en α en rd puis recopie vers le bas ,1745 tableau valable pour 0 0, α , ,6981 (On donne avec 4 décimales) 50 0, , , , , , , , , , , , , ,1416

12 Pour le ième algorithme, plus difficile car il faut se ramener dans l intervalle ] 180 ; 180] avant de faire la conversion. Entrées Mettre la mesure en degrés dans α ; Mettre α dans a ; Si a 180 Alors Tant que a 180 Mettre dans a, a ; Fin de Tant que Traitement Sinon Si a > 180 Alors Tant que a > 180 Mettre dans a, a 360 ; Fin de Tant que ; Mettre a dans α P ; (mesure principale en degrés) Mettre (α P * π)/180 dans α Pr ; (mesure principale en radians) Sortie Afficher «α degré représente comme mesure principale en radians»,α Pr. Dans Excel Afficher la mesure principale d'un angle α donné α αp en α en radians Test :=SI(A4<=-180;A4+360;SI(A4>180;A4-360;A4)) ,8068 En A5 :=B4. La recopie assure le tant que , ,536 La mesure principale en radians ,536 se trouve dans ] -3,1416 3,1416 ] ,3963 (Remarque : Pour Pi, on tape =Pi()) , ,795 Exercice 7 Il y a un travail préparatoire à effectuer avant d écrire l algorithme. Voici les deux cas de figure : x

13 π Calculons BI hauteur du triangle (ABC) : sin = 3 3 = BI AB donc BI = 4 3, BI = 3. AC BI 6 3 Calculons l aire de (ABC) : Aire(ABC) = = = 6 3. x va varier dans l intervalle [0 ;6] en effet J se trouve sur [AC]. Les figures ci-dessus nous montrent bien deux cas pour le calcul des aires : Soit J [AI] ou bien J [IC] et nous l avons appelé J dans ce cas là. π AI 1 Calculons AI dans le triangle ABI : cos = = donc AI = AB soit AI = 4, AI =. 3 AB Les deux cas à envisager sont donc : 1) x [0 ;] ou bien ) x ] ;6]. Etude du premier cas : x [0 ;] π Calculons M 1 J : tan = 3 M1J 3 = AJ et donc M 1 J = x 3. AJ JM Calculons l aire de (AJM 1 ) : Aire(AJM 1 ) = 1 (x)(x 3) x 3 = =. Etude du deuxième cas : x [ ;6]. Pour le deuxième cas, cherchons la longueur J M Dans le triangle (CBI), [J M ] est parallèle à [BI], appliquons le théorème de Thalès : CJ JM 6 x J M = 3(6 x) = et donc 4J M = 3(6 x) donc J M =. CI BI 4 3 J M J C L aire de (J M C) sera : Aire(J M C) = 3(6 x)(6 x) 3(6 x) = =. 4 4 Démontrons que, pour réaliser le partage demandé en deux aires égales, x doit être dans x 3 x 3 l intervalle ] ;6]. En effet, si x [0 ;], alors Aire(AJM 1 ) =. La fonction f, est x 3 une fonction croissante sur [0 ; ] (Si x augmente, augmente). Or pour x =, cette aire 4 3 vaut = 3 inférieur à la moitié de l aire de (ABC) qui vaut 3 3. Le partage demandé sera réalisé dans le deuxième cas quand x [ ;6]. L algorithme qui trouve une valeur approchée de x sera : Mettre 6 3 dans Aire(ABC) ; Mettre dans x ; Les Entrées Traitement 3(6 x) Mettre dans J M ; Mettre 0,5(J M )(6-x) dans Aire(J M C) ; Mettre faux dans trouvé (TROUVE est un booléen) Tant que non trouvé (qui vaut vrai ou faux) Si Aire(J M C) 3 3 < 0 Alors «Nous avons trouvé une valeur approchée de x cherché» Mettre x dans x C ; Mettre trouvé à vrai Sinon x devient x + 0,1 ; Fin de tant que ;

