Variables aléatoires.

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1 rbles létores Chtre : cours comlet rble létore dscrète Défto : vrble létore dscrète Théorème : mge récroque d ue rte de Théorème : robblté ttchée à ue vrble létore dscrète Défto : lo de robblté d ue vrble létore dscrète Théorème 3 : sstème comlet dut r ue vrble létore dscrète Théorème 4 : crctérsto d ue lo de vrble létore dscrète à l de d évéemets élémetres Théorème 5 : dms estece d ue robblté our et doées Focto de rértto d ue vrble létore dscrète los clssques Défto : Défto : Théorème : eemles : Défto 3 : Théorème : Défto 4 : Théorème 3 : focto de rértto d ue vrble létore dscrète réelle hors rogrmme hstogrmme d ue vrble létore dscrète réelle rorétés d ue focto de rértto d ue vrble létore réelle dscrète foctos de rértto et hstogrmmes des los uforme de Beroull bomle lo géométrque lo géométrque vrble létore dscrète ss mémore lo de osso romto d ue lo bomle r ue lo de osso 3 sérce d ue vrble létore dscrète Défto 3 : esérce d ue vrble létore dscrète Théorème 3 : dms ordre des termes our le clcul d ue esérce Théorème 3 : esérce d ue vrble létore dscrète à vleurs ds Théorème 33 : dms formule du trsfert Théorème 34 : dms lérté de l esérce Théorème 35 : remères rorétés de l esérce Théorème 36 : esérce d ue vrble létore suvt ue lo géométrque G Théorème 37 : esérce d ue vrble létore suvt ue lo de osso Théorème 38 : esérce d ue vrble létore ret u ombre f de vleurs Rel : esérce des los uforme de Beroull et bomle Théorème 39 : églté de Mrov 4 Coule et fmlle de vrbles létores déedce Théorème 4 et défto 4 : coule de vrbles létores dscrètes Défto 4 : lo coote et los mrgles d u coule de vrbles létores dscrètes Théorème 4 : le etre lo coote et los mrgles d u coule de vrbles létores Défto 43 : los codtoelles Théorème 43 : le etre lo coote lo mrgle et lo codtoelle Défto 44 : coule de vrbles létores déedtes Théorème 44 : dms déedce et évéemets o élémetres Théorème 45 : dms esérce d u rodut de vrbles létores dscrètes déedtes Théorème 46 : mges de deu vrbles létores dscrètes déedtes Défto 45 : fmlle fe de vrbles létores dscrètes mutuellemet déedtes Défto 46 : sute de vrbles létores dscrètes mutuellemet déedtes Théorème 47 : dms estece d u modèle our des los de robblté doées Théorème 48 : somme de deu vrbles létores déedtes suvt ue lo de osso 5 rce et covrce Théorème 5 : le etre esérce de et de Défto 5 : vrce d ue vrble létore dscrète réelle Théorème 5 : utre eresso de l vrce Théorème 53 : rorétés élémetres de l vrce Défto 5 : écrt-te d ue vrble létore dscrète réelle Chtre : rbles létores Cours comlet - -

2 Théorème 54 : vrce d ue vrble létore ret u ombre f de vleurs emle : vrce d ue vrble létore suvt ue lo uforme de Beroull bomle Théorème 55 : vrce d ue vrble létore suvt ue lo géométrque Théorème 56 ; vrce d ue vrble létore suvt ue lo de osso Théorème 57 : églté de Bemé-Tchebtchev Théorème 58 : églté de Cuch-Schwrz Théorème 59 et défto 53 : covrce d u coule de vrbles létores dscrètes réelles Théorème 5 : covrce d u coule de vrble létores dscrètes réelles déedtes Défto 54 et théorème 5 : coeffcet de corrélto d u coule de vrbles létores dscrètes réelles Théorème 5 : vrce d ue somme fe de vrbles létores dscrètes réelles Théorème 53 : vrce d ue somme de deu vrbles létores dscrètes réelles déedtes Théorème 54 : lo fble des grds ombres 6 Foctos géértrces des vrbles létores à vleurs ds Défto 6 : focto géértrce d ue vrble létore à vleurs ds Théorème 6 : ro de covergece et rorétés d ue focto géértrce Remrque : focto géértrce d ue vrble létore ret u ombre f de vleurs Théorème 6 : le récroque etre focto géértrce et vrble létore Théorème 63 : focto géértrce d ue vrble suvt ue lo géométrque Théorème 64 : focto géértrce d ue vrble suvte ue lo de osso Théorème 65 : dms esérce de et dérvblté de G e Théorème 66 : dms vrce de et dérvblté secode de G e Théorème 67 : focto géértrce d ue somme de deu vrbles déedtes à vleurs ds 7 ee : crctérstques des los clssques 8 ee : hors rogrmme fmlles sommbles de réels Défto 8 : fmlle sommble de réels ostfs somme d ue telle fmlle sommble Théorème 8 : déombrblté des élémets o uls d ue fmlle sommble de réels ostfs Théorème 8 : le etre fmlle sommble de réels ostfs et sére Théorème 83 : oértos sur les fmlles sommbles de réels ostfs Théorème 84 : sous-fmlles d ue fmlle sommble de réels ostfs Théorème 85 : sommto r quets d ue fmlle sommble de réels ostfs Défto 8 : fmlle sommble de réels quelcoques somme d ue fmlle sommble Théorème 86 : défto équvlete de l sommblté d ue fmlle de réels Théorème 87 : sommblté et séres bsolumet covergetes covergece commuttve Théorème 88 : sous-fmlles de fmlles de réels sommbles Théorème 89 : lérté Théorème 8 : sommto r quets d ue fmlle sommble de réels Théorème 8 : théorème de Fub our les fmlles sommbles de réels Chtre : rbles létores Cours comlet - -

3 rbles létores Chtre : cours comlet rble létore dscrète Défto : vrble létore dscrète Soet Ω u esemble mu d ue trbu et u esemble quelcoque O dt que est ue vrble létore dscrète ou vd sur Ω ou sur Ω à vleurs ds s et seulemet s : est ue lcto de Ω ds l esemble des vleurs rses r sur Ω sot l esemble Ω est u lus déombrble - {} utremet dt - {} est u évèemet our : o oter ou { } l évèemet - {} Théorème : mge récroque d ue rte de Soet Ω u esemble mu d ue trbu et ue vrble létore dscrète sur Ω à vleurs ds lors : U Ω - U et doc - U est u évèemet O oter rfos : - U { U} U Démostrto : usque Ω est u lus déombrble U l est uss et o eut éumérer ses élémets : U { } où les sot deu à deu dstcts l démostrto s dte s U est f us : U U { } et : U U{ } U { } Comme : Ω - {} et usque est ue trbu sur Ω o e dédut que comme réuo déombrbles d élémets de - U est ecore u élémet de Théorème : robblté ttchée à ue vrble létore dscrète Soet Ω u esce robblsé et ue vrble létore dscrète sur Ω à vleurs ds u esemble lors l lcto de Ω ds [] défe r : Ω - déft ue robblté sur ΩΩ rtculer s : Ω o oter lus smlemet l qutté : - {} { } De même s : Ω o oter lus smlemet l qutté : - Démostrto : érfos les dfférets ots qu grtsset le résultt est be à vleurs ds [] Ω - Ω Ω Sot ue sute de rtes de Ω deu à deu dsotes lors les esembles { - } sot deu à deu dsots doc l sére est covergete et : U Ms o de lus : U U qu o vérfe r double cluso Doc : U U U Défto : lo de robblté d ue vrble létore dscrète Soet Ω u esce robblsé et ue vrble létore dscrète sur Ω à vleurs ds Chtre : rbles létores Cours comlet - 3 -

