Intégrale et primitives

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1 Chpitre 5 Intégrle et primitives 5. Ojetif On herhe dns e hpitre à onstruire l opérteur réiproue de l opérteur de dérivtion. Les deux uestions suivntes sont lors nturelles. Question : Soit f une pplition de R dns R. Existe-t-il une pplition F,deR dns R, dérivle et t.. F = f ( est-à-dire F (x) =f(x) pour tout x R)? Si une telle pplition F existe, on dit ue F est une primitive de f. Question 2 : Si F existe, dns l uestion, F est-elle uniue? Réponse à l uestion 2 : Cette uestion est file, F est uniue à une onstnte dditive près. On peut le voir omme onséuene du théorème des roissements finis (théorème 3.2). Nous le verrons dns le théorème 5.2. Réponse à l uestion : Cette uestion est euoup plus diffiile.. On v montrer ue l réponse est oui si f est ontinue (le fit ue f soit ontinue est don une ondition suffisnte pour ue f dmette une primitive). Cei ser vu dns le théorème Le fit ue f soit ontinue n est ps une ondition néessire pour ue f dmette une primitive. Plus préisément, si f dmet une primitive, on don f = F,oùF est une pplition dérivle de R dns R. L exerie 3.5 montre lors ue f vérifie l propriété des vleurs intermédiires. Don, le fit ue f vérifie l propriété des vleurs intermédiires est une ondition néessire pour ue f dmette une primitive. Cette ondition est-elle suffisnte? (je ne sis ps..., on peut montrer ue si f vérifie l propriété des vleurs intermédiires, f n est ps néessirement lolement intégrle, même u sens de Leesgue, notion ui ne ser ps présentée dns e doument, mis el ne permet ps de onlure.) Résumé : L ojetif prinipl de e hpitre est don de démontrer ue si f est ontinue de ]α, β[ dns R ( α<β ), lors f dmet une primitive. 96

2 5.2 Intégrle des fontions en eslier Définition 5. (Fontions en eslier) Soit <<< et f une pplition de [, ] dns R. On dit ue f est en eslier si il existe n N, x,...,x n [, ], α,...,α n R t.. : = x <...<x n =, f(x) =α i,six ]x i,x i [, i {,...,n}. On note E, l ensemle des fontions en eslier sur l intervlle [, ]. Remrue 5. Soit <<< et f E,. Soit x,...,x n [, ] etα,...,α n R t.. : = x <...<x n = et f(x) =α i si x ]x i,x i [, i {,...,n}. On imerit poser f(x)dx = n i= α i(x i x i ). Est e possile? L diffiulté est ii ue les i et les α i ne sont ps néessirement uniues. Cette diffiulté est résolue dns l proposition 5.. Proposition 5. Soit <<< et f E,. Soit x,...,x n [, ] et α,...,α n R t.. : = x <...<x n =, etf(x) =α i si x ]x i,x i [, i {,...,n}. Soit y,...,y p [, ] et β,...,β p R t.. : = y <...<y p = et f(x) =β i si x ]y i,y i [, i {,...,p}. Alors, n i= α i(x i x i )= p i= β i(y i y i ). Démonstrtion : On réunit l ensemle des points x i, i {,...,n}, et des points y j, j {,...,p}, on insi {z,...,z } = {x,...,x n } {y,...,y p }, ve = z <...<z =. (On don mx{n, p} n + p.) Sur l intervlle ]z k,z k [, k {,...,}), l fontion f est onstnte, on note γ k s vleur. On v démontrer ue n α i (x i x i )= i= γ k (z k z k ). (5.) Bien sûr, un risonnement nlogue donnerit p i= β i(y i y i )= k= γ k(z k z k ), e ui permet de onlure l démonstrtion. Pour montrer (5.), on remrue ue les points x i, i {,...,n}, font prtie des points z k, k {,...,}. Pour tout i {,...,n}, il existe don k i {,...,} t.. x i = z ki. On, en prtiulier, k =et k n =. k= Soit mintennt i {,...,n}. Onx i x i = z ki z ki = α i (x i x i )= k i k=k i + k i k=k i + α i (z k z k ). z k z k, et don 97

