a n. On découvre de suite que quelque soit sa définition, la valeur devra être très dépendante des quelques premiers termes, car l on devra respecter

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1 Chapitre 2 Séries umériques 2. Défiitio et covergece de séries umériques 2.. Défiitios de base Soit (a ) ue suite de ombres réels ou complexes. Das le premier chapitre ous ous sommes itéressés à l opératio predre la limite. Elle est pas toujours défiie (pour les suites ayat pas de limite), mais faisais iterveir l esemble de la suite. Das ce chapitre ous ous itéressos à ue autre opératio très aturelle à teter. Additioer tous les élémets de la suite. C est-à-dire, ous ous itéressos au ses à doer à la somme ifiie a. O découvre de suite que quelque soit sa défiitio, la valeur devra être très dépedate des quelques premiers termes, car l o devra respecter 0 <, = (a 0 +a a )+ = a = a. Défiitio 2.. Soit (a ) ue suite umérique (complexe). Alors la somme formelle a est dite ue série umérique. La suite (a ) est la suite de ses termes. Ce est rie d autre que la suite elle même, plus l iformatio que l o se propose d étudier la somme, et ce à partir de so 0 -ième terme. L o écrira a succictemet, si ce derier poit est remis à plus tard, et l o cosidère des sommes à partir de 0 = 0. O dira que la série est réelle, si ses termes sot des ombres réels. Exemple 2.. est ue série, ce sera ue série divergete, la somme de tous ses termes e peut être u ombre. ( 3 ) est ue série, et l o aura + ( 3 ) = Défiitio 2..2 Soit a ue série. Alors sa suite associée (A ) est défiie par A = a k pour > 0. O l appellera aussi sa suite des sommes partielles associée. Si l o s itéresse à a ; alors sa suite des sommes partielles à partir de = 0 associée (A ) =0 est défiie par A = k= 0 a k pour > 0. Le symbole A est choisit pour attirer l attetio sur le fait que la suite de sommes partielles est calculée à partir d u idice autre que 0. Nous avos A = A 0 +A, si 0. La doée de la suite associée détermie complètemet la série, car a = A A. Défiitio 2..3 Soiet a ue série et (A ) sa suite des sommes partielles associée. Alors o dit que a coverge si (A ) coverge, et das ce cas o défiit la somme de la série a par a = lim + A. Si la suite (A ) e coverge pas, o dira que la série diverge. Si la série a diverge, mais lim + A existe (et alors obligatoiremet o a que c est ue série réelle et lim + A {,+ }) o défiit + a = lim + A. E effet, le seul cas où l o a défiit ue limite pour ue suite qui est pas covergete, est la cas réel, avec limite ifiie. 3

2 CHAPITRE 2. SÉRIES NUMÉRIQUES 4 Aisi : a est ue suite avec ue iformatio. Pour chaque N, A N = N a est u ombre. Et (lorsqu il existe) + a est aussi u ombre. O peut écrire, a = lim N + N a. O dira que deux séries a et b sot de même ature si elles sot simultaémet toutes deux covergetes, ou toutes deux divergetes. Leurs ature est alors défiie comme état soit covergetes soit divergetes. Lorsque leur ature est divergete, mais leur somme est défiie, c est-à-dire ±, il est utile de préciser, le cas échéat : les séries sot de même ature, divergetes vers +. Souvet, lorsqu ue série est divergete, mais o sait que sa suite de sommes partielles associées a plusieurs valeurs d adhérece, o dis que c est ue série oscillate. Ce sot des faços de parler bie commodes. Exemples = 0, = +, 2 = 2. La série la plus importate sera pour ous, r pour r K, dite série géométrique, ue sectio ultérieure les décrit. Lemme 2.. Quelque soit la faço de défiir les premiers termes : a 0,a,...,a 0, les séries a et a sot de même ature. Et o a avec la covetio ± +α = ±, pour tout α R. Ce qui est clair par la formule A N = A 0 +A N. a = A 0 + a Remarque 2.. De faço similaire, o peut défiir des séries f, où les f sot des élémets d u espace vectoriel mui d ue orme. Lorsqu il s agit d u espace vectoriel de dimesio fiie le traitemet se fait composate à composate et il e présetera pas de difficultés, ue fois que l o aura bie compris les relatios etre les séries de ombres complexes, et les séries des parties réelles et imagiaires associées. Das ce texte, o metioera à l occasio des résultats o évidets sur les