Introduction. 1 Rappel sur les suites de Cauchy. Arthur LANNUZEL http ://mathutbmal.free.fr

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Introduction. 1 Rappel sur les suites de Cauchy. Arthur LANNUZEL http ://mathutbmal.free.fr"

Transcription

1 1 le 30 Septembre 2010 UTBM MT26 Arthur LANNUZEL http ://mathutbmal.free.fr Séries numériques Introduction. Une série est la somme des termes d une suite. Mais la théorie des séries n est pas qu une simple application des résultats obtenus sur les suites. De nombreuses constantes, valeurs de fonctions ne peuvent être définies que par des séries. On pourra également remarquer qu une suite peut se ramener à une série. 1 Rappel sur les suites de Cauchy. Définition 1.1 On appelle suite de Cauchy, une suite (u n ) n N telle que ϵ > 0, N N, p, q N, u p u q < ϵ. Exemples 1.2 1) Considérons la suite définie par u 0 R et u n+1 = u n + sin(n) 2 n. Cette suite est de Cauchy 2) Soit la suite (S n ) n définie par S 1 = 1, S 2 = , S n = n. (S n ) n n est pas une suite de Cauchy. Proposition 1.3 Toute suite convergente est de Cauchy Soit (u n ) n convergente vers l. Soit ϵ > 0. Il existe N N tel que n N, u n l ϵ 2. Alors, p, q N, u p u q ϵ. Proposition 1.4 Dans R ou C, toute suite de Cauchy est convergente ( R et C sont complets).

2 2 Dans R. On montre tout d abord qu une suite de Cauchy est bornée (exo). Si on considère alors (R complet) les deux suites de terme général i p = inf((u n ) n p ) et s p = sup((u n ) n p ), elles sont adjacentes donc admettent une limite l Par le théorème des gendarmes, l est alors la limite de (u n ) n. Remarque 1.5 La proposition précédente n est pas vraie dans Q. Exemple : u n = E( 2.10 n ) 10 n. 2 Les séries numériques. K = R ou C. Définition 2.1 Soit (u n ) n n0 K une suite. On appelle série de terme général u n la suite (S n ) n N définie par On la note u n. S n = n k=n 0 u k (somme partielle d ordre n). Définition 2.2 Une série u n est dite convergente ssi la suite (S n ) est convergente. Cette limite est appelée somme de la série et notée S = + n=n 0 u n. Sinon, on dit que la série est divergente. Dans le cas d une série convergente de limite S, R n = S S n = + k=n+1 u k est appelé reste d ordre n de u n. Exemples 2.3 i) Soit la série 1 n.(n+1) : S n = n.(n + 1).

3 3 ii) Soit la série 1 n (série harmonique) : S n = n. Remarque 2.4 Les exemples précédents montrent lim n u n = 0 est une condition nécessaire mais non suffisante pour que u n converge. Exercice 2.5 a, q R. A quelles conditions a.q n est-elle une série convergente? 3 Opérations sur les séries. Soient u n et v n, deux séries numériques et λ K. On définit la somme : u n + v n := (u n + v n ), le produit par un scalaire λ : λ. u n := (λ.u n ). D après les propriétés des limites de suites numérique, on a : Si u n converge vers k et v n converge vers l alors u n + v n converge vers k+l et λ. u n converge vers λ.k. Ce qui fait de l ensemble des séries convergentes munis des 2 lois précédentes un espace vectoriel. Remarque 3.1 (exo) La somme de deux séries divergentes, n est pas forcément divergente. Trouver un exemple. Exercice 3.2 Déterminer la convergence et la somme de ln(1 + 1 n ). 4 Séries numériques à termes positifs. Définition 4.1 On appelle u n série à termes positifs si N N, n N, u n 0. Remarque 4.2 On supposera, pour simplifier les notations, que tous les termes sont positifs. 4.1 Critère de comparaison. Théorème 4.3 Soient u n, v n deux séries numériques positives telles que n N, u n v n. i) Si v n converge alors u n converge, ii) Si u n diverge alors v n diverge.

4 4 i) Croissante majorée donc convergente. ii) Non majorée donc divergente. Exercice 4.4 1) La suite U n = n k=1 e 1 k2 k est-elle convergente? 2) La série 1 est-elle convergente. ln(1+n) 4.2 Critère de d Alembert. Théorème 4.5 Soit u n une série positive telle que un+1 u n R { }. i) Si R < 1 alors u n converge. ii) Si R > 1 alors u n diverge. converge vers une limite R i) Si R < 1, il existe N N et α < 1, tels que n N, u n 0 et un+1 u n u n α n N u N. Or α n N u N converge, d où le résultat par comparaison. ii) Si R > 1, il existe N N et α > 1, tels que n N, u n 0 et u n+1 u n u n α n N u N. Or α n N u N diverge, d où le résultat par comparaison. α. Donc n N α. Donc n N Remarque 4.6 la preuve nous pousse à affiner un peu le critère ci-dessus. (exo.) Remarque 4.7 ATTENTION! i) Soit u n avec u n = 1. Alors u n+1 n u n < 1 et u u n diverge (lim n+1 n + u n = 1). ii) Soit u n avec u n = 1. Alors u n+1 n(n+1) u n < 1 et u u n converge (lim n+1 n + u n = 1). Exercice 4.8 Etudier, suivant la valeur de α R, la convergence de la série (n!) α n n. 4.3 Critère de Cauchy. Théorème 4.9 Soit u n une série positive telle que n u n converge vers une limite R R { }. i) Si R < 1 alors u n converge. ii) Si R > 1 alors u n diverge.

5 5 i) Si R < 1, il existe N N et α < 1, tels que n N, u n 0 et n u n α. Donc n N u n α n N. Or α n N converge, d où le résultat par comparaison. ii) Clair car dans ce cas, u n +. Remarque 4.10 la preuve nous pousse à affiner un peu le critère ci-dessus. (exo.) Exercice ) Etudier suivant a, b, c, d R +, ( an+b cn+d )n. 2) Etudier, suivant la valeur de α R, la convergence de la série 2 n sin 2n (α). n 2 3) Etudier la convergence de la série 1. n n. ln(n) Remarque 4.12 ATTENTION! i) Soit u n avec u n = 1 n. Alors n u n < 1 et u n diverge (lim n + n u n = 1). ii) Soit u n avec u n = 1 n(n+1). Alors n u n < 1 et u n converge (lim n + n u n = 1). 4.4 Critère d équivalence. Théorème 4.13 Soit u n et v n, deux séries positives telles que u n + v n. Alors v n et u n sont de même nature. i) Supposons que u n converge. On a v n = (1 + ϵ(n))u n avec lim n + ϵ(n) = 0. Donc il existe N N tel que n N, 0 < v n 2.u n. D où le résultat par comparaison. ii) Supposons que u n diverge. On a v n = (1 + ϵ(n))u n avec lim n + ϵ(n) = 0. Donc il existe N N tel que n N, v n 1 2.u n > 0. D où le résultat par comparaison. Exercice ) n+ n 1 2). n 1+ n 1 n 3 1, 4.5 Comparaison avec une intégrale. Proposition 4.15 Soit f : R R + continue décroissante, définie sur [p, + [ (p N). Alors N > a, N N N+1 N N f(t)dt f(k) f(t)dt. a+1 k=a+1 a

