20. Algorithmique & Mathématiques

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1 L'éditeur L'éditeur permet à l'utilisateur de saisir les liges de codes d'u programme ou de défiir des foctios. Remarque : O peut saisir directemet des istructios das la cosole Scilab, mais il est plus simple de grouper ces commades das l'éditeur qui serot exécutées lige par lige par le logiciel Scilab. Ces commades peuvet être sauvegardées das u fichier texte (extesio.sci ou.sce). Les liges de codes écrites das l'éditeur Scilab sot présetées aisi : Editeur : x = lispace(a,b,p); y= oes(x)*d; // Surface scf(); xset('colormap',hotcolormap(128)) fplot3d1(x,x,f) 20. Algorithmique & Mathématiques

2 4- Les istructios du lagage Scilab 4-1. Lecture et écriture des doées Cette partie comporte la liste des foctios Scilab utilisées das cet ouvrage. Chaque foctio comporte ue défiitio succicte mais suffisate pour être utilisée das les travaux pratiques. Pour plus d'iformatios sur les différets paramètres de ces foctios, prière de se reporter au fichier d'aide du logiciel Scilab INPUT La foctio iput() permet de saisir ue variable utilisateur. Editeur : w = iput("etrer votre préom : ","strig"); u = iput("etrer les bores : [a,b]= "); p = iput("etrer le ombre de poits : p = "); Cosole : Etrer votre préom : Pierre Etrer les bores : [a,b]= [5,2] Etrer le ombre de poits : p = 7 Remarques : La variable w cotiet ue chaîe de caractère (strig) La variable u est u vecteur : u(1) = 5 et u(2) = 2. u(1) peut s'écrire u(1,1) et u(2), u(1,2). La variable p est u réel. Ici p = DISP La commade disp() permet d'afficher u résultat das la cosole Scilab. Editeur : a=5; disp(a) Cosole : Algorithmique & Mathématiques

3 Première partie Eocés des travaux pratiques

4 2- Travail pratique Résolutio de l'équatio f(x) = 0 Méthode de dichotomie Soit f ue foctio strictemet mootoe sur u itervalle [a ; b] où les valeurs de a et de b sot telles que f chage de sige etre a et b. Il s'agit de résoudre l équatio (E) sur cet itervalle : f ( x) = 0 (E) De ombreuses situatios doet lieu à la résolutio umérique d équatios et d iéquatios. Les calculatrices et les outils logiciels itègret les foctioalités umériques ou formelles permettat cette résolutio. O se propose ici d'utiliser ue des méthodes de résolutio appelée méthode de dichotomie. a m b Présetatio de la méthode de dichotomie Cette méthode cosiste, e choisissat à chaque fois la valeur située au milieu de l itervalle e cours, à réduire de moitié l amplitude de l itervalle das lequel se trouve le ombre α tel que f ( α) = 0. b a Au bout de essais, l'itervalle a pour amplitude : Eocé 2 O cosidère la foctio suivate : f ( x) = x + 10x 23. Il s'agit de résoudre l'équatio (E) : f ( x) = 0 (E) O souhaite détermier la solutio x1 apparteat à l'itervalle [2 ; 4] avec ue précisio p doée, aisi que la solutio x2 apparteat à l'itervalle [5 ; 7] avec la même précisio Travail demadé 1] Ecrire l'algorithme permettat de calculer les solutios de l'équatio (E). 2] Ecrire le programme correspodat permettat de saisir la précisio p désirée Algorithmique Les doées - f : La foctio à étudier. - p : La précisio désirée Les valeurs à détermier Les solutios de l'équatio (E). Foctios et résolutio d'équatios Eocés. 35

