Cours de Mathématiques Séries numériques ou vectorielles Sommaire

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1 Sommaire Sommaire I Gééralités sur les séries I. Espace vectoriel des séries, Sous-espace des Séries covergetes I.2 Critère de Cauchy. Espace des séries ormalemet covergetes II Séries à termes réels positifs II. Les règles de comparaiso : O, o II.2 Comparaiso à ue série géométrique II.3 Série et itégrale de foctio positive et décroissate III Séries à valeurs das u espace vectoriel ormé de dimesio fiie 8 III. Cas des séries à valeurs réelles et alterées III.2 Comparaiso d ue série à ue itégrale IV Familles sommables IV. Défiitio et caractérisatio des familles sommables IV.2 Suites doubles et iterversio des sommatios Page Michel Lepez c EduKlub S.A. Fichier gééré pour Visiteur (), le 24/2/206

2 Partie I : Gééralités sur les séries I Gééralités sur les séries K désige le corps R ou C et (E, ) est u K espace vectoriel ormé. À toute suite u = (u ) N à valeurs das E o associe la suite U = (U ) N défiie par U = u k. Le couple (u, U) s appelle série associée à la suite u et lorsque l o coviet de oter u le terme gééral de la suite u, la série (u, U) est dite série de terme gééral u et se ote alors u. O a aisi u = (u, U) (.) N, U + U =u + (.2) O dit efi que la suite U est la suite des sommes partielles de la série de terme gééral u défiie par la relatio (.). I. Espace vectoriel des séries, Sous-espace des Séries covergetes Soit S(E) l esemble des séries à valeurs das E : S(E) = {(u, U) = } u u = (u ) N E N O dit que la série u S(E) est covergete lorsque la suite U de ses sommes partielles est covergete das (E, ). Lorsqu il e est aisi la limite de la suite U est otée u et s appelle somme de la série u. Propositio L esemble S(E) des séries à valeurs das E est u sous-espace vectoriel de (E N ) 2 et le sous-esemble S (E) des séries covergetes à valeurs das E est u sous-espace vectoriel de S(E). L applicatio de S (E) vers E qui à ue série covergete associe sa somme est ue applicatio liéaire. Propositio Relatio Suite-Série L applicatio qui, à la série à valeurs das E de terme gééral u, associe la suite U de ses sommes partielles est u isomorphisme de S(E) sur l espace vectoriel E N des suites à valeurs das E. L isomorphisme réciproque est l applicatio qui à ue suite U = (U ) N à valeurs das E associe la série de terme gééral u défii par u = U U si N et u 0 = U 0. Si ue série u coverge, la suite u coverge vers 0. Si ue suite u est divergete ou covergete vers ue limite o ulle la série u associée à u est divergete : o dit das ce cas que la série est grossièremet divergete. Page 2 Michel Lepez c EduKlub S.A. Fichier gééré pour Visiteur (), le 24/2/206

3 Partie I : Gééralités sur les séries Toute suite U E N est de même ature (du poit de vue de la covergece) que la série dérivée de U de terme gééral U + U.E cas de covergece, la relatio (.2) doe (U + U ) = ( lim U ) U0. I.2 Critère de Cauchy. Espace des séries ormalemet covergetes Toute série covergete u à valeurs das (E, ) vérifie l assertio de Cauchy (traduisat que la suite U de ses sommes partielles est de Cauchy) : +p ε R +, N N, N, p N, u k ε (CY) Théorème Critère de Cauchy k=+ Soit (E, ) u espace vectoriel ormé de dimesio fiie. Pour que la série u à valeurs das Esoit covergete il faut et il suffit que l assertio (CY) soit vérifiée. Corollaire Covergece ormale Soit (E, ) u espace vectoriel ormé de dimesio fiie et soit u E N ue suite telle que la série u (à valeurs das R + ) soit covergete. Alors la série u est covergete. E outre u u. Ue série telle que u coverge est dite ormalemet covergete. L esemble des séries ormalemet covergetes à valeurs das u espace vectoriel ormé E de dimesio fiie est u sous-espace vectoriel de S (E). Das le cas E = K o parle de séries umériques et comme la orme est ici la valeur absolue, o parle de covergece absolue pour ue série umérique u telle que la série u coverge. Aisi toute série umérique absolumet covergete est covergete. Corollaire Soit E u espace vectoriel ormé de dimesio fiie q N et e ue base quelcoque de E. Pour que la série u à valeurs das E soit covergete (respectivemet ormalemet covergete) il faut et il suffit que les q séries umériques associées aux suites composates de u relativemet à la base e soiet covergetes (respectivemet absolumet covergetes). Ces corollaires motret l importace de l étude de la covergece des séries à termes réels positifs pour l étude de la covergece (ormale ou absolue) des séries vectorielles ou umériques. Page 3 Michel Lepez c EduKlub S.A. Fichier gééré pour Visiteur (), le 24/2/206

