M2 genepi. Optique (PHYS 931) TD 1 Fondements et réfraction

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1 M2 genepi Optique (PHYS 931) TD 1 Fondements et réfraction 1 - La nature de la lumière Petites questions qualitatives que peut se poser naïvement un élève ou moins naïvement un membre du jury. 1. Qu est-ce que la lumière? 2. Décrire le spectre électromagnétique, des ondes métriques aux rayons gamma. 3. Écrire les équations de Maxwell dans le vide, et leurs solutions en ondes planes monochromatiques. 4. Donner des exemples de détecteurs d ondes électromagnétiques, en décrivant le mécanisme physique à l œuvre lors de la détection. 5. Qu est-ce qu un photon? 6. Le domaine des radiations visibles est défini par les longueurs d onde λ [400 nm, 800 nm]. À quels domaines de fréquences et d énergies cela correspond-il? On exprimera les énergies en joules (J) et en électron-volts (ev). Pourquoi peut-on associer une énergie à une fréquence? 2 - Les approximations de l optique géométrique Des définitions et des ordres de grandeur importants. 1. On considère l onde lumineuse émise par une source ponctuelle monochromatique. Rappeler le principe de Huygens. 2. Rappeler les définitions des fronts d ondes et des rayons lumineux. 3. On place après la source un écran percé d un trou circulaire. Représenter sur un dessin la structure de l onde issue du trou. On dessinera les fronts d onde et les rayons. Comment la longeur d onde influe-t-elle votre schéma? Qu appelle-t-on l optique géométrique? 4. Rappeler la définition et la signification physique du vecteur de Poynting. 5. On considère un trou circulaire de rayon éclairé par une onde plane monochromatique de longueur d onde λ = 500 nm. Quel est l ordre de grandeur de l angle caractéristique de la diffraction pour un rayon de 5 cm? pour un rayon de 5 µm? 1

2 3 - Construction de Huygens effet Cherenkov Un premier lien entre l optique géométrique et l optique ondulatoire. On considère une interface entre deux milieux transparents, dans lesquels la lumière se propage de façon isotrope à la vitesse v 1 et v 2 respectivement. Pour simplifier l étude qui suit, on considère que l interface est constituée de centres récepteurs/émetteurs de lumière, qui réémettent dans toutes les directions la lumière qu ils reçoivent. Nous les appellerons les atomes. 1. Une onde plane se propageant initialement dans le milieu 1 arrive avec une incidence θ sur le milieu 2. Représenter sur un schéma les fronts d onde émis par plusieurs atomes. 2. Montrer que dans le cas où v 2 < v 1, ces cercles forment un front d onde plan. Justifier la construction de Huygens du rayon réfracté, indiquée sur le schéma suivant. rayon incident C 2 (1/n 2 ) C rayon réfracté I C 1 (1/n 1 ) B A milieu réfractant 3. Montrer que dans le cas où v 2 > v 1, ce n est pas forcément le cas. Quel nom donne-t-on à ce phénomène dans le cadre de l optique géométrique? 4. À présent, les atomes sont excités non plus par une onde incidente, mais par le passage d une particule chargée à la vitesse v. Montrer si v est supérieure à une vitelle limite que l on déterminera, on se trouve dans une situation analogue à celle de la question 1, si bien qu un front lumineux peut se propager dans le milieu. C est l effet Cherenkov. 4 - Réflexion et réfraction d une onde électromagnétique Des révisions du cours d électromagnétisme. Ces points permettent de faire un lien entre l électromagnétisme et l optique géométrique. Les calculs de cet exercice sont très classiques, et il est recommandé de les avoir suivis en détail au moins une fois. 1. Écrire les équations de continuité du champ électromagnétique, à la traversée d une interface entre deux diélectriques non magnétiques, d indices n 1 et n Une onde plane monochromatique est envoyée sur l interface précédente et on suppose qu il n y a ni courant, ni charge surfacique. Montrer que l angle d incidence de l onde réfléchie est égal à celui de l onde incidente. Démontrer la loi de Snell-Descartes. 3. Définir et calculer les coefficients de réflexion et de transmission d amplitude dans le cas où le vecteur champ électrique est perpendiculaire au plan d incidence. Montrer que t = 2n 1 cos i n 1 cos i + n 2 cos t et r = n 1 cos i n 2 cos t n 1 cos i + n 2 cos t 4. Calculer les coefficients de réflexion et de transmission dans le cas où le vecteur champ électrique est contenu dans le plan d incidence. t = 2n 1 n 2 cos i n 1 cos t + n 2 cos i text 2 r = n 1 cos t n 2 cos i n 1 cos t + n 2 cos i