6 6 DESSINS On en déduit le Théorème 4.16 Soit f : R R + décroissante, définie sur [p, + [ (p N). Alors la série f(n) est de même nature que l intégrale impropre Exemples 4.17 Séries de Riemann. un avec u n = 1 n α. + p f(t)dt. Remarque 4.18 ( Critère de Riemann) A partir du résultat ci-dessus, on peut, de la même façon que pour les intégrales généralisées, construire de critère de Riemann : ((n α.u n 0) (α > 1)) = ( u n converge) ((n α.u n + ) (α 1)) = ( u n diverge). Exercice 4.19 (séries de Bertrand) Quelle est, suivant les valeurs de α et β, la nature de la série 1 n α.(ln n) β? 5 Séries numériques à termes quelconques. 5.1 Absolue convergence. Définition 5.1 Soit u n une séries numérique. Si la série de u n est une série convergente, on dit que u n est absolument convergente. Théorème 5.2 Une série numérique u n absolument convergente est convergente. De plus, u n u n.

7 7 Dans le cas complexe, u n = Re(u n ) + i Im(u n ) et Re(u n ) u n, Im(u n ) u n. Il suffit donc de vérifier le théorème pour une série réelle. un = max{u n, 0} max{ u n, 0}. Or max{u n, 0} et max{ u n, 0} sont des séries à termes positifs qui convergent si on suppose que u n converge. Exemples 5.3 ln(n)+( 1) n.(n+1) n 3 est absolument convergente. Exercice 5.4 a, q C. A quelles conditions a.q n est-elle une série convergente? Définition 5.5 Une série convergente mais non absolument convergente est dite semi-convergente. est convergente (voir ci-dessous) mais pas absolument conver- Exemples 5.6 La série ( 1) n n gente. Remarque 5.7 En changeant l ordre des termes d une série réelle semi-convergente, on peut construire une série qui converge vers une limite l R choisie au départ. [Notons u + k les termes positifs et u k les termes négatifs. Clairement u + k et u k divergent (car la série est semi-convergente). Soit l R +. i) Il existe k 1 + N, tel que S 1 + = k + 1 i=0 u+ i > l et k i=0 u + i l. Et S 1 + l u +. k + 1 ii) Il existe k1 N, tel que S1 = S k 1 i=0 u i < l et k 1 1 i=0 u i l. Et S1 l u. k 1 iii) Il existe k 2 + > k 1 +, tel que S 2 + = S1 + k + 2 u + i=k + i > l et S1 + k u + 1 i=k + i l. Et S 2 + l u +. 1 k + 2 iv) Il existe k 2 > k 1, tel que S 2 = S k 2 i=k 1 etc... Or u n converge vers 0. Donc la suite {S + 1, S 1, S + 2, S 2,...} converge vers l.] 5.2 Séries alternées. u i < l et S k 2 1 u i=k i l. Et S2 l u. 1 k 2 Définition 5.8 Une série u n est dite alternée ssi u n = ( 1) n α n avec α n une suite de signe constant. Théorème 5.9 Toute série réelle, alternée, telle que la suite ( u n ) n décroit vers 0 est convergente.

8 8 Supposons α n 0. Posons S p = p n=0 u n. Il est facile de montrer que les deux suites (S 2p ) p et (S 2p+1 ) p sont adjacentes. Elles convergent donc vers une limite commune l. Ce qui montre que (S p ) p converge vers l. De plus, S 2p+1 l S 2p+2 avec S 2p+2 S 2p+1 = α 2p+2 = u 2p+2. D où la majoration. Remarque 5.10 On a montré que, pour une série telle que donnée dans le théorème précédent, R p := + n=p+1 u n u p+1. Ce résultat sera utile pour approché la somme d une série alternée au paragraphe 6.4. ( 1) n 1 n Exemples 5.11 La série harmonique n 1 converge. De plus, en intégrant l egalité t [0, 1], p 1 n=0 ( t)n = 1 ( t)p, on obtient p 1 ( 1) n 1+t n=0 = ln 2 + n+1 ( 1) p 1 t p dt, donc ( 1) n 1 ln t n 0 tp dt = 1. Donc la somme de la série harmonique p+1 est ln Sommation d Abel. On peut généraliser le résultat sur les séries alternées de la façon suivante : Soit u n une série à termes réels ou complexes telle que u n = ϵ n.a n. Posons σ n = k=n k=0 a k. On a alors (méthode de sommation d Abel) : S n := k=n k=0 u n = ϵ 0.a 0 + ϵ 1.a ϵ n.a n = ϵ 0 σ 0 + ϵ 1.(σ 1 σ 0 ) + ϵ 2.(σ 2 σ 1 ) ϵ n.(σ n σ n 1 ) = σ 0.(ϵ 0 ϵ 1 ) + σ 1.(ϵ 1 ϵ 2 ) σ n 1.(ϵ n 1 ϵ n ) + σ n.ϵ n Supposons, de plus, que (ϵ n ) n est une suite de réels positifs, décroissante et M R +, n N, σ n M Alors S n M.(ϵ 0 ϵ 1 + ϵ 1 ϵ ϵ n 1 ϵ n + ϵ n ) = M.ϵ 0. Remarque 5.12 On montre de la même façon On a donc démontré la k=n 1 n 0 < n 1 N, u n ϵ n0.m. k=n 0 Proposition 5.13 (Règle d Abel.) Soient (ϵ n ) n une suite de réels positifs, décroissante de limite 0 et (a n ) n une suite de complexes telle que k=n M R +, n N, a k M k=0