séries de matrices, si importates das les applicatios et aux équatios différetielles et à l aalyse umérique. Ce sot des affirmatios hors programme. Das ce chapitre ous étudios les séries umériques. Plus tard ous regarderos des séries de foctios, et ce sera les seuls cas d espaces de dimesio ifii que l o abordera cette aée. Propositio 2.. (Liéarité) Si séries a et b coverget, alors pour tous λ,µ C la série (λa +µb ) coverge et ( 0 ) (λa +µb ) = λ a +µ b. À ouveau, clair car la suite des sommes partielles associée à (λa +µb ) est autre que (λa N +µb N ) N, et l o a la liéarité de la limite des suites. Corollaire 2.. Si a coverge mais b diverge, alors (a +b ) diverge. Attetio. La série (a + b ) peut être covergete, même si a et b diverget. Par exemple, 2 et ( 2 2 ) diverget, mais leur somme, coverge, sa somme est 2. Propositio 2..2 (Comparaiso des sommes) Si deux séries réelles a et b coverget, et si pour tout 0, a b, alors a b. Propositio 2..3 (Covergece d ue série complexe) Ue série complexe a coverge si et seulemet si les séries Re(a ) et Im(a ) coverget toutes les deux, et das ce cas a = Re(a )+i Im(a ). E effet, otos A N = N a ; B N = N Re(a ); C N = N Im(a ). Nous avos B N = Re(A ) et C N = Im(A N ). La propositio affirme doc que la suite (A N ) N est covergete si et seulemet si ses paries réelle et imagiaires coverget, auquel cas la limite de (A N ) N à pour partie réelle la limite de (B N ) N et pour partie imagiaire la limite de (C N ) N. Mais cela est bie le cas pour toute suite de ombres complexes!

3 CHAPITRE 2. SÉRIES NUMÉRIQUES Les restes d ue série Défiitio 2..4 Si a est ue série covergete, alors so reste à l idice 0 est la somme de la série (covergete) : + k= a k. Aisi R = + k= a k est pour chaque u ombre (comme justifié das la propositio qui suit) et R ) est la suite des restes de la série a. Bie etedu, o e peut défiir la suite des restes d ue série divergete. Propositio 2..4 (Les restes d ue série covergete) Soit a ue série covergete et soit pour tout 0, R = + k= a k. Alors R est bie défii, et lim R = 0. Preuve. Soit A la somme de + a et (AN)N la suite associée. Notos R() M = M k= a k la suite associée à la série k= a k. Pour N assez grad et fixé, ous avos A N = A +R () N c est-à-dire N N a k = a k + a k. Le terme A e déped pas de N, o peut calculer la limite, lorsque N +, et obteir, que R est bie défiit, puis l égalité umérique : A = A + R, valable pour chaque > 0. Puisque lim + A = A, o a A = A + lim + R, aisi lim + R existe et sa valeur est 0. k= 2..3 Critère de Cauchy Défiitio 2..5 O dit que la série a vérifie le critère de Cauchy si q ε > 0 N N tel que p N q p o a a ε. Autremet dit, la série a satisfait le critère de Cauchy si et seulemet si la suite associée (A ), A = a k, est ue suite de Cauchy. Comme ue suite umérique coverge si et seulemet si elle est de Cauchy, o e déduit la preuve du théorème suivat. Théorème 2.. (Critère de Cauchy) Ue série umérique a est covergete si et seulemet si elle vérifie le critère de Cauchy. Das le cas de divergece, o e peut avoir d autres reseigemets, divergece vers l ifii, ou oscillatio. E faisat p = q = o a Corollaire 2..2 Ue coditio écessaire pour que la série a coverge est que lim a = 0. Défiitio 2..6 Ue série a est dite grossièremet divergete si la coditio lim a = 0 est pas satisfaite. Exemple 2..2 La série harmoique diverge car pour tout, 2 k=+ k Covergece absolue Défiitio 2..7 Ue série a (réelle ou complexe) est dite absolumet covergete si et seulemet si la série a coverge. Théorème 2..2 (Covergece absolue implique covergece) Si a coverge absolumet, alors elle coverge et pour tout 0, a a. Preuve. L iégalité triagulaire q a q a permet de déduire que a vérifie le critère de Cauchy dès que c est le cas pour a. Avec p = 0 et q = N, la cotiuité du module (valeur absolue) permet, par u passage à la limite, N +, d obteir l importate majoratio de l éocé. Ceci peut foctioer comme u critère de covergece, et justifie pleiemet l attetio que l o portera aux séries à termes positifs. Par exemple ( ) 2 coverge, car elle coverge absolumet. Sa somme, à partir de, est iférieure ou égal à. Quelle est sa valeur?

