1 Rayon et disque de convergence

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1 Master Métiers de l Eseigemet, Mathématiques - ULCO, La Mi-Voix, 20/202 ANALYSE 2 Fiche de Mathématiques 6 - Séries etières - Foctios aalytiques. Ue série etière est ue série de foctios, de la forme a z où (a ) désige ue suite doée de ombres complexes et z est ue variable complexe. Das tout ce qui suit, o désigera par D(z 0, r) le disque-pla ouvert de cetre z 0 et de rayo r, soit D(z 0, r) = {z, z C et z z 0 < r} et par D(z 0, r) = {z, z C et z z 0 r}. Rayo et disque de covergece Défiitio. Ue série etière de la variable complexe z est ue série dot le terme gééral est de la forme a z ( N) où (a ) désige ue suite doée de ombres complexes. Les ombres a sot appelés les coefficiets de la série. Plus précisémet, le ombre a est le ( + )-ième coefficiet, ou coefficiet d ordre. Le premier terme a 0 est souvet appelé terme costat. Les séries etières sot doc des séries d applicatios de la forme : C C, z a z. Pour étudier la covergece de la série etière a z, o utilise le lemme suivat : Théorème. Théorème d Abel. Soit z 0 C tel que la suite (a z 0 ) soit borée (ce qui est réalisé e particulier si la série a z 0 est covergete). Alors, pour tout z C tel que z < z 0, la série a z est absolumet covergete et cette série est ormalemet covergete das le disque fermé D(0, k z 0 ) défii par z k z 0, quel que soit le ombre k vérifiat 0 k <. Défiitio.2 Le rayo R de covergece de la série etière a z est la bore supérieure das R de l esemble I des ombres réels positifs r tels que la suite (a r ) soit borée : R = sup{r R +, (a r ) N est borée}. Théorème.2 Soit R le rayo de covergece de la série etière a z (0 R + ). Si R = 0, cette série e coverge que pour z = 0. Si R = +, cette série coverge absolumet pour tout z C, cette covergece état ormale, doc uiforme, sur toute partie borée de C. Si R est u ombre fii o ul, la série a z est absolumet covergete pour z < R, et divergete pour z > R ; de plus cette série coverge ormalemet (doc uiformémet) das le disque fermé D(0, r), quel que soit r < R. Défiitio.3 Soit R le rayo de covergece de la série etière a z. Si R 0, le disque ouvert D(0, R) est appelé le disque de covergece de cette série et l itervalle ouvert ] R, R[ est appelé l itervalle de covergece de cette série. Aisi, ue série etière est absolumet covergete e tout poit de so disque de covergece, divergete à l extérieur de ce disque, et ormalemet covergete sur tout disque cocetrique au disque de covergece et de rayo strictemet plus petit. Remarque. La otio d itervalle de covergece iterviet lorsqu o se limite aux valeurs réelles de la variable : c est le plus grad itervalle ouvert de cetre O sur lequel la série soit covergete. /0

2 Remarque.2 Si R est fii, o e sait pas à priori si la série a z coverge sur so cercle de covergece, défii par z = R. Théorème.3 Soiet a z et b z de rayos de covergece respectifs R et R.. Si a b pour tout N alors R R. 2. Si a = (b ) alors R R. 3. Si a b alors R = R. Corollaire. Si a z est ue série etière telle qu il existe deux réels strictemet positifs m et M avec : N, m a M alors le rayo de covergece de cette série vaut. Théorème.4 E utilisat les otatios qui précèdet :. das le cas où R > 0, la série a z est absolumet covergete pour tout z tel que z < R, 2. das le cas où R est fii, les séries a z et a z sot divergetes pour tout z tel que z > R. Exercice Détermier les domaies de covergece des séries etières!z, z, z z,, z!. Exercice 2 Détermier les domaies de covergece des séries etières Exercice 3 Quel est le rayo de covergece de la série exp(si())z? ( ) (2)! z2 et ( ) (2 + )! z2+. Exercice 4 Soit a z ue série etière de rayo de covergece R. Motrer que, pour tout etier p 2, le rayo de covergece de la série etière a z p est + si R = + ou p R si R est fii (o dit que la série a z p est lacuaire). Exercice 5 Détermier le rayo de covergece R de la série etière ( ) z 2 et étudier la série pour z = R. Quelle est la somme de cette série? Exercice 6 Motrer que si (a ) N est ue suite de ombres complexes telle qu il existe u ombre complexe z 0 tel que la suite (a z0 ) N soit borée, alors la série etière a! z a u rayo de covergece ifii. Exercice 7 O désige par (p ) la suite strictemet croissate des ombres premiers. Détermier le rayo de covergece de la série z p. p Exercice 8 Soit (a ) N ue suite complexe borée.. Que peut-o dire des rayos de covergece des séries g(z) les sommes de ces séries etières. 2. Motrer que pour tout réel x ]0, [ l itégrale 3. Motrer que a z et ( g(t) exp t ) dt = xf(x) pour tout réel x ]0, [. x a! z. O ote respectivemet f(z) et ( g(t) exp t ) dt est covergete. x 2/0

