1 Séries numériques. 1.1 Généralités. Dans toute cette section, si cela n est pas précisé, E désignera l espace R m, m 1, et la norme euclidienne.

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "1 Séries numériques. 1.1 Généralités. Dans toute cette section, si cela n est pas précisé, E désignera l espace R m, m 1, et la norme euclidienne."

Transcription

1 1 Séries umériques Das toute cette sectio, si cela est pas précisé, E désigera l espace R m, m 1, et la orme euclidiee. 1.1 Gééralités Défiitio 1.1. Soit (x ) N ue suite de E et pour chaque N, o défiit ue suite S par : S := x k. L applicatio S i.e. la ouvelle suite (S ) N est appelée série de terme gééral x. O la ote x (parfois elle est égalemet otée 0 x ). Défiitio 1.2. O appelle somme partielle d idice de la série x le ombre S. Remarque 1.1. (i) L expressio x est formelle au ses où aucue valeur est doée à cette expressio. (ii) Par ailleurs, la otatio x e précise pas le rag à partir duquel la série est cosidérée. Par exemple, la série 1 est cosidérée à partir de = 1 et o pas = 0 ; de même o peut écrire l 3 ( 4). Il peut doc être commode de reveir à la ouvelle suite (S ) afi de préciser ce rag. (iii) Si la suite (x ) est défiie à partir d u certai rag 0 N i.e. pour 0, o ote e gééral 0 x ou x ( 0 ) la série associée à la suite (x ). Défiitio 1.3. O dit que la série x coverge si la suite des sommes partielles coverge. Sa limite est alors appelée la somme de la série et est otée + =0 Ue série o covergete est dite divergete. x = lim S. + Il faut doc distiguer l objet série x du réel + =0 x lorsque la série x coverge. Propriété 1.1. Si les séries x et y coverget, alors pour tout λ, µ R, la série (λx + µy ) coverge. Aisi, l esemble des suites (x ) N de E telles quel la série x coverge est u sous-espace vectoriel de E N, l espace vectoriel costitué des suites à valeurs das E. Exemple (série géométrique) : soit a C. O a : a coverge a < 1. E effet pour a 1 o a p=0 ap = 1 a+1 1 a. Notos que si x coverge et y diverge, alors (x + y ) diverge. Mais si x diverge et y diverge, la série (x + y ) peut coverger (x = 1/2 + 2, y = 2 ). Par ailleurs, deux séries qui diffèret par u ombre fii de termes sot de même ature. Remarque 1.2. Etat doée ue suite (a ) défiie à partir d u rag 0, o défiit ue suite (x ) par x = a a 1, et x 0 = a 0. Posos S := k= 0 x k la somme partielle de rag de la suite (x ). Alors o a S = a, et doc la série x coverge si et seulemet si la suite (a ) coverge. La série (a a 1 ) est appelée série télescopique. 1

2 Exemple. Pour 1, posos x := 1 (+1) = Aisi k=1 x k = lorsque +. Etudier de même la série l(1 + 1 ). Défiitio 1.4. Soit x ue série covergete de somme S. Alors R p := lim x k k=p+1 existe das E et est appelé le reste d ordre p de la série x. O a doc pour tout p N, S p + R p = =0 x = S et lim p R p = 0 i.e. le reste d ue série covergete ted vers 0. Théorème 1.1. Si la série x coverge, alors la suite (x ) ted vers 0, i.e. : x coverge = (x 0). Démostratio. O a x = S S 1 et les deux suite (S ) et (S 1 ) ot même limite S := + =0 x. La réciproque est fausse (voir la série harmoique ci-dessous). O dit qu ue série est grossièremet divergete si so terme gééral e ted pas vers 0. Le théorème suivat est le critère de Cauchy pour les séries. Théorème 1.2. Ue série x coverge si et seulemet si elle vérifie : ε > 0, N N, q p N, q x x < ε. Démostratio. Il s agit du critère de Cauchy pour la suite des sommes partielles (S ). =p Notos que la série harmoique 1 1 diverge puisque S 2 S = = 1 2, aisi elle e satisfait pas le critère de Cauchy. Notos égalemet que so terme gééral ted vers Séries à termes positifs Théorème 1.3. Soit x ue série à termes réels positifs. Alors la suite des sommes partielles est ue suite croissate. La série coverge si et seulemet si la suite de ses sommes partielles est majorée, i.e. : M 0, N, S M. Démostratio. O a S S 1 = x 0, aisi la suite (S ) est croissate, doc elle coverge si et seulemet si elle est majorée. Si ue série à termes positifs diverge, o a écessairemet lim S = +. Corollaire 1.1. Soit x et y deux séries à termes réels telles que 0 x y. Alors : (i) Si la série y coverge, alors la série x coverge égalemet. (ii) Si la série x diverge, alors la série y diverge. 2

3 Notos que das l éocé précédet, o peut remplacer la coditio 0 x y par x 0, y 0 et x = O(y ). Notatio. Das la suite, il arrivera fréquemmet qu o utilise la otatio suivate. Etat doées deux séries x et y à termes positifs, o ote R, resp. R le reste associé à x, resp. à y et S, resp. S la suite des sommes partielles associée à x, resp. à y. Théorème 1.4. Soit x et y deux séries à termes réels positifs. O suppose que x = O(y ), resp. x = o(y ). (i) Si la série y coverge alors la série x coverge et R = O(R ), resp. R = o(r ). (ii) Si la série x diverge alors la série y diverge et S = O(S ), resp. S = o(s ). Démostratio. Les covergeces et divergeces résultet des résultats précédets et du fait que x = o(y ) = x = O(y ). Motros (i) lorsque x = o(y ). Soit ε > 0. Il existe N N tel que pour tout N o ait 0 x εy. Alors pour tout N o a 0 =p+1 x p ε =p+1 y p, et doc R = o(r ). Motros (ii) lorsque x = o(y ). Soit ε > 0. Il existe N N tel que pour tout N o ait 0 x ε 2 y. E sommat, o obtiet pour > N : 0 p=n+1 x p ε 2 p=n+1 y p, soit S S N ε 2 (S S N ). Comme y diverge, il existe N N tel que pour tout N o ait ε 2 S S N ε 2 S N. Aisi, pour > max(n, N ) o a : 0 S ε 2 S + ε 2 S = εs et doc S = o(s ). Corollaire 1.2. Soit x et y deux séries à termes réels strictemet positifs telles que : N N N, x +1 x y +1 y. Alors o a x = O(y ). E outre : (i) Si la série y coverge, alors la série x coverge. (ii) Si la série x diverge, alors la série y diverge. Démostratio. Par récurrece o a pour tout N : x y x N yn doc x = O(y ). Théorème 1.5. Soit x et y deux séries à termes réels telles que y 0 et x y. Alors les deux séries sot de même ature et : (i) Si la série y coverge, alors la série x coverge et R R. (ii) Si la série y diverge, alors la série x diverge et S S. Démostratio. Soit 0 < ε < 1. Il existe N N tel que pour tout N o ait (1 ε)y x (1+ε)y. Doc x 0 pour N. Par ailleurs o a à la fois x = O(y ) et y = O(x ) et doc les deux séries sot de même ature (théorème 1.4). Supposos alors les séries covergetes. O a x y = o(y ), o e déduit doc la covergece de la série x y et R = o(r ) où R est le reste de la série x y. Comme o a R R R, o déduit que R R = o(r ) ce qui motre que R R. Supposos maiteat les séries divergetes. Alors soit la série x y coverge et comme lim S = + o a S = o(s ) où S désige la suite des sommes partielles de la série x y. Soit la série x y diverge, et le théorème 1.4 motre que S = o(s ). O déduit S S S = o(s ), ce qui implique S S. 1.3 Comparaiso avec des itégrales Théorème 1.6. Soit f : [0, + [ R ue applicatio cotiue par morceaux, décroissate positive. Posos w = 1 f(t)dt f(). Alors la série w coverge. 3

