Mécanique des fluides : Potentiels de vitesses

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1 Le Potentiel de vitesse pour les écoulements de fluides réels : la contribution de Joseph-Louis Lagrange Velocity Potential in Real Fluid Flows : Joseph-Louis Lagrange s Contribution HUBERT CHANSON Department of Civil Engineering, The University of Queensland, Brisbane QLD 4072, Australie Ph. : (61 7) Fax : (61 7) /lhb: T oday the concept of potential flow is too often associated, wrongly, with the notion of ideal, hence inviscid fluid. Herein the original development of Joseph-Louis LAGRANGE is presented. He introduced the velocity potential for real fluid flows, provided that the resultant of the forces derives from a potential. In the same article, LAGRANGE also presented the concept of stream function and the equation of the celerity of a small disturbance in shallow-water. LAGRANGE made an outstanding contribution in 1781 and he was truly ahead of his time. I INTRODUCTION Pour les fluides parfaits ( ideal fluids ), et sous l hypothèse d un écoulement irrotationnel ( irrotational flow ), on peut obtenir des solutions analytiques complètes du champs de vitesse et de pression. Le concept de fluide parfait est un artifice mathématique, par lequel un fluide est dit parfait si il est incompressible et sa viscosité est nulle. De même, pour un écoulement irrotationnel de fluide parfait, le champs des vitesses peut être résolu par une méthode graphique, dite des petits carreaux ( flow net ) [17, 18]. Cette technique élégante est bien adaptée aux écoulements bidimensionnels ou axisymmétriques, et elle est liée aux propriétés conjuguées de la fonction de courant ψ et du potentiel de vitesse φ, pour ce type d écoulement, que l on appelle des écoulements potentiels ( potential flows ) [4, 14]. La Figure 1 montre un exemple de construction graphique pour un écoulement vertical dans un orifice bidimensionnel alimenté par un grand réservoir, et dont les résultats ont été comparés, avec succès, à des mesures détaillées de vitesses, par vélocimétrie acoustique Doppler, dans le réservoir [3]. Bien que la méthode graphique des petits carreaux soit une technique simple et efficace, et que, de plus, les solutions analytiques des écoulements potentiels soient exactes, elles ne sont valides qu en dehors de la couche limite, dans la région dite d écoulement potentiel en faisant l hypothèse d un fluide parfait avec une viscosité nulle. En fait, la terminologie «écoulement potentiel» est ambiguë, et il y a, parfois, une certaine confusion, parmi les étudiants et les jeunes ingénieurs, sur la validité et le domaine d application du concept de potentiel de vitesse. Très récemment, une polémique sur les «écoulements potentiels» a été relancée, Figure 1 : Solution graphique d'un écoulement instationnaire dans un orifice bidimensionnel (après CHANSON et al. [3]). 127 LA HOUILLE BLANCHE/N

2 par un chercheur américain (JOSEPH 2006). Ce dernier rappela l existence d un potentiel de vitesse pour des fluides visqueux, introduit en premier par STOKES [16]. Cet article revisite la preuve de l existence d un potentiel de vitesse, telle qu elle fut présentée par Joseph-Louis LAGRANGE [8, 9]. En suivant pas à pas LAGRANGE, on souligne les hypothèses de base pour l existence du potentiel de vitesse. On montre aussi l étendue de ses contributions sur «la Théorie du Mouvement des Fluides». sent tous que Joseph-Louis LAGRANGE introduisit, le premier, le concept de potentiel de vitesse (ex. [12], p. 293 ; [16], p. 107). Son «Mémoire sur la Théorie du Mouvement des Fluides» fut présenté le 22 novembre 1781 à Berlin, avec une notation typique du 18 e siècle, que l on reproduit dans le Tableau 1. II LE POTENTIEL DE VITESSE SELON JOSEPH-LOUIS LAGRANGE II.1 PRÉSENTATION Né en Italie, Joseph-Louis LAGRANGE ( ) était un astronome et mathématicien français qui enseigna à l Ecole Polytechnique et à l Ecole