4 Partie II : Séries à termes réels positifs II Séries à termes réels positifs Lorsqu ue série u = (u, U) est associée à ue suite u à valeurs das R +, la suite U de ses sommes partielles est croissate e raiso de la relatio suite-série : N, U + U = u + 0. Il e résulte le théorème simple mais fodametal : Théorème Pour que la série ( u à termes réels positifs soit covergete il faut et il suffit que la suite ) U = u k de ses sommes partielles soit majorée. N II. Les règles de comparaiso : O, o Corollaire Règle de domiatio Soiet u et v deux suites réelles telles qu il existe u rag N et u réel positif M vérifiat N, 0 u Mv Si la série u est divergete, il e est de même pour la série v. Si la série v est covergete, il e est de même pour la série u. O dit qu ue suite u à termes réels positifs est domiée par ue suite à termes réels positifs v lorsqu il existe u réel M tel que pour tout N, 0 u Mv. Cette relatio etre suites réelles positives se ote u = O(v ) : La relatio de domiatio O est pas u ordre sur l esemble des suites réelles positives mais c est ue relatios réflexive et trasitive. Si deux suites réelles positives u et v vérifiet u = O(v ) et v = O(u ) alors les séries associées u et v sot de même ature (du poit de vue de la covergece) c est à dire qu elles sot toutes les deux covergetes ou toutes les deux divergetes. O dit que la suite réelle u est égligeable devat la suite réelle v lorsqu il existe ue suite réelle ε covergete vers 0 telle que u = εv. Cette relatio etre suites réelles u = (u ) N et v = (v ) N se ote u = o(v ). O dit que la suite réelle u est équivalete à la suite réelle v lorsque u v = o(v ) ce que l o écrit idifféremmet u = v + o(v ) ou u v. O vérifie que la relatio aisi défiie sur l esemble R N des suites réelles est réflexive, symétrique et trasitive, c est pourquoi o l appelle relatio d équivalece. U développemet limité de u lorsqu il est possible doera aisi u équivalet simple de u, pour lequel la règle d équivalece ci-dessous permet de coclure quat-à la ature de u. Corollaire Règle d équivalece Soiet u et v deux suites réelles positives telles que u v. Alors les séries associées u et v sot de même ature (du poit de vue de la covergece). Page 4 Michel Lepez c EduKlub S.A. Fichier gééré pour Visiteur (), le 24/2/206

5 Partie II : Séries à termes réels positifs E effet lorsque u v o a aussi u = O(v ) et v = O(u ). Voici quelques exemples simples mais utiles (séries de Riema) : La suite réelle de terme gééral U = l est divergete doc la série de terme gééral U + U est divergete. Or Doc la série harmoique diverge. ( U + U = l + ) (.3) Pour tout réel α et tout N, 0 < Doc par la règle de domiatio α α diverge lorsque α. Pour tout réel α > la suite de terme gééral U = coverge (vers 0) doc la série α de terme gééral U + U est covergete. U développemet limité quad ted vers l ifii doe ( U + = U + ) α = U + α ( ) + o α α soit ecore U + U α α (.4) La règle d équivalece pour les série à termes positifs motre aisi que la série α est covergete lorsque α >. Règle de Riema : Soit u ue suite réelle telle qu il existe u réel o ul M et u réel α vérifiat u M α La série u est covergete si et seulemet si α >. Sommatio des relatios de domiatio, de égligeabilité et d équivalece : Soiet u et v deux suites réelles positives telles que u = O(v ). Alors U = O(V ), c est ( à dire u k = O v k ). Si u = o(v ) et si u diverge, alors U = o(v ). Efi si u v et si u diverge, alors U V. Soiet u et v deux suites réelles positives telles que u = O(v ) et la série v soit ( ( covergete. Alors u k = O v k ). Si u = o(v ) alors u k = o v k ). Efi si u v alors k=+ k=+ u k k=+ k=+ Par exemple la sommatio des relatios d équivalece (.3) doe v k. k=+ k=+ l k= k (.5) Page 5 Michel Lepez c EduKlub S.A. Fichier gééré pour Visiteur (), le 24/2/206