4 Démostratio. E utilisat la décroissace de f, o a : 0 w f( 1) f(). La suite (f(p)) p admettat ue limite e + (par les hypothèses sur f), o déduit que la série (f( 1) f()) coverge et doc w coverge. Théorème 1.7. Soit f : [0, + [ R ue applicatio cotiue par morceaux, décroissate positive. Alors la série f() coverge si et seulemet si f est itégrable sur [0, + [. Démostratio. Par le théorème 1.6, les séries +1 f(t)dt et f() sot de même ature. Supposos f itégrable. Alors o déduit que la série +1 f(t)dt coverge et doc que f() coverge. Supposos que f() coverge. O déduit que +1 f(t)dt coverge. Si [a, b] [0, + [ o a alors b a f N k+1 k f(t)dt pour N assez grad. Or N k+1 k f(t)dt + k+1 k f(t)dt. Doc la foctio f est itégrable. 1.4 Exemples fodametaux : séries de Riema et de Bertrad Théorème 1.8. Séries de Riema. Soit α R. La série 1 1 coverge si et seulemet si α > 1. De plus : α (i) Si α > 1 o a R 1 1 α 1. α 1 (ii) Si α < 1 o a S 1 α 1 α. (iii) Si α = 1 o a S l. Démostratio. O suppose α 1. O pose x = 1 α et y = 1 α 1 1 (+1) α 1 y = (1 + 1 )1 α 1 x 1. de sorte que Le quotiet précédet admet pour limite α 1. O a doc x 1 α 1 y ce qui motre que les deux séries sot de même ature. O a S 1 = 1 qui admet ue limite fiie si et seulemet si α > 1. Aisi, si (+1) α 1 α > 1 o a R 1 α 1 R = 1 1 α 1. Si maiteat α < 1 o a S α 1 1 α 1 S = 1 1 α ((+1)1 α 1) 1 α Efi si α = 1 o écrit y = l(1 + 1 ) 1 et ue étude aalogue coduit au résultat. 1 α. Théorème 1.9. Séries de Bertrad. Soit α, β deux réels. La série 1 si α > 1 ou α = 1 et β > 1. α (l ) β coverge si et seulemet Démostratio. O applique le théorème 1.7 à la foctio f : t 1 défiie sur [e, + [. La foctio t α (l t) β f est itégrable sur [e, + [ si et seulemet si α > 1 ou α = 1 et β > 1. E effet lorsque α > 1 o coclut à l aide du critère de Riema. Lorsque α = 1 le chagemet de variable u = l t doe x e et o coclut égalemet ce cas à l aide du critère de Riema. 1.5 Séries absolumet covergetes dt t(l t) β = l x 1 Défiitio 1.5. Soit (x ) ue suite à valeurs das E. O dit que la série x est absolumet covergete si et seulemet si x coverge. E pratique o maipule des suites à valeurs das R ou C. Aisi, la série x est absolumet covergete si et seulemet si x coverge. Théorème Toute série absolumet covergete est covergete. du u β 4

5 Démostratio. Par l iégalité triagulaire, o a p =q x p =q x. Or si la série x coverge, elle vérifie le critère de Cauchy. O déduit par l iégalité précédete que la série x vérifie égalemet le critère de Cauchy. O verra plus tard (voir séries alterées) que la réciproque est fausse. Notos la défiitio suivate (otez le lie avec les itégrales semi-covergetes). Défiitio 1.6. O dit qu ue série x est semi-covergete si elle est covergete sas être absolumet covergete. O a les propriétés suivates. Propriété 1.2. (i) Soit x et y deux séries telles que x = O(y ) et telles que y est absolumet covergete. Alors x est absolumet covergete. (ii) Soit x ue série et y ue série à termes positifs. O suppose qu il existe l 0, l E tel que x ly. Alors les deux séries sot de même ature, i.e. elles sot simultaémet covergetes ou divergetes. Démostratio. Pour (i) il suffit de remarquer que x = O(y ) x = O( y ). Motros (ii). Supposos la série y covergete. Alors comme x = O(y ) et y 0 la série x est absolumet covergete. Supposos réciproquemet que x coverge. Comme x ly = o(ly ) il existe N N tel que pour N o ait x ly 1 2 ly, d où e sommat q =p x l q =p y 1 2 l q =p y. O déduit que : q y 2 q x l =p Comme la série x coverge elle vérifie le critère de Cauchy, et doc il e est de même de la série y qui coverge doc. 1.6 Quelques règles La règle suivate découle directemet des propriétés des séries de Riema. E particulier le poit (i) est très utile e pratique. Théorème Règle de Riema. Soit x ue série réelle. (i) Si il existe α > 1 tel que x = O(1/ α ), alors la série x coverge absolumet. (ii) Si il existe α R et l R tels que x l, alors la série x α coverge absolumet si α > 1 et diverge si α 1. Démostratio. La preuve résulte directemet des séries de Riema (à compléter e exercice). Théorème Règle de d Alembert Soit x ue série à valeurs das E telle que pour tout o ait x 0 et telle que la suite ( x +1 x ) ait ue limite l R {+ }. (i) Si l < 1 la série x coverge absolumet. (ii) Si l > 1 la série x diverge. Démostratio. Motros (i). Soit l < ρ < 1. Il existe N N tel que pour tout N o ait x +1 x ρ < 1. Pa récurrece o a x ρ N x N = O(ρ ). Comme la série ρ coverge (ρ < 1), la série x coverge absolumet. =p Si l > 1 il existe N N tel que pour tout N o ait x +1 x x > x N pour tout > N. La suite (x ) e ted pas vers 0. > 1. Aisi par récurrece o a Attetio, cette règle e dit rie lorsque l = 1. 5

