Introduction à la plasticité

Transcription

1 Ecoulement plastique : ε. p Contraintes f Elasticité f <0. f=0, f=0 f>0 zone interdite Introduction à la plasticité Georges Cailletaud, Samuel Forest Centre des Matériaux Mines Paristech/CNRS http ://mms2.ensmp.fr

2 Plan Rhéologie Matériaux Critères insensibles à la pression hydrostatique Plasticité 3D sans écrouissage Plasticité 3D avec écrouissage Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR CNRS 7633 ) Plasticité 13 mars / 71

3 Plan Rhéologie Matériaux Critères insensibles à la pression hydrostatique Plasticité 3D sans écrouissage Plasticité 3D avec écrouissage

4 Rhéologie Traction sur alliage métallique Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR CNRS 7633 ) Plasticité 13 mars / 71

5 Rhéologie Résultat de traction sur un alliage d aluminium Domaine d élasticité, écoulement plastique Limite d élasticité conventionnelle, qui donne 0.2% de déformation résiduelle à la décharge 600 Tension curve, aluminium alloy stress (MPa) strain (mm/mm) Doc. Mines Paris-CDM, Evry Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR CNRS 7633 ) Plasticité 13 mars / 71

6 Rhéologie Résultat de traction sur un acier inoxydable Doc. ONERA-DMSE, Châtillon Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR CNRS 7633 ) Plasticité 13 mars / 71

7 Rhéologie Traction et compression sur un alliage d aluminium Essai à déformation imposée symétrique ± 0.3% A contrainte nulle, il reste une déformation positive A déformation nulle, la contrainte est devenue négative 300 K=400,R0=100 E=150000,C=70000,D=1000,n=7 150 Stress Strain Doc. Mines Paris-CDM, Evry Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR CNRS 7633 ) Plasticité 13 mars / 71

8 Rhéologie Modèles schématisant les résultats précédents σ σ E T σ y σ y E E 0 ε a. Élastique parfaitement plastique 0 ε b. Élastique plastique linéaire Module élastoplastique, E T = dσ/dε. Le module élastoplastique est nul pour un matériau élastiqueparfaitement plastique, constant pour un matériau élastique-plastique linéaire ; il sera dépendant de la déformation dans le cas général. Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR CNRS 7633 ) Plasticité 13 mars / 71

9 Rhéologie Fonctionnement d un modèle de plasticité instantanée σ B A 0 0 ε Décomposition de la déformation, ε = ε e + ε p ; Domaine d élasticité, défini par une fonction f Ecrouissage, variables d écrouissage, A I. Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR CNRS 7633 ) Plasticité 13 mars / 71

10 Rhéologie Les briques de base pour les modèles de matériau Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR CNRS 7633 ) Plasticité 13 mars / 71

11 Rhéologie Différents types de rhéologies Plasticité indépendante du temps Elasto-viscoplasticité ε = ε e + ε p ε = ε e + ε p dε p = f(...)dσ dε p = f(...)dt Viscoélasticité F(σ, σ,ε, ε) = 0 Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR CNRS 7633 ) Plasticité 13 mars / 71

12 Rhéologie Plasticité indépendante du temps Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR CNRS 7633 ) Plasticité 13 mars / 71

13 Rhéologie Modèle élastique parfaitement plastique f(σ) = σ σ y - domaine d élasticité si : f< 0 ( ε = ε e = σ/e) - décharge élastique si : f= 0 et ḟ< 0 ( ε = ε e = σ/e) - écoulement plastique si : f= 0 et ḟ= 0 ( ε = ε p ) f s appelle fonction de charge, la condition ḟ = 0 est la condition de cohérence Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR CNRS 7633 ) Plasticité 13 mars / 71

14 Rhéologie Modèle de Prager f(σ,x) = σ X σ y avec X = Hε p Écoulement plastique si on vérifie à la fois f = 0 et ḟ = 0. f f σ + σ X Ẋ = 0 signe(σ X) σ signe(σ X)Ẋ = 0 σ = Ẋ, et : ε p = σ/h ε p = E E + H ε Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR CNRS 7633 ) Plasticité 13 mars / 71