Normale Supérieure depuis leur création respective en 1794 et 1795 (Fig. 2) ( 1 ). Les historiens, les enseignants et les chercheurs reconnais- 1. Voir aussi «Lagrange.» Jl La Houille Blanche, 1957 [10]. Figure 2 : Joseph-Louis LAGRANGE ( ). Pour un fluide incompressible, LAGRANGE ([8], p ) développa l équation d EULER : Tableau 1. Notation utilisée par Joseph-Louis LAGRANGE. Définition LAGRANGE [8, 9] Article présent Composantes du vecteur vitesse p V x q r V y V z Coordonnées Cartésiennes x x y y z z Densité du fluide ρ Fonction de courant ω ψ Potentiel des forces V U Potentiel de vitesse ϕ Φ Pression Π P Résultante des forces P F x Q R F y F z Temps t t Vorticité γ + β α LA HOUILLE BLANCHE/N

3 Le Potentiel de vitesse pour les écoulements de fluides réels : la contribution de Joseph-Louis Lagrange (1a) (1b) La fonction φ est le potentiel de vitesse (LAGRANGE [8], p ). LAGRANGE ([8], pp ) montra que l équation (4) est satisfaite si l écoulement est irrotationnel : (5a) (1c) où ρ est la densité du fluide, V x, V y, V z sont les composantes Cartésiennes de la vitesse, F est la résultante des forces appliquées au volume de control infinitésimal et P est la pression. On notera que ni EULER, ni LAGRANGE n utilisèrent la notation vectorielle moderne. II.2 DÉRIVATION DU POTENTIEL DE VITESSE Le raisonnement de LAGRANGE qui s ensuit est basé sur l hypothèse que la résultante des forces dérive d un potentiel U tel que : (2) (5b) (5c) bien que LAGRANGE n utilise pas explicitement le terme «irrotationnel» ( irrotational ). En combinant les équations (3) et (4), on dérive la forme différentielle de l équation de Bernoulli. Après intégration, LAGRANGE a obtenu la forme intégrale de l équation de Bernoulli pour un écoulement instationnaire : (6) Pour un fluide parfait ( µ = 0), où g est l accélération de la gravité et z est la coordonnée verticale, positive vers le haut. En faisant la somme des équations (1a), (1b) et (1c), LAGRANGE a obtenu : o ù G est une fonction arbitraire, quelconque du temps t (LAGRANGE [8], p. 711). LAGRANGE ([8], p. 712) montre alors que l équation de conservation de masse devient : (7) avec V le module du vecteur vitesse :. Comme le terme de gauche, dans l équation (3), est une différentielle complète, le terme de droite doit aussi être une différentielle complète. Cela revient à montrer qu il existe un scalaire φ qui satisfasse : (3) (4a) (4b) (4c) Pour un fluide incompressible, l équation de conservation de la masse (7) se simplifie et devient une équation de Laplace en fonction du potentiel de vitesse φ. Il est important de noter que LAGRANGE ([8], pp ) a démontré l existence du potentiel de vitesse, et le concept d écoulement irrotationnel, pour tout fluide compressible et élastique : c.a.d., ρ = f( P ). Clairement, le concept de potentiel de vitesse n est pas lié au concept de fluide parfait avec zéro viscosité. En fait, le développement de LAGRANGE peut s appliquer à de nombreux écoulements de fluides réels, en particulier si la résultante des forces dérive d un potentiel. On ne peut que souligner la clairvoyance et le génie de J.L. LAGRANGE, qui a introduit le concept de potentiel de vitesse plusieurs dizaines d années avant les concepts de viscosité du fluide, couche limite, et turbulence. III APPLICATIONS La première famille d applications du potentiel de vitesse est le cas des fluides parfaits. Pour un fluide parfait, c.a.d. incompressible et sans viscosité, l équation de conservation de la masse est une équation de Laplace en fonction du potentiel de vitesse φ, tandis que la condition d irrotatio- 129 LA HOUILLE BLANCHE/N