3 Mis, pour tout k {k i +,...,k i }, on ]z k,z k [ ]x i,x i [ et don γ k = α i.onendéduitue α i (x i x i )= k i k=k i + On somme mintennt sur i ette églité et on otient n α i (x i x i )= i= n k i i= k=k i + γ k (z k z k ). γ k (z k z k )= γ k (z k z k ). Ce ui donne ien (5.) et onlut l démonstrtion (r, omme el déjà été dit, un risonnement nlogue donnerit p i= β i(y i y i )= k= γ k(z k z k )). Définition 5.2 (Intégrle des fontions en eslier) Soit <<< et f E, (voir l définition 5.). Soit x,...,x n [, ], α,...,α n R t.. : = x <...<x n = et f(x) =α i,six ]x i,x i [, i {,...,n}. On pose T (f) = f(x)dx = n i= α i(x i x i ). Voii des propriétés élémentires sur E, et sur l opérteur T. Proposition 5.2 (Propriétés de l intégrle sur E, ) Soit <<<, Alors(velesdéfinitions5.et5.2):. E, est un e.v. sur R, 2. T est une pplition linéire de E, dns R, 3. f,g E,, f g T (f) T (g), 4. f E, f E, et T (f) T ( f ). N.B. L nottion f g signifie f(x) g(x) pour tout x [, ]. L fontion f est définie pr f (x) = f(x) pour x [, ]. Démonstrtion :. Il est file de voir ue l ensemle des pplitions de [, ] dns R est un e.v. sur R. On remrue lors ue E, est un s.e.v. ( est-à-dire un sous espe vetoriel) de l ensemle des pplitions de [, ] dns R. En effet, soit f,g E, et α, β R. Il existe x,...,x n [, ] t.. = x <...<x n = et t.. f soit onstnte sur ]x i,x i [, pour tout i {,...,n}. Demême,ilexistey,...,y p [, ] t.. = y <...<y p = et t.. g soit onstnte sur ]y j,y j [, pour tout j {,...,p}. On introduit lors, omme dns l proposition 5., l union des points x i, i {,...,n}, et des points y j, j {,...,p}, est-à-dire {z,...,z } = {x,...,x n } {y,...,y p }, ve = z <...<z =. Il est lir (omme l ensemle des points z k ontient tous les points x i et tous les points y j )ueles fontions f et g sont onstntes sur ]z k,z k [, pour tout k {,...,}. l fontion αf + βg est don ussi onstnte sur ]z k,z k [, pour tout k {,...,}. e ui prouve ue αf + βg E, et don ue E, est un e.v. sur R. (On peut remruer ue et espe vetoriel est de dimension infinie). k= 98

4 2. Pour montrer ue T est une pplition linéire sur E,, on reprend les nottions préédentes. Soit f,g E, et α, β R. Comme préédemment, on remrue u il existe {z,...,z } t.. = z <...< z = et t.. f et g soient onstntes sur ]z k,z k [, pour tout k {,...,}. On note lors α k l vleur de f sur ]z k,z k [et β k l vleur de g sur ]z k,z k [. Pr définition de T (définition 5.) on T (f) = α k (z k z k ), T(g) = k= β k (z k z k ). L fontion αf +βg (ui pprtient, omme nous l vons déjà vu, à E, ) est ussi onstnte sur ]z k,z k [ (pour tout k {,...,}) et s vleur sur ]z k,z k [estαα k + ββ k. On don (toujours pr l définition 5.) T (αf + βg) = (αα k + ββ k )(z k z k ). On en déduit T (αf + βg) =α k= α k (z k z k )+β k= Ce ui prouve ien l linérité de T. k= β k (z k z k )=αt (f)+βt(g). 3. On reprend, enore une fois, les mêmes nottions. Soit f,g E,.Ilexiste{z,...,z } t.. = z <... < z = et t.. f et g soient onstntes sur ]z k,z k [, pour tout k {,...,}. On note lors α k l vleur de f sur ]z k,z k [et β k l vleur de g sur ]z k,z k [. On don T (f) = k= α k (z k z k ), T(g) = k= β k (z k z k ). Si f g, on néessirement α k β k pour tout k {,...,} (il suffit de remruer ue α k = f(x) g(x) =β k pour x ]z k,z k [). On en déduit ue T (f) = α k (z k z k ) k= k= β k (z k z k )=T (g). 4. Soit f E,. Il existe x,...,x n [, ], α,...,α n R t.. = x <...<x n = et f = α i sur ]x i,x i [, i {,...,n}. On lors f = α i sur ]x i,x i [, pour tout i {,...,n}. Cei prouve ue f E, et (ve l définition 5.) T ( f ) = n α i (x i x i ) i= Le même résultt ve f u lieu de f donne k= n α i (x i x i )=T (f). i= T ( f ) T ( f).. Comme f = f et (pr linérité de T ) T ( f) = T (f), on don T ( f ) T (f). Finlement on don T ( f ) mx(t (f), T (f)) = T (f). 99