15 Rhéologie Ecriture générale des équations de l élastoplasticité uniaxiale - domaine d élasticité si f(σ,a i )< 0 ( ε = σ/e) - décharge élastique si f(σ,a i )= 0 et ḟ(σ,a i )< 0 ( ε = σ/e) - écoulement plastique si f(σ,a i )= 0 et ḟ(σ,a i )= 0 ( ε = σ/e + ε p ) condition de cohérence : ḟ(σ,a i ) = 0 Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR CNRS 7633 ) Plasticité 13 mars / 71

16 Rhéologie Illustration des deux types d écrouissage Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR CNRS 7633 ) Plasticité 13 mars / 71

17 Rhéologie Modèle d écrouissage isotrope : A REVOIR dr/dp = H (p, déformation plastique cumulée : ṗ = ε p ) Ecoulement plastique ssi f = 0 et ḟ = 0 f(σ,r) = σ R σ y f f σ + σ R Ṙ = 0 sign(σ) σ Ṙ = 0 σ = sign(σ)ṙ, and : - Ramberg-Osgood : σ = σ y + Kp m - Loi exponentielle : σ = σ u + (σ y σ u )exp( bp) La variable d état est la déformation plastique cumulée ṗ = sign(σ) σ/h Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR CNRS 7633 ) Plasticité 13 mars / 71

18 Rhéologie Rhéologie : Plus de détails sur mms2.ensmp.fr Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR CNRS 7633 ) Plasticité 13 mars / 71

19 Plan Rhéologie Matériaux Critères insensibles à la pression hydrostatique Plasticité 3D sans écrouissage Plasticité 3D avec écrouissage

20 Matériaux Glissement dans les matériaux cristallins matériaux métalliques, roches Réseau cristallin Glissement sans changement de volume Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR CNRS 7633 ) Plasticité 13 mars / 71

21 Matériaux Système de glissement dans un monocristal Thèse F. Hanriot (ENSMP-CDM, Evry) Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR CNRS 7633 ) Plasticité 13 mars / 71

22 Matériaux Système de glissement dans un alliage polycristallin base nickel Clavel (ECP, Châtenay) Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR CNRS 7633 ) Plasticité 13 mars / 71

23 Matériaux Cisaillement et variation de volume, poudres, sols Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR CNRS 7633 ) Plasticité 13 mars / 71

24 Matériaux Déformation produite par le glissement cristallographique n u = (γh)m = γ(om.n)m m u i = γx k n k m i P M γ u i,j = γx k,j n k m i u j,i = γx k,i n k m j 2ε ij = u i,j + u j,i = γ(n j m i + n i m j ) h ε = γ 2 (m n + n m) = γm avec : m = 1 (m n + n m) 2 O trace(ε ) = γn i m i = 0 Le tenseur m permet de calculer la cission résolue : τ s = (σ.n s ).m s = σ ij nj s ms i = 1 2 σ ij(ni s ms j + nj s ms s i ) = σ : m Loi de Schmid : f(σ ) = τ s τ c Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR CNRS 7633 ) Plasticité 13 mars / 71

25 Matériaux Definition of the slip systems in a FCC single crystal The four octahedral planes of a cubic crystal previously shown have three systems. Here is the collection of the 12 systems, defined by n and m : num syst n n n m m m Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR CNRS 7633 ) Plasticité 13 mars / 71

26 Matériaux Orientation tensors of a FCC single crystal num syst m m m m m m If the only non zero terms of the stress tensor are σ 11, σ 12 and σ 21, the criterion writes : σ 11 m σ 12 m 12 τ c = 0 If the only non zero terms of the stress tensor are σ 11, et σ 33, the criterion writes : σ 11 m 11 + σ 33 m 33 τ c = 0 Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR CNRS 7633 ) Plasticité 13 mars / 71