4 L lcto défe u théorème est elée lo ou de lo de robblté de l vrble létore et o l ote Théorème 3 : sstème comlet dut r ue vrble létore dscrète Soet Ω u esce robblsé et ue vrble létore dscrète sur Ω à vleurs ds lors l fmlle des rtes { } où corresod à ue éumérto de Ω forme u sstème comlet d évéemets Démostrto : l est clr que ces esembles sot deu à deu dsots u élémet ω de Ω e eut vor deu mges dstctes r et que leur réuo est be Ω usque chque élémet ω ue mge ω qu se retrouve ds l éumérto Théorème 4 : crctérsto d ue lo de vrble létore dscrète à l de d évéemets élémetres Soet Ω u esce robblsé et ue vrble létore dscrète sur Ω à vleurs ds lors l lo de est etèremet détermée r l cossce des où corresod à ue éumérto de Ω Démostrto : S o coît l lo de o coît évdemmet les Récroquemet s o coît ces robbltés élémetres lors : où K est ue rte de U Ω { } K Cette réuo étt dsote o eut lors écrre : { } U Doc o eut s détermer our tout : Ω Remrque : s : o eut écrre : vec : Ω et : \ Ω O eut lors écrre : et obter s Théorème 5 : dms estece d ue robblté our et doées Soet Ω u esemble mu d ue trbu et ue vrble létore dscrète sur Ω à vleurs ds u esemble Soet r lleurs les vleurs rses r ds et ue sute d élémets de [] telle que : lors l este ue robblté sur Ω telle que : Chtre : rbles létores Cours comlet K Démostrto hors rogrmme : Ω étt u lus déombrble o écrt : Ω { } et o chost our tout : u élémet ω ds Ω tel que : ω our tout élémet de o ote esute s focto dctrce défe r : ω Ω ω s : ω et : ω s : ω f o déft : ω l somme étt fe s Ω est f lors réod u roblème cr : est be à vleurs ds [] usque les sot ostfs et doc : ω Ω ω Ω S est ue sute d élémets de deu à deu dsots o : ω Ω ω U effet our : ω Ω - sot : ω et ds ce cs l qu u seul dce qu cette rorété cr l fmlle est formée d esembles dsots K ω

5 O lors : ω U D utre rt ω sot uls suf our : et l vut lors Doc l sére ω coverge et s somme vut ce qu démotre l églté océe - sot : ω et ds ce cs l sére est ulle de somme d ue rt ms ω rtet s o lus à l réuo et l utre terme est ul églemet d où à ouveu l églté our : l fmlle ω est lors sommble cr : - l fmlle ω est sommble de somme ou et : ω - l fmlle ω est sommble cr l fmlle est elle-même sommble Le théorème de Fub th 8 ermet d e dédure que l fmlle : ω et : ω ω ω U U Remrque : rtquemet toutes les démostrtos hors rogrmme se réfèret u rgrhe 8 fmlles sommbles Focto de rértto d ue vrble létore dscrète los clssques Défto : focto de rértto d ue vrble létore dscrète réelle Soet Ω u esce robblsé et ue vrble létore dscrète réelle sur Ω O elle focto de rértto de l focto F défe sur r : F Remrque : ft l cossce de Ω est très souvet utle rtque o se cotete souvet de l vrble létore ou de s lo de robblté ou ecore de s focto de rértto F U théorème dffcle ssure que s o se doe ue ou des «boes» foctos o eut trouver u uvers robblsé et ue ou des vrbles létores sur cet uvers dot l les foctos de rértto est sot l les foctos doées tlemet Défto : hors rogrmme hstogrmme d ue vrble létore dscrète réelle Soet Ω u esce robblsé et ue vrble létore dscrète réelle sur Ω Sot ue éumérto ordoée des vleurs de telle que est crosste O elle hstogrmme de l rerésetto e bâtos ou rectgles de l sute ordoée Théorème : rorétés d ue focto de rértto d ue vrble létore réelle dscrète Soet Ω u esce robblsé et ue vrble létore dscrète réelle sur Ω Sot F l focto de rértto de lors : F est crosste sur lm F lm F Chtre : rbles létores Cours comlet - 5 -

6 Démostrto : our : o : - ] - ] et étt crosste u ses de l cluso o : F F F étt crosste et morée r elle dmet ue lmte e - De lus sot ue sute décrosste de réels tedt vers - lors l sute : - ] est telle que : usque ted vers - et : Doc : lm lm lm F r l crctérsto séquetelle des lmtes de foctos o e dédut que : lm F L même démostrto vec cette fos ue sute qu ted vers et l même sute motre que : lm F eemle : vrble létore suvt ue lo uforme trcé c-dessous ft our : 4 Focto de rértto lo uforme U4 Hstogrmme L focto de rértto suvt ue lo uforme U sur { } est doée r : < F < < F F eemle : vrble létore suvt ue lo de Beroull trcés c-dessous fts our : 7 Focto de rértto lo de Beroull B7 Hstogrmme L focto de rértto d ue vrble suvt ue lo de Beroull B est doée r : < F < F F Chtre : rbles létores Cours comlet - 6 -

7 eemle 3 : vrble létore suvt ue lo bomle trcés c-dessous ft our : 5 et : 38 Focto de rértto lo bomle B5 Hstogrmme Focto de rértto lo bomle B38 Hstogrmme L focto de rértto d ue vrble suvt ue lo bomle B est doée r : < F < < F F Défto 3 : lo géométrque Sot Ω u esce robblsé Sot : ][ O dt qu ue vrble létore sur Ω sut l lo géométrque de rmètre lorsque : Ω * et : * Ue telle lo est otée G et o écrr : ~ G Remrques : L lo géométrque est l lo de l vrble létore qu modélse le remer le ds ue sute fe de trges à le ou Fce déedts et our ue èce déséqulbrée c'est-à-dre telle que obter le ue robblté effet obter u remer le u trge our : corresod à vor obteu des Fce u trges récédets et u le u ème sot be : U évéemet quelcoque s de robblté ttrbuée r cette méthode d lleurs quel est récsémet l uvers de l eérece? et c est seulemet l évéemet corresodt à ue fté de Fce successfs à qu l semble turel d ttrbuer l robblté L lo géométrque est uss elée «lo du remer succès» L somme des robbltés des évéemets élémetres vut be : Chtre : rbles létores Cours comlet - 7 -

8 eemle 4 : vrble létore suvt ue lo géométrque trcé c-dessous ft our : 5 Focto de rértto lo géométrque G5 Hstogrmme L focto de rértto d ue vrble suvt ue lo géométrque G est doée r : < F * < F Théorème : lo géométrque vrble létore dscrète ss mémore Sot ue vrble létore dscrète réelle sur u esce robblsé Ω S sut ue lo géométrque lors est «ss mémore» à svor : l * > l > > l Récroquemet s est à vleurs etères strctemet ostves telle que : * > et : l * > l > > l lors sut ue lo géométrque Démostrto : Commeços r suoser que sot l lo géométrque G lors : * l évéemet { > } est l uo dsote de { } > Doc : > us : l * l > l > > l l > > l > l > > Récroquemet s les rorétés océes otos : > > > O lors : * > > > Or : > Doc l sute > est géométrque de rso et : * > > f : * > > sut doc be l lo géométrque G > > Remrque : L lo est dte lors «ss mémore» cr l cossce du résultt des remers trges e modfe s les robbltés our les suvts lus récsémet devor ttedre 5 lcers u mos our vor rître u Succès l même robblté que l o rte du remer trge ou du mllème trge scht qu o s obteu de Succès our ces mlle remers trges Chtre : rbles létores Cours comlet - 8 -