6 Théorème Règle de Cauchy Soit x ue série à termes das E telle que la suite x 1/ admette ue limite l R {+ }. Alors : (i) Si l < 1 la série coverge absolumet. (ii) Si l > 1 la série diverge. Démostratio. Si l < 1, preos ρ tel que l < ρ < 1. Il existe N N tel que pour tout N, o ait x ρ. Comme ρ coverge car ρ < 1 o coclut par le théorème de comparaiso. Si l > 1, il existe N N tel que pour tout N o ait x > 1, et doc (x ) e peut tedre vers 0. Doc la série diverge. Attetio, le théorème e dit rie si l = 1. Remarque 1.3. (i) Si la règle de D Alembert revoie l = 1, alors il est iutile d essayer la règle de Cauchy (voir la sectio exercice). (ii) Si la règle de d Alembert e revoie rie (i.e. u +1 /u a pas de limite), il se peut que la règle de Cauchy soit efficace (voir la sectio exercice). Théorème Règle de Duhamel Soit x ue série à termes positifs telle que x > 0 pour tout et telle que x +1 x = 1 λ + o( 1 ). Alors : (i) Si λ > 1 la série coverge. (ii) Si λ < 1 la série diverge. Démostratio. A faire e exercice. 1.7 Séries alterées Cette sectio se résume au théorème suivat. Théorème Covergece des séries alterées. Soit (a ) ue suite de réels décroissate de limite 0. Alors la série ( 1) a coverge. De plus so reste R d ordre vérifie : R a +1. Démostratio. Par u calcul immédiat la suite (S 2 ) est décroissate et la suite (S 2+1 ) est croissate, de plus S 2 S 2+1 = a 2+1 ted vers 0, aisi ces deux suites (S 2 ) et (S 2+1 ) sot adjacetes et ot ue limite commue S, limite de la suite (S ). O a : S 2 1 S 2+1 S S 2, doc 0 R 2 a 2+1 et 0 S S 2 1 S 2 S 2 1 = a 2, d où les iégalités sur le reste. Exemple. La série 1 Exemple. La série 1 ( 1) ( 1) coverge mais e coverge pas absolumet. coverge mais la série 1 ( 1) +( 1) diverge (à faire e exercice par u développemet limité), pourtat o a ( 1) ( 1) +( 1). La propriété sur les équivalets est valide pour les séries de sige costat. 1.8 Règle d Abel Cette sectio se résume au théorème suivat. Théorème Soit (ε ) ue suite de ombre réels et (x ) ue suite de E. O suppose que : La suite (ε ) ted vers 0 e décroissat. Il existe M 0 tel que pour tout N o ait x k M. Alors la série ε x coverge. 6

7 La preuve repose sur la trasformatio d Abel qui cosiste à réécrire ue trache de Cauchy de la série ε x. O appelle S la suite des sommes partielles de la série x. O a pour, p N : +p +p +p +p ε k x k = ε k (S k S k 1 ) = ε k S k ε k S k 1 = k= = k= +p 1 k= La trasformatio d Abel s écrit doc : +p k= k= (ε k ε k+1 )S k + ε +p S +p ε S 1 ε k x k = k= +p 1 k= +p k= +p 1 ε k S k (ε k ε k+1 )S k + ε +p S +p ε S 1. k= 1 ε k+1 S k O peut clairemet voir ue aalogie etre cette expressio et la formule d itégratio par parties pour les itégrales. Démostratio. Par la trasformatio d Abel et e utilisat que (ε ) est positive décroissate, o a : ε k x k M +p k= +p 1 k= (ε k ε k+1 ) + M(ε +p + ε ) = 2Mε. Comme lim ε = 0, o coclut que la série ε x vérifie le critère de Cauchy. U exemple type d applicatio de la trasformatio d Abel (utile otammet das le chapitre qui porte sur les séries d applicatio) est l étude de la série 1 e iθ, α R, θ R. α O peut motrer le résultat suivat (à faire e exercice) : Si α 0, so terme gééral e ted pas vers 0 et la série diverge grossièremet. Si α > 1, alors la série coverge absolumet. Si 0 < α < 1, alors la série coverge pour θ / Z par la règle d Abel e remarquat que D où le théorème récapitulatif suivat. e ikθ = e iθ 2 si (+1)θ 2 si θ 2, θ / 2πZ. Théorème Soit θ R et α R deux réels. O cosidère la série e iθ α. Alors : Si α 0, la série diverge grossièremet. Si α > 1, alors la série coverge absolumet. Si 0 < α < 1 et θ / 2πZ alors la série est semi-covergete. 1.9 Produit de Cauchy Défiitio 1.7. Etat doées deux séries réelles ou complexes a et b, alors le produit de Cauchy de ces deux séries ou série produit est défii par c où : c := a k b k, N. 7

8 Lemme 1.1. Si a et b sot positives et covergetes, alors leur produit de Cauchy coverge (absolumet) et : ( ) ( + ) + a k b k = Démostratio. Posos A = a k, B = b k, C = c k, A = lim A et B = lim B. Notos que l o a A = sup A et B = sup B car les deux séries sot à termes positifs. Notos que l o a aussi : C A B C 2, (regarder les esembles d idices pour C et C 2 1 das le pla (i, j)). O déduit que la suite croissate C est majorée, et doc elle coverge vers ue limite otée C. Par suite extraite C 2 1 C, d où à la limite C AB C et doc o coclut que C = AB. Théorème Soit a et b deux séries absolumet covergetes. Alors leur produit de Cauchy coverge absolumet et : ( ) ( + ) + a k b k = c k. Démostratio. Posos c = a k b k. Par le lemme précédet le produit de Cauchy de a k et bk coverge et o a =0 c = ( =0 a )( =0 b ). O déduit que la série c est absolumet covergete et doc c coverge. Posos A = a k, B = b k, C = c k, A = lim A, B = lim B, A = a k, B = b k, C = c k, A = lim A, B = lim B et C = lim C. Par le lemme o a doc C = A B. Par l iégalité triagulaire (et e développat, o a : c k A B C A B C. Or par le lemme A B C ted vers 0, o déduit doc que la suite (C ) coverge et que lim C = AB i.e. C = AB. Applicatio : soit a = x /! et b = y /! où x, y R. Par la règle de d Alembert, les deux séries a et b coverget absolumet. E utilisat la formule du biôme et le produit de Cauchy, o a doc : ( + (x + y) + ) ( x + ) y =,!!! =0 ce qui équivaut à e x+y = e x e y (voir le chapitre sur les séries etières). =0 Remarque 1.4. (i) Le théorème tombe e défaut das le cas de deux séries covergetes (o absolumet covergetes) : predre a = b = ( 1) +1 (voir exercice). (ii) Le théorème reste valide si seulemet l ue des deux séries coverge absolumet (et l autre est semicovergete), mais ceci dépasse le cadre du cours. Il s agit du théorème de Mertes sur les produits de Cauchy Sommatio par paquets Cette sectio se résume au théorème suivat (sommatio par paquets). Théorème Soit x ue série à valeurs das E, et soit ϕ : N N ue applicatio strictemet croissate. O pose : y 0 = ϕ(0) x k et pour 1 y = ϕ() k=ϕ( 1)+1 x k. Alors : (i) Si la série x coverge, la série y coverge et a même somme. (ii) La réciproque est vraie das les deux cas suivats : 8 =0

9 La suite x ted vers 0 et la suite ϕ( + 1) ϕ() est majorée. O a E = R et pour tout k [ϕ( 1), ϕ()] tous les x k ot même sige. Démostratio. Posos S la suite des sommes partielles de la série x et otos S la suite des sommes partielles de la série y. O a immédiatemet (e coveat que ϕ( 1) = 1) : S = y p = p=0 p=0 k=ϕ(p 1)+1 x k = ϕ() x k = S ϕ(). Ceci motre (i) car (S ) est extraite de (S ) par le calcul précédet. Motros le premier poit de (ii). Posos S := + y k et soit C R tel que pour tout o ait ϕ( + 1) ϕ() C. Soit N et p l uique etier tel que ϕ(p 1) < ϕ(p ). O a alors : S p S = S S = ϕ(p ) k=+1 Soit ε > 0 et N N tel que pour tout N o ait x < ε 2C. O a alors pour tout N, S p S ϕ(p ) k=+1 x k x k (ϕ(p ) ) ε 2C ε 2. Or par hypothèse il existe N N tel que pour tout q N o ait S S q < ε 2. Aisi pour max(n, ϕ(n )) o a p N et doc : S S S S p + S p S < ε, et doc la série x k coverge. Pour motrer le secod poit o a e utilisat que les x k ot tous le même sige das u paquet : S p S = k=+1 x k = k=+1 x k k=ϕ(p 1)+1 x k = k=ϕ(p 1)+1 x k = y p Comme la série y p coverge, o a pour q N y q < ε 2. Aisi pour tout ϕ(n) o a p N et doc S p S y p < ε 2 et o coclut de maière aalogue au premier poit. Exemple 1. Cosidéros la série ( 1) et soit x = ( 1) et ϕ() = 2. Alors o a y = 0 et y coverge, mais x diverge. Exemple 2. O cosidère la série harmoique e supprimat tous les termes d idices utilisat 7 das leur écriture décimale. E sommat etre 2 puissaces de 10 cosécutives, motrer que cette série coverge (à faire e exercice). 9