9 9 Alors la série u n converge et k=n 1 n 0 < n 1 N, u n ϵ n0.m. k=n 0 Grâce à la dernière majoration, la suite des sommes est alors de Cauchy 6 Estimation de la somme d une série. Dans quelques rares cas, on peut déterminer de façon exacte la somme d une série numérique : séries géométrique, séries télescopiques (ex. 1 n 2 1 ),... Dans les autres cas, pour une série convergente u n, on peut approximer S = + n=0 u n par S p = n=p n=0 u n pour p grand. L erreur commise est mesurée par R p = + n=p+1 u n et on a R p + n=p+1 u n. Notre but, pour ϵ > 0 donné, est de trouver p tel que R p < ϵ. Pour cela nous allons majorer cette erreur pour une série dont la convergence a été montrée grâce au critère de D Alembert, de Cauchy, grâce à la comparaison avec une intégrale ou le critère des séries alternées. 6.1 Critère de D Alembert. Pour n assez grand u n+1 u n k < 1. Donc, pour p assez grand (p p 0 ), u p+1 k u p, u p+2 k 2 u p,... donc R p u p (k + k 2 + k 3 k +...) = u p 1 k. Exemples 6.1 Valeur approchée à 10 3 prés de 5 n n!. 6.2 Critère de Cauchy. Pour n assez grand n u n k < 1. Donc, pour p assez grand (p p 0 ), u p+1 k p+1, u p+2 k p+2,... donc R p k p (k + k 2 + k ) = kp+1 1 k. Exemples 6.2 Valeur approchée à 10 3 prés de ( 100 n )n.

10 Comparaison avec une intégrale. Soit une série de terme général u n = f(n) avec f positive décroissante sur [a, + [. On a vu que, pour p a, + p+1 f(x)dx < R p < + p f(x)dx. Si on approxime S par S p, on peut majorer l erreur par + f(x)dx. p Remarque 6.3 Il est plus intéressant d approximer S par S p + + f(x)dx et de majorer p+1 l erreur E p par p+1 f(x)dx qu on peut lui-même majorer par u p p. Exemples 6.4 Valeur approchée à ϵ prés de 1 n α. 6.4 Critère des séries alternées. Soit une série de terme général u n = ( 1) n a n avec (a n ) n suite positive décroissante de limite 0. On a vu (remarque 5.10) que, dans ce cas, R p a p+1. Donc, si on approxime S par S p, on peut majorer l erreur par a p+1. Exemples 6.5 Valeur approchée à 10 3 prés de ( 1) n n 2 ln(n).

valeurs dans un espace normé de dimension finie

valeurs dans un espace normé de dimension finie Séries numériques, ou séries à valeurs dans un espace normé de dimension finie Définitions. Dans ce chapitre K représente indifférement le corps des réels R, ou le corps des complexes C. Le symbole E représente

Plus en détail

Les séries numériques

Les séries numériques Les séries numériques Généralités. Séries à termes réels ou complexes.. Notion de série numérique Étant donnée une suite (u n ) n n0 de nombres réels ou complexes, on appelle série des u n et on note u

Plus en détail

Chapitre 2. Séries Numériques. Université Mohammed I Ecole Nationale des Sciences Appliquées Oujda

Chapitre 2. Séries Numériques. Université Mohammed I Ecole Nationale des Sciences Appliquées Oujda Université Mohammed I Ecole Nationale des Sciences Appliquées Oujda Année 2007-2008 ENSA - Analyse II Enseignant : I.Elmahi Chapitre 2 Séries Numériques Table des matières Généralités. Dénition d'une série...................................2

Plus en détail

u k S n = u n Déterminer la nature d une série signifie qu il faut déterminer si la série est convergente ou divergente. u k =

u k S n = u n Déterminer la nature d une série signifie qu il faut déterminer si la série est convergente ou divergente. u k = Analyse : Chapitre 4 I Généralités sur les séries Définitions Séries numériques Définition Soit u une suite réelle. On appelle série de terme général u n, et on note u n, la suite (S n ) n N définie par

Plus en détail

Cours de mathématiques 2A S2

Cours de mathématiques 2A S2 Cours de mathématiques 2A S2 2010 2011 Cours de mathématiques du 2nd semestre de 2ème année Esstin. Professeur : Valein Julie. Amélie Caissial Quentin Grandemange Si vous trouvez des erreurs dans ce cours,

Plus en détail

Chapitre 02 : Séries numériques

Chapitre 02 : Séries numériques Chapitre 02 : Séries numériques Introduction : La théorie des séries à pour but de donner si possible un sens à la somme d une infinité de nombres. Supposons que l on dispose d un gâteau et d un couteau

Plus en détail

LES SUITES RÉELLES. = L > Montrer que, si L > 1, alors lim u n = +. , ln(n), n. n!nn n) 2 n.

LES SUITES RÉELLES. = L > Montrer que, si L > 1, alors lim u n = +. , ln(n), n. n!nn n) 2 n. LES SUITES RÉELLES Exercice Soit (u n ) et (v n ), deux suites convergeant respectivement vers α et β. On pose : pour tout n N, m n = min(u n, v n ) et M n = max(u n, v n ) : ces deux suites convergent-elles

Plus en détail

Suites. Une suite est une... suite de nombre. Définition 1. Une suite de nombres réels est une fonction a: N R

Suites. Une suite est une... suite de nombre. Définition 1. Une suite de nombres réels est une fonction a: N R Convergence Suites Une suite est une... suite de nombre. Définition. Une suite de nombres réels est une fonction a: N R {a n } n 0 a 0, a, a 2, a 3, Convergence d une suite Définition 2. La suite {a n

Plus en détail

u n lim S n (2) n=0 u n = ± quand lim n S n = ±. u n, ou n N u n si n 0 = 1.

u n lim S n (2) n=0 u n = ± quand lim n S n = ±. u n, ou n N u n si n 0 = 1. Chapitre III Séries III.a. Introduction Définition 31 (série) Soit (u n ) une suite de N dans un K-espace vectoriel normé E. La somme partielle S n = u 0 + u 1 + u 2 + + u n (1) définit une nouvelle suite,

Plus en détail

Une condition nécessaire de convergence Considérons une série de terme général. Supposons cette série convergente. Soit sa somme.

Une condition nécessaire de convergence Considérons une série de terme général. Supposons cette série convergente. Soit sa somme. Séries numériques I) Définitions - Notions essentielles.) Séries numériques Définition Soit une suite numérique. On appelle série de terme général la suite dont les termes successifs sont : ₀ ₀ ₁ ₀ ₁ ₂

Plus en détail

Rappels de cours M1 Enseignement, Analyse M71. Rachid Regbaoui

Rappels de cours M1 Enseignement, Analyse M71. Rachid Regbaoui Rappels de cours M1 Enseignement, Analyse M71 Rachid Regbaoui 2 Chapitre 1 Rappels sur les suites et séries numériques 1.1 Suites numériques 1.1.1 Généralités Dans la suite K désignera le corps des réels

Plus en détail

Cours d analyse - Résumé sur les suites 2015/2016

Cours d analyse - Résumé sur les suites 2015/2016 Cours d analyse - Résumé sur les suites 2015/2016 CPUS I. Les suites numériques I.1. Premières définitions. Définition. Une suite réelle est une fonction dont l ensemble de départ est une partie de N du

Plus en détail

MT90/91-Fonctions d une variable réelle

MT90/91-Fonctions d une variable réelle MT90/91-Fonctions d une variable réelle Chapitre 3 : Suites numériques Équipe de Mathématiques Appliquées UTC Juillet 2014 suivant Chapitre 3 Suites numériques 3.1 Définition, convergence, propriétés......................