4 nalité est une autre équation de Laplace en fonction de la fonction de courant ψ : φ = 0 (8) ψ = 0 (9) Pour des fluides parfaits, il existe une quantité importante de solutions analytiques (ex. [4, 14, 17, 18]), tandis que tout écoulement bi-dimensionnel ou axi-symétrique peut être résolu par une méthode graphique. Un autre type d applications est le cas des écoulements irrotationnels visqueux. Une première série d applications est les écoulement visqueux irrotationnels, à faibles nombres de Reynolds. L équation d EULER devient, en incorporant les forces de viscosité ( 2 ) : (10) LAMB ([11], pp ) calcula la dissipation visqueuse et montra que l écoulement est irrotationnel, donc avec un potentiel de vitesse. Une autre application est l écoulement permanent d un fluide très visqueux entre deux plaques parallèles très proches : la cellule de Hele-Shaw ( Hele-Shaw cell ), qui fut introduite à la fin du 19 e siècle [5]. La Figure 3 montre une application simple autour d un obstacle, avec injection de colorant pour visualiser les lignes de courant. Pour un écoulement bidimensionnel, l équation (10) est transformée en négligeant les termes d inertie. Le potentiel de vitesse existe et il est proportionnel à la pression (ex. [11], pp ; [14], ). On peut, aussi, citer l exemple de l écoulement d un système, initialement au repos, et qui est brusquement mis en vitesse ( impulsively started flow ). L écoulement est initialement irrotationnel et on peut considérer qu il reste irrotationnel durant les instants suivants (ex. [13], pp ). Un dernier exemple bien connu, est la percolation en milieu poreux. Le potentiel de vitesse ( 3 ) est simplement proportionnel à la charge piézométrique ( piezometric head ). IV DISCUSSION Le mémoire de LAGRANGE [9] est un traité important, car il introduit, de plus, deux autres notions fondamentales : la fonction de courant ψ, et la célérité d une onde dans un canal. Pour un fluide incompressible, LAGRANGE considéra l effet de l attraction du soleil et de la lune sur les océans. En dérivant une solution bidimensionnelle horizontale, il introduisit la fonction de courant sous une forme scalaire, bien connue pour les écoulements bidimensionnels (LAGRANGE [8], pp ). Quel événement! En un seul article, LAGRANGE a défini les fonctions de potentiel de vitesse et de courant, qui forment la base de la mécanique des fluides parfaits. Notons que LAGRANGE fut le contemporain d un autre hydraulicien de renom, Jean-Charles de BORDA ( ) (Fig. 4) qui introduisit les concept de lignes de courant, de tubes de courant et de vena contracta [1]. J.C. de BORDA était un ingénieur, mathématicien et militaire, qui servit dans la marine et atteignit le grade de Capitaine de Vaisseau. Il participa à la Guerre d Indépendance des Etats-Unis d Amérique dans la marine française. Durant la Révolution Française, BORDA, LAGRANGE et Pierre-Simon LAPLACE ( ) travaillèrent ensemble sur le système métrique. Figure 4 : Jean-Charles de BORDA ( ). Figure 3 : Cellule de Hele-Shaw - Ecoulement horizontal d eau, du robinet, entre deux plaques de verre très rapprochées, autour d un arc circulaire avec une cambrure de 15 %, sans incidence, avec injection de colorant. 2. Notons que la notion de viscosité était inconnue à l époque de Joseph- Louis LAGRANGE. Elle fut introduite, en 1822, par Claude Louis Marie Henri NAVIER ( ). Une autre application, décrite par LAGRANGE, est la propagation d une onde dans un écoulement à surface libre avec une faible profondeur. LAGRANGE ([8], pp ) montre que la vitesse d une onde petite doit être égale à la 3. Le potentiel de la vitesse moyenne, ou macroscopique. Il ne s agit pas du champs des vitesses intersticielles. LA HOUILLE BLANCHE/N