5 1- Travail pratique Le jeu du lièvre et de la tortue 1-1. Eocé U lièvre et ue tortue sot sur la lige de départ. La tortue doit avacer de p cases pour atteidre la lige d'arrivée. Règle du jeu : Ue partie comporte au plus p tours. À chaque tour, o lace u dé. Si le 6 sort, alors le lièvre gage la partie, sio la tortue avace d ue case. La tortue gage quad elle a avacé p fois. Lièvre Tortue ARRIVEE p cases Soit T l'évèemet : "La tortue a gagé la partie", il s'agit de détermier, à l'aide d'ue simulatio de ce jeu, la fréquece de l'évèemet T afi de pouvoir cojecturer, suivat les valeurs de p, si le jeu est à l'avatage du lièvre ou de la tortue Travail demadé 1] Ecrire l'algorithme permettat d'effectuer la simulatio de parties et de compter le ombre de parties t t gagées par la tortue. E déduire la fréquece de l'évèemet T. 2] Ecrire le programme correspodat permettat de saisir le ombre de parties aisi que le ombre de cases p à parcourir par la tortue. 3] Cojecturer, suivat les valeurs de p, si le jeu est à l'avatage du lièvre ou de la tortue Algorithmique Les doées - : Le ombre de parties à jouer. - p : Le ombre de cases à parcourir par la tortue Les valeurs à détermier - t : Le ombre de parties gagées par la tortue. t - : La fréquece de l'évèemet T La méthode utilisée - La simulatio de chaque lacer de dé est obteue par la géératio d'u ombre etier aléatoire compris etre 1 et 6. - Pour chaque partie, o lace le dé au maximum p fois. Par exemple, si le 6 sort au secod lacer alors la tortue a perdu et o recommece alors ue ouvelle partie. - Pour chaque partie gagée par la tortue, o icrémete la valeur de t. - Au bout de parties o calcule le quotiet t correspodat à la fréquece de l'évèemet T. Probabilités Eocés. 43

6 7- Travail pratique Nombres à moyee harmoique etière 7-1. Eocé U ombre à moyee harmoique etière est u etier aturel p dot la moyee harmoique m de ses diviseurs positifs est u etier. Si o ote d 1, d 2,..., d les diviseurs positifs de l'etier aturel p, alors le ombre m suivat est u etier : m = = k d1 d 2 d d = k = 1 Exemple : O cosidère le ombre p = 6. Les 4 diviseurs positifs de 6 sot {1, 2, 3, 6}. 4 4 m = = = 2 ; m est u etier doc 6 est u ombre à moyee harmoique etière Travail demadé 1] Ecrire l'algorithme permettat de détermier si u etier aturel p est à moyee harmoique etière. 2] Ecrire le programme correspodat permettat de saisir la valeur de p. 3] Vérifier que les ombres suivats sot à moyee harmoique etière : 6 ; 1638 ; 6200 ; 8128 ; ] O défiit les etiers : = q 1 et p = 2. q, où est u etier aturel. Doer quelques valeurs de pour lesquelles l'etier p est u etier à moyee harmoique etière. Quelle cojecture peut-o faire? 7-3. Algorithmique Les doées p : L'etier aturel à étudier Les valeurs à détermier Il s'agit de détermier la moyee harmoique m de l'etier aturel p La méthode utilisée - O saisit la valeur de p. - O détermie l'esemble des diviseurs positifs de p, puis o calcule la valeur de m. - O affiche le résultat Les foctios et structures Structure répétitive TatQue p <> 1 Faire {Traitemet 1} FiTatQue k Arithmétique Eocés. 73