Plus en détail

Chapitre 03 : Suites et Séries de fonctions

Chapitre 03 : Suites et Séries de fonctions Chapitre 03 : Suites et Séries de fonctions I. Suites de fonctions : Soient l un des corps ou et une partie non vide de. Une suite de fonctions de dans K est une application de dans l ensemble des fonctions

Plus en détail

Convergence de suites. Suites récurrentes

Convergence de suites. Suites récurrentes Convergence de suites Les suites dont on donne ci-dessous le terme général sont-elles convergentes? cos n + 3n a) ln n + 2n g) sin n n b) 4n 2 + 5n + 6 2n c) en n h) 2 n ( 1) n n 2 d) sin n e n e) n 1

Plus en détail

Résumé du cours sur les suites.

Résumé du cours sur les suites. Résumé du cours sur les suites. 1 Suites numériques réelles et principe de récurrence 1.1 Les deux façons de définir une suite numérique réelle Définition. On note n 0 un entier naturel (en général n 0

Plus en détail

Limites de suites. Révisions

Limites de suites. Révisions Limites de suites Révisions Soit ( ) une suite définie pour tout n N par = n 2 + n Exprimer en fonction de n : a b + c + 2 La suite ( ) est-elle arithmétique? 3 Quel est le sens de variation de ( )? 2

Plus en détail

lim n + Kholle B2 Programme 1 25 septembre 2012 Sujet 1

lim n + Kholle B2 Programme 1 25 septembre 2012 Sujet 1 Kholle B Programme 5 septembre 0 Sujet Exercice de cours : Montrer que si (u n ) et (v n ) sont deux suites réelles à termes strictement positifs, équivalentes et ayant une ite différente de, alors ln(u

Plus en détail

TD 3: Suites réelles

TD 3: Suites réelles Université Pierre et Marie Curie Année 2011/2012 LM115 TD 3: Suites réelles MIME Convergence des suites : Par définition, une suite (u n ) converge vers un réel l si : Pour tout ɛ réel strictement positif,

Plus en détail

Suites de nombres réels

Suites de nombres réels Suites de nombres réels I Généralités 1.1 propriété vraie à partir d un certain rang Définition 1.1 On dit qu une propriété P (n) est vraie à partir d un certain rang N N si et seulement s il existe un

Plus en détail

Séries de fonctions ( ) ( )

Séries de fonctions ( ) ( ) Séries de fonctions Exercice 1. On considère la série de fonctions 1. Etudier la convergence simple de cette série sur [ [. 2. Etudier la convergence uniforme de cette série sur [ ] où ] [. 3. Etudier

Plus en détail

Hervé Hocquard. Université de Bordeaux, France. 18 septembre 2013

Hervé Hocquard. Université de Bordeaux, France. 18 septembre 2013 Intégrales généralisées Hervé Hocquard Université de Bordeaux, France 8 septembre 203 Introduction Notation On pose R=R {,+ }. Introduction Notation On pose R=R {,+ }. Motivation Considérons la fonction

Plus en détail

Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie I: Suites, séries et nombres complexes

Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie I: Suites, séries et nombres complexes Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie I: Guy Desaulniers Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2016 Table des matières 1 Les suites infinies Les séries

Plus en détail

Séries. 1. Définitions Série géométrique Définitions

Séries. 1. Définitions Série géométrique Définitions Séries Dans ce chapitre nous allons nous intéresser à des sommes ayant une infinité de termes. Par exemple que peut bien valoir la somme infinie suivante : + 2 + 4 + 8 + 6 + =? 2 2 4 Cette question a été

Plus en détail

Cours 5: Une introduction aux suites numériques

Cours 5: Une introduction aux suites numériques Cours 5: Une introduction aux suites numériques Laboratoire de Mathématiques de Toulouse Université Paul Sabatier-IUT GEA Ponsan Module complémentaire de maths, année 2012-2013 1 Généralités sur les suites

Plus en détail

1 Introduction sur les suites numériques

1 Introduction sur les suites numériques ISEL - Année Mathématiques SUITES NUMERIQUES Introduction sur les suites numériques. Dénition Dénition On appelle suite réelle toute application U d'une partie A de IN dans IR. A IR U : avec A IN. L'image

Plus en détail

Suites réelles. I Rappels de vocabulaire. II Suites remarquables. Définition 5

Suites réelles. I Rappels de vocabulaire. II Suites remarquables. Définition 5 I Rappels de vocabulaire Suites réelles Définition 1 Une suite réelle u est une application de I R où I est une partie de N. Au lieu de noter u(n), pour les suites on note u n l image de n par l application

Plus en détail

Convergence des suites monotones et applications.

Convergence des suites monotones et applications. Université Paris Est Marne-la-Vallée L Sciences Physiques 20-202 Compléments en Analyse Convergence des suites monotones et applications.. Quelques définitions Ce chapitre est consacré à la convergence

Plus en détail

Etude de suites définies par différents types de récurrence

Etude de suites définies par différents types de récurrence Etude de suites définies par différents types de récurrence F.Gaudon 22 juillet 2005 Table des matières 1 Suites arithmétiques 2 2 Suites géométriques 2 3 Suites arithmético-géométriques 3 4 Suites récurrentes

Plus en détail

Module Complémentaire Poursuites études

Module Complémentaire Poursuites études 1/39 Diagonalisation Suites numériques Series Intégrales curvilignes Intégrales de surface Module Complémentaire Poursuites études Michel Fournié michel.fournie@iut-tlse3.fr http://www.math.univ-toulouse.fr/

Plus en détail

(exercice : calculer u 2 puis u 5 )

(exercice : calculer u 2 puis u 5 ) Suites Prérequis : Division euclidienne Soient a et b deux entiers avec b 0. Il existe un unique couple (q, r) Z N tel que a = q b + r et 0 r < b. q s appelle le quotient de la division enclidienne de

Plus en détail

CH V : Généralités sur les suites réelles

CH V : Généralités sur les suites réelles CH V : Généralités sur les suites réelles I. Notion de suite I.1. Définition générale Définition Une suite de nombre réels u est une application de N dans R i.e. une fonction de N dans R telle que tout

Plus en détail

SUITES RÉELLES CHAPITRE 3. 1 Compléments sur les réels. 1.1 Rappels. Définition 3.1. Soient x et y deux réels. On note. x si x 0. x sinon.