4 CHAPITRE 2. SÉRIES NUMÉRIQUES Séries à termes positifs Ue série umérique est dite à termes positifs, si ses termes sot tous des ombres réels positifs ou uls. Théorème 2..3 (Covergece de séries positives) Ue série à termes réels positifs coverge si et seulemet si la suite associée est majorée, et das ce cas la somme de la série est la bore supérieure de la suite associée. La série est divergete si et seulemet si A N +. La divergece d ue série à termes positifs est toujours vers +. Corollaire 2..3 Soiet a et b deux séries à termes positifs. Alors la série somme (a +b ) coverge si et seulemet si les deux séries a et b coverget. 2.2 Étude de la covergece absolue 2.2. Comparaiso de deux séries Théorème 2.2. (Comparaiso par majoratio) Soiet a et b deux séries à termes réels. Si b coverge et s il existe 0 tel que pour tout 0, 0 a b, alors a coverge. Preuve. Soiet (A ) et (B ) le suites associées à partir de = 0 de a et b respectivemet. Alors, puisque l o somme des termes positifs, ce sot des suites croissates et 0, A B. Corollaire 2.2. (Comparaiso par O) Soiet a et b deux séries. Si b coverge absolumet et si a = O(b ),, alors a coverge absolumet. Preuve. Soiet M et N tels que N, a M b. Comme b coverge, M b coverge aussi, et doc, par le théorème précédet, a coverge. Corollaire (Comparaiso par équivalece) Soiet a et b deux séries à termes positifs. Si a b,, alors a et b sot de même ature. Preuve. De l équivalece asymptotique ous déduisos a = O(b ) et b = O(a ),. Puisque la covergece absolue pour des suites à termes positifs coïcide avec la covergece, c est bie u corollaire immédiat. Propositio 2.2. (Covergece absolue d ue série complexe) Ue série complexe coverge absolumet si et seulemet si sa partie réelle et sa partie imagiaire toutes les deux coverget absolumet. Preuve. Si z C, alors max { Rez, Imz } z Rez + Imz Séries géométriques Défiitio 2.2. Toute série complexe de la forme q, q C, (e utilisat ici la covetio 0 0 = ), est dite série géométrique. Propositio (Somme d ue série géométrique) Si q, alors la série q diverge (grossièremet). Si q <, alors la série coverge et q = q. Preuve. Das le cas q le terme gééral e coverge pas vers 0, la divergece est grossière. Pour q et pour tout N, N q = qn q. Ceci permet, par passage à la limite, de prouver la covergece das le cas q <, et de calculer la somme à partir de 0.

5 CHAPITRE 2. SÉRIES NUMÉRIQUES 7 Remarque 2.2. Puisque N q = q 0 N 0 q, o e déduit, pour q <, q = q 0 Das les deux sectios suivates o éoce deux critères de covergece, obteus par la comparaiso à ue série géométrique. Leur usage costat leur doe le om de règles Règle de Cauchy Rappel : limif a = lim if a k = sup if a k, k k limsupa = lim sup k a k = if sup a k. Pour toute suite (a ), limif a et limsup a existet comme élémets de [, ], et limif a limsup a. Efi, si lim a existe, alors limif a = limsup a = lim a. Théorème (Règle de Cauchy) Soit a ue série umérique. O pose Alors. si λ <, la série a coverge absolumet, 2. si λ >, la série a diverge grossièremet. λ = limsup a /. k q. Preuve. () Supposos λ <. Soit µ < tel que λµ <. Soit N tel que N a / µ. Alors N a µ et l o peut majorer la série qui ous itéresse par ue série géométrique covergete. (2) Supposos λ >. Il existe ue suite extraite (doée par k k ) de ( a / ) dot la limite est λ. Soit K tel que k K a k / k. Alors k K a k, la suite ( a ) e peut coverger vers Règle de d Alembert Théorème (Règle de d Alembert) Soit a ue série umérique vérifiat a 0 pour tout 0. Posos a + a + L = limsup, l = limif. a a Alors. si L <, la série a coverge absolumet, 2. si l >, la série a diverge grossièremet. Preuve. () Supposos L <. Soit µ tel que L < µ <. Soit N tel que N a + a µ. Alors e multipliat ces iégalités, o démotre par récurrece sur, N a a N µ N = a N µ. O peut majorer la série qui ous itéresse par ue µ N série géométrique covergete. (2) Supposos λ >. Soit N 0 tel que N a + a >. Alors par récurrece sur, N a a N > Comparaiso d ue série et d ue itégrale Pour ce paragraphe, il faudra se rapporter à l appedice. Pour u rappel de la défiitio de l itégrale de Riema et de ces propriétés. 2 La défiitio de la covergece de l itégrale impropre, ou gééralisée : + a f(x)dx = lim X + X a f(t)dt. L avatage des itégrales, par rapport aux séries, est que lorsque l o peut calculer explicitemet ue primitive, l o aura F = f = + a f(x)dx = lim X + F(X) F(a), chose qu il serait difficile à mettre e oeuvre pour le calcul des sommes des séries.