9 O eut oter que l esemble Ω tervet à ucu momet ds l démostrto récédete ce qu ustfe eu à eu de e lus le récser Défto 4 : lo de osso Sot ue vrble létore dscrète réelle sur u esce robblsé Ω O dt que sut l lo de osso de rmètre vec : * lorsque : Ω e! Ue telle lo est otée et o écrr : ~ Remrque : Là ecore l somme des robbltés des évéemets élémetres doe : e e e e!! eemle 5 : vrble létore suvt ue lo de osso L lo de osso s de focto de rértto t ue forme smle O eut e revche comrer des hstogrmmes our des vleurs dstctes de tteto l échelle e vre 8 4 Dfféretes los de osso Théorème 3 : romto d ue lo bomle r ue lo de osso Sot ue sute de réels rtet à ][ telle que : lm vec : > our tout : o ote ue vrble létore de lo B lors our tout eter : l sute ted vers e! Chtre : rbles létores Cours comlet - 9 -

10 Démostrto : réécrvt l lmte suosée o obtet : o et doc :! O costte lors que : o et our ssez grd :!! o o o e l o e o e O e dédut le résultt océ Remrque : Ce résultt s utlse otmmet lorsqu ue vrble létore sut ue lo bomle de rmètres et vec «ett devt» Ds ce cs o remlce our les clculs l lo bomle ecte r l lo de osso rochée de rmètre : eemle 6 : O cosdère u grd ombre d tomes stbles 63 3 qu se déstègret rremet utremet dt eu de déstégrtos edt ue uté de tems Cette fble modfcto du ombre d tomes ft qu o eut églemet suoser que le ombre totl d tomes e chge s durt l eérece O suose ef que le ombre de déstégrtos observées durt u ls de tems t est roortoel à cette durée de l forme doc α t O elle le ombre de déstégrtos observées durt u ls de tems T doé et o voudrt détermer l lo de T O suose our cel que l durée T est dvsée e tervlles de durée : t suffsmmet courts our que l robblté d observer deu déstégrtos durt cet tervlle est églgeble T L robblté d observer ue déstégrto durt t est lors égle à : α t α L observto sur l durée totle se rmèe doc à ue successo d éreuves de Beroull chcue vec ue robblté de succès égle à sut doc ue lo bomle : S o ft tedre vers et our des vleurs de fées «ettes» o lors : α T α T e! Remrques : Cette lo est uss elée «lo des évéemets rres» lle ermet églemet clssquemet de modélser des stutos detques à celle de l eemle 6 telles que : le ombre de coeo à u serveur web durt u tervlle de tems T le ombre de clets se résett à ue csse de suermrché durt T le ombre de coqulles togrhques ds u tete cours de robs r eemle 3 sérce d ue vrble létore dscrète Chtre : rbles létores Cours comlet - -

11 Chtre : rbles létores Cours comlet - - Défto 3 : esérce d ue vrble létore dscrète réelle Sot ue vrble létore dscrète réelle ret u ombre déombrble de vleurs { } S l sére coverge ou s l sére est bsolumet covergete o dt que dmet ue esérce O ote lors : qu o elle esérce de Théorème 3 : dms ordre des termes our le clcul d ue esérce Sot ue vrble létore dscrète réelle dmettt ue esérce L ordre d éumérto des vleurs rses r s d cdece sur l vleur de Démostrto hors rogrmme : usque l sére coverge elle est «commuttvemet covergete» doc l ordre des termes de l sére flue sur l covergece de celle-c sur l vleur de l somme obteue que ce sot vec ou ss les vleurs bsolues utremet dt ue utre éumérto des vleurs rses r codur à ue ouvelle sére bsolumet covergete dot l somme ser detque à l remère Théorème 3 : esérce d ue vrble létore dscrète à vleurs ds Sot ue vrble létore dscrète à vleurs ds et dmettt ue esérce lors : Démostrto : our doé ds o : r l formule des robbltés totles les évéemets { } { } formt u sstème comlet d évéemets De lus : et : Doc : our : * o eut lors réécrre l somme rtelle : S ] [ et e rédet l deuème somme : S O st de lus que S coverge f : * O costte doc que l sute est covergete comme sute morée de sommes rtelles d ue sére ostve S mtet o ft tedre vers l sute des évéemets { } est crosste u ses de l cluso et our lmte réuo l évéemet { } Doc : R lm où R est le reste d ordre de l sére covergete et à ce ttre R ted vers Flemet o : S et e fst tedre vers o boutt à :

12 Remrque : O eut e ft motrer qu ue vrble létore dscrète à vleurs ds dmet ue esérce s et seulemet s l sére coverge O vet de motrer l mlcto drecte et our l récroque o motré ds l remère rte que : S Chtre : rbles létores Cours comlet - - Doc l sute des sommes rtelles de l sére ostve est morée et cette sére est doc covergete ce qu terme l mlcto océe Théorème 33 : dms formule du trsfert Sot ue vrble létore dscrète sur Ω ret les vleurs { } et sot f ue focto défe sur u mos Ω et à vleurs ds lors : f fo est ecore ue vrble létore dscrète De lus f ue esérce s et seulemet s l sére f est bsolumet covergete et ds ce cs : f f Démostrto hors rogrmme : fo est be ue lcto de Ω ds De lus l esemble des vleurs rses r est u lus déombrble doc l esemble des vleurs rses r fo l est églemet f sot : lors o eut écrre {f } comme l réuo dsote des évéemets : { Ω f } Comme l esemble des vleurs rses r est u lus déombrble l réuo récédete restrete u our lesquels { } est o vde est ue réuo u lus déombrble d évéemets et est doc u évéemet O oter G l esemble u lus déombrble des vleurs cocerées O doc : {f } { } d où : f U G G Ms o eut router à cette somme ss modfer s vleur l somme qu corresod à des de f - our lesquels est ulle O doc : f f f f f G f Le th 87 ermet d obter l remère équvlece : f bsolumet covergete f sommble Ω r lleurs Ω s écrt comme l réuo dsote : Ω U f R qu est ulle et usque r eemle tout élémet ds Ω be ue mge ds L rorété de sommto r quets th 8 ermet d vor équvlece etre : f sommble Ω est sommble et f f Or o st que : f f f f est sommble R est sommble vec ce qu o vu u-dessus De lus o vu que : f f O boutt doc à l équvlece : f f bsolumet covergete f R sommble

13 Chtre : rbles létores Cours comlet et cette deuème rte corresod be u ft que f dmet ue esérce f l sommto r quets ermet églemet d ffrmer ds ce cs que : Ω R f R f f f f us e termt r le le etre fmlle sommble et sére th 87 : f f Théorème 34 : dms lérté de l esérce Soet et Y des vrbles létores dscrètes réelles dmettt ue esérce et sot : αβ lors α βy est ue vrble létore dscrète dmettt ue esérce et : Y Y β α β α Démostrto hors rogrmme : l est à eu rès mmédt que s dmet ue esérce lors our tout réel α α dmet églemet ue esérce effet s : α o : α α d où le ft que s l sére est bsolumet covergete l sére α α α l est uss Cosdéros mtet deu vrbles létores et Y et otos : { } { } les esembles de vleurs u lus déombrbles que reet et Y Les esembles { - } et {Y - } formet sérémet des rttos u lus déombrbles de Ω otos esute : Z Y us : z et : - Y - lors { } forme ue rtto u lus déombrble de Ω dot certs esembles euvet être vdes De lus : ω Zω ω Yω z O v démotrer que l fmlle z Z z est sommble et qu s o eut regrouer les z qu sot égu our flemet obter que Z dmet ue esérce Or : z et { } forme ue rtto de - our tout : De lus our tout fé ds l fmlle Y est sommble usque : Y et le rodut r costt ou e modfe s cette sommblté De lus l fmlle Y est ecore sommble usqu elle corresod à et cette fmlle est sommble usque dmet ue esérce Doc le th 8 ermet d ffrmer que l fmlle Y est sommble De même l fmlle Y est sommble s que l somme de ces deu fmlles qu doe z S l o regroue mtet r quets les termes z qu sot égu o costte que l somme de l derère fmlle vut : Z z Z z z z Z z Z z z z Ω Ω effet our z fé les esembles { z z} sot deu à deu dsots et leur réuo doe {Z z} doc l formule des robbltés totles codut à : z Z z z Ms d utre rt : z et là ecore e regrout r quets o obtet r eemle :