SUITES RÉELLES CHAPITRE 3. 1 Compléments sur les réels. 1.1 Rappels. Définition 3.1. Soient x et y deux réels. On note. x si x 0. x sinon. CHAPITRE 3 SUITES RÉELLES 1 Compléments sur les réels 1.1 Rappels 1.1.a Définition 3.1 Valeur absolue Soient x et y deux réels. On note x max(x, y) = y si x y sinon x et min(x, y) = y si x y sinon On étend

Plus en détail

Chapitre 04 : Séries Entières

Chapitre 04 : Séries Entières Chapitre 04 : Séries Entières On étudie dans ce chapitre une famille particulière des séries de fonctions : celles de la forme ou dites séries entières. On s intéresse dans un premier temps aux propriétés

Plus en détail

1M002 - Première partie : Suites Chapitre 2 : Suites réelles et complexes

1M002 - Première partie : Suites Chapitre 2 : Suites réelles et complexes 1M002 - Première partie : Suites Chapitre 2 : Suites réelles et complexes Antonin Guilloux 27 janvier 2017 Antonin Guilloux Suites réelles et complexes 27 janvier 2017 1 / 13 L espace des suites Définitions

Plus en détail

Cours d Analyse I : les réels et les fonctions

Cours d Analyse I : les réels et les fonctions Introduction à R Suites numériques Cours d Analyse I : les réels et les fonctions Université Lyon 1 Institut Camille Jordan CNRS UMR 5208 FRANCE Automne 2014 - Licence L1 Introduction à R Suites numériques

Plus en détail

Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Maths. Chapitre 3. Suites numériques

Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Maths. Chapitre 3. Suites numériques Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Maths Chapitre 3 Suites numériques p. 2 Remarque importante. Ce cours n est pas indépendant du cours de Mathématiques pour tous. Ce document

Plus en détail

Suites Réelles. Aptitudes à développer :

Suites Réelles. Aptitudes à développer : Suites Réelles Aptitudes à développer : Suites * Reconnaître qu un réel est un majorant ou un minorant d une suite du programme. * Etudier les variations d une suite du programme. * Représenter graphiquement

Plus en détail

Université Blaise Pascal U.F.R. Sciences et Technologies Département de Mathématiques et Informatique. Licence Sciences - Langues MATHÉMATIQUES

Université Blaise Pascal U.F.R. Sciences et Technologies Département de Mathématiques et Informatique. Licence Sciences - Langues MATHÉMATIQUES Université Blaise Pascal U.F.R. Sciences et Technologies Département de Mathématiques et Informatique Licence Sciences - Langues Deuxième année MATHÉMATIQUES Notes de cours 204-205 François Dumas Université

Plus en détail

MPSI 2 : DL 03. pour le 12 décembre 2003

MPSI 2 : DL 03. pour le 12 décembre 2003 MPSI : DL 03 pour le décembre 003 Problème L objet du problème est de calculer eplicitement la limite de la suite des moyennes arithmétiques-géométriques pour certaines valeurs initiales. On considère

Plus en détail

T. D. n o 3 Suites numériques. Limite d une suite numérique.

T. D. n o 3 Suites numériques. Limite d une suite numérique. T. D. n o 3 Suites numériques. Limite d une suite numérique. Exercice : D après le concours d inspecteur du trésor, épreuve 2, 2004.. Étudier la fonction de la variable réelle x définie par : f(x) = ln

Plus en détail

Chapitre 4. Suites réelles

Chapitre 4. Suites réelles Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 4 Suites réelles Emmanuel Royer emmanuel.royer@math.univ-bpclermont.fr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé

Plus en détail

Exercice 5 Démontrer que pour tout entier naturel n, le nombre 3n² + 3n + 6 est un multiple de 6.

Exercice 5 Démontrer que pour tout entier naturel n, le nombre 3n² + 3n + 6 est un multiple de 6. Exercice 1 : Dire en justifiant si les suites (u n ) définies ci-dessous sont arithmétiques, géométriques ou ni l'un ni l'autre. Dans le cas où elles sont arithmétiques ou géométriques, préciser le premier

Plus en détail

e3a 2003 PC Mathématiques A Partie I

e3a 2003 PC Mathématiques A Partie I ea 2 PC Mathématiques A Corrigé Partie I. 2. L application f est de classe C sur [π ;π], 2π-périodique, et f(π) = f(π), donc f est continue sur R et de classe C par morceaux sur R.. Puisque f est paire,

Plus en détail

Suites de nombres réels, première année de premier cycle universitaire

Suites de nombres réels, première année de premier cycle universitaire Suites de nombres réels, première année de premier cycle universitaire F.Gaudon 10 août 2005 Table des matières 1 Définitions 2 2 Opérations sur les suites convergentes ou divergentes 3 3 Suites extraites

Plus en détail

SUITES - RECURRENCE - SOMMES

SUITES - RECURRENCE - SOMMES SUITES - RECURRENCE - SOMMES Chapitre 1 I Généralités sur les suites Définition I.1 Une suite réelle est une fonction d une partie A de N dans R. u : A R n u(n) := u n l intervalle de définition peut donc

Plus en détail

Exercices type bac sur les suites.

Exercices type bac sur les suites. Exercices type bac sur les suites Corrigés NB : On ne donne dans ce document que des indices, la preuve complète reste à faire Exercice D après sujet du baccalauréat Centres étrangers, juin 003 On définit,

Plus en détail

1 q. = 1 q n. (un + v n ) (l + l ) = (un l) + (v n l ) n n 0, u n + v n A.