6 CHAPITRE 2. SÉRIES NUMÉRIQUES 8 Théorème (Comparaiso avec ue itégrale) Soit f: [ 0, [ R mootoe. Alors la série f() et l itégrale + 0 f(t)dt sot de même ature. Si f est positive et que l itégrale + 0 f(t)dt coverge, alors pour tout > 0, + f(t)dt k= f(k) + f(t)dt. Preuve. Il suffit d étudier le cas où lim x f(x) = 0. Quitte à multiplier par, sas perte de gééralité, supposos que f est décroissate. Si e u poit elle est strictemet égative, puisqu elle décroit, so itégrale diverge. Et comme ses valeurs aux poits etiers qui suivet sot séparés de zéro, la série diverge grossièremet. Cosidéros le cas f positive. Pour x [, + ], 0, o a f( + ) f(x) f(). Doc pour tous p 0 et q p tel que p,q Z, o a (par comparaiso des aires etre les foctios e escalier, ce qui se vois das ue représetatio graphique) 0 q+ + f() q+ p f(t)dt q f(). Ceci permet de relier le critère de Cauchy pour les itégrales (des foctio décroissates positives) avec le critère de Cauchy pour les séries. La deuxième affirmatio s e déduit car ue foctio mootoe positive dot l itégrale + 0 f(t)dt coverge est obligatoiremet décroissate et l o peut passer aux limites das l iégalité ci-dessus Séries de Riema Défiitio Toute série de la forme α, où α R, est dite série de Riema. α coverge si et seule- Propositio (Covergece d ue série de Riema) La série de Riema met si α >. Preuve. Comparaiso avec l itégrale l aide d ue primitive. dt. La covergece ou divergece de cette itégrale est aisée, puisqu o la calcule à t α Covergece commutative d ue série Rappel : ue permutatio d u esemble X est ue bijectio de X sur lui-même. Défiitio Soit + a ue série umérique (ou plus gééralemet ue série à termes das u espace vectoriel ormé). O dit que + a est commutativemet covergete si et seulemet si pour toute permutatio σ de N, la série + a σ() coverge. Ici ce est pas seulemet le premier terme que l o somme mais c est aussi l ordre de sommatio qui est mis e valeur. Dès le début du chapitre l ordre de sommatio a été maiteu fixe, sas le metioer. Théorème (Covergece commutative de séries absolumet covergetes) Ue série umérique + a est commutativemet covergete si et seulemet si elle est absolumet covergete, et das ce cas a σ() = a pour toute permutatio σ: N N. Ce théorème sera admis. Détaillos la plus utile des implicatios, pour les étudiats les plus motivés. Supposos que a soit absolumet covergete. Motros que l o peut sommer ses termes das u ordre idifféret et toujours obteir la même somme. Pour cela fixos u ouvel ordre de sommatio : σ : N N bijective. Notos + a = M R pour l ordre iitial et posos N σ () = max k σ(k). Par simple déombremet, o costate que N σ est croissate et vérifie, N σ (). Comme a σ(k) N σ() l=0 a l M,. Doc la série + a σ(k) est absolumet covergete. Pour sa covergece il faut calculer.

