Convergence uniforme et normale des séries de fonctions, cours de premier cycle universitaire

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1 Convergence uniforme et normale des séries de fonctions, cours de premier cycle universitaire F.Gaudon 9 août 2005 Table des matières 1 Définitions 2 2 Propriétés de la somme 4 1

2 1 Définitions On se donne une suite (f n ) n d applications d un espace de Banach X dans un autre espace de Banach E. Soit (f n ) n une suite d applications de X dans E. Pour tout entier N, on définit l application S N : X E par S N (x) = N n=0 f n(x). Les fonctions S N sont appelées sommes partielles de la série de fonctions n 0 f n. On dit que la série de fonctions n 0 f n est simplement convergente sur X si la suite de fonctions (S N ) N est simplement convergente sur X. Cela revient à dire que pour tout x de X, la série n 0 f n(x) est convergente dans E. On dit que la série de fonctions n 0 f n est uniformément convergente sur X si la suite (S N ) N des sommes partielles est uniformément convergente sur X. Si une série de fonctions est uniformément convergente, alors elle est simplement Immédiat Soit n 0 f n une série de fonctions, simplement Pour tout N de N, soit R N = n=n+1 f n le reste d indice N de cette série. Dire que la série n 0 f n est uniformément convergente sur X, c est dire que la suite (R N ) N converge uniformément vers la fonction nulle. Cela équivaut à écrire : ɛ > 0 N 0 N N N 0 x X 2 n=n+1 f n (x) ɛ

3 Si n 0 f n convergesimplement (resp. uniformément) sur X, alors la suite (f n ) n converge simplement (resp. uniformément) vers la fonction nulle. Pour la convergence uniforme, (f n ) n converge uniformément donc (S N ) N est de Cauchy uniforme. Par conséquent, ɛ > 0, N N / n, m N x X S n (x) S m (x) ɛ Pour m = n + 1, on obtient : n N x X f n+1 (x) ɛ. Cette propriété est souvent utilisée pour démontrer qu une série de fonctions n est pas uniformément On dit que la série de fonctions n 0 f n est normalement convergente sur X s il existe une série n 0 α n de R +, convergente, telle que pour tout n de N et tout x de X, f n (x) α n. Cela revient à dire que la série numérique n 0 sup{ f n(x) / x X} est Si une série de fonctions est normalement convergente, alors elle est uniformément convergente et elle est absolument En particulier, elle est simplement Montrons dans un premier temps que la convergence normale implique la convergence uniforme. Supposons donc que (f n ) n converge normalement sur X. Il existe une série n 0 λ n convergente avec λ n R + et f n (x) λ n pour tout n N. Alors x X; n+p k=0 f k(x) n k=0 f k(x) n+p k=n+1 f k(x) n+p k=n+1 f k(x) k n+1 f k(x) k n+1 λ n qui tend vers 0 quand n tend vers + comme reste de la somme d une série Par conséquent, la suite satisfait au critère de Cauchy uniforme et est donc uniformément La réciproque est fausse. 3

4 2 Propriétés de la somme Soient (f n ) n et (g n ) n deux suites de fonctions de I dans K = R ou C. Soient α et β deux éléments de K. Si les séries n 0 f n et n 0 g n sont convergentes simplement (resp. uniformément, resp. normalement) sur I, alors la série de fonctions n 0 (αf n + βg n ) est convergente simplement (resp. uniformément,resp. normalement). Découle directement des propriétés des limites de suites de fonctions. Soit (f n ) n une suite de fonctions de X dans E. On suppose que la série n 0 f n est uniformément convergente sur tout compact. Soit x 0 un point de X. Si les (f n ) n sont continues en x 0 alors S = n=0 f n est continue en x 0. En particulier : si les f n sont continues sur X, la somme S = n=0 f n est continue sur X Découle directement des propriétés des limites de suites de fonctions. Les deux propriétés précédentes peuvent parfois être utilisées pour montrer qu une série de fonctions n est pas uniformément Soit (f n ) n une suite de fonctions d un intervalle I = [a; b] compact dans E continues sur X On suppose que la série n 0 f n est uniformément convergente sur tout compact. Alors pour tous a, b de I on a l égalité : b a f n (t) dt = n=0 n=0 b a f n (t) dt 4

5 Soit (f n ) n une suite de fonctions d un intervalle I de R dans un corps K = R ou C, de classe C 1, telle que : I l existe au moins un x 0 de I tel que la série n 0 f n(x 0 ) converge. La série de fonctions n 0 f n est uniformément convergente sur tout compact de I. Alors on a les résultats suivants : la série n 0 f n est uniformément convergente sur tout compact de I. La somme de la série n 0 f n est de classe C 1 sur I. Sur tout intervalle I, on a l égalité : ( + n 0 f n) = + n 0 f n. 5

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