1 q. = 1 q n. (un + v n ) (l + l ) = (un l) + (v n l ) n n 0, u n + v n A. 16 Proposition : La somme des n premiers termes d une suite géométrique de raison q 1 est : n 1 u 0 q k 1 q n = u 0 1 q k=0 Il suffit de calculer (1 q) n 1 k=0 qk = n 1 k=0 qk n 1 k=0 qk+1 = n 1 k=0 qk

Plus en détail

Suites réelles et complexes. () Suites 1 / 36

Suites réelles et complexes. () Suites 1 / 36 Suites réelles et complexes () Suites 1 / 36 1 Limites et relation d ordre 2 Comparaison des suites 3 Suites de nombres complexes () Suites 2 / 36 Plan 1 Limites et relation d ordre 2 Comparaison des suites

Plus en détail

Convergence : vitesse et accélération

Convergence : vitesse et accélération 1 Convergence : vitesse et accélération 1. Rapidité de convergence. a) Introduction. Daniel PERRIN Soit (u n ) n N une suite de nombres réels qui converge vers a. On cherche à préciser la rapidité de convergence

Plus en détail

SERIES NUMERIQUES. Chapitre 6

SERIES NUMERIQUES. Chapitre 6 MA 20 SERIES NUMERIQUES I GENERALITES ) Définitions 2) Condition nécessaire de convergence d une série 3) Une évidence fondamentale 4) Somme de série convergente 5) Equivalence Suite/série 6) Reste d ordre

Plus en détail

CHAPITRE 2 SUITES NUMÉRIQUES

CHAPITRE 2 SUITES NUMÉRIQUES CHAPITRE 2 SUITES NUMÉRIQUES Définition 2.0. Une suite réelle est une application u : N R qui à tout n de N associe un élément u n de R, appelé terme général de la suite. On notera donc la suite (u n ),

Plus en détail

Espaces de Banach. 1 Normes sur un espace vectoriel. 2 Topologie des espaces vectoriels normés. 2.1 Rappels

Espaces de Banach. 1 Normes sur un espace vectoriel. 2 Topologie des espaces vectoriels normés. 2.1 Rappels 1 Normes sur un espace vectoriel Espaces de Banach Définition 1.1. (Norme) Soit V un R-espace vectoriel (abrégé R-ev dans la suite). Une norme est une application définie sur V à valeurs dans R +, notée

Plus en détail

Convergence uniforme et normale des séries de fonctions, cours de premier cycle universitaire

Convergence uniforme et normale des séries de fonctions, cours de premier cycle universitaire Convergence uniforme et normale des séries de fonctions, cours de premier cycle universitaire F.Gaudon 9 août 2005 Table des matières 1 Définitions 2 2 Propriétés de la somme 4 1 1 Définitions On se donne

Plus en détail

Université MONTPELLIER 3 UFR 4. Notes de Cours. Mathématiques M1 MRHDS Laurent Piccinini. version du 5 octobre 2011.

Université MONTPELLIER 3 UFR 4. Notes de Cours. Mathématiques M1 MRHDS Laurent Piccinini. version du 5 octobre 2011. Université MONTPELLIER 3 UFR 4 Notes de Cours Mathématiques M1 MRHDS 2011-2012 Laurent Piccinini version du 5 octobre 2011. M1 MRHDS 1 Table des matières I Les suites numériques 2 I.1 Généralités..............................................

Plus en détail

Soit (a k ) k N une suite d éléments de R. Toute. a k = a 0 + a 1 + a (3.1)

Soit (a k ) k N une suite d éléments de R. Toute. a k = a 0 + a 1 + a (3.1) Chapitre 3 Séries numériques Nous appliquons les résultats du Chapitre 2 au calcul des séries numériques. Nous démontrons que le nombre d Euler peut être représenté par une série et définissons la série

Plus en détail

Chapitre 3. Suites récurrentes

Chapitre 3. Suites récurrentes Chapitre 3 Suites récurrentes 3.1 Suites numériques Définition 3.1 On appelle suite de terme général u n et on note (u n ) n 0 ou plus simplement u la liste ordonnée des nombres u 0, u 1, u 2, u 3,....

Plus en détail

Chapitre 12 : Étude locale des fonctions : limites

Chapitre 12 : Étude locale des fonctions : limites Chapitre 12 : Étude locale des fonctions : limites Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R, x 0 R, f est une fonction définie sur son domaine de définition D f à valeurs réelles. C f désigne

Plus en détail

Chapitre III : COMPLÉMENTS SUR LES SUITES ET LES SÉRIES

Chapitre III : COMPLÉMENTS SUR LES SUITES ET LES SÉRIES Chapitre III : COMPLÉMENTS SUR LES SUITES ET LES SÉRIES I Compléments sur les suites ) Comparaison de suites réelles a) Suite négligeable devant une suite Définition : On dit que la suite ( ) est négligeable

Plus en détail

u n = u n 1 + u n 2, (1)

u n = u n 1 + u n 2, (1) Chapitre II Suites II.a. Introduction Définition 21 (suite) Une suite est une fonction (cf. déf. 35) u de N dans un ensemble E. Notation Pour mettre en évidence le fait que l ensemble de départ est N,

Plus en détail

Fiche de cours 2 - Suites de réels.

Fiche de cours 2 - Suites de réels. Licence de Sciences et Technologies EM1 - Analyse Fiche de cours - Suites de réels. Généralités sur les suites. Définition : Une suite est une fonction u : N R, définie à partir dun certain rang au moins.

Plus en détail

Suites numériques. Exemples élémentaires de suites

Suites numériques. Exemples élémentaires de suites MTA - ch5 Page 1/12 Suites numériques Notion de suite : Une suite numérique est une application de N (ou parfois de N ) à valeurs dans R ou dans C. La suite u : N C est notée de plusieurs façons : n u(n)

Plus en détail

Aide mémoire : Suites et limites

Aide mémoire : Suites et limites Aide mémoire : Suites et limites www.phymaths.ch - Résumé RM-1011G 19 septembre 010 Table des matières 1 Avant-propos 3 1.1 L étude des suites............................. 3 1. Qu est-ce qu une suite..........................

Plus en détail

ANALYSE : SUITES ET SERIES. D. Schaub Département de Mathématiques Université d Angers 2, bd Lavoisier Angers Cédex, France.

ANALYSE : SUITES ET SERIES. D. Schaub Département de Mathématiques Université d Angers 2, bd Lavoisier Angers Cédex, France. ANALYSE : SUITES ET SERIES D. Schaub Département de Mathématiques Université d Angers 2, bd Lavoisier 49045 Angers Cédex, France. 2 Chapitre Suites. Introduction Etant donné un ensemble E, on peut considérer

Plus en détail

SUITE. Il existe deux grands moyens de dénir une suite : 2. Représentation graphique,variation, suite majorée, minorée

SUITE. Il existe deux grands moyens de dénir une suite : 2. Représentation graphique,variation, suite majorée, minorée SUITE I ) Rappels et dénition 1. N est l'ensemble des entiers naturels : 0,1,2... Une suite numérique est une fonction de N (ou une partie de N) dans R u : N R n u n Exemple : suite de Fibonnacci : 1,

Plus en détail

Exercices 6. Suites numériques. Étude théorique et pratique des suites à valeurs dans R ou C.