6 Partie II : Séries à termes réels positifs La sommatio des relatios d équivalece (.4) pour α<doe α α (.6) k α De même la sommatio des relatios d équivalece (.4) pour α>doe II.2 k= (α ) α k=+ Comparaiso à ue série géométrique k α (.7) Ue série umérique géométrique a pour terme gééral u = u 0 r où le réel o ul r est la r + raiso de u. Pour r R\{}, U = u k = u 0 Ue série géométrique o ulle est r covergete si et seulemet si sa raiso r vérifie r <. Lorsque cette coditio est vérifiée u k = u 0 r Ue série géométrique o ulle u est caractérisée par la relatio u + = r. u Propositio Si u et v sot deux suites réelles à termes strictemet positifs et si, à partir d u certai rag, u + v + alors u = O(v ). u v E particulier lorsque v est ue suite géométrique, o a la Propositio Règle de d Alembert Si u est ue suite réelle à termes strictemet positifs et s il existe u réel r < tel qu à partir d u certai rag u + r, alors u est covergete et u = O(r ). u k=+ La règle de d Alembert s applique otammet lorsque la suite u à termes strictemet positifs est telle que la suite de terme gééral u + u coverge vers u réel l <. lorsque z C la règle de d Alembert s applique pour z (ici l = 0) si bie que pour! tout z C la série umérique z est absolumet covergete doc covergete. O! appelle sa somme expoetielle de z. Lorsque la suite u à termes strictemet positifs est telle qu à partir d u certai rag N, u +, la suite (u ) N est croissate doc la série u est grossièremet divergete. u Page 6 Michel Lepez c EduKlub S.A. Fichier gééré pour Visiteur (), le 24/2/206

7 Partie II : Séries à termes réels positifs II.3 Série et itégrale de foctio positive et décroissate Théorème Soit f ue foctio cotiue par morceaux sur [0, + [ à valeurs das [0, + [ et décroissate. La série de terme gééral v = f() + f est covergete. E particulier la série de terme gééral u = f() est covergete si et seulemet si f est itégrable sur [0, + [. E effet cela résulte directemet de l ecadremet 0 v u u + et du théorème de majoratio des sommes partielles puisqu alors V = v k u 0. Par exemple pour f(t) = le théorème ci-dessus permet de préciser l équivalece t + (.5) par la covergece de la suite de terme gééral V = l(+2). La limite k + de cette suite s appelle costate d Euler et se ote γ. O a aisi u développemet limité à l ordre 0 de la somme de la série harmoique : k= k =l+γ+o() (.8) Pour f(t) = (t + 2) l α, f est itégrable sur [0, + [ si et seulemet si le réel α (t + 2) est strictemet supérieur à. Le théorème ci- dessus motre que la série de terme gééral l α est covergete si et seulemet si α >. Page 7 Michel Lepez c EduKlub S.A. Fichier gééré pour Visiteur (), le 24/2/206