Séries réelles ou complexes

Séries réelles ou complexes 6 Séries réelles ou complexes Comme pour le chapitre 3, les suites cosidérées sot a priori complexes et les résultats classiques sur les foctios cotiues ou dérivables d ue variable réelle sot supposés

Plus en détail

. (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1

. (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1 Premières propriétés des ombres réels 2 Suites umériques 3 Suites mootoes : à faire 4 Séries umériques 4. Notio de série. Défiitio 4.. Soit (u ) ue suite de ombres réels ou complexes. Pour N N, o ote S

Plus en détail

Etude de la fonction ζ de Riemann

Etude de la fonction ζ de Riemann Etude de la foctio ζ de Riema ) Défiitio Pour x réel doé, la série de terme gééral,, coverge si et seulemet si x >. x La foctio zeta de Riema est la foctio défiie sur ], [ par : ( x > ), = x. Remarque.

Plus en détail

CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES

CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES 2. Séries etières Défiitio 2.. O appelle série etière toute série de foctios ( ) f dot le terme gééral est de la forme f ()=a, où (a ) désige ue suite réelle ou complee et R.

Plus en détail

x +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3.

x +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3. EXERCICE 3 (6 poits ) (Commu à tous les cadidats) Il est possible de traiter la partie C sas avoir traité la partie B Partie A O désige par f la foctio défiie sur l itervalle [, + [ par Détermier la limite

Plus en détail

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1)

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1) Uiversités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Aalyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 3 : Foctios d ue variable réelle (1) 1 Lagage topologique das R Défiitio 1 Soit a u poit de R. U esemble V R est u voisiage de a s

Plus en détail

1 Mesure et intégrale

1 Mesure et intégrale 1 Mesure et itégrale 1.1 Tribu boréliee et foctios mesurables Soit =[a, b] u itervalle (le cas où b = ou a = est pas exclu) et F ue famille de sous-esembles de. OditqueF est ue tribu sur si les coditios

Plus en détail

Limites des Suites numériques

Limites des Suites numériques Chapitre 2 Limites des Suites umériques Termiale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Limite fiie ou ifiie d ue suite. Limites et comparaiso. Opératios sur les ites. Comportemet

Plus en détail

Suites et séries de fonctions

Suites et séries de fonctions [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 3 avril 5 Eocés Suites et séries de foctios Propriétés de la limite d ue suite de foctios Eercice [ 868 ] [correctio] Etablir que la limite simple d ue suite de

Plus en détail

Comportement d'une suite

Comportement d'une suite Comportemet d'ue suite I) Approche de "ses de variatio et de ite d'ue suite" : 7 Soit la suite ( ) telle que = 5 ( + ) 2 Représetos graphiquemet la suite das u pla mui d' u repère. Il suffit de placer

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Eo7 Séries etières Eercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Eercice

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Exo7 Topologie Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Exercice **

Plus en détail

Les Nombres Parfaits.

Les Nombres Parfaits. Les Nombres Parfaits. Agathe CAGE, Matthieu CABAUSSEL, David LABROUSSE (2 de Lycée MONTAIGNE BORDEAUX) et Alexadre DEVERT, Pierre Damie DESSARPS (TS Lycée SUD MEDOC LETAILLAN MEDOC) La première partie

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n =

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n = [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 juillet 14 Eocés 1 Nombres réels Ratioels et irratioels Exercice 1 [ 9 ] [correctio] Motrer que la somme d u ombre ratioel et d u ombre irratioel est u ombre irratioel.

Plus en détail

Intégration et probabilités ENS Paris, 2012-2013. TD (20)13 Lois des grands nombres, théorème central limite. Corrigé :

Intégration et probabilités ENS Paris, 2012-2013. TD (20)13 Lois des grands nombres, théorème central limite. Corrigé : Itégratio et probabilités EN Paris, 202-203 TD 203 Lois des grads ombres, théorème cetral limite. Corrigé Lois des grads ombres Exercice. Calculer e cet leços Détermier les limites suivates : x +... +

Plus en détail

Convergences 2/2 - le théorème du point fixe - Page 1 sur 9

Convergences 2/2 - le théorème du point fixe - Page 1 sur 9 Au sommaire : Suites extraites Le théorème de Bolzao-Weierstrass La preuve du théorème de Bolzao-Weierstrass3 Foctio K-cotractate4 Le théorème du poit fixe5 La preuve du théorème du poit fixe6 Utilisatios

Plus en détail

Processus et martingales en temps continu

Processus et martingales en temps continu Chapitre 3 Processus et martigales e temps cotiu 1 Quelques rappels sur les martigales e temps discret (voir [4]) O cosidère u espace filtré (Ω, F, (F ) 0, IP). O ote F = 0 F. Défiitio 1.1 Ue suite de

Plus en détail

Exercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1

Exercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1 Bac blac TS Correctio Exercice I ( Spé ) / émotros par récurrece que 5x y = pour tout etier aturel 5x y = 5 8 = La propriété est doc vraie au rag = Supposos que la propriété est vraie jusqu au rag, o a

Plus en détail

14 Chapitre 14. Théorème du point fixe

14 Chapitre 14. Théorème du point fixe Chapitre 14 Chapitre 14. Théorème du poit fixe Si l o examie de plus près les méthodes de Lagrage et de Newto, étudiées au chapitre précédet, elles revieet das leur pricipe à remplacer la résolutio de

Plus en détail

Exo7. Déterminants. = 4(b + c)(c + a)(a + b). c + a c + b 2c Correction. b + a 2b b + c. Exercice 2 ** X a b c a X c b b c X a c b a X

Exo7. Déterminants. = 4(b + c)(c + a)(a + b). c + a c + b 2c Correction. b + a 2b b + c. Exercice 2 ** X a b c a X c b b c X a c b a X Exo7 Détermiats Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable T : pour

Plus en détail

Séquence 5. La fonction logarithme népérien. Sommaire

Séquence 5. La fonction logarithme népérien. Sommaire Séquece 5 La foctio logarithme épérie Objectifs de la séquece Itroduire ue ouvelle foctio : la foctio logarithme épérie. Coaître les propriétés de cette foctio : sa dérivée, ses variatios, sa courbe, sa

Plus en détail

Groupe orthogonal d'un espace vectoriel euclidien de dimension 2, de dimension 3

Groupe orthogonal d'un espace vectoriel euclidien de dimension 2, de dimension 3 1 Groupe orthogoal d'u espace vectoriel euclidie de dimesio, de dimesio Voir le chapitre 19 pour l'étude des espaces euclidies et des isométries. État doé u espace euclidie E de dimesio 1, o rappelle que