5 5.3 Intégrle des fontions ontinues Exemple 5. Soit I un intervlle de R et f une pplition de I dns R. On rppelle ue : f ontinue (sur I) f uniformément ontinue. Voii deux exemples d pplitions ontinues et non uniformément ontinues.. I =], ] et f(x) = x (vu u hpitre 2). 2. I = R et f(x) =x 2. Toutefois, lorsue I est intervlle de R, fermé et orné, le théorème 5. montre ue f est ontinue si et seulement si f est uniformément ontinue. Théorème 5. (Heine) Soit <<< et f une pplition ontinue de [, ] dns R. Alors, f est uniformément ontinue. Démonstrtion : Cette démonstrtion fit l ojet de l exerie 5.2. Remrue 5.2 Soit <<< et f une pplition ornée de [, ] dns R. Comme f est ornée, on peut trouver g et h dns E, t.. g f h. Soit g, h E, t.. g f h. On lors (d près l proposition 5.2) g(x)dx h(x)dx. Cette remrue suggère l définition de l intégrle supérieure (notée S f ) et de l intégrle inférieure (notée I f )def. Définition 5.3 (Intégrles supérieure et inférieure) Soit <<< et f une pplition ornée de [, ] dns R. On pose I f =sup{ g(x)dx, g E,, g f}, S f =inf{ h(x)dx, h E,, f h}. Remrue 5.3 Soit <<< et f une pplition ornée de [, ] dns R. L remrue 5.2 (ve les nottions de l définition 5.3) donne I f S f. Mil il est possile ue I f = S f. Pr ontre, si f E,, il est file de montrer ue I f = S f = f(x)dx. Soit <<< et f une pplition ontinue de [, ] dns R. L fontion f est don ornée (voir le théorème 2.3). Nous vons vu dns l remrue 5.3 ue I f S f (es untités sont définies dns l définition 5.3). Dns l proposition 5.4 nous llons montrer ue I f = S f. Cei nous permettr lors de définir l intégrle de f sur [, ] omme l vleur ommune de I f et S f (voir l définition 5.5). Pour el, nous llons d ord montrer u on peut pproher f uniformément pr une fontion en eslier (grâe u théorème 5.). Définition 5.4 (Convergene simple et onvergene uniforme) Soit D R, (f n ) n N d pplitions de D dns R et f une pplition D dns R.. On dit ue f n onverge simplement vers f, undn +, si une suite pour tout x D, f n(x) =f(x). 2. On dit ue f n onverge uniformément vers f, undn +, si sup f n (x) f(x) =. x D

6 Remrue 5.4 L onvergene uniforme impliue l onvergene simple, mis l réiproue est fusse (même si D est un intervlle fermé orné et ue les fontions f n et f sont ontinues de D dns R). Pr exemple, on prend D =[, ], f(x) = pour tout x [, ] et, pour n 2, on définit f n pr f n (x) =nx si x n, f n (x) = n(x 2 n )si n <x 2 n, f n (x) =si 2 n x. L suite (f n ) n 2 onverge ien simplement vers f, mis elle ne onverge pr uniformément vers f r, pour tout n 2, sup x [,] f n (x) =. On pprohe mintennt une fontion ontinue pr une fontion en eslier. Proposition 5.3 Soit <<< et f une pplition ontinue de [, ] dns R. Onlors. Pour tout ε>, ilexisteϕ E, t.. f ϕ ε ( est-à-dire ϕ(x) ε f(x) ϕ(x)+ε pour tout x [, ]). 2. Il existe une suite (ϕ n ) n N de E, t.. ϕ n f uniformément, und n +. Démonstrtion : Soit ε>. Comme f est uniformément ontinue (d près le théorème 5.), il existe α>t.. x, y [, ], x y α f(x) f(y) ε. (5.2) On hoisit lors n N t.. n α et pour i {,...,n} on pose x i = + i n ( ), de sorte ue = x <...<x n = et x i x i = n α. On définit lors ϕ de l mnière suivnte : ϕ(x) =f(x i ) si x I i,i {,...,n}, ve I i =[x i,x i [sii {,...,n} et I n =[x n,x n ]. Ave ette définition de ϕ, on ien ϕ E, et on f ϕ ε. En effet, soit x E,,ilexistei {,...,n} t.. x I i. On lors (grâe à (5.2)) ϕ(x) f(x) = f(x i ) f(x) ε r x x i x i x i = n α. On don ien trouvé ϕ E, t.. ϕ f ε. Pour montrer le deuxième item, il suffit de prendre, pour n N, ϕ n E, t.. ϕ n f n. On lors sup x [,] ϕ n (x) f(x) n. L suite (ϕ n) n N onverge don uniformément vers f. Proposition 5.4 Soit <<< et f une pplition ontinue de [, ] dns R. AlorsI f = S f. Démonstrtion : Comme el été dit dns l remrue 5.3 on I f S f (el est même vri pour toute fontion ornée de [, ] dns R et don, fortioripour toute fontion ontinue de [, ] dns R). Grâe à l proposition 5.3, on v montrer mintennt ue I f = S f. D près l proposition 5.3, il existe une suite (ϕ n ) n N de E, t.. ϕ n f uniformément vers f, und n +. On don, pour tout n N, ϕ n ε n f ϕ n + ε n,