7 2- Travail pratique Etude d'u parallélogramme B 2-1. Eocé A partir des coordoées de trois poits A, B et C, o souhaite détermier les coordoées du poit D tel que ABCD soit u parallélogramme Travail demadé 1] Ecrire l'algorithme permettat de détermier les coordoées du poit D. 2] Ecrire le programme correspodat permettat de saisir les coordoées des poits A, B et C. 3] Représeter le parallélogramme ABCD das ue feêtre graphique. A D C 2-3. Algorithmique Les doées Les coordoées des poits A, B et C Les valeurs à détermier Les coordoées du poit D La méthode utilisée - O saisit les coordoées des poits A, B et C. - O calcule les coordoées du poit I, milieu de [AC]. - O calcule les coordoées du poit D, symétrique du poit B par rapport au poit I. - O affiche le résultat Les foctios et structures vecteur a = [5,8] a est u vecteur qui représete les coordoées du poit A(5 ; 8). a(1) ou a(1,1) a pour valeur 5. a(2) ou a(1,2) a pour valeur 8. = a/2 ; est u vecteur et = [2.5,4] Si b = [2,10] alors d = a + b est u vecteur et d = [7,18] Foctio gca() a=gca() retoure l'idetifiat de l'axe courat. Foctio isoview a.isoview() = "o" : Permet d'obteir u repère isométrique (avec les mêmes échelles). Foctio plot() : Trace le graphe d'ue foctio. Géométrie Eocés. 77

8 Deuxième partie Solutios des travaux pratiques

9 1- Travail pratique Solutio Le jeu du lièvre et de la tortue 1-1. L'algorithme ARRIVEE Variables, p, c, t, d, k Lièvre Etrées Saisir, p Tortue p cases Traitemet c pred la valeur 0 (Numéro de la case où se trouve la tortue) t pred la valeur 0 (Nombre de parties gagées par la tortue) k pred la valeur (O utilise la variable k pour le comptage des parties) TatQue k <> 0 Faire d pred ue valeur etière aléatoire comprise etre 1 et 6. Si d <> 6 Alors c pred la valeur c + 1 Si c = p Alors t pred la valeur t + 1 c pred la valeur 0 k pred la valeur k 1 FiSi Sio c pred la valeur 0 k pred la valeur k 1 FiSi FiTatQue Sorties Afficher la fréquece : t/ Afficher la fréquece théorique : (5/6)^p Probabilités Solutios. 95

10 1-2. Le programme = iput("etrer le ombre de parties à jouer... : ") p = iput("etrer le ombre p de cases à parcourir par la tortue : ") k = ; t = 0; c = 0; while k <> 0 d = it(6 * rad() + 1); if d <> 6 the c = c + 1; if c == p the t = t + 1; c = 0; k = k - 1; ed else c = 0; k = k - 1; ed ed pritf("%s\","resultats :") pritf ("Fréquece des parties gagées par la tortue : %f\",t/) pritf ("Fréquece théorique : %f\",(5/6)^p) 96. Algorithmique & Mathématiques

11 1-3. Les résultats umériques Les résultats ci-dessous correspodet à des simulatios de parties pour différetes valeurs du ombre de cases p. Cosole Scilab : Etrer le ombre de parties à jouer... : Etrer le ombre p de cases à parcourir par la tortue : 1 RESULTATS : Fréquece des parties gagées par la tortue : Fréquece théorique : Etrer le ombre de parties à jouer... : Etrer le ombre p de cases à parcourir par la tortue : 2 RESULTATS : Fréquece des parties gagées par la tortue : Fréquece théorique : Etrer le ombre de parties à jouer... : Etrer le ombre p de cases à parcourir par la tortue : 3 RESULTATS : Fréquece des parties gagées par la tortue : Fréquece théorique : Etrer le ombre de parties à jouer... : Etrer le ombre p de cases à parcourir par la tortue : 4 RESULTATS : Fréquece des parties gagées par la tortue : Fréquece théorique : Etrer le ombre de parties à jouer... : Etrer le ombre p de cases à parcourir par la tortue : 5 RESULTATS : Fréquece des parties gagées par la tortue : Fréquece théorique : Etrer le ombre de parties à jouer... : Etrer le ombre p de cases à parcourir par la tortue : 6 RESULTATS : Fréquece des parties gagées par la tortue : Fréquece théorique : Etrer le ombre de parties à jouer... : Etrer le ombre p de cases à parcourir par la tortue : 7 RESULTATS : Fréquece des parties gagées par la tortue : Fréquece théorique : Cojecture : Le jeu est à l'avatage de la tortue lorsque le ombre de cases est iférieur ou égal à 3. Probabilités Solutios. 97