Exercices 6. Suites numériques. Étude théorique et pratique des suites à valeurs dans R ou C. Exercices 6 Suites numériques Étude théorique et pratique des suites à valeurs dans R ou C. 6 Suites numériques...................................................................... 1 1 Aspects théoriques.................................................................

Plus en détail

Chapitre 8. Suites numériques. 8.1 Généralités sur les suites numériques. 8.2 Comparaison de suites Définition et notation

Chapitre 8. Suites numériques. 8.1 Généralités sur les suites numériques. 8.2 Comparaison de suites Définition et notation Chapitre 8 Suites numériques La notion de suite numérique a été déjà introduite en classe de Première. On rappelle ici la définition d une suite numérique et complète les connaissances déjà acquises. On

Plus en détail

Préparation au CAPES (IUFM/ULP) Strasbourg, octobre 2007

Préparation au CAPES (IUFM/ULP) Strasbourg, octobre 2007 Préparation au CAPES (IUFM/ULP) Strasbourg, octobre 2007 Corrigé en janvier 2009 Rapidité de convergence d une suite réelle L objectif de ce texte est de se donner des outils pour «mesurer» la rapidité

Plus en détail

Limite d une suite - Terminale S Exercices corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com. v n. lim. lim

Limite d une suite - Terminale S Exercices corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com. v n. lim. lim Limite d une suite - Terminale S Exercices corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompriscom Reconnaitre les formes indéterminées Dans chaque cas, on donne la ite de u n et v n Déterminer si possible,

Plus en détail

). 1. Montrer que pour tout n 1 on a u n > Démontrer que pour tout n 1 on a u n+1 2 = 1 (u n 2) 2

). 1. Montrer que pour tout n 1 on a u n > Démontrer que pour tout n 1 on a u n+1 2 = 1 (u n 2) 2 TS Suites récurrentes Exercices Exercice. Soit u la suite définie par u 0 = 3 et pour tout entier n, + = 4un +.. Démontrer que pour tout entier n, >.. On définit la suite v pour n N par v n = un. Montrer

Plus en détail

INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES

INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES Mathématiques 3 (L) Quelques eercices supplémentaires INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES. Calcul d intégrales généralisées par primitivation........ Nature d intégrales généralisées................ 3 3. Eercices

Plus en détail

Chapitre I : Raisonnement par récurrence et comportement des suites. Extrait du programme :

Chapitre I : Raisonnement par récurrence et comportement des suites. Extrait du programme : Chapitre I : Raisonnement par récurrence et comportement des suites Extrait du programme : 1 I Rappels sur les suites Il existe deux façons de définir une suite : 1 Formule explicite Il existe une fonction

Plus en détail

Familles sommables. . De plus, ϕ(n) 0 n est pair et donc. 2 n si n est pair = n. +1 si n est impair. 2 si n < 0. Z est dénombrable.

Familles sommables. . De plus, ϕ(n) 0 n est pair et donc. 2 n si n est pair = n. +1 si n est impair. 2 si n < 0. Z est dénombrable. Familles sommables I - Ensembles dénombrables Définition Définition. Soit E un ensemble. E est dénombrable si et seulement si il existe une bijection de N sur E. Commentaire. Les éléments d un ensemble

Plus en détail

Les Suites ( En première S )

Les Suites ( En première S ) 2010 2011 Les Suites ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 31 Mars 2011 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble (Année 2010-2011) 1 2010 2011 J aimais et j aime encore les mathématiques

Plus en détail

Orsay IFIPS S2 Mathématiques (M160). Table des matières. 1. Suites numériques.

Orsay IFIPS S2 Mathématiques (M160). Table des matières. 1. Suites numériques. Orsay 2008-2009 IFIPS S2 Mathématiques (M60). COURS DE MATHÉMATIQUES : SUITES NUMÉRIQUES. Table des matières. Suites numériques... Définition..2. Opérations sur les suites. 3.3. Suites majorées, minorées,

Plus en détail

Cours de terminale S Suites numériques

Cours de terminale S Suites numériques 0 - - de terminale S Suites s LPO de Chirongui 20 mai 2016 1 - Introduction- Introduction Principe de récurrence Exemple En Mathématiques, un certain nombre de propriétés dépendent d un entier naturel

Plus en détail

Bibliothèque d exercices L1 Feuille n 10. Suites

Bibliothèque d exercices L1 Feuille n 10. Suites Bibliothèque d exercices Énoncés L Feuille n 0 Suites Convergence Exercice Soit (u n ) n N une suite de R. Que pensez-vous des propositions suivantes : Si (u n ) n converge vers un réel l alors (u n )

Plus en détail

Etude de limites de suites définies par

Etude de limites de suites définies par Etude de limites de suites définies par récurrence u n+1 = f(u n ) I) Généralités 1) Définition Une suite définie par récurrence est une suite définie par son premier terme et par une relation de récurrence,

Plus en détail

UFR Mathématiques Année CAPES. Suites numériques

UFR Mathématiques Année CAPES. Suites numériques Université de Rennes 1 Ronan Quarez UFR Mathématiques Année 2008-2009 CAPES 1 Critère de Cauchy 1.1 QCM Suites numériques a) Toute suite de Cauchy, d entiers relatifs, converge dans Z? b) Toute suite de

Plus en détail

SUITES DE NOMBRE REELS

SUITES DE NOMBRE REELS SUITES DE NOMBRE REELS Version 1 Dr Euloge KOUAME UVCI 2017 Aout 2017 Table des matières Objectifs 5 I - I. Généralités 7 A. I-1. Définition d'une suite...7 B. II-2. Suite majorée, minorée, bornée...7

Plus en détail

Suites. Chapitre 2. 1 Généralités sur les suites. Sommaire. 1.1 Définition d une suite. 1.2 Suites arithmétiques et suites géométriques

Suites. Chapitre 2. 1 Généralités sur les suites. Sommaire. 1.1 Définition d une suite. 1.2 Suites arithmétiques et suites géométriques Chapitre 2 Suites Sommaire 1 Généralités sur les suites....................................... 1.1 Définition d une suite...................................... 1.2 Suites arithmétiques et suites géométriques..........................

Plus en détail

Commun à tous les candidats. Le graphique de l annexe sera complété et remis avec la copie. Soit la fonction f définie sur l intervalle [0; 2] par

Commun à tous les candidats. Le graphique de l annexe sera complété et remis avec la copie. Soit la fonction f définie sur l intervalle [0; 2] par EXERCICE (6 points ) Commun à tous les candidats Le graphique de l annexe sera complété et remis avec la copie Soit la fonction f définie sur l intervalle [0; ] par f(x) x + x + ) Etudier les variations

Plus en détail

LEÇON N 54 : Suites divergentes. Cas des suites admettant une limite infinie : comparaison, opérations algébriques, composition par une application.