27 Matériaux Domaine d élasticité en σ 11 σ 12 pour un cristal CFC σ 12 Le repère cristallographique coïncide avec les axes de chargement : les systèmes 1 and 11 donnent : σ 11 + σ 12 = τ c 6 systems 4 and 9 give : σ 11 σ 12 = τ c 6 σ 11 This figure is computed for τ c =100 MPa. Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR CNRS 7633 ) Plasticité 13 mars / 71

28 Matériaux Réflexion sur la construction des surfaces de charge Alliage à solidification dirigée Polycristal Evaluer des surfaces de charge Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR CNRS 7633 ) Plasticité 13 mars / 71

29 Matériaux Matériau : Plus de détails sur mms2.ensmp.fr Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR CNRS 7633 ) Plasticité 13 mars / 71

30 Plan Rhéologie Matériaux Critères insensibles à la pression hydrostatique Plasticité 3D sans écrouissage Plasticité 3D avec écrouissage

31 Critères insensibles à la pression hydrostatique Critère de Tresca Il y a toujours un système bien positionné On néglige l hétérogénéité élastique Le cisaillement maximum reste inférieur à une valeur critique. Max i,j σ i σ j σ y = 0 σ y est la limite d élasticité en traction simple Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR CNRS 7633 ) Plasticité 13 mars / 71

32 Critères insensibles à la pression hydrostatique Caractérisation du cisaillement maximum Tenseur de contrainte dans le repère principal := σ σ σ 3 Vecteur contrainte pour une normale n dans le plan (x 1 x 2 ) (avec θ = angle(x 1,n) : Cercle de Mohr : T n = σ 1 cos 2 θ + σ 2 sin 2 θ = σ 1 + σ σ 1 σ 2 2 T t = ( ) T 2 Tn 2 1/2 σ 1 σ 2 = sin2θ 2 ( Tn σ 1 + σ 2 2 ) 2 + T 2 t = ( σ1 σ 2 2 ) 2 cos2θ Cisaillement maxi T max t = σ 1 σ 2 2 Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR CNRS 7633 ) Plasticité 13 mars / 71

33 Critères insensibles à la pression hydrostatique Caractérisation d un matériau isotrope - Invariants du tenseur de contraintes : I 1 =trace(σ ) =σ ii I 2 =(1/2)trace(σ ) 2 =(1/2)σ ij σ ji I 3 =(1/3)trace(σ ) 3 =(1/3)σ ij σ jk σ ki - Invariants du déviateur (s = σ (I 1 /3) I ) : J 1 =trace(s ) =0 J 2 =(1/2)trace(s ) 2 =(1/2)s ij s ji J 3 =(1/3)trace(s ) 3 =(1/3)s ij s jk s ki - On pose : J = ((3/2)s ij s ji ) 0,5 = ( (1/2) ( (σ 1 σ 2 ) 2 + (σ 2 σ 3 ) 2 + (σ 3 σ 1 ) 2)) 0,5 = σ Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR CNRS 7633 ) Plasticité 13 mars / 71

34 Critères insensibles à la pression hydrostatique Critère de von Mises (J) Il dépend du second invariant du déviateur de contraintes : f(σ ) = J σ y Sphère dans l espace des contraintes déviatoriques Contrainte de cisaillement octaédral : sur une facette de normale (1,1,1), le vecteur contrainte a pour composantes normale σ oct et tangentielle τ oct : σ oct = (1/3)I 1 ; τ oct = ( 2/3)J Energie élastique de distorsion (associée à la partie déviatorique de σ et ε ). W ed = 1 2 s : e = 1 6µ J2 Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR CNRS 7633 ) Plasticité 13 mars / 71

35 Critères insensibles à la pression hydrostatique Contour du critère de von Mises dans le plan déviateur σ 3 TS CS CI TS σ 1 CS CS TS σ 2 TS désigne les points qui peuvent se ramener à de la traction simple, CS ceux qui peuvent se ramener à la compression simple (par exemple un chargement biaxial, car un état où les seules contraintes non nulles sont σ 1 = σ 2 = σ est équivalent à σ 3 = σ), CI un état de cisaillement f(σ ) = J σ y Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR CNRS 7633 ) Plasticité 13 mars / 71