7 ve ε n =etε n = sup ϕ n (x) f(x). En posnt g n = f n ε n et h n = f n + ε n, on don x [,] g n,h n E, et g n f h n. L définition de I f et S f (définition 5.3) et le fit ue I f S f donne lors g n (x)dx I f S f Grâe à l linérité de l intégrle sur E,, on don ϕ n (x)dx ε n ( ) I f S f h n (x)dx. ϕ n (x)dx + ε n ( ). (5.3) On en déduit, en prtiulier, ue S f I f 2ε n ( ). Comme ε n =, on don I f = S f. Définition 5.5 (Intégrle des fontions ontinues) Soit <<< et f une pplition ontinue de [, ] dns R. On pose f(x)dx = I f = S f (les untités I f et S f sont définies dns l définition 5.3). Remrue 5.5 Soit, R, <,etf une pplition ontinue de [, ] dns R. On sit mintennt ue f(x)dx = I f = S f. Soit (ϕ n ) n N une suite de E, t.. ϕ n f uniformément vers f, und n +. On don, pour tout n N, ve ϕ n ε n f ϕ n + ε n, ε n =etε n = sup ϕ n (x) f(x). Comme el été vu dns l proposition 5.4, on x [,] ϕ n (x)dx ε n ( ) I f S f Mil, omme f(x)dx = I f = S f, on en déduit On don ϕ n (x)dx = f(x)dx ϕ n (x)dx ε n ( ). ϕ n (x)dx + ε n ( ). f(x)dx. Nous utiliserons ei pour démontrer (simplement) l linérité de l intégrle sur l ensemle des fontions ontinues de [, ] dns R (proposition 5.5). Soit <<<, on rppelle ue E, = {f :[, ] R; f en eslier} et on note C([, ]) = {f : [, ] R; f ontinue}. L intégrle est don définie sur C([, ]) (et sur E, ). Voii uelues propriétés simples de l intégrle sur C([, ]) déduites de elles sur E, (proposition 5.2). Proposition 5.5 (Propriétés de l intégrle des fontions ontinues) Soit <<<. On note I l pplition de C([, ]) dns R définie pr I(f) = f(x)dx. Alors:. C([, ]) est un e.v. sur R, 2. (linérité) I est une pplition linéire de C([, ]) dns R, 2

8 3. (monotonie) f,g C([, ]), f g I(f) I(g), 4. f C([, ]) f C([, ]) et I(f) I( f ). Démonstrtion :. Le fit ue C([, ]) est un e.v. sur R est file à voir. En effet, si f et g sont ontinues de [, ] dns R et si α, β R, l fontion αf + βg est ussi ontinue de [, ] dns R. 2. Soit f,g C([, ]) et α, β R. Il existe deux suites (ϕ n ) n N et (ψ n ) n N de E, t.. ϕ n f uniformément et ψ n g uniformément, und n +. Pour tout x [, ], on et don (αϕ n + βψ n )(x) (αf + βg)(x) α ϕ n (x) f(x) + β ψ n (x) g(x), sup { (αϕ n + βψ n )(x) (αf + βg)(x) } α sup { ϕ n (x) f(x) } + β sup { ψ n (x) g(x) }. x [,] x [,] x [,] On en déduit ue (αϕ n + βψ n ) (αf + βg) uniformément, und n +. D près l remrue 5.5 on don et ϕ n (x)dx = f(x)dx, (αϕ n + βψ n )(x)dx = Or, l linérité de l intégrle sur E, (proposition 5.2) donne (αϕ n + βψ n )(x)dx = α en pssnt à l ite und n + on otient don (αf + βg)(x)dx = α Ce ui prouve ien l linérité de l intégrle sur C([, ]). ϕ n (x)dx + β f(x)dx + β 3. Soit f,g C([, ]), ve g f. On remrue simplement ii ue On en déduit I g I f et don ψ n (x)dx = (αf + βg)(x)dx. {ϕ E,,ϕ g} {ϕ E,,ϕ f}. g(x)dx = I g I f = f(x)dx. ψ n (x)dx, g(x)dx. g(x)dx 4. Soit f C([, ]). On, ien sûr f C([, ]). Comme f f, l item préédent donne f(x)dx f(x) dx. Mis, on ussi f f, les deux items préédents donnent lors f(x)dx = ( f)(x)dx f(x) dx. 3