7 CHAPITRE 2. SÉRIES NUMÉRIQUES 9 Si pour k 0, l o a σ(k) > N σ (), l idice σ(k) e figure pas parmi les N σ () premiers ombres aturels. Aisi, il est clair que N σ () < I = {l N / k 0, l = σ(k); σ(k) > N σ ()} = {l N / k 0, l = σ(k)}\{l N / l > N σ ()}, d où, pour tout N > N σ(), N N σ() a σ(k) or cette derière est majorée par l=0 a l = k= N s I,s=0 a s N s I,s=0 a σ(k) 0, + a s N a σ(k), car c est le reste d ue série absolumet covergete. Nσ() Mais lim + l=0 a l existe, car a est covergete, et cette limite est la somme l de otre série, aisi pour ǫ > 0 doé, N assez grad pour que 0 + k= a σ(k) < ǫ/2, pour chaque N > N σ (), o a N N a σ(k) l N σ() N a σ(k) a l + σ() a l l, qui est plus petit que ǫ, dès que N σ () est assez grad. La covergece de la série permutée est démotrée. La réciproque est plus difficile, costruire ue permutatio de N est toujours difficile. Mais l idée est simple; pour ue réductio à l absurde ous supposos que l o a ue série commutativemet covergete qui e soit pas absolumet covergete. Notat l sa somme, ous costruisos ue permutatio de N telle que la somme permutée est pas l. Pour la costructio de la permutatio, il est plus aisé de poursuivre u but, aisi l o démotre u joli résultat qui est u peu plus fort : Si ue série réelle covergete est pas absolumet covergete, pour chaque ombre réel λ il existe ue permutatio σ de sorte que + a σ(k) = λ. Le procédé est le suivat, o additioe des termes positifs jusqu à dépasser λ, esuite o echaie e sommat des termes égatifs, jusqu à passer e dessous de λ, et l o recommece avec des termes positifs pour passer au dessus de λ, et aisi de suite. Si l o s assure de toujours predre les premiers idices qui ot pas été utilisés, o aura bie ue permutatio de N. Évidemmet il y a u secret de costructio qui est de savoir que lorsque ue série réelle est covergete mais o pas absolumet covergete, alors, le terme gééral va vers zéro, mais tat la somme de ses termes positifs comme la somme de ses termes égatifs sot divergetes, o oscillates. C est u joli exercice, abstrait, que de mettre ces argumets e forme. 2.3 Étude de la semi-covergece 2.3. Covergece simple par la règle d Abel Souvet o dira qu ue série est semi-covergete lorsqu elle est covergete mais o absolumet covergete. O dira que l o étudie la covergece simple, lorsque l o étudie la covergece sas s itéresser à la covergece absolue. Ce est absolumet pas ue forme ouvelle de covergece. Pour les séries de foctios o verra que ce mot : simple est réservé à ue défiitio particulière, qui a rie à avoir avec le ses que l o doe ici. Lemme 2.3. (Trasformatio d Abel) Soiet (a ) et (b ) deux suites umériques. Posos B = k= 0 b k pour > 0 et B 0 = 0. Alors pour tous p 0 et q p, o a : q a b = q a (B + B ) = l=0 l=0 k= q (a a + )B + a p B p +a q+ B q+. C est u calcul immédiat, qu il faut faire soi-même. Le lire ici, e servirait à rie. Théorème 2.3. (Règle d Abel) Soiet (a ) et (b ) deux suites umériques qui vérifiet les trois coditios suivates :. la suite ( k= 0 b k ) est borée, 2. la série + a a + coverge, 3. lim a = 0. Alors la série + a b coverge.

8 CHAPITRE 2. SÉRIES NUMÉRIQUES 20 Preuve. Utiliser le critère de Cauchy et la trasformatio d Abel. Posos B = k= 0 b k pour > 0 et B 0 = 0. Posos M = sup 0 B, R = k= a k a k+ pour tout 0. Alors, par la trasformatio d Abel, pour tous p 0 et q p o a : q q a b = (a a +)B + a pb p +a q+b q+, q a b R pm + a p M + a q+ M p,q p 0. Remarque Clairemet, la coditio a a + coverge est etraiée par la coditio (a ) est mootoe (au vu de la troisième coditio). Elle est souvet utilisée et bie plus facile à vérifier Séries alterées Défiitio 2.3. O appelle série alterée toute série de la forme ( ) a ou de la forme ( ) + a avec a 0 pour tout 0. Théorème (Test de covergece pour les séries alterées) Soit (a ) ue suite réelle mootoe telle que lim a = 0. Alors la série alterée ( ) a coverge, et pour tout 0, ( ) k a k a. k= Preuve. O va démotrer par le critère de Cauchy directemet, sas utiliser la règle d Abel. Il suffit d observer que pour tout p 0 et pour tout q p, q ( ) a a p (cela se motre par récurrece sur q p). 2.4 Produit de Cauchy de deux séries 2.4. Défiitio géérale du produit de Cauchy Défiitio 2.4. Soiet a et b deux séries umériques (complexes). Alors le produit de Cauchy, ou la série produit, de ces deux séries est la série c où pour tout 0, c = a kb k. C est sas doute u drôle de produit. Il est pas lié aux termes de la série qui figure das le Lemme d Abel (dit, lui, produit de Hadamard). O peut, pour ce produit, utiliser comme deuxième facteur, ue série à valeurs, das u espace vectoriel La somme du produit de Cauchy de deux séries absolumet covergetes Lemme 2.4. (Produit de séries positives covergetes) Soiet a et b deux séries positives covergetes. Alors leur produit de Cauchy c coverge (absolumet) et ( )( ) c = a b. Preuve. Posos pour tout. Posos aussi A = a k, B = b k, C = A = B = a = lim A = supa, N b = lim B = supb. N c k