36 Critères insensibles à la pression hydrostatique Critères ne faisant pas intervenir la pression hydrostatique Critère de von Mises Critère de Tresca f(σ ) = J σ y f(σ ) = Max i,j σ i σ j σ y Utilisation du deuxième et du troisième invariant f(σ ) = fct(j 2,J 3 ) Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR CNRS 7633 ) Plasticité 13 mars / 71

37 Critères insensibles à la pression hydrostatique Comparaison des critères de Tresca et von Mises Dans le plan traction-cisaillement von Mises : Tresca : f(σ,τ) = ( σ 2 + 3τ 2) 0,5 σy f(σ,τ) = ( σ 2 + 4τ 2) 0,5 σy Dans le plan des contraintes principales (σ 1,σ 2 ) von Mises : f(σ 1,σ 2 ) = ( σ σ 2 2 σ 1 σ 2 ) 0,5 σy Tresca : f(σ 1,σ 2 ) = σ 2 σ y si 0 σ 1 σ 2 f(σ 1,σ 2 ) = σ 1 σ y si 0 σ 2 σ 1 f(σ 1,σ 2 ) = σ 1 σ 2 σ y si σ 2 0 σ 1 (symétrie par rapport à l axe σ 1 = σ 2 ) Dans le plan déviateur, von Mises = cercle, Tresca = hexagone Dans l espace des contraintes principales, cylindres de génératrice (1,1,1) Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR CNRS 7633 ) Plasticité 13 mars / 71

38 Critères insensibles à la pression hydrostatique Comparaisons des critères de Tresca et de von Mises σ 12 σ 1 τ m τ t σy - σy τ t - σy σ 11 - σy σy σ 2 - τ m - σy a. En traction-cisaillement (von Mises : τ m = σ y / 3, Tresca : τ t = σ y /2) b. En traction biaxiale Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR CNRS 7633 ) Plasticité 13 mars / 71

39 Critères insensibles à la pression hydrostatique Critères : Plus de détails sur mms2.ensmp.fr Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR CNRS 7633 ) Plasticité 13 mars / 71

40 Plan Rhéologie Matériaux Critères insensibles à la pression hydrostatique Plasticité 3D sans écrouissage Plasticité 3D avec écrouissage

41 Plasticité 3D sans écrouissage Plasticité 3D Décomposition de la déformation ε e = Λ 1 : (σ σ I) Critères ε th = (T T I )α ε = Λ 1 : (σ σ I) + ε th + ε p vp + ε f Lois d écoulement Lois d écrouissage ε p =... Ȧ I =... Cette séance Prochaine séance Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR CNRS 7633 ) Plasticité 13 mars / 71

42 Plasticité 3D sans écrouissage NOTE : dérivée partielle de s et de J par rapport à σ On aura à exprimer J pour calculer σ n La dérivée de s par rapport à σ est le tenseur J = I 1 3 I I, qui s écrit en notation indicielle : en effet : Dérivée de J par rapport à σ : Autre solution : J ijkl = 1 2 (δ ikδ jl + δ il δ jk ) 1 3 δ ijδ kl s = J : σ J = J : s = ((3/2)s : s )1/2 : J σ s σ s = 3 s 2 J : J = 3 2 J 2 = 3 2 s ijs ij donc 2J dj = 3s ij ds ij = 3s ij dσ ij s J J = 3 s ij σ ij 2 J J = 3s σ 2J Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR CNRS 7633 ) Plasticité 13 mars / 71

43 Plasticité 3D sans écrouissage Puissance plastique pour un monocristal en glissement simple Equivalence entre : σ : ε p = σ : γm = τ γ Il y a glissement si la cission est égale à la cission critique : σ : ε p = τ c γ En appliquant le critère de Schmid, chaque τ admissible doit vérifier : τ τ c Donc : Si bien que : τ γ τ c γ σ : ε p σ : ε p Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR CNRS 7633 ) Plasticité 13 mars / 71