Plus en détail

4 Approximation des fonctions

4 Approximation des fonctions 4 Approximatio des foctios Ue foctio f arbitraire défiie sur u itervalle I et à valeur das IR peut être représetée par so graphe, ou de maière équivalete par la doée de l esemble de ses valeurs f(t) pour

Plus en détail

STATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES

STATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES STATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES Préparatio à l Agrégatio Bordeaux Aée 203-204 Jea-Jacques Ruch Table des Matières Chapitre I. Gééralités sur les tests 5. Itroductio 5 2. Pricipe des tests 6 2.a. Méthodologie

Plus en détail

Baccalauréat S Asie 19 juin 2014 Corrigé

Baccalauréat S Asie 19 juin 2014 Corrigé Bcclurét S Asie 9 jui 24 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice Commu à tous les cdidts 4 poits Questio - c. O peut élimier rpidemet les réposes. et d. cr les vecteurs directeurs des droites proposées e sot ps

Plus en détail

Dénombrement. Introduction. 1 Cardinaux d'ensembles nis. ECE3 Lycée Carnot. 12 novembre 2010. 1.1 Quelques dénitions

Dénombrement. Introduction. 1 Cardinaux d'ensembles nis. ECE3 Lycée Carnot. 12 novembre 2010. 1.1 Quelques dénitions Déombremet ECE3 Lycée Carot 12 ovembre 2010 Itroductio La combiatoire, sciece du déombremet, sert comme so om l'idique à compter. Il e s'agit bie etedu pas de reveir au stade du CP et d'appredre à compter

Plus en détail

STATISTIQUE AVANCÉE : MÉTHODES

STATISTIQUE AVANCÉE : MÉTHODES STATISTIQUE AVANCÉE : MÉTHODES NON-PAAMÉTIQUES Ecole Cetrale de Paris Arak S. DALALYAN Table des matières 1 Itroductio 5 2 Modèle de desité 7 2.1 Estimatio par istogrammes............................

Plus en détail

SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES

SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES 1 ) POSITION DU PROBLÈME - VOCABULAIRE A ) DÉFINITION SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES O cosidère deux variables statistiques umériques x et y observées sur ue même populatio de idividus. O ote x 1

Plus en détail

LES ÉCLIPSES. Éclipser signifie «cacher». Vus depuis la Terre, deux corps célestes peuvent être éclipsés : la Lune et le Soleil.

LES ÉCLIPSES. Éclipser signifie «cacher». Vus depuis la Terre, deux corps célestes peuvent être éclipsés : la Lune et le Soleil. Qu appelle-t-o éclipse? Éclipser sigifie «cacher». Vus depuis la Terre, deu corps célestes peuvet être éclipsés : la Lue et le Soleil. LES ÉCLIPSES Pour qu il ait éclipse, les cetres de la Terre, de la

Plus en détail

Séries numériques. Chap. 02 : cours complet.

Séries numériques. Chap. 02 : cours complet. Séris méris Cha : cors comlt Séris d réls t d comlxs Défiitio : séri d réls o d comlxs Défiitio : séri corgt o dirgt Rmar : iflc ds rmirs trms d séri sr la corgc Théorèm : coditio écssair d corgc Théorèm

Plus en détail

20. Algorithmique & Mathématiques

20. Algorithmique & Mathématiques L'éditeur L'éditeur permet à l'utilisateur de saisir les liges de codes d'u programme ou de défiir des foctios. Remarque : O peut saisir directemet des istructios das la cosole Scilab, mais il est plus

Plus en détail

FEUILLE D EXERCICES 17 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI

FEUILLE D EXERCICES 17 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI FEUILLE D EXERCICES 7 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI Exercice - Lacer de dés O lace deux dés à 6 faces équilibrés. Calculer la probabilité d obteir : u double ; ue somme des deux dés égale à 8 ; ue

Plus en détail

Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues

Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite

Plus en détail

Statistique descriptive bidimensionnelle

Statistique descriptive bidimensionnelle 1 Statistique descriptive bidimesioelle Statistique descriptive bidimesioelle Résumé Liaisos etre variables quatitatives (corrélatio et uages de poits), qualitatives (cotigece, mosaïque) et de types différets

Plus en détail

II LES PROPRIETES DES ESTIMATEURS MCO 1. Rappel : M1 LA REGRESSION : HYPOTHESES ET TESTS Avril 2009

II LES PROPRIETES DES ESTIMATEURS MCO 1. Rappel : M1 LA REGRESSION : HYPOTHESES ET TESTS Avril 2009 M LA REGRESSION : HYPOTHESES ET TESTS Avril 009 I LES HYPOTHESES DE LA MCO. Hypothèses sur la variable explicative a. est o stochastique. b. a des valeurs xes das les différets échatillos. c. Quad ted

Plus en détail

Dénombrement. Chapitre 1. 1.1 Enoncés des exercices

Dénombrement. Chapitre 1. 1.1 Enoncés des exercices Chapitre 1 Déombremet 1.1 Eocés des exercices Exercice 1 L acie système d immatriculatio fraçais était le suivat : chaque plaque avait 4 chiffres, suivis de 2 lettres, puis des 2 uméros du départemet.

Plus en détail

EXERCICES : DÉNOMBREMENT

EXERCICES : DÉNOMBREMENT Chapitre 7 ECE 1 - Grad Nouméa - 015 EXERCICES : DÉNOMBREMENT LISTES / ARRANGEMENTS Exercice 1 : Le code ativol Pour so vélo, Toto possède u ativol a code. Le code est ue successio de trois chiffres compris

Plus en détail

16.1 Convergence simple et convergence uniforme. une suite de fonctions de I dans R ou C.

16.1 Convergence simple et convergence uniforme. une suite de fonctions de I dans R ou C. 16 Suites de foctios Suf précisio cotrire, I est u itervlle réel o réduit à u poit et les foctios cosidérées sot défiies sur I à vleurs réelles ou complexes. 16.1 Covergece simple et covergece uiforme

Plus en détail

Introduction : Mesures et espaces de probabilités

Introduction : Mesures et espaces de probabilités Itroductio : Mesures et espaces de probabilités Référeces : Poly cédric Berardi et Jea Michel Morel. J.-F. Le Gall, Itégratio, Probabilités et Processus Aléatoire J.-Y. Ouvrard, Probabilités 2, maîtrise-agrégatio,

Plus en détail

capital en fin d'année 1 C 0 + T C 0 = C 0 (1 + T) = C 0 r en posant r = 1 + T 2 C 0 r + C 0 r T = C 0 r (1 + T) = C 0 r 2 3 C 0 r 3...

capital en fin d'année 1 C 0 + T C 0 = C 0 (1 + T) = C 0 r en posant r = 1 + T 2 C 0 r + C 0 r T = C 0 r (1 + T) = C 0 r 2 3 C 0 r 3... Applicatios des maths Algèbre fiacière 1. Itérêts composés O place u capital C 0 à u taux auel T a pedat aées. Quelle est la valeur fiale C de ce capital? aée capital e fi d'aée 1 C 0 + T C 0 = C 0 (1

Plus en détail

Cours de Statistiques inférentielles

Cours de Statistiques inférentielles Licece 2-S4 SI-MASS Aée 2015 Cours de Statistiques iféretielles Pierre DUSART 2 Chapitre 1 Lois statistiques 1.1 Itroductio Nous allos voir que si ue variable aléatoire suit ue certaie loi, alors ses réalisatios

Plus en détail

La France, à l écoute des entreprises innovantes, propose le meilleur crédit d impôt recherche d Europe

La France, à l écoute des entreprises innovantes, propose le meilleur crédit d impôt recherche d Europe 1/5 Trois objectifs poursuivis par le gouveremet : > améliorer la compétitivité fiscale de la Frace > péreiser les activités de R&D > faire de la Frace u territoire attractif pour l iovatio Les icitatios

Plus en détail

Polynésie Septembre 2002 - Exercice On peut traiter la question 4 sans avoir traité les questions précédentes.