5 Le Potentiel de vitesse pour les écoulements de fluides réels : la contribution de Joseph-Louis Lagrange racine carrée du produit de l accélération de la gravité par la hauteur d eau :. Ce résultat est bien connu des hydrauliciens [2, 6, 19]. L auteur pense que LAGRANGE fut le premier à en démontrer la preuve analytiquement. V CONCLUSION Il y a plus de 200 ans, Joseph-Louis LAGRANGE introduisit le concept de potentiel de vitesse, bien en avance sur son temps. Il démontra que le potentiel de vitesse existe pour tout écoulement de fluide réel, pour lequel la résultante des forces dérive d un potentiel. Dans le même mémoire [9], il introduisit, en plus, deux notions fondamentales : le concept de la fonction de courant, pour une fluide incompressible, et le calcul de la célérité d une petite onde dans un canal peu profond. En rétrospective, cet ouvrage marqua une étape décisive dans le développement de la mécanique des fluides moderne. LAGRANGE et ses contemporains étaient des scientifiques hors pairs, mais aussi des individus extraordinaires, qui contribuèrent à des évènements politiques et historiques majeurs à l échelle mondiale. Par exemple, les travaux de BORDA, LAPLACE, FOURIER durant la Révolution et l Empire. Combien d hydrodynamiciens peuvent en dire autant de nos jours? VI REFERENCES [1] BORDA J.C. D E. ( 1766 ). Mémoire sur l Ecoulement des Fluides par les Orifices des Vases. Mémoires de l Académie Royale des Sciences, Paris, [2] CHANSON H. ( 2004 ). The Hydraulics of Open Channel Flows: An Introduction.- Butterworth-Heinemann, Oxford, UK, 2nd edition, 630 pages. [3] CHANSON H., AOKI S., E T M ARUYAMA M. (2002). Unsteady Two-Dimensional Orifice Flow : a Large-Size Experimental Investigation. Jl of Hyd. Res., IAHR, 40, 1 pp [4] GUYON E., HULIN J.P., ET P ETIT L. (1991). Hydrodynamique Physique. Savoirs Actuels, InterEditions/CNRS Editions, Paris, France, 506 pages. [5] H ELE-SHAW H.J.S. ( 1898 ). Investigation of the Nature of the Surface Resistance of Water and of Stream-line Motion under Certain Experimental Conditions. Trans. Inst. Naval Architects, UK, 40. [6] H ENDERSON F.M. ( 1966 ). Open Channel Flow. MacMillan Company, New York, USA. [7] J OSEPH D.D. (2006 ). Potential Flow of Viscous Fluids : Historical Notes. Intl Jl of Multiphase Flow, 1,32 pp [8] LAGRANGE J.L. ( 1781 ). Mémoire sur la Théorie du Mouvement des Fluides. Œuvres de Lagrange, Gauthier-Villars, Paris, France (imprimé en 1867, J.A. SERRET Editeur), 1,4 pp [9] LAGRANGE J.L. ( 1781 ). Mémoire sur la Théorie du Mouvement des Fluides. Œuvres de Lagrange, Gauthier-Villars, Paris, France, (imprimé en 1882). [10] L A H OUILLE B LANCHE ( 1957 ). Lagrange. Jl La Houille Blanche, 12 A p [11] L AMB H. ( 1932 ). Hydrodynamics. Cambridge University Press, 6th Ed, 738 pages. [12] L EVI E. ( 1995 ). The Science of Water. The Foundation of Modern Hydraulics., ASCE Press, New York, USA, 649 pages. [13] LIGHTHILL J. ( 1986 ). An Informal Introduction to Theoretical Fluid Mechanics. Clarendon Press, Oxford, UK, IMA Monograph series, 260 pages. [14] ROUSE H. ( 1938 ). Fluid Mechanics for Hydraulic Engineers. McGraw-Hill Publ., New York, USA (aussi Dover Publ., New York, USA, 1961, 422 pages). [15] R OUSE H., E T I NCE S. ( 1957 ). History of Hydraulics. Iowa Institute of Hydraulic Research Publ., Iowa City, USA, 269 pages. [16] S TOKES G. ( 1851 ). On the Effect of Internal Friction of Fluids on the Motion of Pendulums. Trans. Camb. Phil. Soc, 9 Part II pp [17] STREETER V.L. ( 1948 ). Fluid Dynamics. McGraw-Hill Publications in Aeronautical Science, New York, USA. [18] VALLENTINE H.R. ( 1969 ). Applied Hydrodynamics, Butterworths, London, UK, SI edition. [19] V IOLLET P.L., C HABARD J.P., E SPOSITO P., E T L AURENCE D. ( 2002 ). Mécanique des Fluides Appliquée. Ecoulements Incompressibles dans les Circuits, Canaux et Rivières, autour des Structures et dans l Environnement., Presses des Ponts et Chaussées, Paris, France, 2 e édition, 367 pages. VI.1 LIENS INTERNET {http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/biogindex.html} {http://www.uq.edu.au/~e2hchans/civ4160.html#lecture %20material} {http://www.polytechnique.fr/institution/historique.php} {http://www.ens.fr/ecole/presentation.php} Biographies of well-known mathematicians Photographs of Hele-Shaw cell flows Ecole Polytechnique, Historique Ecole Normale Supérieure, Historique 131 LA HOUILLE BLANCHE/N

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