3 2 Calcul pratique du rayo de covergece Propositio 2. Critère de d Alembert. Soit a z ue série etière telle que a 0 à partir d u certai rag. Si la suite ( ) a + a ted vers L (0 L + ) lorsque ted vers +, le rayo de covergece de la série a z est R = L avec les covetios 0 = + et + = 0. Remarque 2. Attetio, le résultat ( précédet ) admet pas de réciproque. Le fait que le rayo de covergece a + soit R implique pas que la suite ted vers (e supposat que la suite soit défiie). R a Corollaire 2. Si. Corollaire 2.2 Si a z est ue série etière telle que lim a = l 0, alors so rayo de covergece vaut + a z est ue série etière telle que a soit ue foctio ratioelle o ulle de alors so rayo de covergece vaut. Propositio 2.2 Critère de Cauchy. Soit a z ue série etière. Si lim + a = l R + alors le rayo de covergece de cette série est R = l. O applique le critère de Cauchy à la série a z. Si o pose L = lim sup a /, (0 L + ), o a : lim sup a z / = lim sup( z. a / ) = L z. Propositio 2.3 Formule d Hadamard Le rayo de covergece de la série etière a z est le ombre R défii par (O pose R = + si L = 0, et R = 0 si L = +.) R = lim sup a / Remarque 2.2 Le rayo de covergece d ue série etière e déped que des modules de ses coefficiets. Les séries a z et a z ot doc même rayo de covergece. Exercice 9 Détermier le rayo de covergece de la série etière a z où a = (2 + ( ) ) pour tout ( ) a + 0. Que dire de la suite Exercice 0 Exercice a? N Détermier le rayo de covergece R de la série etière! z. Pour tout etier aturel o ul, o désige par a le ombre de diviseurs de. Détermier le rayo de covergece R de la série etière a z. Exercice 2 Détermier le rayo de covergece R de la série etière arcta( α )z où α est u réel et étudier la série pour z = R. Exercice 3 Exercice 4 doé. Détermier le rayo de covergece R de la série etière l() z. Détermier le rayo de covergece R de la série etière ( ( )) α cos z, où α est u réel 3/0

4 3 Foctios défiies par ue série etière 3. Cotiuité Propositio 3. Soit a z ue série etière dot le rayo de covergece R est o ul. Alors sa somme =0 est ue foctio cotiue de z sur so disque de covergece (défii par l iégalité stricte z < R). 3.2 Dérivablité Propositio 3.2 Si (a ) est ue suite de ombres complexes, les séries etières a z et a z ot même rayo de covergece. Théorème 3. Soit a z ue série etière dot le rayo de covergece R est o ul. Alors sa somme =0 a z est ue foctio holomorphe de z sur so disque de covergece et, das ce disque, o a : f (z) = = a z. () E particulier, sur l itervalle de covergece ] R, +R[, l applicatio x f(x) est dérivable au ses usuel, et sa dérivée est doée par (). 3.3 Dérivées d ordre supérieur Par récurrece, le théorème précédet etraîe Propositio 3.3 La somme d ue série etière est ue foctio idéfiimet dérivable sur so disque de covergece et, si o pose =0 a z, o a pour tout etier p N et tout poit z du disque de covergece : f (p) (z) = =p 3.4 Foctios développables e série etière ( )... ( p + )a z p. (2) Défiitio 3. Soiet U u voisiage de l origie das C et f : U C ue foctio complexe défiie sur U. O dit que cette foctio est développable e série etière das U s il existe ue suite (a ) de ombres complexes telle que, pour tout z U, o ait : =0 Théorème 3.2 Soit f ue foctio complexe, développable e série etière das u voisiage de l origie. Alors les coefficiets de cette série sot les ombres a =! f () (0) et sot doc etièremet détermiés par la doée a z. de f. Le développemet e série etière de f est doc uique et s idetifie avec la série de Taylor de f soit : =0! f () (0)z. Remarque 3. Les ombres a =! f () (0) sot etièremet détermiés par la doée de f sur u itervalle de cetre 0, si petit soit-il : doc, si deux foctios f, g développables e séries etières das le disque D(0, R), coïcidet sur u itervalle ] r, r[ de l axe réel, elles coïcidet das tout le disque D(0, R). Théorème 3.3 Ue foctio f développable e série etière sur u disque ouvert D(0, r) du pla complexe est cotiue sur ce disque. 4/0