9 Finlement, omme f(x)dx = mx{ f(x)dx, f(x)dx Ce ui termine l démonstrtion de l proposition 5.5. f(x)dx}, on ien f(x) dx. Remrue 5.6 Soit, R, <. On défini l intégrle des fontions ontinues (et l intégrle des fontions en eslier) sur l intervlle [, ]. On ussi montré ue l pplition f f(x)dx étit linéire sur E, (proposition 5.2) et linéire sur C([, ]) (proposition 5.5). On donne mintennt deux générlistions possiles (mis peu intéressntes).. On note S, l ensemle des fontions réglées, est-à-dire l ensemle des fontions ui sont ite uniforme de fontions en eslier. L ensemle S, ontient don E, et C([, ]). En reprennt l proposition 5.3, il est file de voir ue I f = S f si f S, (dns l proposition 5.3, on seulement utilisé le fit u une fontion ontinue étit ite uniforme de fontions en eslier). Si f S,, on pose f(x)dx = I f = S f. De même, une dpttion simple de l proposition 5.5 montre ue S, est un e.v. sur R et ue l pplition f f(x)dx est linéire sur S,. 2. Soit f une pplition de [, ] dns R. On dit ue f est intégrle u sens de Riemnn si f est ornée et I f = S f (voir l définition 5.3). On note R, l ensemle des fontions intégrles u sens de Riemnn sur l intervlle [, ]. L ensemle R, ontient don S,. Si f R,, on pose f(x)dx = I f = S f. On peut montrer ue R, est un espe vetoriel sur R et ue l pplition f f(x)dx est linéire sur R, (voir l exerie 5.9). Cette démonstrtion est différente de elle de l proposition 5.5 r une fontion pprtennt à R, n est ps forément ite uniforme de fontions en eslier. 3. Les deux générlistions préédentes (l intégrle sur S, et sur R, ) sont peu intéressntes. Une générlistion très intéressnte (mis ui utilise des outils différents) est l intégrle de Leesgue. Elle ontient l intégrle de Riemnn, est-à-dire l intégrle sur R,, et don ussi l intégrle des fontions réglées et l intégrle des fontions ontinues. Remrue 5.7 Soit <<< et f C([, ]), on pose m =inf{f(x), x [, ]} et M = sup{f(x), x [, ]}. Une onséuene du troisième item de l proposition 5.5 est lors ue m( ) f(x)dx M( ). Proposition 5.6 (Formule de Chsles) Soit <<<, f C([, ]) et <<.Alors f(x)dx = f(x)dx + Démonstrtion : Soit ϕ E,.Ondéfinitξ et ζ pr f(x)dx. ξ(x) =ϕ(x) pour x [, ], ζ(x) =ϕ(x) pour x [, ]. Il est file de voir ue ξ E,, ζ E, et (ve l définition 5.2) ue ϕ(x)dx = ξ(x)dx + ζ(x)dx. (5.4) 4