14 Sorties Afficher «La valeur approchée de x qui réalise le partage de (ABC) en deux parties ayant ma même aire est», x C. Dans Excel Un triangle partagé en deux parties de même aire. Soit un triangle ABC avec AB = 4; AC = 6 et l'angle A de 60 Nous voulons partager ce triangle en deux en traçant une perpendiculaire ( ) à [AC] Soit J le pied de cette perpendiculaire, J est sur le segment [AC]. Nous posons AJ = x. ({M} = ( ) [AB] et I le pied de la hauteur partant de B) MJ la longueur de la perpendiculaire entre les côtés AC et AB quand x> AC =6 AB = 4 BI = 3 Aire(ABC) = 10, x AJ ou JC A(G) A(D) test ,39305 Dans A1, 0. 0,1 0,1 0, , Dans A13, =A1+0,1 0, 0, 0, , puis copie vers le bas 0,3 0,3 0, , ,4 0,4 0, ,53741 Dans B1,=SI(A1<=;A1;6-A1) 0,5 0,5 0, , (AJ ou CJ) 0,6 0,6 0, , ,7 0,7 0,4435 9, Dans C1, 0,8 0,8 0,5546 9, =SI(A1<=;0,5*A1*A1*(3)^0,5 0,9 0,9 0, , ;$H$9-0,5*B1*B1*3^0,5) 1 1 0, ,56794 (Calcul aire gauche A(G)) 1,1 1,1 1, , , 1, 1,4708 9,14583 Dans D1, 1,3 1,3 1, ,98719 =SI(A1<=;$H$9-0,5*A1*A1*3^0,5 1,4 1,4 1, , ;0,5*(6-A1)^*3^0,5) 1,5 1,5 1, , (Calcul aire droite A(D)) 1,6 1,6,1703 8, ,7 1,7,5081 7, Dans la colonne E TEST 1,8 1,8,8059 7, =SI(C1-D1>0;"oui";"") 1,9 1,9 3,1635 7, On arrête la recopie lorsque le premier"oui" 3,4641 6,9803 apparaît.,1 3,9 3, ,58613, 3,8 4,1396 6,57034 puis recopie vers le bas,3 3,7 4, ,979439,4 3,6 4, , ,5 3,5 5,0879 5, Valeur approchée réalisant le partage demandé,6 3,4 5, , oui x,60,7 3,3 5,6768 4, ,8 3, 5,9585 4, ,9 3,1 6,3105 4, , , etc Nous pouvons terminer en cherchant la valeur exacte de x.

15 Nous devons résoudre l équation suivante : Cherchons x [ ;6] tel que : Aire(J M C) = 1 Aire(ABC) soit 3(6 x) = 3 3 (6 x) = 1 et donc 6 x = 1 ou 6 x = 1 4 x = 6 1 = 6 3,536 ou x = = [ ;6]. Illustration dans Cabri géomètre Exercice 8 «Un lieu géométrique». Avant de donner l algorithme, démontrons que I se déplace sur un segment de droite. Nous avons M(x ; 0) et N(0 ; 6 x) car nous devons avoir x M + y N = 6. x [0 ;6]. Calculons les coordonnées du milieu du segment [MN] x I = x M + x N = x ; y I = ym + y N = 6 x x [0 ;6]. x y I = 3 = 3 x I la relation qui relie x I à y I est de la forme y = ax + b. x [0 ;6] et y = 3 x ; il s agit bien d un segment de droite. I appartient donc à un segment. Réciproquement, tous les points du segment trouvé conviennent en effet, nous avons raisonné par équivalence. Voyons l algorithme : Les Entrées Mettre 0 dans x M ; Mettre 6 x M dans y M ; Tant que x M 6 Mettre dans x I, x M / ; Mettre dans y I, (6 x M )/ ;