Polynésie Septembre 2002 - Exercice On peut traiter la question 4 sans avoir traité les questions précédentes. Polyésie Septembre 2 - Exercice O peut traiter la questio 4 sas avoir traité les questios précédetes Pour u achat immobilier, lorsqu ue persoe emprute ue somme de 50 000 euros, remboursable par mesualités

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

TRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS TOTALEMENT CONNECTÉS (*) par Maryse BÉGUIN ( 1 )

TRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS TOTALEMENT CONNECTÉS (*) par Maryse BÉGUIN ( 1 ) RAIRO Operatios Research RAIRO Oper. Res. 34 (2000) 99-129 TRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS TOTALEMENT CONNECTÉS (*) par Maryse BÉGUIN ( 1 ) Commuiqué par Berard LEMAIRE Résumé. L étude

Plus en détail

Consolidation. C r é e r un nouveau classeur. Créer un groupe de travail. Saisir des données dans un groupe

Consolidation. C r é e r un nouveau classeur. Créer un groupe de travail. Saisir des données dans un groupe Cosolidatio La société THEOS, qui commercialise des vis, exerce so activité das trois villes : Paris, Nacy et Nice. Le directeur de la société souhaite cosolider les résultats de ses vetes par ville das

Plus en détail

PROMENADE ALÉATOIRE : Chaînes de Markov et martingales

PROMENADE ALÉATOIRE : Chaînes de Markov et martingales PROMENADE ALÉATOIRE : Chaîes de Markov et martigales Thierry Bodieau École Polytechique Paris Départemet de Mathématiques Appliquées thierry.bodieau@polytechique.edu Novembre 2013 2 Table des matières

Plus en détail

DETERMINANTS. a b et a'

DETERMINANTS. a b et a' 2003 - Gérard Lavau - http://perso.waadoo.fr/lavau/idex.htm Vous avez toute liberté pour télécharger, imprimer, photocopier ce cours et le diffuser gratuitemet. Toute diffusio à titre oéreux ou utilisatio

Plus en détail

Formation d un ester à partir d un acide et d un alcool

Formation d un ester à partir d un acide et d un alcool CHAPITRE 10 RÉACTINS D ESTÉRIFICATIN ET D HYDRLYSE 1 Formatio d u ester à partir d u acide et d u alcool 1. Nomeclature Acide : R C H Alcool : R H Groupe caractéristique ester : C Formule géérale d u ester

Plus en détail

Exercices de mathématiques

Exercices de mathématiques MP MP* Thierry DugarDi Marc rezzouk Exercices de mathématiques Cetrale-Supélec, Mies-Pots, École Polytechique et ENS Coceptio et créatio de couverture : Atelier 3+ Duod, 205 5 rue Laromiguière, 75005 Paris

Plus en détail

Solutions particulières d une équation différentielle...

Solutions particulières d une équation différentielle... Solutios particulières d ue équatio différetielle......du premier ordre à coefficiets costats O cherche ue solutio particulière de y + ay = f, où a est ue costate réelle et f ue foctio, appelée le secod

Plus en détail

Des résultats d irrationalité pour deux fonctions particulières

Des résultats d irrationalité pour deux fonctions particulières Collect. Math. 5, 00, 0 c 00 Uiversitat de Barceloa Des résultats d irratioalité pour deux foctios particulières Richard Choulet 7, Rue du 4 Août, 40 Aveay, Frace E-mail: richardchoulet@waadoo.fr Received

Plus en détail

Chap. 5 : Les intérêts (Les calculs financiers)

Chap. 5 : Les intérêts (Les calculs financiers) Chap. 5 : Les itérêts (Les calculs fiaciers) Das u cotrat de prêt, le prêteur met à la dispositio de l empruteur, à u taux d itérêt doé, ue somme d arget (le capital) qu il devra rembourser à ue certaie

Plus en détail

Gérer les applications

Gérer les applications Gérer les applicatios E parcourat les rayos du Widows Phoe Store, vous serez e mesure de compléter les services de base de votre smartphoe à travers plus de 10 000 applicatios. Gratuites ou payates, ces

Plus en détail

Deuxième partie : LES CONTRATS D ASSURANCE VIE CLASSIQUES

Deuxième partie : LES CONTRATS D ASSURANCE VIE CLASSIQUES DEUXIEME PARTIE Deuième partie : LES CONTRATS D ASSURANCE VIE CLASSIQUES Chapitre. L assurace de capital différé Chapitre 2. Les opératios de retes Chapitre 3. Les assuraces décès Chapitre 4. Les assuraces

Plus en détail

Chap. 6 : Les principaux crédits de trésorerie et leur comptabilisation

Chap. 6 : Les principaux crédits de trésorerie et leur comptabilisation 1 / 9 Chap. 6 : Les pricipaux crédits de trésorerie et leur comptabilisatio Le cycle d exploitatio des etreprises (achats stockage productio stockage vetes) peut etraîer des décalages de trésorerie plus

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

Examen final pour Conseiller financier / conseillère financière avec brevet fédéral. Recueil de formules. Auteur: Iwan Brot

Examen final pour Conseiller financier / conseillère financière avec brevet fédéral. Recueil de formules. Auteur: Iwan Brot Exame fial pour Coseiller fiacier / coseillère fiacière avec brevet fédéral Recueil de formules Auteur: Iwa Brot Ce recueil de formules sera mis à dispositio des cadidats, si écessaire. Etat au 1er mars

Plus en détail

Probabilités et statistique pour le CAPES

Probabilités et statistique pour le CAPES Probabilités et statistique pour le CAPES Béatrice de Tilière Frédérique Petit 2 3 jui 205. Uiversité Pierre et Marie Curie 2. Uiversité Pierre et Marie Curie 2 Table des matières Modélisatio de phéomèes

Plus en détail

Chap. 6 : Les principaux crédits de trésorerie et leur comptabilisation

Chap. 6 : Les principaux crédits de trésorerie et leur comptabilisation Chap. 6 : Les pricipaux crédits de trésorerie et leur comptabilisatio Les etreprises ot souvet besoi de moyes de fiacemet à court terme : elles ot alors recours aux crédits bacaires (découverts bacaires

Plus en détail

UNIVERSITE MONTESQUIEU BORDEAUX IV. Année universitaire 2006-2007. Semestre 2. Prévisions Financières. Travaux Dirigés - Séances n 4

UNIVERSITE MONTESQUIEU BORDEAUX IV. Année universitaire 2006-2007. Semestre 2. Prévisions Financières. Travaux Dirigés - Séances n 4 UNVERSTE MONTESQUEU BORDEAUX V Licece 3 ère aée Ecoomie - Gestio Aée uiversitaire 2006-2007 Semestre 2 Prévisios Fiacières Travaux Dirigés - Séaces 4 «Les Critères Complémetaires des Choix d vestissemet»

Plus en détail

Un nouvel opérateur de fusion adaptatif. A new adaptive operator of fusion. 1. introduction

Un nouvel opérateur de fusion adaptatif. A new adaptive operator of fusion. 1. introduction A ew adaptive operator of fusio par Fraçois DELMOTTE LAMIH, Uiversité de Valeciees et du Haiaut-Cambrésis, Le Mot Houy, BP 3, 5933 Valeciees CEDEX 9 fdelmott@flore.uiv-valeciees.fr résumé et mots clés

Plus en détail

Chaînes de Markov. Arthur Charpentier

Chaînes de Markov. Arthur Charpentier Chaîes de Markov Arthur Charpetier École Natioale de la Statistique et d Aalyse de l Iformatio - otes de cours à usage exclusif des étudiats de l ENSAI - - e pas diffuser, e pas citer - Quelques motivatios.