LEÇON N 54 : Suites divergentes. Cas des suites admettant une limite infinie : comparaison, opérations algébriques, composition par une application. LEÇON N 54 : Suites divergentes. Cas des suites admettant une limite infinie : comparaison, opérations algébriques, composition par une application. Pré-requis : Suites : définition, bornées, convergentes,

Plus en détail

TERMINALE S Chapitre 1 : Les suites

TERMINALE S Chapitre 1 : Les suites Généralités 1. Mode de génération ( ) ( ) La La ( ) définie par ( ) définie par 2. Monotonie REMARQUE5 Si une suite ( ) est définie de maniére explicite telle que ( ) suivent celles de f =f(n) pour tout

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 juillet 14 Enoncés 1 Ouverts et fermés Exercice 1 [ 113 ] [correction] Montrer que tout fermé peut s écrire comme intersection d une suite décroissante d ouverts.

Plus en détail

CHAPITRE 1 : Raisonnement par récurrence, suites et fonctions

CHAPITRE 1 : Raisonnement par récurrence, suites et fonctions CHAPITRE 1 : Raisonnement par récurrence, suites et fonctions 1 Les suites numériques (rappel de première)... 4 1.1 Généralités... 4 1.2 Plusieurs méthodes pour générer une suite... 4 2 Exemples d algorithmes

Plus en détail

1 Le développement décimal d un nombre réel

1 Le développement décimal d un nombre réel Université Paris 7 Denis Diderot Année 200/2008 Licence 2 MA 3 Compléments sur les séries 1 Le développement décimal d un nombre réel 1.1 La fonction «partie entière» ous partons de la propriété suivante

Plus en détail

Cours d Analyse Mathématiques II. Université Hassan II Mohammedia, Faculté des Sciences Juridiques Economiques et Sociales

Cours d Analyse Mathématiques II. Université Hassan II Mohammedia, Faculté des Sciences Juridiques Economiques et Sociales Cours d Analyse Mathématiques II A. Ezziani M. Laaraj Université Hassan II Mohammedia, Faculté des Sciences Juridiques Economiques et Sociales Aïn Sebâa aezziani@gmail.com mohamed.laaraj@gmail.com Sciences

Plus en détail

N K, n 0 < n 1 < n 2 <

N K, n 0 < n 1 < n 2 < Chapitre 1 Suites réelles et complexes Dans ce chapitre, K désigne le corps R des nombres réels, ou le corps C des nombres complexes. Pour x K, nous noterons x le module de x (égal à la valeur absolue

Plus en détail

Limites de suites, cours, terminale S

Limites de suites, cours, terminale S F.Gaudon 6 octobre 206 Table des matières Convergence de suites 2 2 Convergence de suites de référence 3 3 Divergence de suites 3 4 Opérations sur les limites de suites 4 5 Inégalités et limites de suites

Plus en détail

SUITES : LIMITES. IV.1 Croissance/convergence et majoration... 7 IV.2 Théorème de la convergence monotone... 8 IV.3 Suites monotones non bornées...

SUITES : LIMITES. IV.1 Croissance/convergence et majoration... 7 IV.2 Théorème de la convergence monotone... 8 IV.3 Suites monotones non bornées... SUITES : LIMITES I. Limite d'une suite... 2 I.1 Limite finie (convergence) et divergence... 2 I.2 Limite infinie... 4 I.3 Alors c'est quoi la divergence?... 4 II. Opérations sur les limites... 5 II.1 Limite

Plus en détail

Chapitre 3: Les séries de Fourier

Chapitre 3: Les séries de Fourier Chapitre 3: Les séries de Fourier 6 février 008 1 La base hilbertienne trigonométrique 1.1 L espace de Hilbert L ([, π]) Soit L ([, π]) l espace des fonctions f : [, π] C mesurables au sens de Lebesgue

Plus en détail

Généralités sur les suites : Ce module revient sur le programme de première : les différents types de suites,

Généralités sur les suites : Ce module revient sur le programme de première : les différents types de suites, Généralités sur les suites Cours maths Terminale S Généralités sur les suites : Ce module revient sur le programme de première : les différents types de suites, la monotonie, la convergence des suites,

Plus en détail

UNIVERSITÉ DE CERGY Année U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques

UNIVERSITÉ DE CERGY Année U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques 1 UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2012-2013 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques Chapitre V : Suites numériques 1 Un peu de topologie de R On a vu dans le chapitre

Plus en détail

Principe d une démonstration par récurrence :

Principe d une démonstration par récurrence : Chapitre Suites 1 Démonstration par récurrence Exemples introductif : Imaginons que des ouvriers construisant un immeuble aient toutes les instructions nécessaires pour construire un étage d immeuble sur

Plus en détail

3.1. Le corps des nombres réels Borne supérieure, borne inférieure Généralités sur les suites

3.1. Le corps des nombres réels Borne supérieure, borne inférieure Généralités sur les suites 3. Nombres réels, suites numériques 3.1. Le corps des nombres réels 3.1.1. Le groupe (IR, +) 3.1.2. L anneau (IR, +, ) 3.1.3. Le corps (IR, +, ) 3.1.4. Nombres rationnels ou irrationnels 3.1.5. Relation

Plus en détail

S1 : Suites et séries numériques

S1 : Suites et séries numériques The infinite geometric series. S1 : Suites et séries numériques The infinite geometric series. The infinite geometric series. Another proof of the identity. Deux preuves «sans paroles» de l identité k=1

Plus en détail

1. Espace Vectoriel Normé R p

1. Espace Vectoriel Normé R p Fonctions de plusieurs variables : limites et continuité 6-1 Sommaire 1. Espace Vectoriel Normé R p 1 1.1. Norme et distance associée........ 1 1.2. Part. bornées, boules, ouverts et fermés 2 2. Suite

Plus en détail

Chapitre 4. Applications

Chapitre 4. Applications Chapitre 4 Applications 1. Définitions et exemples Définition 4.1 Soient E et F deux ensembles. Une application f de E dans F est un procédé qui permet d associer à chaque élément x de E un unique élément

Plus en détail

Les séries entières. () Les séries entières 1 / 42

Les séries entières. () Les séries entières 1 / 42 Les séries entières () Les séries entières 1 / 42 1 Séries entières d une variable complexe 2 Série entière d une variable réelle 3 Développements en séries entières 4 Exponentielle complexe et fonctions

Plus en détail