44 Plasticité 3D sans écrouissage Principe du travail maximal Le travail des contraintes réelles σ associées aux vitesses de déformations plastiques réelles ε p est supérieur au travail de tout autre tenseur de contraintes admissible σ (id est ne violant pas la loi de plasticité) associé à ε p. (Hill, 1951) (σ σ ) : ε p 0 La solution du problème d écoulement plastique maximise la puissance plastique σ : ε p Il s agit d une maximisation sous contrainte, car on doit avoir f(σ ) 0 Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR CNRS 7633 ) Plasticité 13 mars / 71

45 Plasticité 3D sans écrouissage Normalité Pour maximiser la puissance plastique en assurant f 0,... on forme F qui combine la fonction à maximiser et la contrainte à l aide d un multiplicateur plastique (problème d optimisation non linéaire). On annule les dérivées partielles F/ σ = 0 : F(σ ) = σ : ε p λf(σ ) ε p f = λ σ On a effectivement un max si la fonction f est convexe Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR CNRS 7633 ) Plasticité 13 mars / 71

46 Plasticité 3D sans écrouissage Convexité de la surface de charge f<0. p ε ~ n ~. σ ~ σ* ~ n ~ σ ~ a. Illustration de la règle de normalité b. Convexité de f Principe de Hill (f convexe et écoulement normal) Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR CNRS 7633 ) Plasticité 13 mars / 71

47 Plasticité 3D sans écrouissage Direction d écoulement associée au critère de von Mises Modèle parfaitement plastique f(σ ) = J(σ ) σ y ε p ij = λn ij ε p = λn n ij = J = 3 s ij σ ij 2 J n = J = 3 σ 2 On appelle déformation plastique cumulée, p, la longueur du trajet représentant l écoulement dans l espace des déformations plastiques, soit, au temps t, Z t ( ) 1/2 ( ) 1/2 2 2 p(t) = ṗ(τ)dτ ṗ = 0 3 εp ij εp ij = 3 ε p p : ε Avec le critère de von Mises ṗ = λ s J Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR CNRS 7633 ) Plasticité 13 mars / 71

48 Plasticité 3D sans écrouissage Ecoulement pour le modèle de von Mises sous chargement uniaxial Une seule composante du tenseur de contrainte est non nulle σ = σ s = 2σ / /2 Calcul de la normale, avec J = σ n = 3 s 2 J = / /2 Composantes de la vitesse de déformation plastique signe(σ) ε p 11 = λ = ṗ ε p 22 = εp 33 = ṗ 2 Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR CNRS 7633 ) Plasticité 13 mars / 71

49 Plasticité 3D sans écrouissage Direction d écoulement associée au critère de Tresca - Si σ 1 > σ 2 > σ 3, : f(σ ) = σ 1 σ 3 σ y, il s établit un écoulement plastique de p cisaillement pur, avec ε 22 = 0 ε p = λ En traction simple, par exemple σ 1 > σ 2 = σ 3 = 0 : f(σ ) = σ 1 σ 2 σ y, ou f(σ ) = σ 1 σ 3 σ y ε p = λ µ Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR CNRS 7633 ) Plasticité 13 mars / 71

50 Plasticité 3D sans écrouissage Comportement parfaitement plastique Au cours de l écoulement plastique, le point représentatif de l état de contrainte ne peut que tourner autour du domaine d élasticité. Le multiplicateur plastique ne peut pas se déterminer en termes de vitesse de contrainte pour f(σ ) = 0 et ḟ(σ ) = 0 : ε p f = λ = σ λn au cours de l écoulement : n : σ =0 Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR CNRS 7633 ) Plasticité 13 mars / 71