14 vec u résultt smlre our Y o coclut be que : Z Y L lérté de l esérce se dédut des deu rorétés s démotrées Théorème 35 : remères rorétés de l esérce Soet et Y des vrbles létores dscrètes réelles S est resque sûremet égle à ue costte c'est-à-dre telle que : lors dmet ue esérce et : S est à vleurs ostves et dmet ue esérce lors : S est à vleurs ostves resque sûremet c'est-à-dre telle que : dmet ue esérce et s : lors : resque sûremet S et Y dmettet toutes deu ue esérce et vérfet : Y lors : Y dmet ue esérce s et seulemet s e dmet ue et : Démostrto : S : lors : Ω ' Doc : ' ' ' S est ue éumérto des vleurs rses r lors : S de lus dmet ue esérce lors l sére coverge et étt à termes ostfs s somme qu est est ostve otos les vleurs rses r qu sot doc des réels ostfs lors : et comme somme d ue sére à termes ostfs tous ses termes sot uls Ms lors : et doc : l sufft de dre que r lérté Y dmet ue esérce qu est ostve d rès le ot récédet et qu vut : Y Y d où le résultt our le derer ot o commece r utlser l formule du trsfert th 33 vec l focto f égle à l vleur bsolue O costte que ue esérce cr coverge et : De lus our ue sére réelle bsolumet covergete o st que : lquée c cette églté doe : Théorème 36 : esérce d ue vrble létore suvt ue lo géométrque G Sot ue vrble létore suvt ue lo géométrque G vec : ][ lors dmet ue esérce et : Démostrto : effet l sére est bsolumet covergete usque : o e vec le théorème des crossces comrées et : ][ doc : ][ us : O utlse our cel l dérvée de l sére etère : Chtre : rbles létores Cours comlet - 4 -

15 Chtre : rbles létores Cours comlet ]-[ et : Théorème 37 : esérce d ue vrble létore suvt ue lo de osso Sot ue vrble létore suvt ue lo de osso vec : > lors dmet ue esérce et : Démostrto : effet l sére! e est bsolumet covergete usque :! o e e touours vec le théorème des crossces comrées us : e e e e e!!! Théorème 38 : esérce d ue vrble létore ret u ombre f de vleurs Sot ue vrble létore ret u ombre f de vleurs lors dmet ue esérce Démostrto : usque e red qu u ombre f de vleurs l sére est ulle à rtr d u cert rg et doc est bsolumet covergete Rel : S sut l lo uforme U lors : S sut l lo de Beroull B lors : S sut l lo bomle B lors : Remrque : usqu ue lo bomle B est l lo du ombre de succès ds l réétto fos d ue éreuve de Beroull de lo B o eut écrre : où est l vrble suvt l lo bomle et les les vrbles létores déedtes décrvt chque eérece de Beroull Doc : Théorème 39 : églté de Mrov Sot ue vrble létore dscrète réelle ostve dmettt ue esérce lors : ou s : > Démostrto : Sot : fé otos { } ue éumérto des vleurs rses r K l esemble des dces tels que : et our u eter doé K les dces : ds K lors : K us : K d où : K f o : { } { } { } U U U K K usque : U K K Doc { } est l réuo crosste des esembles c-dessus et :

16 { } U usque les évéemets sot déedts K K Flemet : lm K O urt u églemet sgler que l sute des sommes rtelles est crosste et morée doc covergete 4 Coule et fmlle fe de vrbles létores déedce Théorème 4 et défto 4 : coule de vrbles létores dscrètes Soet et Y des vrbles létores dscrètes sur u esce robblsé Ω à vleurs ds deu esembles et F L lcto défe de Ω ds F r : ω Ω Zω ωyω est ue vrble létore dscrète sur Ω O ote lors : Z Y Démostrto : Z est be ue lcto de Ω ds F De lus l mge ZΩ est : ZΩ {ωyω ω Ω} est cluse ds Ω YΩ et usque Ω et YΩ sot déombrbles le rodut crtése Ω YΩ l est uss tout comme ZΩ f : Ω YΩ Z - {} - {} Y - {} et comme - {} et Y - {} sot des évéemets Z - {} e est u uss Défto 4 : lo coote et los mrgles d u coule de vrbles létores dscrètes Soet et Y des vrbles létores dscrètes sur u esce robblsé Ω à vleurs ds deu esembles et F et sot : Z Y le coule déf r et Y O elle lo coote du coule l lo de Z et los mrgles du coule les los de et de Y elée uss «lo mrgle e» et «lo mrgle e Y» Théorème 4 : le etre lo coote et los mrgles d u coule de vrbles létores Soet Y des vrbles létores dscrètes sur u esce robblsé Ω à vleurs ds et F L cossce de l lo coote du coule Y etrîe celle des los mrgles L récroque est fusse utremet dt coître les los mrgles e sufft s our coître l lo coote Démostrto : Sot : Ω lors : ω Ω ω YΩ ωyω Doc : { } {Y F} {} F d où : Y { } F Z { } F t doc l robblté Z étt suosée coue l robblté est coue d rès le théorème 4 De même : YΩ { } et o e dédut Y Y Z Défto 43 : los codtoelles Soet Y des vrbles létores dscrètes sur u esce robblsé Ω à vleurs ds et F our : YΩ tel que {Y } e sot s églgeble Y > o déft l lo codtoelle de Y scht {Y } r : Ω Y Y Y et lus géérlemet : Ω Y Y De même our : Ω tel que { } e sot s églgeble > o déft l lo Y codtoelle de Y scht { } r : YΩ Y Chtre : rbles létores Cours comlet - 6 -

17 Théorème 43 : le etre lo coote lo mrgle et lo codtoelle Sot Ω u esemble robblsé Soet et Y des vrbles létores dscrètes de Ω ds et F L lo de d ue rt et our tout : Ω tel que { } sot o églgeble l lo de Y scht { } d utre rt détermet etèremet l lo coote du coule Y Démostrto : Ce résultt est mmédt usque : Ω YΩ Y s : > lors : à Y doc : Y Y s : lors : {Y } { } et doc : Y Y Y cosst l robblté de Y sur les évéemets élémetres o e dédut l lo de robblté de Y Défto 44 : coule de vrbles létores déedtes Sot Ω u esemble robblsé Soet et Y des vrbles létores dscrètes de Ω ds et F O dt que et Y sot déedtes lorsque : Ω YΩ Y Y ou ecore lorsque : Ω YΩ { } et {Y } sot déedts Théorème 44 : dms déedce et évéemets o élémetres Sot Ω u esemble robblsé Soet et Y des vrbles létores dscrètes de Ω ds et F S et Y sot déedtes lors : Ω B YΩ Y B Y B Démostrto hors rogrmme : et B étt u lus déombrbles o eut oter : { K} et : B { l l L} us Y B est l réuo dsote de Y l vec : l K L Or l fmlle Y l l K L est sommble effet elle est à termes ostfs et : l K L Y l Y l our tout : K l fmlle Y l ll est sommble de somme : K Y l Y l Y B ll l fmlle Y B K est sommble de somme : Y B Y B Y B K L fmlle K Y l l K L étt sommble th 8 o eut écrre : Y B Y l l K L K sot flemet : Y B Y B ll Chtre : rbles létores Cours comlet ll Y l Théorème 45 : dms esérce d u rodut de vrbles létores dscrètes déedtes Sot Ω u esemble robblsé Soet et Y des vrbles létores dscrètes réelles sur Ω dmettt ue esérce lors Y dmet ue esérce et s et Y sot déedtes o : Y Y Démostrto hors rogrmme : Soet ue éumérto des vleurs rses r et ue éumérto des vleurs rses r Y otos r lleurs : q r Y et : Y q r