3 5. Montrer que dans le cas de l incidence normale, ces expressions deviennent r = n 1 n 2 n 1 + n 2 et t = 2n 1 n 1 + n 2. Que deviennent-elles lorsqu il y a réflexion totale? Quel est dans les différents cas le déphasage induit par la réflexion? 5 - L équation des rayons lumineux Si vous avez le temps. Ces points sont repris dans les sujets sur les mirages. 1. On considère un milieu stratifié, constitué de couches horizontales d indice n i. Un rayon lumineux se propage en faisant un angle α i avec la verticale dans la couche i. Écrire la relation entre α i, α i+1, n i et n i On considère maintenant un milieu dans lequel l indice n varie continûment avec la cote z. Comment s écrit la relation précédente dans ce cas? 6 - Principe de Fermat Il faut impérativement savoir répondre à la première question. 1. Définir la notion de chemin optique. Énoncer le principe de Fermat. 2. Des rayons issus d une source S de coordonnées (x S, y S ) sont réfléchis par un miroir plan d équation y = 0. On s intéresse au rayon qui atteint le point (x P, y P ). En utilisant le principe de Fermat, déterminer les coordonnées du point du miroir où ce rayon est réfléchi. Le chemin optique est-il minimal ou maximal? 3. Une source de coordonnées (0, l) est plongée dans un milieu d indice n, séparé du vide par une surface plane d équation y = 0. Le rayon qui atteint un observateur situé au point (x P, y P ) passe par le point de la surface de coordonnées (x, 0). Écrire l équation du quatrième degré vérifiée par x. 7 - Arc-en-ciel [Ze classique des classiques] On considère une goutte d eau, parfaitement sphérique, éclairée par un faisceau de lumière parallèle. On s intéresse aux différents rayons réfractés et réfléchis sur l interface air/eau de la surface de la goutte. L indice de l eau sera noté n. 1. Calculer l angle de déviation du rayon qui sort de la goutte après deux réfractions, en fonction de h (voir le schéma pour les notations). Que voit-on si place l œil derrière la goutte? 2. Montrer que le phénomène de réflexion totale ne peut pas avoir lieu pour les rayons considérés. 3. Calculer l angle de déviation du rayon qui sort de la goutte après avoir subi une réflexion en plus des deux réfractions, en fonction de h. 4. Montrer que cette déviation présente un extrémum, que l on déterminera en fonction de n. Que voit-on si place l œil devant la goutte? 5. Dans la cas où la lumière utilisée est polychromatique, expliquer le phénomène d arc-en-ciel. 6. Calculer l angle de déviation du rayon qui sort de la goutte après avoir subi deux réflexions en plus des deux réfractions, en fonction de h. 7. Montrer que cette déviation présente un extrémum, que l on déterminera en fonction de n. Que voit-on si place l œil devant la goutte? Comment s appelle ce phénomène? 3

4 ! h R!' 8 - Réfractomètre [Utilisation intensive des lois de Descartes, notion de réflexion totale] Un réfractomètre est constitué d un bloc de matériau transparent d indice connu n, sur lequel on pose un autre matériau d indice inconnu N. On envoie un rayon 1 comme indiqué sur la figure. j N n i 1 r 1. Calculer l angle de sortie j de la face supérieure en fonction de l angle incident i. 2. À quelle condition ce rayon existe-t-il? Expliquer comment on peut exploiter cette condition pour mesurer l indice N. 3. On s intéresse maintenant au rayon 2. Calculer l angle de sortie de la face de droite. A quelle condition ce rayon existe-t-il? 9 - Loupe de Stanhope La loupe de Stanhope est un cylindre de verre délimité par un dioptre plan d un côté et par un dioptre sphérique de l autre. On notera respectivement A et S les sommets de ces dioptres (voir la figure). Cette loupe se pose par sa face plane sur l objet à examiner. Afin de faciliter les constructions géométriques, on considérera que l indice du verre vaut n = 2. Le rayon de courbure du dioptre sphérique sera pris égal à R = 5 cm. Dans tout l exercice, on considèrera que les conditions de Gauss sont vérifiées. 4