51 Plasticité 3D sans écrouissage Comportement parfaitement plastique, déformation imposée Elasticité Projection sur la normale à la surface σ = Λ : ( ε ε p ) et n : σ = 0 n : σ = n : Λ : ( ε ε p ) = n : Λ : ε n : Λ : λn Expression du multiplicateur plastique en fonction de la vitesse de déformation totale λ = n : Λ : ε n : Λ : n Expression de la vitesse de déformation plastique ε p = λn = n : Λ : ε n : Λ : n n Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR CNRS 7633 ) Plasticité 13 mars / 71

52 Plasticité 3D sans écrouissage Comportement parfaitement plastique, tenseur élastoplastique, L ep Vitesse de contrainte σ = Λ : ( ε ε p ) En remplaçant la vitesse de déformation plastique ( σ = Λ : ε Λ : n : Λ : ε n : Λ : n Comme Λ ijkl n pq Λ pqrs ε rs n kl = Λ ijkl n kl n pq Λ pqrs ε rs, on en déduit σ = L ep ε, avec n (Λ L ep : n) (n : Λ ) = Λ n : Λ : n ) Formellement, c est une relation de type élasticité, mais exprimée «en vitesse» Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR CNRS 7633 ) Plasticité 13 mars / 71

53 Plasticité 3D sans écrouissage Comportement parfaitement plastique, cas de l élasticité isotrope et du critère de von Mises Simplifications possibles Λ ijkl = λδ ij δ kl + µ(δ ik δ jl + δ il δ jk ) ; n ij = 3 2 n ij Λ ijkl = 2µn kl ; n ij Λ ijkl n kl = 3µ ; n ij Λ ijkl ε kl = 2µn kl ε kl s ij J λ = 2 3 n : ε Cas du chargement uniaxial : dans ce cas, la vitesse de déformation totale est égale à la vitesse de déformation plastique, normale est la diagonale (1, 1/2, 1/2)signe(σ ). La vitesse de déformation totale est la diagonale ( ε p 11, εp 11 /2, εp 11 /2), on retrouve bien : λ = ε p 11 signe(σ) Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR CNRS 7633 ) Plasticité 13 mars / 71

54 Plasticité 3D sans écrouissage Plasticité 3D : Plus de détails sur mms2.ensmp.fr Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR CNRS 7633 ) Plasticité 13 mars / 71

55 Plan Rhéologie Matériaux Critères insensibles à la pression hydrostatique Plasticité 3D sans écrouissage Plasticité 3D avec écrouissage

56 Plasticité 3D avec écrouissage Introduction des variables d écrouissage Notion de variables d état, α I, qui interviennent dans l énergie libre (Ψ, énergie libre spécifique, potentiel d état) ρψ = ρψ(ε e,α I ) La variation de Ψ désigne l énergie stockée pendant le process de déformation ρ Ψ = ρ Ψ ε : ε e + ρ Ψ α e i = σ α : ε e + A i α i i Définition des variables d écrouissage par extension de la notion de potentiel élastique σ = ρ Ψ A εe I = ρ Ψ α I On suppose que les variables d état suffisent pour représenter l ensemble de l histoire passée Les variables d écrouissage reflètent l effet mécanique des variables d état sur le comportement du matériau Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR CNRS 7633 ) Plasticité 13 mars / 71

57 Plasticité 3D avec écrouissage Définition de la dissipation intrinsèque La dissipation est la différence entre l énergie mécanique fournie et l énergie stockée de façon temporaire D = σ : ε Ψ = (σ : ε e + σ : ε p ) (σ : ε e + A i α i ) Il n y a bien entendu pas de dissipation si le comportement est purement élastique Le modèle standard généralisé utilise des contraintes et des déformations généralisées : Z = (σ,a I ) z = (ε p, α I ) D = σ : ε p A i α i = Z ż L unité de Z est le Pa, ou encore le J.m 3 ; celle de ż est la s 1 ; celle de D est donc le J.m 3.s 1, ou le W.m 3 Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR CNRS 7633 ) Plasticité 13 mars / 71