8 Partie III : Séries à valeurs das u espace vectoriel ormé de dimesio fiie III Séries à valeurs das u espace vectoriel ormé de dimesio fiie Le Critère de Cauchy et de la règle de domiatio pour les séries à termes réels positifs coduiset au Théorème de domiatio Soit u = (u ) N ue suite à valeurs das u espace vectoriel ormé de dimesio fiie, pour laquelle il existe ue suite à valeurs réelles positives v telle que u = O(v ) et v coverge. Alors la série u est (ormalemet) covergete et sa somme vérifie u v. Ue K-algèbre A est dite ormée lorsqu elle est muie d ue orme vérifiat (a, b) A 2, ab a b. Par exemple ( K, ) est ue K-algèbre ormée. Lorsque ( E, ) est u espace vectoriel ormé de dimesio fiie, la orme défiie sur L(E) par u L(E), u = sup { u(x) ; x E, x = } fait de L(E) ue K-algèbre ormée. Le théorème de domiatio a les corollaires suivats : Corollaire série géométrique Soit ( A, ) ue K-algèbre ormée de dimesio fiie. Pour tout u A vérifiat u <, la série u est (ormalemet) covergete et sa somme u est iversible, d iverse A u. Corollaire série expoetielle Soit ( A, ) ue K-algèbre ormée de dimesio fiie. Pour tout u A, la série u est (ormalemet) covergete. Sa somme exp u. Sous les coditios du Corollaire o a aussi exp u exp( u ). III. + u! Cas des séries à valeurs réelles et alterées! s appelle expoetielle de u et se ote Ue suite réelle u est dite alterée lorsque la suite de terme gééral ( ) u est de sige costat. Lorsque la suite de terme gééral u est décroissate les suites de terme gééral 2 2+ U 2 = u k et U 2+ = u k sot mootoes de ses cotraire. Il e résulte le Page 8 Michel Lepez c EduKlub S.A. Fichier gééré pour Visiteur (), le 24/2/206

9 Partie III : Séries à valeurs das u espace vectoriel ormé de dimesio fiie Théorème des séries alterées Soit u ue suite réelle alterée telle que la suite de terme gééral u soit décroissate de limite ulle. Alors la série u est covergete, sa somme u a le sige de u 0 et u u0. Par exemple les séries riemaiees alterées ( ) coverget si et seulemet si ( + ) α le réel α est strictemet positif et alors leur reste de Cauchy est tel que + k= ( ) k (k + ) α ( + ) α Ue série umérique peut être covergete sas être absolumet covergete (cas précédet pour α ]0, ]). deux suites réelles peuvet être équivaletes sas que les séries associées soiet de même ature. C est le cas pour u = ( ) et v = u Ici u v et u coverge alors que v diverge. III.2 Comparaiso d ue série à ue itégrale Lorsque le théorème de domiatio est pas applicable, et que l o a affaire à ue série de terme gééral u = f() où f est ue foctio de classe C réelle ou à valeurs das u espace vectoriel ormé de dimesio fiie, o peut peser au théorème suivat : Théorème de comparaiso série-itégrale État doée ue foctio f de classe C sur [0, + [ à valeurs das u espace vectoriel ormé de dimesio fiie E telle que sa dérivée f soit itégrable sur [0, + [, la série de terme gééral v = f() I = 0 + f est (ormalemet) covergete. La suite de terme gééral f est de même ature (du poit de vue de la covergece) que la série de terme gééral u = f(). Cela résulte de l égalité v = la domiatio v + + (+ t)f (t) dt (itégratio par parties) qui doe f (t) dt = w. La covergece (ormale) de v résulte de celle de w, elle même due à l itégrabilité de f (doc de f ) sur [0, + [. si l(t + ) Par exemple la foctio f défiie par f(t) = est de classe C sur [0, + [ t + et f 2 (t) qui est itégrable sur [0, + [. Le théorème de comparaiso à ue (t + ) 2 Page 9 Michel Lepez c EduKlub S.A. Fichier gééré pour Visiteur (), le 24/2/206