18 Le derer ot vet de l déedce de et de Y S ou Y e red qu u ombre f de vleurs o remlce r u esemble f d dces lors l sére double est bsolumet covergete d rès le théorème de Fub th 8 effet : l sére coverge cr : q r qu est à ue costte multlctve rès le terme géérl de l sére covergete Y us l sére des sommes s obteue est q Y Y q qu est ecore covergete cette fos e référece à l estece d ue esérce our Doc l sére double coverge Y dmet ue esérce et le théorème de Fub ermet d écrre : Y q r q r Y Théorème 46 : mges de deu vrbles létores dscrètes déedtes Sot Ω u esemble robblsé Soet et Y des vrbles létores dscrètes déedtes de Ω ds et F Soet f et g des foctos de ds et F ds F resectvemet lors f et gy sot des vrbles létores de Ω ds et F déedtes Démostrto : our : Ω YΩ o : {f } { f - {}} et : {gy } {Y g - {}} mges récroques Doc : f g Y B f { } Y g { } f { } Y g { } l derère églté vet du ft que les vrbles et Y sot déedtes O terme vec : f { } f et : Y g { } g Y sot flemet : f g Y f g Y utremet dt les vrbles f et gy sot déedtes Défto 45 : fmlle fe de vrbles létores dscrètes mutuellemet déedtes Sot Ω u esemble robblsé Soet des vrbles létores dscrètes de Ω ds O dt que les vrbles létores sot mutuellemet déedtes lorsque : Ω Ω { } Remrque : Comme ds le cs dscret o églemet le résultt suvt : S sot des vrbles létores dscrètes de Ω ds lors sot mutuellemet déedtes s et seulemet s : Ω Ω Défto 46 : sute de vrbles létores dscrètes mutuellemet déedtes Sot Ω u esemble robblsé Sot ue sute de vrbles létores dscrètes de Ω ds des esembles Les vrbles sot dtes mutuellemet déedtes lorsque toute sous-fmlle fe etrte de cette sute est ue fmlle de vrbles létores mutuellemet déedtes Théorème 47 : dms estece d u modèle our des los de robblté doées Sot ue sute de robbltés sur telle que : S S u lus déombrble S Chtre : rbles létores Cours comlet - 8 -

19 lors l este u esce robblsé ΩT et ue sute de vrble létores dscrètes réelles défes sur Ω et mutuellemet déedtes tels que chque vrble létore sut l lo Démostrto : là c est vrmet hors rogrmme eemle 4 : Sot ue fté de lcers d ue èce suvt chcu ue lo de Beroull B lors l este u esce robblsé ΩT qu o e détlle s et ue sute de vrbles létores mutuellemet déedtes * tels que chque vrble sut l lo B Chque lo rerésete le résultt du ème lcer de l èce L esemble Ω eut être vu comme l sute : ω ω ω des résultts ossbles ssus d ue fté de lcers de l èce utremet dt : * ω vut le ou Fce ou : le et : Fce lus smlemet ecore l esemble Ω est l structure mthémtque qu ermet d evsger smultémet et roremet l esemble des lcers lors que l roche tle e ermet que de les evsger sérémet les us des utres C est ce théorème qu ermet l géérlsto de ce qu o vt ft lorsqu o vt esé deu lcers successfs et déedts de l même èce usque lors o vt trvllé ds : Ω { F F FF} sot l esemble des résultts ossbles des deu lcers evsgés ds leur globlté mgos mtet ue fté de lcers d ue èce équlbrée sot : * rtque : l évéemet «le remer trge doe le» s écrr { } et ur our robblté : «le remer trge doe le» «les deu remers trges doet Fce» s écrr { } { } et ur our robblté : «les deu remers trges doet Fce» et r déedce des vrbles : «les deu remers trges doet Fce» 4 «o obtet que des Fce» s écrr : { } our clculer s robblté o eut oser : * { } l sute des est décrosste our l cluso et : lm lm touours r déedce des vrbles létores Cec ustfe ce qu o vt cosdéré à svor que l évéemet «obter que des Fce» étt églgeble usque de robblté ulle Théorème 48 : somme de deu vrbles létores déedtes suvt ue lo de osso Soet et Y deu vrbles létores suvtes des los de osso et µ vec : > µ > lors Y est ue vrble létore qu sut l lo de osso µ Démostrto : usque et Y sot défes de Ω ds lors : Z Y est défe de Ω ds et l esemble des vleurs rses r Z est u lus déombrble us : ZΩ {Z } est l réuo dsote et e ft fe : { Z } { } { Y } { } { Y } U U µ µ Y Y e e! Doc : Z z! O recoît l formule du bôme et : Chtre : rbles létores Cours comlet - 9 -

20 Chtre : rbles létores Cours comlet - -!!!!!! e e e z Z µ µ µ µ µ µ Z sut be ue lo de osso de rmètre µ 5 rce et covrce Théorème 5 : le etre esérce de et de Sot ue vrble létore dscrète réelle S dmet ue esérce lors dmet ue esérce Démostrto : O ds l églté : otos mtet { } ue éumérto des vleurs rses r lors : S Or : { } { } Ω U et : Doc l sute des sommes rtelles S est morée et l sére coverge Cocluso : dmet be ue esérce Défto 5 : vrce d ue vrble létore dscrète réelle Sot ue vrble létore dscrète réelle telle que dmet ue esérce O elle vrce de le réel : Théorème 5 : utre eresso de l vrce Sot ue vrble létore dscrète réelle telle que dmet ue esérce lors : Démostrto : O eut déveloer et utlser les rorétés de l esérce étbles u rgrhe 3 e ott que les tros vrbles létores et l costte ot toutes ue esérce us : D où : Remrque : l est équvlet de dre «dmet ue vrce» et «dmet ue esérce» ds l mesure où l remère roosto sous-eted que dmet u mos ue esérce Ds ce cs este s et seulemet s este Théorème 53 : rorétés élémetres de l vrce Sot ue vrble létore dscrète réelle dmettt ue vrce lors : dmet ue vrce et : b b dmet ue vrce et : b b b dmet ue vrce et : b Démostrto : l sufft de dre que est ue vrble létore ostve doc d esérce ostve our : l vrble létore ue esérce d rès le théorème 34 et o :