58 Plasticité 3D avec écrouissage Ecoulement plastique Rappel, travail maximal pour un matériau parfaitement plastique : Hill : il faut réaliser le max de D = σ : ε p On maximise σ : ε p sous la contrainte f(σ,α I ) 0 Extension du principe du travail maximal ; au lieu de la puissance plastique, on cherche à maximiser la dissipation intrinsèque D = σ : ε p A I α I = Z ż Il faut maximiser Z ż sous la contrainte f 0 ; on pose : F(σ,A I ) = σ : ε p A I α I λf(σ,a I ) et on annule F/ Z, soit F/ σ et F/ A i Normalité pour l écoulement plastique et pour l écrouissage : ż = λ f Z soit : ε p = λ f σ = λn α I = λ f A I Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR CNRS 7633 ) Plasticité 13 mars / 71

59 Plasticité 3D avec écrouissage Dissipation pour un modèle standard généralisé Dans le cas où les dérivées sont nulles, on a bien atteint un maximum si f est une fonction convexe de ses variables σ et A i On retrouve sous forme généralisée l équivalence Parmi tous les Z admissibles, Z réel maximise la dissipation intrinsèque La direction d écoulement ż est normale à la surface définie par f ; le domaine défini par f est convexe. Si le domaine défini par f est convexe et contient (Z = 0), la dissipation D est automatiquement positive. (Z Z )ż = (Z Z ) Ω Z 0 eorges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR CNRS 7633 ) Plasticité 13 mars / 71

60 Plasticité 3D avec écrouissage Exemple : écrouissage cinématique linéaire 1D (H) (E) (σ y ) Energie stockée Les variables d état sont ε e et la déformation dans le ressort (H), ε p L énergie libre est l énergie élastique provisoirement stockée dans les ressorts Ψ(ε e,ε p ) = 0.5E ε e Hε p2 σ = Ψ ε e = Eεe Elasticité (σ, ε e ), écrouissage (X, ε p ) X = Ψ ε p = Hεp Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR CNRS 7633 ) Plasticité 13 mars / 71

61 Plasticité 3D avec écrouissage Exemple : écrouissage cinématique linéaire 1D Energie dissipée Dissipation intrinsèque est caractérisée par : taux d énergie dissipée = énergie fournie - énergie stockée Cas 1D considéré précédemment : D = σ ε Ψ = (σ ε e + σ ε p ) (σ ε e + X ε p ) = σ ε p Xε p Le critère de plasticité s écrit f(σ,x) = σ X σ y = 0. La dissipation est donc le résultat du frottement sur le patin, en effet, avec ε p = ṗ signe(σ X) : D = (σ X) ε p = σ X ṗ = σ y ṗ L énergie stockée, 0.5Hε p2, est libérée à la décharge Notion de contraintes généralisées :(σ, X), de déformations généralisées :(ε e, ε p ) Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR CNRS 7633 ) Plasticité 13 mars / 71

62 Plasticité 3D avec écrouissage Dissipation dans le cas de l écrouissage isotrope en 1D La variable A I est R, la variable α I associée est p Le critère de plasticité est : L énergie libre s écrit f(σ,r) = σ R σ y = 0 Ψ(ε e,p) = 0.5Eε e Hp 2 σ = Ψ ε e = Eεe R = Ψ p = Hp Taux d énergie dissipée = énergie fournie - énergie stockée D = σ ε Ψ = σ ε σ ε e Rṗ = σ ε p Rṗ = ( σ R)ṗ = σ y ṗ L énergie stockée dans le matériau ne peut pas être récupérée, car p croît de façon monotone Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR CNRS 7633 ) Plasticité 13 mars / 71

63 Plasticité 3D avec écrouissage Retour sur les variables d écrouissage à utiliser Critère de von Mises avec écrouissage cinématique et isotrope : f(σ,x,r) = J(σ X ) R σ y Soient α et r les variables d état associées à X et R Ecrouissage cinématique Ecrouissage isotrope f α = λ X = λ f σ = ε p ṙ = λ f R = λ = ṗ Les variables pertinentes pour les écrouissages cinématique et isotrope sont bien respectivement ε p et p Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR CNRS 7633 ) Plasticité 13 mars / 71