10 Partie III : Séries à valeurs das u espace vectoriel ormé de dimesio fiie itégrale s applique doc pour la série f( ) ( ) : Elle est de même ature si l t que la suite de terme gééral I = dt qui diverge puisque I = cos l. t Aisi la série si l est divergete. Cepedat les iégalités das la preuve ci-dessus du théorème doet N si l k +, k f + I + 4. k= E applicatio du théorème de comparaiso série-itégrale, le lecteur pourra motrer les poits suivats : pour chaque θ R la série est divergete +iθ pour tout réel o ul θ les sommes partielles de la série sot borées, e module majorées par + θ θ Cosidéros la série de terme gééral u = eiθ (θ R\2πZ). Cette série est pas absolumet covergete et si l o cherche à appliquer le théorème de comparaiso série-itégrale, o doit evisager l itégrabilité de f sur [, + [ où f(x) = eixθ x Malheureusemet f est pas itégrable, e revache la partie est à dérivée x itégrable. Ue itégratio de f par parties coduirait ici à primitiver e ixθ. O somme k doc e iθ : S k = e iθ, pour que sa dérivée S k S k soit bie e ikθ. O a aisi, e posat S 0 = 0, = U = 2 Ici v k e iθ S + 2 e iθ u k = k= k 2 k= S k S k k = 0 ( S k k ) + S k + + }{{} v k k= doc la série de terme gééral v k est absolumet covergete et + coverge vers 0. Doc la série u est covergete (mais o absolumet covergete ). La trasformatio aisi faite sur les sommes partielles de la série u s appelle Trasformatio d Abel (c est l aalogue d ue itégratio par parties). Cette trasformatio doera des résultats lorsque : u = a b, b = B B, ou b = B B +, où B est le terme gééral d ue suite borée et la série (a a + ) est absolumet covergete : B est la somme partielle de la série b ou so reste de Cauchy si elle coverge. Page 0 Michel Lepez c EduKlub S.A. Fichier gééré pour Visiteur (), le 24/2/206

11 Partie IV : Familles sommables IV Familles sommables IV. Défiitio et caractérisatio des familles sommables Ue famille u = (u i ) i I idexée par u esemble I est ue applicatio de source I. O s itéresse ici au cas où I est strictemet déombrable c est à dire qu il existe ue bijectio σ de N sur I. O suppose égalemet que la famille u est à valeurs das u espace vectoriel ormé E de dimesio fiie. Das ces coditios, o dit que la famille u est sommable si l o peut choisir la bijectio σ de sorte que la foctio u σ e escalier sur [0, + [, coïcidat sur chaque itervalle [, + [ ( N) avec la costate u σ(), soit itégrable sur [0, + [. O motre efi que l itégrale u σ est idépedate du choix de la bijectio σ. Sa valeur s appelle somme de la R + famille (sommable) u et se ote u i. O a aisi u i = u σ = u σ(). i I i I R + Théorème Caractérisatio des familles sommables Soit u = (u i ) i I ue famille idexée par u esemble déombrable à valeurs das u espace vectoriel ormé de dimesio fiie E. Les coditios suivates sot équivaletes : (i) La famille u est sommable (ii) Il existe ue bijectio σ : N E telle que la série u σ() covergete soit ormalemet (iii) Pour toute bijectio σ : N E la série u σ() est ormalemet covergete (iv) L esemble des sommes i J ue partie majorée de R + u i, où J décrit l esemble des parties fiies de N, est (v) Il existe ue suite (J ) N croissate de parties fiies de I recouvrat I (i.e N J = I) telle que les sommes i J u i soiet majorées (vi) Pour toute suite (J ) N croissate de parties fiies de I recouvrat I les sommes u i sot majorées i J Lorsque l ue de ces coditios est vérifiée la somme de u est doée par u i = u σ() = lim u i (.9) i I N i J L assertio (iv) motre que toute sous-famille d ue famille sommable est sommable. La formule (.9) est ecore valable pour tout recouvremet croissat de I par ue suite croissate de parties (pas spécialemet fiies) de I. L assertio (ii) motre qu ue suite à valeurs das u espace vectoriel ormé de dimesio fiie est sommable si et seulemet si la série associée est ormalemet covergete. Page Michel Lepez c EduKlub S.A. Fichier gééré pour Visiteur (), le 24/2/206