5 3.5 Développemet limité au voisiage de l origie Propositio 3.4 Soit f ue foctio complexe admettat, sur u voisiage U de l origie, le développemet e série etière Exercice 5 Exercice 6 Exercice 7 =0 a z. Alors, pour tout N, o a avec les otatios de Ladau : E utilisat la série etière E utilisat la série etière =0 =0 =0 a k z k + (z + ). k=0 ( ) x +, calculer + ( ) x 2+, calculer 2 + =0 =0 ( ) +. ( ) Doer le développemet e série etière, e précisat so rayo de covergece, de la foctio arcta. ( 2. E déduire la valeur de ) Calculer la primitive qui s aule e 0 de la foctio arcta et doer le développemet e série etière de cette foctio, e précisat so rayo de covergece. 4. E déduire la valeur de =0 ( ) (2 + )(2 + 2). Exercice 8 Détermier le rayo de covergece et la somme de la série etière réelle : ( + ) x+. Exercice 9 Détermier le rayo de covergece et la somme de la série etière réelle : x. 4 Étude sur le cercle de covergece Si la série a z coverge e u poit z 0 de so cercle de covergece, o peut prologer e ce poit la foctio =0 au poit z 0. a z e posat f(z 0 ) = =0 a z 0. Mais la propositio 3. e permet pas d affirmer la cotiuité de f Théorème 4. Théorème d Abel Si, pour u poit z 0 du cercle de covergece, la série a z 0 coverge, alors sa somme e ce poit est la limite de =0 a z lorsque z ted vers z 0 sur le rayo (O, z 0 ). Exercice 20 O se fixe u réel θ das ]0, π[ et o s itéresse à la série etière. Motrer que le rayo de covergece de cette série vaut. 2. Étudier la série si(θ) z pour z = et z =. si(θ) z. si(θ) 3. O désige par f la foctio défiie sur [, ] par f(x) = x. = Justifier le fait que f est idéfiimet dérivable sur ], [ et expliciter sa dérivée. 4. E déduire que 5/0

6 pour θ ]0, π[ et x ], [. ( ) ( ) x cos θ cos(θ) f(x) = arcta + arcta si(θ) si(θ) 5. Motrer que pour tous réels x, y tels que xy <, o a : 6. E déduire que : pour θ ]0, π[ et x ], [. 7. Motrer que : pour θ ]0, π[. arcta(x) + arcta(y) = arcta = ( ) x + y. xy ( ) si(θ) x si(θ) x = arcta x cos(θ) = si(θ) 5 Somme et produit de séries etières = π θ 2 Défiitio 5. Soiet A = a z et B = b z deux séries etières. Leur somme A + B est la série etière (a + b )z, leur produit AB est la série etière c z où o a posé, pour tout N, c = a k b k. k=0 Théorème 5. Soiet A = a z et B = b z deux séries etières dot les rayos de covergece R(A) et R(B) sot o uls. Alors, chacue des séries etières A + B et AB a u rayo de covergece au mois égal au plus petit des ombres R(A), R(B). Pour z < if(r(a), R(B)), o a : ( + ) ( + ) (a + b )z = a z + b z, c z = a z b z avec c = =0 a k b k. k=0 =0 =0 Corollaire 5. Si deux foctios complexes f, g sot développables e série etière das u même disque ouvert de cetre O, il e est de même de leur somme et de leur produit. 6 Compositio des séries etières Défiitio 6. L ordre ω(a) d ue série formelle A = (a ) o ulle est le plus petit etier tel que a 0. E d autres termes, c est le degré du terme du plus bas degré figurat das A. Si A est la série ulle, o pose ω(a) = +. Le corps de base état ici C, quelles que soiet les séries etières A, B, o a ω(ab) = ω(a) + ω(b) d où, e particulier, ω(a ) = ω(a) ( N). =0 =0 =0 Défiitio 6.2 Soiet A = a z et B = b z deux séries etières telles que A soit d ordre o ul (doc telles que a 0 = 0). Posos c 0 = b 0 et, pour tous, p N, A = p a z p et c p = c p z p, obteue par ordiatio de la série formelle p 0 0 otée B A. O dit aussi que B A s obtiet pas substitutio de A à z das B(z). p b a p. Alors, la série etière = b A est appelée composée des séries etières B, A, et Théorème 6. Soiet A = a z et B = b z deux séries etières dot les rayos de covergece sot o uls, et telles que la série A soit sas terme costat (i.e. telle que a 0 = 0). Alors la série composée 6/0