21 Chtre : rbles létores Cours comlet - - our : b les vrbles létores et l vrble costte b ot ue esérce et o : b b b b b b d où : b b b b b Le qutrème ot est l combso des ots et 3 Défto 5 : écrt-te d ue vrble létore dscrète réelle Sot ue vrble létore dscrète réelle dmettt u momet d ordre L écrt-te de est déf r : σ Théorème 54 : vrce d ue vrble létore e ret qu u ombre f de vleurs Sot ue vrble létore réelle e ret qu u ombre f de vleurs lors dmet ue vrce Démostrto : Comme our l esérce de ds ce cs dmet ue esérce et doc dmet ue vrce Théorème 55 : vrce d ue vrble létore suvt ue lo géométrque Sot ue vrble létore dscrète réelle suvt l lo G vec : ][ lors dmet ue vrce et : Démostrto : L sére est bsolumet covergete usque : o vec le théorème des crossces comrées et : ][ Doc dmet ue esérce et dmet ue vrce us : usque les deu séres coverget O utlse esute l dérvée secode de l sére etère : ]-[ et : 3 et : 3 sot flemet : Théorème 56 ; vrce d ue vrble létore suvt ue lo de osso Sot ue vrble létore dscrète réelle suvt l lo de osso vec : > lors dmet ue vrce et : Démostrto : effet l sére! e est bsolumet covergete usque :! o e e touours vec le théorème des crossces comrées Doc dmet ue esérce et dmet ue vrce us :!!!!! e e e e e Flemet : Remrques : O déft our les vrbles létores dscrètes réelles comme ds le cs de vrbles létores fes l oto de vrble cetrée ou d esérce ulle et de vrble rédute ou dot l vrce est

22 égle à O eut de même ssocer à ue vrble létore dscrète réelle dmettt ue esérce et ue vrce o ulle ue vrble cetrée rédute doée r : * qu vérfe lors : * et : σ * σ Théorème 57 : églté de Bemé-Tchebtchev Sot ue vrble létore dscrète réelle dmettt ue vrce lors : ε > ε ε Démostrto : O l équvlece : ε > ε ε Or l vrble létore est ostve doc d rès l églté de Mrov vec : ε o : ε ε ε ε D où le résultt Théorème 58 : églté de Cuch-Schwrz Soet et Y des vrbles létores réelles dmettt ue vrce lors Y dmet ue esérce et : Y Y De lus l églté ds cette églté s et seulemet s : αβ αβ tel que : α β Y utremet dt α βy est ulle resque sûremet Démostrto : Cosdéros mtet deu vrbles létores et Y et otos : { } { } les esembles de vleurs u lus déombrbles que reet et Y s que : Z Y us : z et : - Y - O costte que : - les esembles { - } et {Y - } formet chcu des rttos u lus déombrbles de Ω - l esemble { } forme ue rtto u lus déombrble de Ω dot certes rtes euvet être vdes - our fé ds l esemble { } forme ue rtto de - us : ω ω ω Y ω z Z O r lleurs : z et our fé ds l fmlle Y est sommble usque : Y et le rodut r costt e modfe s cette sommblté De lus l fmlle Y est ecore sommble usque chque terme corresod à formule des robbltés totles et cette fmlle est sommble usque dmet ue esérce Y est sommble Doc le th 8 ermet d ffrmer que l fmlle Y est sommble De même l fmlle Doc l somme de ces deu fmlles et flemet r morto l fmlle Chtre : rbles létores Cours comlet - - z sot sommbles f o eut regrouer r quets les termes z qu sot égu et l somme de l derère fmlle vut : z z z z Z z z Z Ω z z z Z Ω z z zz Ω effet our z fé les esembles { z z} sot deu à deu dsots et leur réuo

23 doe {Z z} doc l formule des robbltés totles codut à : Z z Chtre : rbles létores Cours comlet z z utremet dt Z c'est-à-dre Y dmet be ue esérce Cosdéros mtet our t réel fé l vrble létore dscrète ty lle dmet ue esérce usque Y et Y e dmettet ue et étt ostve o : t Y t Y t Y S : Y lors l focto ffe de t c-dessus restt ostve sur o uss : Y S : Y et doc strctemet ostf le trôme restt ostf sur l e eut dmettre u lus qu ue rce double réelle et so dscrmt est égtf ou ul sot : 4 Y 4 Y Ds les deu cs o coclut que : Y Y f s l églté ds cette églté lors : - sot : Y Y et : Y Y est ulle resque sûremet - sot : Y et : t t Y et : ty ty est ulle resque sûremet Récroquemet s : α βy est ulle resque sûremet vec r eemle : α lors e ost : β t o : t Y d où : Y t Y t Y t Y Y Y α d où églté ds l églté de Cuch-Schwrz Théorème 59 et défto 53 : covrce d u coule de vrbles létores dscrètes réelles Soet et Y des vrbles létores réelles dmettt ue vrce lors les vrbles cetrées : et Y Y dmettet ue vrce et o eut défr : Cov Y ' Y ' O r lleurs l églté : Cov Y Y Y Le réel CovY est elé covrce du coule Y Démostrto : usque dmet ue esérce uss s que l vrble létore costte doc dmet ue esérce O évdemmet le même résultt our Y O esute : Cov Y Y Y Y Y Y Y Y Théorème 5 : covrce d u coule de vrble létores dscrètes réelles déedtes Soet et Y deu vrbles létores dscrètes réelles dmettt ue vrce S et Y sot déedtes lors : Cov Y Démostrto : S et Y sot déedtes lors théorème 45 : Y Y d où le résultt Défto 54 et théorème 5 : coeffcet de corrélto d u coule de vrbles létores dscrètes réelles Soet et Y deu vrbles létores dscrètes réelles dmettt ue vrce et telles que : > et : Y > O elle coeffcet de corrélto du coule Y le réel : ρ Cov Y Y σ σ Y O lors : ρ Y Démostrto : L églté de Cuch-Schwrz grtt mmédtemet l ecdremet effet : Cov Y ' Y ' ' Y ' σ σ Y où o oté et Y les vrbles létores cetrées ssocées à et Y Théorème 5 : vrce d ue somme fe de vrbles létores dscrètes réelles Soet des vrbles létores dscrètes réelles telles que dmettet ue esérce

24 Chtre : rbles létores Cours comlet lors dmet ue vrce et : ] [ Démostrto : L estece d ue vrce our l somme s obtet r récurrece e démotrt e rtculer que s et ot ue vrce lors uss our cel : et dmet ue esérce comme o l vu ds l églté de Cuch-Schwrz O terme our ue somme de termes r récurrece sur sute l sufft de déveloer : et : doc : ] [ ] [ sot le résultt océ Théorème 53 : vrce d ue somme de deu vrbles létores dscrètes réelles déedtes Soet et Y des vrbles létores dscrètes réelles déedtes et telles que et Y dmettet ue esérce lors Y dmet ue vrce et : Y Y Démostrto : Le ft que Y dmette ue vrce été démotré u-dessus et e lqut le résultt du théorème 5 our deu vrbles létores o obtet : ] [ ] [ Y Y Y Y usqu l be deu coules d dces ossbles : ou t comme les vrbles sot suosées déedtes o th45 : Y Y sot flemet : Y Y Remrque : O géérlse mmédtemet ce résultt à vrbles létores dscrètes réelles mutuellemet déedtes telles que chcue d elle dmette ue vrce e : Rel : S sut l lo uforme U lors : 4 6 S sut l lo de Beroull B lors : ] [ S sut l lo bomle B o eut églemet fre le clcul r les formules récédetes l est c beucou lus rde d utlser l géérlsto récédete qu ermet d écrre : et : Théorème 54 : lo fble des grds ombres Sot * ue sute de vrble létores déedtes et de même lo et dmettt u momet d ordre telles que our tout : dmette ue esérce