12 Partie IV : Familles sommables ( ) ( ) i Preos la suite aharmoique : I = N et u =. Le choix das (v) du i i I recouvremet croissat de I par les segmets J = [[, 2 ]] doe ( u i = 2k 2 ) 2k = 2k k soit ecore 2k i J k= k= k= k= k= 2 u i = k k = (l + γ) ( l(2) + γ ) + o() = l 2 + o() i J k= k= d après la formule (.8) du II.3.O adoc lim u i = l 2 = u i. Mais o + i J i= peut aussi former u recouvremet croissat (J ) N de I par des parties fiies telles que les sommes partielles u i de la famille u le log de ce recouvremet diverget e i J covergeat das R : L exemple J = {2k k [[, 2 ]]} {2k k [[, ]]} doe e effet (par l usage comme ci-dessus de la formule (9) du 2.3) u i 2 l. i J L exemple J = {2k k [[, ]]} {2k k [[, 2 ]]} doe u recouvremet croissat de I par des parties fiies telles que u i 2 l. i J Si u = (u i ) i I et v = (v j ) j J sot deux familles sommables à valeurs das ue algèbre ormée A de dimesio fiie, alors la famille produit w = (u i v j ) (i,j) I J est sommable et u i v j. (i,j) I J u i v j = i I j J Étude de la sommabilité de la famille de réels positifs u idexée par N p défiie par u (,, p) = ( + + p ) (p fixé das α N et α das R +) : La moyee géométrique de p réels positifs état iférieure à leur moyee arithmétique, o a u (,, p) = v α p α (,, p). La famille v est la famille produit de la suite p ( ) p riemaiee p fois par elle même. Elle est doc sommable lorsque α > p. α p N Par domiatio, la famille u est sommable lorsque α > p et sa somme vérifie ( + ) p ( + + p ). α (,, p) N p = α p Lorsque α p, o a u (,, p) ( + + p ) = w p (,, p). Pour N, posos J = {(,, p ) N p + + p }. (J ) p est u recouvremet croissat de N p par ue suite de parties fiies vérifiat Card(J ) = C p. D où + Page 2 Michel Lepez c EduKlub S.A. Fichier gééré pour Visiteur (), le 24/2/206

13 Partie IV : Familles sommables w (,, p) = Cp La série harmoique état divergete p + (p )! (,, p) J \J l assertio (vi) du théorème de caractérisatio des familles sommables est iée : ceci motre que la famille w est pas sommable, et aisi la famille u (majorat w > 0) est pas sommable. Fialemet la famille u est sommable si et seulemet si α > p. (Développemet de Fourier d ue foctio -périodique) La famille c(f) = ( c k (f) ) des k Z coefficiets de Fourier d ue foctio f -périodique et cotiue par morceaux sur R à IV.2 valeurs das K vérifie c k (f) 2 f 2 pour toute partie fiie J de Z : c(f) est doc k J 0 ue famille de carré sommable. Mais c(f) est pas toujours sommable : O motre que si f est de classe C par morceaux et cotiue sur R alors c(f) est ue famille sommable. Le théorème de Parseval peut s éocer sous la forme : Pour( tout couple) de foctios (f, g) cotiues par morceaux sur R et -périodiques, la famille c k (f) c k (g) est sommable et sa somme vaut 0 fg. Suites doubles et iterversio des sommatios Ue suite double est ue famille idexée par l esemble déombrable N 2. Voici deux corollaires du théorème de caractérisatio des familles sommables : Corollaire Iterversio des sommatios Soit u = (u i,j ) (i,j) N 2 ue suite double à valeurs das u espace vectoriel ormé de dimesio fiie. Si u est sommable, alors les suites (u i,j ) i N et (u i,j ) j N sot sommables aisi que les suites de leurs sommes. De plus ( ) ( ) u i,j = u i,j = u i,j. (i,j) N 2 i=0 j=0 j=0 i=0 k Z Corollaire Produit de Cauchy de séries] Soiet u et v des séries ormalemet covergetes à valeurs das ue algèbre ormée de dimesio fiie. La série de terme gééral (u v) = u i v j est dite produit de Cauchy i+j= des séries u et v. Cette série est ormalemet covergete et (u v) = Le théorème de caractérisatio ( formule ) (.9) pour ( la famille ) sommable uet les recouvremets croissats de N 2 par [[ 0, ]] N et N [[ 0, ]] doet le corollaire d iterversio N (voir la première remarque suivat le théorème ). u N v. Page 3 Michel Lepez c EduKlub S.A. Fichier gééré pour Visiteur (), le 24/2/206