9 CHAPITRE 2. SÉRIES NUMÉRIQUES 2 Alors pour tout, C A B C 2. Doc la suite croissate (C ) est majorée par AB. Soit C = lim C. Alors C AB C. Doc C = AB. Théorème 2.4. (Produit de séries absolumet covergetes) Soiet a et b deux séries absolumet covergetes. Alors leur produit de Cauchy c coverge absolumet et ( )( ) c = a b. Preuve. Soit c le produit de Cauchy de a et b, c est-à-dire c = a kb k pour tout 0. Cette série coverge par le lemme précédet. Pour tout N, c c. E particulier, la série c coverge absolumet. Posos pour tout. Posos aussi A = a k, B = b k, C = c k, A = a k, B = b k, C = A = B = a = lim A, A = b = lim B, B = C = c = lim C. c k a = lim A, b = lim B, Alors, par le lemme, C = A B. Pour tout, E passat à la limite, o trouve que C = AB. A B C A B C. 2.5 Séries doubles, produits ifiis Das cette brève sectio, réservée aux étudiats les plus motivés, ous abordos deux sujets. D abord la somme des séries idexées avec deux etiers, et e gééral, idexées par autre chose que l esemble des etiers aturels. Puis le ses qu il faut doer à u produit ifii de ombre complexes. Nous ous coteteros de décrire les défiitios et les toutes premières défiitios, et ce das les cas absolumet covergets. Remarquos tout d abord qu ue série a est absolumet covergete si et seulemet si, il existe l tel que pour tout ǫ > 0, il existe u esemble fii I ǫ N, tel que pour tout esemble fii J le coteat (I ǫ J), a l < ǫ. J Nous observos que l ordre de sommatio e joue aucu rôle. Il faut isister das le rôle des esembles fiis, car sur eux seulemet o sait idexer des opératios algébriques. Défiitio 2.5. Ue suite umérique double (a,m ),m est la doée d ue applicatio N N K. La série double a,m est la doée de la suite double des ses termes, avec l objet d étudier sa somme. La série double est dite absolumet covergete s il existe ue bijectio N N N,k j(k) telle que la série aj(k) est absolumet covergete. La somme de la série double est la somme de la série a j(k) : a,m =, a j(k).

10 CHAPITRE 2. SÉRIES NUMÉRIQUES 22 Cette défiitio semble préseter ue difficulté majeur tat les bijectios de N sur N N sot ombreuses et difficiles à compredre. U premier lemme démotre que cette défiitio de covergece e déped pas du choix de bijectio et doe ue caractérisatio plus simple. Lemme 2.5. La série umérique double a,m est absolumet covergete si et seulemet si il existe K R, N, M, N M a,m K. Quelque soit la bijectio N N N,k T(k), la série a T(k) est absolumet covergete. La somme + a T(k) e dépeds pas du choix de la bijectio. Preuve. Supposos que a,m est absolumet covergete et que, das la défiitio, k j(k) est doée telle que la série aj(k) est absolumet covergete. O peut predre K = + a j(k). E effet, si N,M sot doés, I = [0,N] [0,M] N N état fii, il existe L tel que I j([0,l] N). Aisi N M a,m L a j(k) K. La réciproque est pas plus difficile. Pour chaque L N, il existe N = M tel que tous les j(k) soiet das le carré [0,N] [0,N] pour k = 0,,...,L. Aisi, L N N a j(k) a,m K pour le K doé e hypothèse. La deuxième affirmatio découle de la covergece commutative des séries absolumet covergetes, Théorème E effet, se doer ue bijectio N N N,k T(k) cosiste à modifier ue bijectio doée : N N N,k j(k) à l aide d ue permutatio σ de N. E effet σ = j T, et T = j σ. De plus + a T(k) apparait alors comme la sommatio de la série + a j(k) à l aide de la permutatio de N,σ. Ces diverses sommes d ue série absolumet covergece doet le même résultat. De maière similaire, o admettra que l o peut motrer que les restes d ue série double absolumet covergete sot aussi petits que l o veut, das le ses précis suivat : Pour chaque ǫ > 0 doé, il existe N,M tels que N N, M M N M, a,m a,m < ǫ. Exemple Nous avos, m = l l=0 p=0, 2 l 3 l p. L applicatio (0,0) 0,(0,),(,0) 2,(0,2) 3,(,) 4,(2,0) 5,... e descedat les diagoales, défiit ue bijectio. L iverse ous permet de sommer otre série 2 3 avec la formule du deuxième membre. m Il reste à justifier la covergece absolue, pour doer u ses aux ombres, le Lemme précédet démotrat l égalité. Or M 2 3 = 3( (/3) M+ ) m , aisi N M m Théorème (Fubii des séries doubles) Soit a,m ue série double absolumet covergete. Alors, pour chaque fixé la série a,m est covergete. De même pour chaque m fixé, la série a,m est covergete. De plus o a { + } { + } a,m = a,m = a,m., O peut le voir comme u Théorème d itervertissemet de limites, lim lim N + N M M + a,m = lim M + lim et le jeu pour le prouver, est de passer par le cocept de limite double. N N + M a,m. Preuve. La majoratio meée das l exemple ous ispire, soit doé K, comme das le Lemme, majorat toute somme des modules des termes pris das u rectagle d idices. Soit fixé, idice d ue lige (e pesat aux termes d ue série double comme aux élémets d ue matrice doublemet ifiie) ous avos N, N M M a,m a k,m K, pour M = max(,n).