10 Comme f C([, ]), il existe une suite ϕ n dns E, t.. ϕ n f uniformément sur [, ]. On définit lors les suites (ξ) n N et (ζ n ) n N dns E, et E, pr ξ n (x) =ϕ n (x) pour x [, ], ζ n (x) =ϕ n (x) pour x [, ]. L suite (ξ n ) n N onverge uniformément vers f sur [, ] etlsuite(ζ n ) n N onverge uniformément vers f sur [, ]. L remrue 5.5 donne don Comme f(x)dx = ξ n (x)dx = ϕ n (x)dx = f(x)dx Primitives f(x)dx, ξ n (x)dx+ f(x)dx. ζ n (x)dx = f(x)dx, ϕ n (x)dx = f(x)dx. ζ n (x)dx (pour tout n N, voir (5.4)), on otient und n +, Définition 5.6 (Intégrle toutes ornes) Soit < < et f C([, ]), Onpose: f(x)dx = f(x)dx si <et f(x)dx =. Une onséuene file de l définition 5.6 et de l proposition 5.6 est ue si α<β, f est une pplition ontinue de ]α, β[ dns R et,, ]α, β[, on lors : f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx. On montre mintennt l existene (et l uniité à une onstnte près) d une primitive à une fontion ontinue. Théorème 5.2 (Primitive d une fontion ontinue) Soit α< β et f ontinue de ]α, β[ dns R. Soit ]α, β[. On pose F (x) = x f(t)dt pour x ]α, β[. Alors:. L fontion F dérivle (sur ]α, β[) etf (x) =f(x) pour tout x ]α, β[. L fontion F est don une primitive de f. 2. Soit G une primitive de f. Il existe lors C R t.. F G = C ( est-à-dire F (x) G(x) =C pour tout x R). L fontion F est don l seule primitive de f s nnulnt en. Démonstrtion : Soit x ]α, β[. On v montrer ue Soit ε>. Comme f est ontinue en x, ilexisteη>t.. F (x + h) F (x) = f(x). (5.5) h h y [x η, x + η] f(y) f(x) ε. (5.6) 5

11 Soit mintennt <h η. On On don F (x + h) F (x) = x+h x F (x + h) F (x) h f(t)dt et f(x) = f(x) h f(x) = h x+h x x+h x dt = h x+h x (f(t) f(x))dt. On utilise mintennt l proposition 5.5 et (5.6) (r h η). On otient F (x + h) F (x) f(x) h x+h f(t) f(x) dt h h Un risonnement nlogue ve η h< donne F (x + h) F (x) f(x) h h Finlement, on don x x x+h h =, h η F (x + h) F (x) h x+h x f(x)dt. εdt = ε. f(t) f(x) dt x εdt = ε. h x+h f(x) ε. Cei prouve ien (5.5) et termine le er item du théorème 5.2, est-à-dire F est dérivle et F = f. Pour montrer le deuxième item, soit G une primitive de f. On don, pour tout y ]α, β[, F (y) = G (y) =f(y). Soit x ]α, β[, x =. En ppliunt le théorème des roissements finis (théorème 3.2) à l fontion G F sur l intervlle dont les ornes sont et x, ilexistey entre et x t.. (G(x) F (x)) (G() F ()) = (x )(G (y) F (y)) =. L fontion G F est don onstnte (et égle à G() F (), est-à-dire à G()). Bien sûr, on en déduit ue F est l seule primitive de f s nnulnt en. Une onséuene du théorème 5.2 est ue l on peut luler des intégrles en reherhnt des primitives. Plus préisément, soit α<β et f une fontion ontinue de ]α, β[ dns R. Soit, ]α, β[. Pour luler f(t)dt, on reherhe une primitive de f, notée F. On lors f(t)dt = F () F (). Pr exemple, Pour luler de t2 dt, on herhe une primitive de x x 2. Une primitive est l pplition x x3 3 et on otient insi t2 = 3. Remrue 5.8 Soit α<β et f de ]α, β[ dns R, de lsse C. On lors, pour tout, ]α, β[, f() f() = f (t)dt. En effet, pour x ]α, β[, on pose F (x) = x f (t)dt et G(x) =f(x) f(). Les fontions F et G sont don deux primitives, s nnulnt en, de l fontion ontinue f. théorème 5.2 donne don ue F = G, est-à-dire F () =G() pour tout ]α, β[. Voii un exemple d pplition de ette églité, en utilisnt l monotonie de l intégrle. Si >, on déduit de l églité préédente : m( ) f() f() M( ), ve m =min{f (x),x [, ]} et M = mx{f (x),x [, ]}. (Cei déjà été montré préédemment, mis d une mnière différente, en utilisnt diretement le théorème des roissements finis, théorème 3.2.) Le 6