7 C = B A = c z a u rayo de covergece o ul et, pour z assez petit, les foctios vérifiet C(z) = Ã(z) = = a z, B(z) + = b z, = C(z) + = c z (3) B(Ã(z)). De plus, si R(B) = +, o a R(C) R(A) et la relatio (3) est vraie pour z < R(A). Corollaire 6. Soiet f, g deux foctios complexes défiies sur u voisiage de l origie das C et développables e série etière, telles que f(0) = 0. Alors la foctio composée h = f g est développable e série etière das u voisiage de l origie, et o a h (0) = g (0)f (0). Propositio 6. Soiet A, B deux séries etières d ordres respectifs alors la série composée B A est d ordre αβ. 7 Iverse d ue série etière α = ω(a), β = ω(b) (α > 0) = Propositio 7. Soit A = a z ue série etière dot le rayo de covergece est o ul et dot le terme costat a 0 est o ul. Il existe alors ue série etière uique B, dot le rayo de covergece est o ul, et qui vérifie AB = d où : Ã(z) B(z) = pour z < if(r(a), R(B)). Corollaire 7. Soit f : z f(z) ue foctio complexe défiie et développable e série etière sur u voisiage de l origie das C, et telle que f(0) 0. Alors, il existe u voisiage de l origie sur lequel la foctio /f est défiie et développable e série etière. 8 Séries majorates, séries etières réciproques Défiitio 8. Soiet A = a z et B = b z deux séries etières. O dit que la série B est ue majorate de la série A si les coefficiets b sot tous positifs et vérifiet, pour tout N, l iégalité a b. Propositio 8. Si la série etière B est ue majorate de la série etière A, les rayos de covergece de ces séries vérifiet l iégalité R(A) R(B). Lemme 8. Existece de majorates Soit A = a z ue série etière d ordre au mois égal à k (k N). Alors, pour tout r < R(A), il existe ue majorate de B de la forme B = M =k z r = M zk r k, (M =cste). z/r Défiitio 8.2 O dit que deux séries etières A, B sot réciproques l ue de l autre si elles sot d ordre o ul et vérifiet les relatios formelles A B = B A = z. Propositio 8.2 Soit B = b z ue série etière. Pour qu il existe ue série etière A = a z telle que B A = z, il faut et il suffit que B soit d ordre, cette série A est alors uique, d ordre, et vérifie formellemet A B = z : elle est doc réciproque de la série B. Propositio 8.3 Soit B ue série etière d ordre, dot le rayo de covergece est o ul. Alors, la série etière A, réciproque de B, a u rayo de covergece o ul et, pour z assez petit, o a : B( Ã(z)) = z et Ã( B(z)) = z. Corollaire 8. Soit f ue foctio complexe, défiie et développable e série etière sur u voisiage de l origie das C, telle que f(0) = 0. Pour qu il existe ue foctio complexe g, développable e série etière au voisiage de l origie et satisfaisat à f(g(z)) = g(f(z)) = z pour z assez petit, il faut et il suffit que l o ait f (0) 0. Si cette coditio est réalisée, il existe u voisiage U de l origie tel que la restrictio f U de f à U soit u homomorphisme de U sur u voisiage de l origie et la réciproque g de f U vérifie g (0) = f (0). 7/0

8 9 Foctios aalytiques d ue variable réelle ou complexe Défiitio 9. Soit U u ouvert du pla complexe C (resp. de la droite umérique R). Ue applicatio f : U C est dite aalytique das U si pour tout poit z 0 de U, l applicatio u f(z 0 + u) est d veloppable e série etière sur u voisiage de l origie das C (resp. R). Propositio 9. Soiet U u ouvert de (resp. R) et f ue foctio aalytique das U. Alors f est idéfiimet dérivable sur U, et chaque poit z 0 de U admet u voisiage sur lequel o a : =0! f () (z 0 )(z z 0 ). Remarque 9. Toute foctio holomorphe d ue variable complexe est écessairemet aalytique. Par cotre, ue foctio dérivable et même idéfiiemet dérivable d ue variable réelle est pas écessairemet aalytique. Propositio 9.2 Toutes les dérivées d ue foctio aalytique sot aalytiques. Propositio 9.3 Soiet f, g deux foctios aalytiques défiies sur u même ouvert U de C (resp. de R). ALors leur somme f + g et leur produit fg sot aalytiques das U. Efi, si N désige l esemble des zéros de g, le quotiet f/g est aalytique das l ouvert U\N. Propositio 9.4 Soit f ue foctio aalytique sur u ouvert U de C (resp. de R) et soit g ue foctio aalytique sur u ouvert (de C ou de R) coteat f(u). Alors la foctio composée h = g f est aalytique das U. 8/0