12 4-3. Les résultats umériques 3] Représetatio graphique des surfaces : 10 (S1) : z = 2 2 x + y + 1 Représetatio graphique d'ue surface d'équatio z = f(x,y) Etrer l'expressio de la foctio f(x,y). z= 10/(x^2+y^2+1) Etrer les bores de l'itervalle. [a,b]= [-3,3] Etrer le ombre de poits à cosidérer. p= 30 Remarque : Le bouto "Rotatio" de la barre d'outils de la feêtre graphique permet de visualiser la surface sous différets agles de vue. Géométrie Solutios. 163

13 Troisième partie Le logiciel Scilab e 10 étapes

14 Cette troisième partie est destiée à permettre ue prise e mai rapide du logiciel Scilab. Il est etedu que toutes les foctioalités du logiciel 'y sot pas abordées. Il s'agit simplemet d'acquérir ue coaissace de base pour pouvoir traiter les travaux pratiques das de boes coditios. Chaque étape propose des exercices à réaliser aisi que les solutios correspodates. 1- L'eviroemet Scilab Le logiciel Scilab se compose pricipalemet d'ue cosole, d'u éditeur et de feêtres graphiques La cosole Il s'agit de la feêtre pricipale de Scilab. La cosole permet à l'utilisateur de saisir toutes les commades Scilab directemet au clavier. Pour accéder à l'éditeur : Meu de la cosole : "Applicatios / Editeur" 1-2. L'éditeur L'éditeur permet à l'utilisateur de saisir les liges de codes d'u programme ou de défiir des foctios. Pour exécuter u programme : Meu de l'éditeur : "Exécuter / Charger das Scilab" ou "Exécuter / Exécuter le fichier das Scilab" Les feêtres graphiques Les feêtres graphiques affichet les représetatios graphiques créées par les programmes ou les foctios défiies par l'utilisateur. Il est possible de défiir plusieurs feêtres graphiques pour u même programme. La barre d'outils permet d'effectuer ue rotatio du graphique, des zooms avat ou arrière et d'accéder au fichier d'aide du logiciel. Le logiciel Scilab e 10 étapes. 177

15 2- Utiliser la cosole et l'éditeur Exercice 1 Effectuer les opératios suivates das la cosole Scilab : - 22/7-4^ (5+4^2)/(7+4^3) Solutio 1 Cosole : -->22/7 as = >4^2+5 as = >(5+4^2)/(7+4^3) as = Exercice 2 Effectuer les opératios suivates das l'éditeur Scilab et afficher les résultats das la cosole : - 22/7-4^ (5+4^2)/(7+4^3) Solutio 2 Editeur : a = 22/7; b = 4^2 + 5; c = (5+4^2)/(7+4^3); disp(a) disp(b) disp(c) Cosole : Remarque : O lace les calculs à l'aide du meu de l'éditeur : "Exécuter / Charger das Scilab" ou "Exécuter / Exécuter le fichier das Scilab" Algorithmique & Mathématiques

16 3- Saisir et afficher des doées Exercice 1 Ecrire u programme das l'éditeur Scilab effectuat les opératios suivates : - Saisir ue valeur a das la cosole ; - Calculer le carré de la valeur a ; - Afficher le résultat. Solutio 1 Editeur : a = iput("etrer la valeur de a : "); r = a^2; pritf("résultat : %f\",r) Cosole : Etrer la valeur de a : 5 Résultat : Exercice 2 Ecrire u programme das l'éditeur Scilab effectuat les opératios suivates : - Saisir deux valeurs a et b das la cosole ; - Calculer le quotiet a/b ; - Afficher le résultat avec 4 décimales. Solutio 2 Editeur : s = iput("etrer les valeurs de a et de b : [a,b]= "); r = s(1)/s(2); pritf("résultat : %0.4f\",r) Cosole : Etrer les valeurs de a et de b : [a,b]= [22,7] Résultat : Le logiciel Scilab e 10 étapes. 179

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