12 5.5 Intégrtion pr prties, formule de Tylor Proposition 5.7 (intégrtion pr prties) Soit α<β et f,g deux pplitions ontinues de ]α, β[ dns R, delssec.onlors,pourtout, ]α, β[, <: f (x)g(x)dx = f(x)g (x)dx + f()g() f()g(). Démonstrtion : l fontion fg est ussi de lsse C sur ]α, β[. L remrue 5.8 donne don, omme (fg) = f g + fg, f()g() f()g() = (fg) (t)dt = L linérité de l intégrle (proposition 5.5) donne lors Ce ui termine l démonstrtion. f (x)g(x)dx = (f (x)g(x)+f(x)g (x))dx. f(x)g (x)dx + f()g() f()g(). On donne mintennt l formule de Tylor ve reste intégrl, plus préise ue les formules de Tylor- Young et Tylor-Lgrnge. Proposition 5.8 (Tylor, reste intégrl) Soit α<β et f une pplition de ]α, β[ dns R. Soit, ]α, β[ et n N.Onsupposeuef est de lsse C n.onlors:. Si n =, f() =f()+( ) f (t +( t))dt. 2. Si n =2, f() =f()+( )f ()+( ) 2 ( t)f (t +( t))dt. 3. Si n>2, f() = n ( ) k k= k! f (k) ()+( ) n ( t) n (n )! f (n) (t +( t))dt. Démonstrtion : On ommene pr montrer l proposition si =, = (et don α<etβ>). Soit ϕ une fontion de lsse C sur ]α, β[ (l intervlle ]α, β[ est don simplement un intervlle ouvert ontennt l intervlle fermé [, ]). L remrue 5.8 donne Cei donne l item de l proposition 5.8. ϕ() ϕ() = On suppose mintennt ue ϕ est de lsse C 2. g(x) =ϕ (x). On otient ϕ() ϕ() = ϕ (t)dt = ϕ (t)dt. On utilise l proposition 5.7 ve f(x) =x et (x )ϕ (x)dx + f()ϕ () f()ϕ () = ( x)ϕ (x)dx + ϕ (). Cei montre le deuxième item de l proposition 5.8. On montre ensuite le troisième item de l proposition 5.8 en fisnt une réurrene et en utilisnt l proposition 5.7 (on psse de n à n + en prennt, dns l proposition 5.7, f(x) = n ( x)n et g(x) =ϕ (n) ). Cei est lissé en exerie. 7

13 Pour montrer le s générl de l proposition 5.8, on se rmène u s =et = en posnt ϕ(t) =f(t +( t)). L fontion ϕ est ien définie sur un intervlle ouvert ontennt [, ]. Elle l même régulrité ue ϕ ( est-à-dire ue ϕ est de lsse C n si f est de lsse C n ) et on otient les dérivées de ϕ à prtir de elle de f. Plus préisèment, on, pour t [, ], ϕ (t) =( )f (t +( t)) et don, pr réurrene sur n, pour tout n N, ϕ (n) (t) =( ) n f (n) (t +( t)). On trouve lors filement l formule de tylor de f à prtir de elle pour ϕ. 5.6 Théorème de onvergene Question : Soit <<<, (f n ) n N une suite de C([, ]) et f C([, ]). On suppose ue f n (x) =f(x) pour tout x [, ] (on dit ue f n onverge simplement vers f.) A-t-on f n(x)dx = f(x)dx? (i.e. peut-on intervertir et ) Réponse : En générl, l réponse est non! mis l réponse est oui si l onvergene de f n vers f est uniforme, omme le montre le théorème 5.3. Théorème 5.3 (Convergene uniforme donne onvergene en moyenne) Soit <<<, (f n ) n N une suite de C([, ]) et f C([, ]). Onsupposeue(f n ) n N onverge uniformément vers f. Alors: On même Démonstrtion : On pose ε n = f n (x)dx = f(x)dx. f n (x) f(x) dx =. sup f n (x) f(x). x [,] (On peut noter d illeurs ue e sup est tteint, est-à-dire u il existe x n [, ]t.. f n (x n ) f(x n ) = sup x [,] f n (x) f(x).) L onvergene uniforme de f n vers f donne ε n =. Pr monotonie de l intégrle, on don on en déduit ien f n (x) f(x) dx ( )ε n, f n (x) f(x) dx =. Puis, les items 2 et 4 de l proposition 5.5 donne f n (x)dx f(x)dx = (f n (x) f(x))dx On don f n(x)dx = f(x)dx. f n (x) f(x) dx ( )ε n. 8