5 B A C S 1. Montrer que dans la situation décrite dans le paragraphe d introduction, au niveau du dioptre sphérique l angle émergent α r est égal au double de l angle incident α i. 2. Déduire de cette propriété une construction géométrique simple, à la règle, du rayon émergent correspondant à un rayon incident donné (par exemple celui indiqué sur la figure). 3. Construire géométriquement l image du point A. On justifiera clairement cette réponse, en faisant intervenir deux rayons lumineux. 4. Exprimer la distance algébrique SA en fonction de la longueur l SA de la loupe, avec la convention de signe adoptée en cours (sens positif vers la droite sur le schéma). 5. On rappelle la relation de conjugaison des dioptres sphériques, n SA n SA = n n SC (1) où n désigne l indice du milieu incident et n celui du milieu émergent. Calculer la position de l image SA en fonction de n, l et du rayon de courbure R du dioptre sphérique qui délimite la loupe. 6. De la relation de conjugaison, déduire la position du foyer objet SF et du foyer image SF du dioptre sphérique. Les placer sur le schéma. 7. Déterminer la condition sur l pour que l image soit virtuelle. 8. Tracer une nouvelle figure sur laquelle le dioptre sphérique est représenté par le symbole usuel indiquant que l on se place dans les conditions de Gauss. On placera les points C, S, F et F sur ce schéma. 9. Construire géométriquement l image B du point B par le dioptre sphérique sur cette figure, en se plaçant dans le cas où l image est virtuelle (voir deux questions plus haut). 10. Quel est l intérêt de ce dispositif? 10 - Réflexion sur un miroir sphérique [Notion de stigmatisme approché] Le calcul demande de l attention. Posez proprement les équations. 1. On considère un miroir sphérique, sur lequel on envoie un rayon parallèle à l axe. Calculer la distance CM en fonction de a. 2. Développer CM au second ordre en a/r pour a R. Quelle(s) remarque(s) vous inspire ce développement? 3. Rappeler la construction géométrique des images par un miroir sphérique, dans les conditions de Gauss. 5

6 11 - Lentille goutte Les photographies précédentes représentent des scènes vues à travers des gouttes de rosée. Cet exercice propose une étude simplifiée de la formation des images par une goutte. La simplification consiste à se placer dans les conditions de Gauss, qu on supposera réalisées dans tout l exercice. La goutte de rosée est délimitée par une surface sphérique de rayon R, qui délimite un dioptre d entrée et un dioptre de sortie. On rappelle que la relation de conjugaison avec origine au centre s écrit pour chaque dioptre n e CA n i CA = n i n e CS où n i désigne l indice du milieu incident, n e celui du milieu émergent, C le centre de courbure du dioptre et S son sommet (attention, les deux dioptres n ont a priori pas le même centre ni le même sommet), A l objet et A l image. On considérera ici que l indice du milieu extérieur vaut Représenter de façon schématique la marche d un rayon lumineux issu d un objet A réel et traversant la goutte. 2. Exprimer CS 1 et CS 2 en fonction de R, en utilisant la convention de signe indiquée sur le schéma. 3. En utilisant la relation de conjugaison associée au premier dioptre de la goutte (la face par laquelle la lumière entre dans la goutte), calculer la position CA i de l image intermédiaire A i que ce dioptre forme de A. (2) 6

7 n = 4/3 + S 1 C S 2 4. En utilisant la relation de conjugaison associée au second dioptre de la goutte (la face par laquelle la lumière sort de la goutte), calculer la position CA de l image finale A que ce dioptre forme de A i. 5. Application numérique : On regarde à travers la goutte une main de taille AB = 20 cm, placée à une distance d = 1 m en avant de la goutte. Calculer numériquement CA en prenant pour R une valeur typique d une goutte de rosée, laissée à votre convenance (on précisera clairement la valeur choisie!). L indice de réfraction de l eau sera pris égal à n = 4/3. 6. En faisant la somme des deux relations de conjugaison écrites dans les questions précédentes, montrer que la position de l image finale A et celle de l objet A sont reliées par 1 CA 1 2(n 1) = CA nr (3) 7. Rappeler la formule de conjugaison des lentilles minces et en déduire que la goutte se comporte comme une lentille mince dont on précisera la distance focale f et la position du centre O en fonction de R et n. Application numérique : calculer f. 8. Dans toute la suite on assimile la goutte à une lentille mince. Calculer la position CA de l image finale A en fonction de celle CA de l objet A. 9. Sur un schéma, construire géométriquement la position d un objet réel AB. On ne respectera pas nécessairement les échelles sur le schéma. 10. Application numérique : montrer que l on retrouve le résultat de la question Montrer que la taille A B de l image est reliée à celle de l objet par A B AB = CF F A (4) 12. Montrer que l image est inversée par rapport à l objet, comme on le voit sur les photographies. 13. Calculer la taille de l image de la main considérée dans les questions précédentes Sujets de CAPES 1. Partie F du sujet de l année Partie A du sujet de l année Phénomène de mirage, Sujet 1995, Partie A, 3) 4. Modélisation de l arc-en-ciel, Sujet 1993, Partie A, 1) 7