9 ÉPREUVE ÉCRITE DE MATHÉMATIQUES II par Pierre MARRY Maître de coféreces au CNAM Le sujet de l épreuve d Aalyse de cette aée tourait autour de la série etière = s z. Das ue première partie, o étudiait e détail le domaie de covergece de cette série etière, aisi que certaies propriétés de sa somme. La secode partie était cosacrée à la foctio ζ de Riema (cas où z = ). Efi, das la troisième partie, o déduisait de la première partie, à l aide de séries de Fourier, des expressios de certaies itégrales comme sommes de séries umériques. Compte teu du résultat désastreux de l aée précédete, toutes les questios difficiles avaiet été moayées e sous-questios idiquat pas à pas la marche à suivre, et u cadidat coaissat précisémet les grads théorèmes d aalyse du programme aurait dû pouvoir réaliser u sas-faute. De fait, la moyee de l épreuve (6,2/20) est de près d u poit supérieure à celle de l a derier (5,29/20), et à peu près toutes les questios posées ot été abordées par des cadidats. Le pourcetage de bos, voire très bos, cadidats reste stable, bie que faible. Le pourcetage de très mauvais cadidats, présetat u déficit catastrophique sur le pla des coaissaces, de la rigueur, voire de la logique la plus élémetaire, reste lui aussi stable, hélas! Igorace de la différece etre coditio écessaire et coditio suffisate, cofusio etre les propriétés du logarithme et celles de l expoetielle, igorace des formules élémetaires de trigoométrie sot moaie courate. Parmi les parties du cours pour lesquelles o costate ue ette amélioratio des coaissaces des cadidats, il faut sigaler les séries de Fourier : les expressios des coefficiets, les théorèmes de covergece sot assez gééralemet bie cous, même si u certai flou demeure sur leur déomiatio. E particulier le théorème de covergece ormale est assez souvet appelé théorème de Dirichlet. Das sa quête du Graal, u cadidat wagérie utilise l égalité de Parsifal (probablemet moté sur u étalo de Riema, selo l expressio d u autre cadidat). Mais tout cela reste aecdotique. E revache, sot très mal maîtrisées les hypothèses des divers théorèmes permettat des iterversios de limites : théorèmes de covergece domiée, de covergece mootoe, dérivatio sous les siges et, etc..., qui sot tout de même les outils pricipaux de l aalyse dot disposet les cadidats. Si ce maque de maîtrise a pas empéché ces deriers d avacer das le problème, il leur a éamois coûté de ombreux poits, car le barême était très exigeat sur la rigueur des démostratios. Mais il est fialemet logique que les cadidats aiet quelques problèmes avec la otio de limite, qu ils ot que deux as pour appredre à maîtriser, au vu de la ullité des programmes du deuxième cycle sur cette questio. Pourtat, la maipulatio des ε et des α reste la base du calcul scietifique qu ils aurot à effectuer e tat qu igéieurs. Qu il me soit permis ici de rappeler à mes collègues de classes préparatoires que le critère de d Alembert spécifique aux séries etières : R = lim a + + a, est plus au programme depuis 996 pour des raisos évidetes (cas de séries à trous, oubli des valeurs absolues, etc... ) et que seul subsiste le critère de d Alembert pour les séries umériques à termes positifs. Les cadidats, s ils souhaitet utiliser ce critère pour des séries etières, doivet doc étudier la limite du rapport u + (z) u (z) et e tirer les coséqueces qui s imposet, à l exclusio de toute autre méthode. Toute détermiatio du rayo de covergece à l aide de lim a + + a, quad ce est pas lim a +, se + a voit automatiquemet attribuer la ote 0, que le résultat soit exact ou o, et ce depuis déjà huit as! Il est dommage que l iformatio arrive pas à passer, après tat d aées.

10 Référeces [] Jacquelie LELONG-FERRAND, Jea-Marie ARNAUDIÈS. Cours de mathématiques. Tome 2, Aalyse, 4ème éditio. [2] Jea-Etiee ROMBALDI. Séries etières. http ://www-fourier.ujf-greoble.fr/ rombaldi/capes/aalysechap4.pdf [3] Site iteret CAPES INTERNET. Série des ombres premiers. http ://capesitere.free.fr/plc/arithmetique/exercices/serie ombres premiers2.pdf 0/0