14 Remrue 5.9 Soit <<<, (f n ) n N une suite de C([, ]) et f C([, ]). Nous vons mintennt 3 définitions différentes de onvergene :. Convergene simple, 2. onvergene uniforme, 3. onvergene en moyenne ( est-à-dire f n(x) f(x) dx = ). On : 2) ), 2) 3) (théorème 5.3) mis, on peut montrer : ) 2), ) 3), 3) ), 3) 2). 5.7 Exeries Exerie 5. (Bolzno-Weierstrss) Soit <<< et (x n ) n N une suite de points de [, ].. Pour tout n N, on pose n =inf{x p,p n}. Montrer ue l suite ( n ) n N est une suite roissnte mjorée. En déduire u il existe x [, ] t.. n x und n Montrer ue, pour n N,ilexisteϕ(n) n t.. x ϕ(n) n n (où n est défini à l uestion préédente). En déduire ue x ϕ(n) x und n + (où x est défini à l uestion préédente). Exerie 5.2 (Théorème de Heine) Soit <<< et f une pplition de [, ] dns R.. On suppose ue f n est ps uniformément ontinue. () Montrer u il existe ε> t.., pour tout n N,ilexistex n,y n [, ] t.. x n y n n et f(x n ) f(y n ) ε. () Montrer u il existe un point x [, ] t.. f ne soit ps ontinue en x. [Utiliser l exerie 5..] 2. On suppose ue f est ontinue (sur [, ]). Montrer ue f est uniformément ontinue (sur [, ]). Exerie 5.3 (Clul de primitives). Soit f de R dns R définie pr f(x) =x 4 +3x 2 x. Cluler F de R dns R t.. F = f et F () =. 2. Soit f de R + dns R définie pr f(x) = x+. Cluler F de R + dns R t.. F = f et F () =. 3. Soit f de R + dns R définie pr f(x) = x4 +x 2 x 2. Cluler F de R + dns R t.. F = f et F () =. Exerie 5.4 (Formule de l moyenne) Soit <<< et f une pplition ontinue de [, ] dns R. On note Im(f) ={f(x),x [, ]}, m =inf(im(f)) et M =sup(im(f)).. Montrer u il existe µ [m, M] t..: f(x)dx = µ( ). 9

15 2. Montrer u il existe [, ] t..: Exerie 5.5 (Intégrle d une fontion positive) f(x)dx = f()( ). Soit <<< et f une pplition ontinue de [, ] dns R. On suppose ue f(x) pour tout x [, ], et u il existe [, ] t..f() >. Montrer ue f(x)dx >. Exerie 5.6 (Intégrle impropre) On définit l pplition f de R dns R pr : f(x) =, si x, f(x) =x 2 sin x 2, si x>.. Montrer ue f est ontinue et dérivle en tout point de R. 2. Montrer ue f est ontinue en tout point suf. 3. Soit <<<. Montrer ue : f() f() = f (t)dt. 4. Soit >. Pour <x<, on pose, g(x) = x f (t)dt. Montrer ue g(x) une ite (dns R) und x, ve x>. On note (improprement... r f n est ps ontinue sur [,]) f (t)dt ette ite. Montrer ue : Exerie 5.7 (Clul d intégrles) Cluler les intégrles suivntes : f() f() = f (t)dt. 3 x 3 dx, 4 x 2 x 2 dx, 2 x + dx. Exerie 5.8 (Convergene de l intégrle) Soit (ϕ n ) n N une suite d pplitions ontinues de [, ] dns R et ϕ une pplition ontinue de [, ] dns R. On suppose ue ϕ n ϕ simplement und n ( est-à-dire ue ϕ n (x) =ϕ(x), pour tout x [, ]).. Montrer ue si n ϕ n (x) ϕ(x) dx =, lors n 2. Montrer ue si (ϕ n ) n N onverge uniformément vers ϕ, lors n ϕ n (x) dx = ϕ(x) dx. ϕ n (x) dx = ϕ(x) dx.

16 3. Donner un exemple pour leuel (ϕ n ) n N ne onverge ps uniformément vers ϕ et : n 4. Donner un exemple pour leuel n ϕ n (x) dx = ϕ n (x) dx = 5. Si l suite (ϕ n ) n N stisfit les deux onditions : ϕ(x) dx. ϕ(x) dx. () Pour tout ε, <ε<, (ϕ n ) n N onverge uniformément vers ϕ sur [ε, ], () Les ϕ n sont à vleurs dns [, +], montrer ue n ϕ n (x) dx = ϕ(x) dx. Exerie 5.9 (Linérité de l intégrle de Riemnn) Soit, R, <. On rppelle ue R, désigne l ensemle des fontions intégrles u sens de Riemnn sur [, ] (remrue 5.6). Montrer ue R, est un e.v. sur R et ue l pplition f f(x)dx est linéire sur R,.

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