25 O ote : m σ σ et : * S σ lors : ε > S m ε et e rtculer : ε > lm S m ε ε Démostrto : Toutes les vrbles ot l même esérce et le même écrt-te De lus vec l géérlsto du théorème 53 à vrbles létores S est telle que : S S σ et : S m d où : m S S o ote : M o doc : m M S σ et : M S us o remrque esute que : ε > { M M > ε } { M M > ε } Doc l églté de Bemé-Tchebtchev th 37 doe : M σ M M > ε M M > ε ε ε σ O obtet doc be : ε > S m ε ε L coséquece est mmédte : ε > lm S m ε Remrque : Ce théorème est le remer qu ermet de ustfer le ft que l o chossse r eemle comme robblté d obter u le ou u fce ue vleur égle à 5 effet l robblté que l moee des vleurs obteues lors d ue réétto de trges sot ue moee sttstque s écrte de l esérce d u des trge sot ue moee robblste ted vers lorsque le ombre de ces trges ted vers utremet dt ces deu moees e u cert ses coïcdet 6 Foctos géértrces des vrbles létores à vleurs ds Défto 6 : focto géértrce d ue vrble létore à vleurs ds Sot ue vrble létore à vleurs ds O elle focto ou sére géértrce ssocée à l focto otée G et défe r : t G t t Remrque : r l formule de trsfert théorème 33 c est uss l esérce qud elle este de l vrble létore dscrète réelle t sot : G t t t Théorème 6 : ro de covergece et rorétés d ue focto géértrce Sot ue vrble létore à vleurs ds Le ro de covergece de l focto G ssocée à vut u mos G est même défe sur [-] u mos our tout : t [-] G t et : G G est cotue sur [-] et de clsse C sur ]-[ u mos Démostrto : O eut r eemle remrquer que our : t ± l sére umérque corresodte est l sére ± sot l sére Chtre : rbles létores Cours comlet - 5 -

26 Or cette sére coverge et our somme usque { } costtue u sstème comlet d évéemets Comme sére etère G coverge doc u mos sur [-] et so ro de covergece vut u mos O vu que : G et : t [-] G t t t G f comme sére etère G est de clsse C u mos sur ]-[ et sur [-] l sére de foctos qu l costtue coverge ormlemet usque : t [-] t et l sére coverge ssocé u ft que toutes les foctos sot cotues sur [-] cr olomles o e dédut be l cotuté de G sur [-] Remrque : Lorsque les vleurs rses r ue vrble létore formet u esemble f s focto géértrce devet u olôme eemles 6 : L focto géértrce d ue vrble létore suvt l lo uforme U est : t t t G t t t cette derère églté étt vre our : t t L focto géértrce d ue vrble létore suvt l lo de Beroull B est : t G t t t t L focto géértrce d ue vrble létore suvt l lo bomle B est : t G t t t t t t t Théorème 6 : le récroque etre focto géértrce et vrble létore Sot ue vrble létore à vleurs ds et sot G s focto géértrce lors G ermet de retrouver l lo de G rtculer :! Démostrto : Ce résultt est ue coséquece mmédte de ce qu o vu sur les séres etères Théorème 63 : focto géértrce d ue vrble suvt ue lo géométrque Sot ue vrble létore dscrète réelle suvt l lo G vec : ][ lors s focto géértrce G est défe sur ] [ et vut : t ] [ G t t t Démostrto : L sére etère cherchée est défe r : t G t t t t et l sére géométrque qu rît u ro de covergece égl à : R > De lus : t ] [ G t t [ t] t t t Chtre : rbles létores Cours comlet - 6 -

27 Théorème 64 : focto géértrce d ue vrble suvte ue lo de osso Sot ue vrble létore suvtes l lo de osso vec : > lors s focto géértrce G est défe sur et vut : t t G t e Démostrto : L sére etère cherchée vut : t t G t t e t e!! usqu o recoît l sére eoetelle qu coverge sur Théorème 65 : esérce de et dérvblté de G e Sot ue vrble létore à vleurs ds et G s focto géértrce dmet ue esérce s et seulemet s G est dérvble à guche e Ds ce cs : G ' Démostrto hors rogrmme : S dmet ue esérce l sére est bsolumet covergete doc l sére etère t coverge ormlemet u mos sur [-] e e t e t utremet le théorème de dérvto des séres de foctos ermet d e dédure que l sére de foctos t est e rtculer dérvble à guche e et : G ' Récroquemet s G est dérvble à guche e motros que cette dérvée vut our cel sot : t ][ Le théorème des ccrossemets fs motre que : G c t ]t[ t G G ' ct ct t et tous les termes étt ostfs o uss : G t G * ct G ' ct t S mtet o ft tedre t vers lors c t ted vers et : G ' Doc l sére à termes ostfs coverge usque l sute de ses sommes rtelles est morée et : G ' Ms e reret l églté vec c t o uss : G t G t ][ c t ]t[ G ' ct t c t et e fst tedre à ouveu t vers o e dédut que : G ' ce qu ermet flemet de coclure à l églté Théorème 66 : vrce de et dérvblté secode de G e Sot ue vrble létore à vleurs ds et G s focto géértrce dmet ue vrce s et seulemet s G est deu fos dérvble à guche e Ds ce cs : G '' G ' G ' Démostrto hors rogrmme : O dte l démostrto récédete : Chtre : rbles létores Cours comlet - 7 -

28 S dmet ue vrce et doc s dmet ue esérce lors l sére coverge s que usque dmet lors ue esérce th 5 Doc l sére t coverge ormlemet sur [-] ce qu rouve que G est e rtculer deu fos dérvble à guche e et que : G '' O e dédut que : G '' G '' G ' G Théorème 67 : focto géértrce d ue somme de deu vrbles déedtes à vleurs ds Soet et Y deu vrbles létores déedtes et à vleurs ds S o ote G G Y et G Y les foctos géértrces des vrbles Y et Y lors : t [-] G t G t G t Y Y Démostrto : S o rered l formule de trsfert o eut écrre : Y t [-] t t G t et : t Y t G t Y vec u résultt detque our Y : t Y t G t Y Y Ms usque et Y sot déedtes t et t Y le sot uss th 46 et : Y Y Y t [-] G t t t t t t G t G t Y Y 7 ee : crctérstques des los clssques ' om Désgto G t D G Lo uforme U t s : Lo de Beroull B t s : Lo bomle Lo géométrque Lo de osso B G t t t t e e! t < Démostrto : Les résultt c-dessus cocert l focto géértrce G ot été étbls our les lo géométrque et de osso our l lo uforme U o mmédtemet : t G t t et cette focto est défe sur our l lo de Beroull B o ecore : t G t t t t et cette focto est touours défe sur our l lo bomle B o ue fos de lus : t G t t t t focto défe sur Chtre : rbles létores Cours comlet - 8 -

29 8 ee : hors rogrmme fmlles sommbles de réels Défto 8 : fmlle sommble de réels ostfs somme d ue telle fmlle sommble Sot u esemble quelcoque et ue fmlle de réels ostfs O dt que l fmlle est sommble lorsque l esemble { F fe F } est moré F O ose lors : su{ F fe F } F Théorème 8 : déombrblté des élémets o uls d ue fmlle sommble de réels ostfs Sot ue fmlle sommble de réels ostfs lors l esemble des dces : tels que sot o ul est u lus déombrble De lus l fmlle est sommble et : Démostrto : otos : M su{ F fe F } et sot : * F M lors l esemble F des : tels que : > est f de crdl moré r effet s F comortt strctemet lus de dces o ourrt former u esemble f F de M dces à rtr des élémets de F et tel que : > M et M e ourrt être l bore suéreure océe Or : { } U F résultt mmédt r double cluso > Comme réuo déombrble d esembles fs est doc u lus déombrble usque de lus tous les termes dot les dces sot e dehors de sot uls o mmédtemet : F fe F } { F fe F } d où l sommblté de us : su{ F { F fe F } su{ F F F fe F } Théorème 8 : le etre fmlle sommble de réels ostfs et sére Sot ue fmlle sommble de réels ostfs et l esemble évetuellemet f des dces de tels que sot o ul Sot ue éumérto des élémets o uls de l fmlle lors l sére Démostrto : Sot : et : F { } est covergete et : usque les termes de l fmlle sot ostfs o doc : F ' Doc les sommes rtelles de l sére à termes ostfs De lus e sst à l lmte : Sot mtet F ue rte fe de et sot : tel que : F { } U tel eter este usque l lcto : est ue éumérto de O lors : F cluse ds o e dédut que : F F sot morées et l sére coverge usque les réels sot ostfs et cec étt vr our toute rte F Chtre : rbles létores Cours comlet - 9 -