11 CHAPITRE 2. SÉRIES NUMÉRIQUES 23 Ce qui prouve que les termes d ue même lige, sot les termes d ue série absolumet covergete. U raisoemet similaire motre qu il e va de même pour les coloes. Notos l = a,m, c m = a,m, les sommes dot ous veos de justifier l existece, puis otos L = a,m, et C m = + a,m, or l L, cm Cm. Notos V la somme totale, premier membre de l idetité de Fubii à établir. Das la majoratio N M a,m N M a,m N M a,m K ous pouvos passer à la limite e M, N M N M N lim a,m lim a,m = l K, M + M + Ce qui prouve que l est absolumet covergete. De maière similaire, l o a que c m est aussi absolumet covergete. Chacu des membres de l idetité de Fubii est aisi bie défii. Pour prouver les égalités à V, commeços pour predre ǫ > 0, cosidéros N,M tels que V N M a,m < ǫ, 2 dès que N,M dépasset N,M respectivemet. Preos u N N quelcoque. Puisque, chacue des séries l est absolumet covergete, ous avos aussi des estimatios de restes, il existe pour chaque = 0,,...,N u M tel que si S M, l S Aisi, e cosidérat M = max{{m / = 0,,...,N},M }, M M, = 0,,...,N = l M a,m < ǫ 2N. a,m < ǫ 2N, et N N M l a,m < ǫ 2, Aisi, pour chaque ǫ > 0, il existe N,M tels que N N,M M, N V N l V M N N M a,m + l a,m < ǫ. Ceci prouve la première égalité de Fubii, la deuxième est similaire. La théorie des séries doubles semi-covergetes est difficile, o e dira mot. O metioe la otio de covergece absolue pour les séries idicées sur Z, qui a so importace. Défiitio Ue série umérique Z a est la doée d ue applicatio Z K : a dot o se propose de cosidérer la somme. La série est dite avoir ue somme pricipale, si la série umérique + {a +a } est covergete auquel cas sa somme est dite la valeur pricipale de la somme de la série idicée sur Z. Ue série umérique idicée sur Z est dite sommable s il existe l K, tel que pour chaque ǫ > 0 il existe ue partie fiie I ǫ de Z, telle que a l < ǫ. I ǫ auquel cas le ombre l est oté l = + = a. Le terme sommable correspod e gééral à de la covergece commutative. O sigale e exercice, la propositio Propositio 2.5. Ue série umérique idicée par Z est absolumet covergete si et seulemet si, il existe K, tel N que Pour tout N N, = N a K. Das ces cas, la série {a +a } est covergete et sa somme est la somme de la série idicée sur Z. De plus les deux séries 0 a et 0 a sot absolumet covergetes et = a = Il faut predre garde de e pas compter deux fois, le terme a 0. E guise de complémet o peut metioer que si l o se doe ue applicatio Λ K : λ a λ o peut la peser comme ue sorte de suite très très gééralisée, et teter de cocevoir la somme de tous ses termes. O dira d ue telle suite, que c est ue famille de ombres. O est réduit à doer le défiitio suivate : La famille a λ est sommable, s il existe l K tel que pour chaque ǫ > 0 il existe u esemble fii I ǫ Λ tel que a λ l < ǫ. λ I ǫ a + a.