14 Partie IV : Familles sommables Le secod corollaire est le résultat du théorème de caractérisatio formule (.9) pour la famille sommable w = (u i v j ) (i,j) N 2 ( e preat ) le recouvremet croissat de N 2 par les esembles fiis J = {(i, j) N 2 i + j } (voir la deuxième et la quatrième remarque suivat le théorème). N Propriété de l expoetielle : Soit A ue algèbre ormée de dimesio fiie. Pour tout a A la série expoetielle a est ormalemet covergete, doc par produit! de Cauchy, pour tout (a, b) A 2, a i b j exp(a) exp(b) = i! j! = C i a i b i! i+j= si ab=ba, la formule du biôme doe alors exp(a) exp(b) = exp(a + b). Et pour b = a, exp(a) exp( a) = exp(o A ) = exp( a) exp(a) = A. Aisi l expoetielle est ue applicatio de A à valeurs das l esemble des élémets iversibles de A et pour tout a A, ( exp(a) ) = exp( a). Exemple de suite double (o sommable) où les séries associées aux suites (u i,j ) i N et (u i,j ) j N coverget mais où les séries associées aux suites de leurs sommes e sot pas de même ature : Pour (i, j) N 2 posos u i,j = ( )j i + j + si i j et u i,j = 0 sio. Ici, pour tout j N, la somme s j = 2j+ u i,j = ( ) j i=0 k=j+ k divergete, car s j (j + ) 2j + E revache 2 i N, t i = u i,j = ( ) i+ j=0 i=0 est le terme gééral d ue série grossièremet k=2i+ ( ) k k a le sige de ( ) i et vérifie t i (théorème des séries alterées) avec 2i + ( ) k ( ) k t i t i+ = + = k k 2i + 2i + 3 > 0. k=2i+ k=2i+3 Aisi la suite alterée (t i ) i N coverge vers 0 et la suite de ses valeurs absolues décroît, doc t i coverge. Das cet exemple o peut parler de mais il est pas i=0 u i,j j=0 possible d itervertir les sommatios. Exemple d iterversio des sommatios : O établit (voir le chapitre sur les séries de Fourier) que pour tout complexe z o etier relatif : ( ) π cota πz = 2z z k 2 z 2 k= Page 4 Michel Lepez c EduKlub S.A. Fichier gééré pour Visiteur (), le 24/2/206

15 Partie IV : Familles sommables Or pour z <, z2 est la somme d ue série géométrique de raiso et de premier k 2 z2 k2 terme si bie que pour z ]0, [, k2 ( ) π cota πz = 2z z ( z 2 Or la famille double u = k 2(+) ) (k,) N N k= z 2 = f(z). k2(+) est sommable car les sommes partielles de ses modules sur toute partie fiie de N N sot majorées par f( z ). O peut doc itervertir les sommatios : Pour tout complexe o ul du disque uité ouvert, ( ) π cota πz = 2z z ζ(2 + 2)z 2 où ζ est la foctio de Riema défiie par ζ(x) = k x k= (x > ) E cherchat le développemet asymptotique de cota πz au voisiage de 0, o trouve aisi les valeurs de ζ(2 + 2). Les premiers calculs doet ζ(2) = π2 6 Le chagemet de z e z π, ζ(4) = π4 90 motre e fait que ζ(2) π 2, ζ(6) = π6 945 est u ombre ratioel. Page 5 Michel Lepez c EduKlub S.A. Fichier gééré pour Visiteur (), le 24/2/206

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot. u k

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot. u k SÉRIES NUMÉRIQUES K désige le corps R ou C. Gééralités. Défiitios Défiitio. Série Soit (u ) 0 ue suite umérique (i.e. à valeurs das K). O appelle série de terme gééral u la suite (S ) 0 où 0, S = u k Cette

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