30 Chtre : rbles létores Cours comlet O obtet be flemet l églté Théorème 83 : oértos sur les fmlles sommbles de réels ostfs Soet et deu fmlles de réels ostfs s : et s l fmlle est sommble lors est églemet sommble et : s et sot sommbles lors est sommble et : s est sommble lors : est sommble et : Démostrto : s est sommble lors : F fe F F doc { F F fe F } est moré l fmlle est sommble et : su{ F F fe F } S et sot sommbles lors : F fe F F F et : { F F fe F } est moré doc l fmlle est sommble et : su{ F F fe F } Sot r lleurs deu rtes fes F et G cluses ds lors : G F G F d où : G F Cec étt vr our toute rte fe : F et le mort étt déedt de F o e dédut que : G d où de lus : G f cette derère églté est vre our toute rte fe : G le mort étt cette fos déedt de G doc o e dédut que : et flemet : Les deu égltés obteues ermettet de coclure à l églté voulue our le derer ot o rsoe de l même fço : F fe F F doc l fmlle est sommble et : S r lleurs est ul l églté voulue est mmédte et s est o ul lors l fmlle est sommble vec ce qu o vet d étblr et : Les deu égltés doet flemet l églté océe Théorème 84 : sous-fmlles d ue fmlle sommble de réels ostfs Sot ue fmlle sommble de réels ostfs s est ue rte de lors est sommble et : où est l focto dctrce de ds vlt ou suvt que rtet ou s à s : B lors : B s et B sot des rtes dsotes de telles que : B lors : B B Démostrto : otos que : et doc étt sommble l est uss

31 De lus sot : F fe lors : F et doc : F F cec étt vr our toute rte fe F de o e dédut que est sommble us que : D utre rt : G fe o : G G usque G est ue rte fe de Cec étt vr our toute rte G fe cluse ds o e dédut que : et flemet o coclut vec l églté océe S : B l sufft de remrquer que : B our e dédure l églté our ce derer ot o remrque que : B B Théorème 85 : sommto r quets d ue fmlle sommble de réels ostfs Sot ue fmlle de réels ostfs et sot ue rtto quelcoque de L fmlle est sommble s et seulemet s our tout : l fmlle est sommble et s l fmlle est elle-même sommble Ds ce cs o lors : utremet dt o eut d bord sommer des sous-fmlles us ddtoer les résultts Démostrto : Suosos que est sommble lors usque : le théorème 84 motre que est sommble O eut lors oter : S Cosdéros lors : fe et otos : U cette uo étt dsote Le théorème 84 géérlsé r récurrece à u ombre f d esembles dsots doe : S L fmlle S est doc sommble et : S Suosos récroquemet que our tout : l fmlle est elle-même sommble est sommble et que l fmlle lors : F fe F ue tersecto o vde vec u ombre f d esembles dot o regroue les dces ds l esemble f F O eut doc écrre F comme l uo dsote : F U F et : usque F F F F toutes les sommes sot e ft fes De lus usque : F F o e dédut que : S comme somme F fe de réels F étt fe cluse ds l sommblté de l fmlle S ermet d écrre : F F Chtre : rbles létores Cours comlet - 3 -

32 S F f cec étt vr our tout : F F fe o coclut que l fmlle est sommble us que : regrout les deu égltés obteues ds le cs où est sommble o coclut be à l églté : S Défto 8 : fmlle sommble de réels quelcoques somme d ue fmlle sommble Sot u esemble quelcoque et ue fmlle de réels our tout réel o ose : s : et : s : < - s : et : - s : < O dt que l fmlle est sommble lorsque les fmlles de réels ostfs et - sot sommbles O ose lors : Remrques : Cette défto est cohérete vec l défto de l sommblté our ue fmlle de réels ostfs O l églté clssque : - d où l défto de l somme Théorème 86 : défto équvlete de l sommblté d ue fmlle de réels Sot ue fmlle de réels L fmlle est sommble s et seulemet s l fmlle est sommble Ds ce cs o : Démostrto : Suosos que l fmlle sot sommble lors les deu fmlles de réels ostfs et - sot sommbles cr : et : - et e utlst le th 83 Suosos que sot sommble lors les deu fmlles de réels ostfs et - sot sommbles et l fmlle comme somme de fmlles sommbles usque : L derère églté résulte elle uss du th 83 est sommble Théorème 87 : sommblté et séres bsolumet covergetes covergece commuttve Sot ue fmlle de réels S l fmlle sot sommble l esemble des dces de tels que sot o ul est u lus déombrble S est déombrble et f et s est ue éumérto de lors l sére est bsolumet covergete et : rtculer s o cosdère ue utre éumérto de l ouvelle sére obteue est ecore bsolumet covergete et s somme est detque à l récédete : o rle lors de «covergece commuttve» de l sére qu sgfe qu o eut modfer comme o veut l ordre de ses termes ss modfer so bsolue covergece ou s somme Chtre : rbles létores Cours comlet - 3 -

33 Démostrto : S est sommble le théorème 8 motre que l esemble des dces tels que sot o ul est u lus déombrble et cet esemble coïcde vec l esemble dqué S est ue éumérto de usque est sommble les fmlles et - le sot uss et e leur lqut le th 8 les séres et sot covergetes doc l sére est covergete comme somme de ces deu séres De lus usque touours d rès le th 8 o : Chtre : rbles létores Cours comlet et : o e dédut que : Remrques : O urt u motrer que lorsque l esemble récédet est u lus déombrble l équvlece etre sommblté de l fmlle et bsolue covergece de l sére our toute éumérto de S ue sére est que sem-covergete u cotrre modfer l ordre des termes de l sére eut fre erdre l covergece et même e cs de coservto de l covergece o eut s modfer l somme de l sére tle e e ermutt les termes U théorème techque ermet même de démotrer que s ue sére de réels u est semcovergete lors quelque sot : α l este ue ermutto σ de telle que l sére u σ t our somme α Théorème 88 : sous-fmlles de fmlles de réels sommbles Sot ue fmlle sommble de réels s est ue rte de lors est sommble s et B sot des rtes dsotes de lors : B Démostrto : Le remer ot est ue coséquece mmédte de l sommblté et du th 84 our le deuème ot o commece r écrre que : de même our les B B B B sommes sur et B et o lque touours le th 84 u fmlles et - deées r B et B Théorème 89 : lérté Soet et des fmlles sommbles de réels l fmlle est sommble et : our : µ µ est sommble et : Démostrto : O : µ µ ce qu rouve que fmlle est sommble De lus otos B C D et F les esembles défs r : { } B { < < } C { < } D { < < } { < } F { < < } our tous les termes sot ostfs le th 83 doe : our B tous les termes sot égtfs le th 83 ermet d écrre :