12 CHAPITRE 2. SÉRIES NUMÉRIQUES 24 Bie évidemet le ombre l sera dit la somme de cette expressio, et l o posera λ Λa λ = l. U lemme simple ous reseige beaucoup. Lemme Soit (a λ ) λ Λ ue famille de ombre réels positifs ou uls. Si la famille est sommable, alors seulemet u ombre au plus ifii déombrable de ses membres est o ul. O est rameés aux séries absolumet covergetes! Il est clair que 0 l = sup{ λ A a λ / A est fii et A Λ}. Preuve. Supposos la famille sommable, et écrivos l = λ Λa λ pour sa somme. Notos pour ǫ > 0, J ǫ = {λ Λ / a λ > ǫ}, et J = {λ Λ / a λ > 0}. Si I est u esemble à élémets coteu das J ǫ, Puisque ǫ λ Ia λ l, l/ǫ, et J ǫ e peut avoir plus de l/ǫ élémets, e particulier, c est u esemble fii. Or J = de fiis, il est déombrable comme il fallait démotrer. + m= I m, est réuio déombrable Efi, metioos la otio de produit ifii. Car si bie, doée ue suite umérique, e faire la somme de tous ses termes, est ue opératio aturelle. Cala ous a coduit à tout u chapitre de cosidératios. Faire le produit de tous ses termes, est tout aussi aturel. Et tout u autre chapitre pourrait être écrit à ce sujet. La défiitio suivate est aturelle. Défiitio Soit doée ue suite umérique (a ),a K. O dira que le produit ifii coverge et que P K est le produit ifii de cette suite, si P 0 et pour chaque ǫ > 0 doé, il existe N, tel que N a P < ǫ. Das le cas cotraire, o dira que le produit ifii diverge. E cas de covergece o pose + a = P. La suite (P N ) N,P N = N a est dite suite associé des produits partiels. Ue coditio écessaire de covergece, facile est que a. Par exemple, certes trivial, la suite costate (a ),a = q K ous doe la suite associé des produits partiels est P N = q N, aisi le produit ifii vaut 0 il diverge toujours sauf si q =. Ue première remarque est : e écrivat a = ρ e θ, o costate { N N } a = ρ e i N θ,n 0. Visiblemet, la covergece (à cogruece modulo 2π) de la série des argumets, relève de la théorie des séries. Par cotre, les modules ous redoet u produit de facteurs positifs. Étudios les produits ifiis des suites réelles positives. Puisque das ces produits, le moidre terme ul, aule tous les produits partiels ultérieurs, o e regardera que des suites réelles strictemet positives. Théorème Soit (a ) ue suite de ombres réels strictemet positifs. Écrivos b = log(a ) pour le logarithme épérie. Le produit ifii est coverget si et seulemet si la série b est covergete et + a = e + b Trivialité maifeste à partir de la cotiuité du logarithme, l expoetielle et de ( N ) N log a = log(a ). E fait, puisque log(+x) x, la coditio {a } covergete, est équivalete à la coditio du théorème. Avec ue boe défiitio du logarithme pour les ombres complexes, la même coditio peut-être démotrée. O e dira pas plus.

13 CHAPITRE 2. SÉRIES NUMÉRIQUES Exercices Exercice 2. Soiet a et b deux séries à termes das R + vérifiat : 0 N tel que pour tout 0 o a a + a b+ b. Motrer que :. b coverge = a coverge. 2. a diverge = b diverge. Exercice 2.2 Étudier la ature de la série de Riema α, α R, puis de la série de Bertrad =2 Exercice 2.3 Calculer la somme des séries q, q R +, α (l()) β, α,β R. (+). Exercice 2.4 Étudier la ature (type de covergece ou de divergece) des séries umériques suivates a α,!, a!,!,, (2)!. Exercice 2.5 Motrer que la série de terme gééral u = +l() l(+) coverge. E déduire que la limite (appelée costate d Euler) existe. Exercice 2.6 Étudier la ature des séries suivates :. [l(+/) 2/(2+)], 2. (l!) lim ( l()) (idicatio : motrer que l! l), 3.!c (2)!,c > 0, 4. (si/)α (idicatio : utiliser le fait que lim (si/)2 = e 6 ). Exercice 2.7 Nature des séries de terme gééral u, : u = ( ) 2 +( ), u = +( ), u = ( ) l +. Exercice 2.8 Nature des séries de terme gééral u, : ) u = l (+ ( ), u = si ( ). Exercice 2.9 Motrer que les séries de termes gééraux (équivaletes!) u = ( ) ( ), v =, +( ) e sot pas de même ature. Exercice 2.0 Motrer que le produit ifii coverge et calculer sa limite. cos x 2 Exercice 2. Soit (a ) N ue suite das R +. Motrer que le produit ifii (+a ) coverge si et seulemet si la série a coverge.