Plus en détail

Processus géométrique généralisé et applications en fiabilité

Processus géométrique généralisé et applications en fiabilité Processus géométrique gééralisé et applicatios e fiabilité Lauret Bordes 1 & Sophie Mercier 2 1,2 Uiversité de Pau et des Pays de l Adour Laboratoire de Mathématiques et de leurs Applicatios - Pau UMR

Plus en détail

Statistiques appliquées à la gestion Cours d analyse de donnés Master 1

Statistiques appliquées à la gestion Cours d analyse de donnés Master 1 Aalyse des doées Statistiques appliquées à la gestio Cours d aalyse de doés Master F. SEYTE : Maître de coféreces HDR e scieces écoomiques Uiversité de Motpellier I M. TERRAZA : Professeur de scieces écoomiques

Plus en détail

2 ième partie : MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES

2 ième partie : MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES 2 ième partie : MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES 1. Défiitios L'itérêt est l'idemité que doe au propriétaire d'ue somme d'arget celui qui e a joui pedat u certai temps. Divers élémets itervieet das le calcul

Plus en détail

Statistique Numérique et Analyse des Données

Statistique Numérique et Analyse des Données Statistique Numérique et Aalyse des Doées Arak DALALYAN Septembre 2011 Table des matières 1 Élémets de statistique descriptive 9 1.1 Répartitio d ue série umérique uidimesioelle.............. 9 1.2 Statistiques

Plus en détail

3.1 Différences entre ESX 3.5 et ESXi 3.5 au niveau du réseau. Solution Cette section récapitule les différences entre les deux versions.

3.1 Différences entre ESX 3.5 et ESXi 3.5 au niveau du réseau. Solution Cette section récapitule les différences entre les deux versions. 3 Réseau Le réseau costitue u aspect essetiel d u eviroemet virtuel ESX. Il est doc importat de compredre la techologie, y compris ses différets composats et leur coopératio. Das ce chapitre, ous étudios

Plus en détail

Contribution à la théorie des entiers friables

Contribution à la théorie des entiers friables UFR STMIA École Doctorale IAE + M Uiversité Heri Poicaré - Nacy I DFD Mathématiques THÈSE présetée pour l obtetio du titre de Docteur de l Uiversité Heri Poicaré, Nacy-I e Mathématiques par Bruo MARTIN

Plus en détail

Université de Bordeaux - Master MIMSE - 2ème année. Scoring. Marie Chavent http://www.math.u-bordeaux.fr/ machaven/ 2014-2015

Université de Bordeaux - Master MIMSE - 2ème année. Scoring. Marie Chavent http://www.math.u-bordeaux.fr/ machaven/ 2014-2015 Uiversité de Bordeaux - Master MIMSE - 2ème aée Scorig Marie Chavet http://www.math.u-bordeaux.fr/ machave/ 2014-2015 1 Itroductio L idée géérale est d affecter ue ote (u score) global à u idividu à partir

Plus en détail

55 - EXEMPLES D UTILISATION DU TABLEUR.

55 - EXEMPLES D UTILISATION DU TABLEUR. 55 - EXEMPLES D UTILISATION DU TABLEUR. CHANTAL MENINI 1. U pla possible Les exemples qui vot suivre sot des pistes possibles et e aucu cas ue présetatio exhaustive. De même je ai pas fait ue étude systématique

Plus en détail

Université Victor Segalen Bordeaux 2 Institut de Santé Publique, d Épidémiologie et de Développement (ISPED) Campus Numérique SEME

Université Victor Segalen Bordeaux 2 Institut de Santé Publique, d Épidémiologie et de Développement (ISPED) Campus Numérique SEME Uiversité Victor Segale Bordeaux Istitut de Saté Publique, d Épidémiologie et de Développemet (ISPED) Campus Numérique SEME MODULE Pricipaux outils e statistique Versio du 8 août 008 Écrit par : Relu par

Plus en détail

PROBLEMES DIOPTIMISATION EN NOMBRES ENTIERS J. L. NICOLAS

PROBLEMES DIOPTIMISATION EN NOMBRES ENTIERS J. L. NICOLAS PROBLEMES DIOPTIMISATION EN NOMBRES ENTIERS ET APPROXIMATIONS DIOPHANTIENNES J. L. NICOLAS Cet article expose sup 3 e quelques iter'f~reces etre les pr'obl~res dloptimisatio e hombres etiers et la th~or-ie

Plus en détail

LE PRINCIPE DU RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE

LE PRINCIPE DU RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE LE PRINCIPE DU RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE. Exemple troductf (Les élèves qu coasset déà be le prcpe peuvet sauter ce paragraphe) Cosdéros la sute (u ), défe pour tout, par : u u u 0 0 Cette sute est défe

Plus en détail

Développement décimal d un réel

Développement décimal d un réel 4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce

Plus en détail

Intégrales généralisées

Intégrales généralisées 3 Iégrles géérlisées Pour ce chpire, les focios cosidérées so priori défiies sur u iervlle réel I o rédui à u poi, à vleurs réelles ou complees e coiues pr morceu. L défiiio e les propriéés de l iégrle

Plus en détail

Module 3 : Inversion de matrices

Module 3 : Inversion de matrices Math Stat Module : Iversio de matrices M Module : Iversio de matrices Uité. Défiitio O e défiira l iverse d ue matrice que si est carrée. O appelle iverse de la matrice carrée toute matrice B telle que

Plus en détail

Cours 5 : ESTIMATION PONCTUELLE

Cours 5 : ESTIMATION PONCTUELLE Cours 5 : ESTIMATION PONCTUELLE A- Gééralités B- Précisio d u estimateur C- Exhaustivité D- iformatio E-estimateur sas biais de variace miimale, estimateur efficace F- Quelques méthode s d estimatio A-

Plus en détail

Sommaire Chapitre 1 - L interface de Windows 7 9

Sommaire Chapitre 1 - L interface de Windows 7 9 Sommaire Chapitre 1 - L iterface de Widows 7 9 1.1. Utiliser le meu Démarrer et la barre des tâches de Widows 7...11 Démarrer et arrêter des programmes...15 Épigler u programme das la barre des tâches...18

Plus en détail

c. Calcul pour une évolution d une proportion entre deux années non consécutives

c. Calcul pour une évolution d une proportion entre deux années non consécutives Calcul des itervalles de cofiace our les EPCV 996-004 - Cas d u ourcetage ou d ue évolutio e oit das la oulatio totale des méages - Cas d u ourcetage ou d ue évolutio das ue sous oulatio das les méages

Plus en détail

Le marché du café peut être segmenté en fonction de deux modes de production principaux : la torréfaction et la fabrication de café soluble.