16 Le Traitement Afficher les coordonnées de I, x I et y I ; Entrer dans un traceur de courbe, les deux coordonnées ; x M devient x M + 0, ; (Si on prend un pas de 0,) Fin de tant que ; La Sortie Joindre les points obtenus dans le traceur de courbe. Dans Excel Etude du milieu d'un segment MN sachant que xm+ym=constante xm ym xn yn xi yi , 0 0 5,8 0,1,9 0, ,6 0,,8 0, ,4 0,3,7 0, , 0,4, ,5,5 1, 0 0 4,8 0,6,4 1, ,6 0,7,3 1, ,4 0,8, 1, , 0,9, , 0 0 3,8 1,1 1,9, ,6 1, 1,8, ,4 1,3 1,7, , 1,4 1, ,5 1,5 3, 0 0,8 1,6 1,4 3,4 0 0,6 1,7 1,3 3,6 0 0,4 1,8 1, 3,8 0 0, 1,9 1, , 0 0 1,8,1 0,9 4, ,6, 0,8 4, ,4,3 0,7 4, ,,4 0, ,5 0,5 5, 0 0 0,8,6 0,4 5, ,6,7 0,3 5, ,4,8 0, 5, ,,9 0, Pour xm, initialisation à 0 puis incrementation de 0, jusqu'à 6. Pour yn, initialisation à 6 puis =6-A6 Pour ym et xn, 0 partout. Pour xi : =(A5+C5)/ Pour yi : =(B5+D5)/ y N N 4 I 3 1 N 3 I 1 I 3 M 1 M I 4 M 3 M x -1 Nous reconnaissons y = 3 - x Nous sélectionnons la colonne xi puis CTRL la colonne yi, appel de l'assistant graphique (Nuage de points)

17 Exercice 9 Deux vecteurs non nuls u r (a ; b) et v r (a ; b ) sont colinéaires si et seulement si : ab a b = 0. (Ils ont alors la même direction) Algorithme Mettre x u dans a ; Les Entrées Mettre y u dans b ; Mettre x v dans a ; Mettre y v dans b ; Si (a=0 et b= 0) Alors Afficher «u r et v r ne sont pas colinéaires» Sinon Si (a = 0 et b = 0) Alors Afficher «u r et v r ne sont pas colinéaires» Le Traitement Sinon Si ab a b = 0 Alors Afficher «u r et v r sont colinéaires» Sinon Afficher «u r et v r ne sont pas colinéaires» Les Sorties Elles ont été faites dans le traitement. Dans Excel, voyons quelques cas : Vecteurs colinéaires dans le plan (P) a b a' b' test non oui oui non oui Si l un des vecteurs est nul Alors, ils ne sont pas colinéaires. test de colinéarité : "=SI(ET(A5=0;B5=0);"non";SI(ET(C5=0;D5=0);"non";SI(A5*D5-B5*C5=0;"oui";"non")))". puis recopie vers le bas pour tester les données. le test est un peu compliqué car il y a des cas particuliers, nous avons 3 si imbriqués. Exercice 10 Le nombre de Km pour venir au Lycée en arrondissant au Km le plus proche). Enquête : N = 18 (Effectif total) Dans les entrées, nous aurons «un tant que» pour introduire les 18 valeurs de la variable.

18 Nous allons utiliser un tableau x de valeurs : x[1] pour 0 ; x[] pour 0 ; x[3] pour etc L algorithme est : Mettre 1 dans N ; Tant que N 18 Les Entrées Mettre une valeur de l enquête dans x[n] ; N reçoit N+1 ; Fin de Tant que ; Mettre 0 dans S ; Mettre 1 dans N ; Tant que N 18 Le Traitement Mettre dans S la valeur S + x[n] ; N reçoit N + 1 ; Fin de Tant que ; Sortie La moyenne de cette série sera, S/18. Dans Excel Traitements statistiques La série : xi ni % Mo= 0 km (=MODE(A:I3)) % 1 4 % Moy= 1,6 km (=MOYENNE(A:I3) 3 17% 4 1 6% Mé = 1 km (=MEDIANE(A:I3)) 6 1 6% 8 1 6% % =SOMME(B4:B9) Calculs% : =B6/$B$10 le $ permet de fixer 18 avant la recopie