Le marché du café peut être segmenté en fonction de deux modes de production principaux : la torréfaction et la fabrication de café soluble. II LE MARCHE DU CAFE 1 L attractivité La segmetatio selo le mode de productio Le marché du café peut être segmeté e foctio de deux modes de productio pricipaux : la torréfactio et la fabricatio de café

Plus en détail

Les algorithmes de tri

Les algorithmes de tri CONSERVATOIRE NATIONAL DES ARTS ET METIERS PARIS MEMOIRE POUR L'EXAMEN PROBATOIRE e INFORMATIQUE par Nicolas HERVE Les algorithmes de tri Souteu le mai JURY PRESIDENTE : Mme COSTA Sommaire Itroductio....

Plus en détail

La spirale de Théodore bis, et la suite «somme=produit».

La spirale de Théodore bis, et la suite «somme=produit». Etde d e vrite de l spirle de Théodore, dot issce à e site dot les sommes prtielles sot égles x prodits prtiels. Mots clés : spirle de Théodore, théorème de Pythgore, site, série, polyôme. L spirle de

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

Compte Sélect Banque Manuvie Guide du débutant

Compte Sélect Banque Manuvie Guide du débutant GUIDE DU DÉBUTANT Compte Sélect Baque Mauvie Guide du débutat Besoi d aide? Preez quelques miutes pour lire attetivemet votre Guide du cliet. Le préset Guide du débutat vous facilitera l utilisatio de

Plus en détail

RECHERCHE DE CLIENTS simplifiée

RECHERCHE DE CLIENTS simplifiée RECHERCHE DE CLIENTS simplifiée Nous ous occupos d accroître votre clietèle avec le compte Avatage d etreprise Pour trouver des cliets potetiels grâce à u simple compte bacaire Vous cherchez des idées

Plus en détail

Principes et Méthodes Statistiques

Principes et Méthodes Statistiques Esimag - 2ème aée 0 1 2 3 4 5 6 7 0 5 10 15 x y Pricipes et Méthodes Statistiques Notes de cours Olivier Gaudoi 2 Table des matières 1 Itroductio 7 1.1 Défiitio et domaies d applicatio de la statistique............

Plus en détail

Université Pierre et Marie Curie. Biostatistique PACES - UE4 2013-2014

Université Pierre et Marie Curie. Biostatistique PACES - UE4 2013-2014 Uiversité Pierre et Marie Curie Biostatistique PACES - UE4 2013-2014 Resposables : F. Carrat et A. Mallet Auteurs : F. Carrat, A. Mallet, V. Morice Mise à jour : 21 octobre 2013 Relecture : V. Morice,

Plus en détail

STRATÉGIE DE REMPLACEMENT DE LUTTE CONTRE LA PUNAISE TERNE DANS LES FRAISERAIES DE L ONTARIO

STRATÉGIE DE REMPLACEMENT DE LUTTE CONTRE LA PUNAISE TERNE DANS LES FRAISERAIES DE L ONTARIO Des résultats du Programme de réductio des risques STRATÉGIE DE REMPLACEMENT DE LUTTE CONTRE LA PUNAISE TERNE DANS LES FRAISERAIES DE L ONTARIO 1. Cotexte La puaise tere Lygus lieolaris (figure 1) est

Plus en détail

Terminale S. Terminale S 1 F. Laroche

Terminale S. Terminale S 1 F. Laroche Termiale S Exercices. Rappels et exercices de base 3.. QCM (P. Egel) 3.. QCM, Atilles 005 4. 3. QCM, Liba 009, 3 poits 4. 4. QCM, C. étragers 007. 5. QCM, Frace 007 5 6. 6. QCM, N. Calédoie 007 7. 7. QCM

Plus en détail

Intégrales dépendant d un paramètre

Intégrales dépendant d un paramètre [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Eocés Iégrales dépeda d u paramère Covergece domiée Exercice [ 9 ] [correcio] Calculer les limies des suies do les ermes gééraux so les suivas : a) u = π/4

Plus en détail

UV SQ 20. Automne 2006. Responsable d Rémy Garandel ( m.-el. remy.garandel@utbm.fr ) page 1

UV SQ 20. Automne 2006. Responsable d Rémy Garandel ( m.-el. remy.garandel@utbm.fr ) page 1 UV SQ 0 Probabilités Statistiques UV SQ 0 Autome 006 Resposable d Rémy Garadel ( m.-el. remy.garadel@utbm.fr ) page SQ-0 Probabilités - Statistiques Bibliographie: Titre Auteur(s) Editios Localisatio Niveau

Plus en détail

Exponentielle exercices corrigés

Exponentielle exercices corrigés Trmial S Foctio potill Ercics corrigés Fsic 996, rcic Fsic 996, rcic 3 3 Fsic 996, rcic 4 4 Fsic, rcic 6 3 5 Fsic, rcic 4 3 6 Baqu 4 4 7 Epo + air, Amériqu du Nord 5 5 8 Basiqu, N Calédoi, ov 4 7 9 Basiqus

Plus en détail

Tempêtes : Etude des dépendances entre les branches Automobile et Incendie à l aide de la théorie des copulas Topic 1 Risk evaluation

Tempêtes : Etude des dépendances entre les branches Automobile et Incendie à l aide de la théorie des copulas Topic 1 Risk evaluation Tempêtes : Etude des dépedaces etre les braches Automobile et Icedie à l aide de la théorie des copulas Topic Risk evaluatio Belguise Olivier Charles Levi ACM Guy Carpeter 34 rue du Wacke 47/53 rue Raspail

Plus en détail

INTRODUCTION AUX MATRICES ALÉATOIRES. par. Djalil Chafaï

INTRODUCTION AUX MATRICES ALÉATOIRES. par. Djalil Chafaï INTRODUCTION AUX MATRICES ALÉATOIRES par Djalil Chafaï Résumé. E cocevat les mathématiques comme u graphe, où chaque sommet est u domaie, la théorie des probabilités et l algèbre liéaire figuret parmi

Plus en détail

Télé OPTIK. Plus spectaculaire que jamais.

Télé OPTIK. Plus spectaculaire que jamais. Télé OPTIK Plus spectaculaire que jamais. Vivez toute la puissace de la télévisio sur IP grâce au réseau OPTIK 1 de TELUS et découvrez-e l extraordiaire potetiel. Télé OPTIK MC vous doe la parfaite maîtrise

Plus en détail

3. Conditionnement P (B)

3. Conditionnement P (B) Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples

Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples 45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et

Plus en détail

Réseaux d ondelettes et réseaux de neurones pour la modélisation statique et dynamique de processus

Réseaux d ondelettes et réseaux de neurones pour la modélisation statique et dynamique de processus Réseaux d odelettes et réseaux de euroes pour la modélisatio statique et dyamique de processus Yacie Oussar To cite this versio: Yacie Oussar. Réseaux d odelettes et réseaux de euroes pour la modélisatio

Plus en détail

POLITIQUE ECONOMIQUE ET DEVELOPPEMENT

POLITIQUE ECONOMIQUE ET DEVELOPPEMENT POLTQU ONOMQU T DVLOPPMNT TRUTUR DU MAR NATONAL DU AF-AAO T PR AU PRODUTUR MALAN Beïla Beoit osultat PD N 06/008 ellule d Aalyse de Politiques coomiques du R Aée de pulicatio : Avril 009 Résumé e papier

Plus en détail