64 Plasticité 3D avec écrouissage Formulation des lois de comportement plastique Domaine d élasticité f(σ,a I ) < 0 ( ε = Λ 1 : σ ) Décharge élastique f(σ,a I ) = 0 ḟ(σ,a I ) < 0 ( ε = Λ 1 : σ ) Ecoulement plastique f(σ,a I ) = 0 ḟ(σ,a I ) = 0 ( ε = Λ 1 : σ + ε p ) ε p =... α I =... Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR CNRS 7633 ) Plasticité 13 mars / 71

65 Plasticité 3D avec écrouissage Loi de Prandtl-Reuss (1/2) Critère de von Mises et écrouissage isotrope f(σ,r) = J(σ ) σ y R(p) Il faut trouver le multiplicateur plastique dans ε p f = λ σ Le module plastique, H, définit la courbe d écrouissage 1D monotone, σ = σ(ε p ) H = dσ dε = dσ p dp = dr dp σ = σ y + R(p) Utilisation de la condition de cohérence : f σ : σ + f R Ṙ = 0 n : σ Hṗ = 0 Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR CNRS 7633 ) Plasticité 13 mars / 71

66 Plasticité 3D avec écrouissage Loi de Prandtl-Reuss (2/2) On trouve donc le multiplicateur λ = ṗ = n : σ H Expression 3D de la vitesse de déformation plastique ε p = λn = n : σ H n n = f = 3s σ 2J Cas particulier de la traction simple n 11 = signe(σ) n : σ = σsigne(σ) λ = ṗ = ε p 11 ε p = n 11 σ H n 11 = σ H Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR CNRS 7633 ) Plasticité 13 mars / 71

67 Plasticité 3D avec écrouissage Loi de Hencky von Mises Hypothèse de chargement simple «le chargement extérieur en termes de contraintes croît proportionnellement à un seul paramètre scalaire k, à partir d un état initial non écroui (0 k 1)» σ = k σ M σ = k σ M s = k s M J = k J M σ y = k e J M n = 3 s M 2 J M n : σ H = 3 s M : σ M k 2 J M H = J M k H Pas de couplage entre les composantes ( ) ε p JM k 3 s = M = 3 s M k H 2 J M 2 H Z k ε p 3 s (k) = M k e 2 H dκ = 3 s M 2 H (k k e) Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR CNRS 7633 ) Plasticité 13 mars / 71

68 Plasticité 3D avec écrouissage Loi de Prager (1/2) Critère de von Mises et écrouissage cinématique f(σ,x ) = J(σ X ) σ y J(σ X ) = ((3/2)(s X ) : (s X )) 0,5 On pose X = (2/3)Hε p Utilisation de la condition de cohérence : f : σ σ + f : Ẋ X = 0 n : σ n : Ẋ = 0 n = 3 s X 2 J(σ X ) On trouve donc le multiplicateur plastique n : σ = n : Ẋ = n : 2 3 H λn = H λ λ = (n : σ )/H Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR CNRS 7633 ) Plasticité 13 mars / 71

69 Plasticité 3D avec écrouissage Loi de Prager (2/2) Même expression formelle qu en écrouissage isotrope, mais n est différent ε p = λn = n : σ H n n = f = 3 s X σ 2 J(σ X ) Sous chargement uniaxial, on pose On obtient σ = σ 11 X = (3/2)X 11 J(σ X ) = σ X n 11 = 3 2 s 11 X 11 J σ X = σ y σ = Ẋ = H ε p = signe(σ X) Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR CNRS 7633 ) Plasticité 13 mars / 71

70 Plasticité 3D avec écrouissage Ecoulement à vitesse de déformation totale imposée σ = Λ : ( ε ε p ) et : n : σ = Hṗ λ = n : Λ : ε σ = Λ : ( ε ε p ) = H + n : Λ : n ( Λ (Λ : n) (n : Λ) H + n : Λ : n ) : ε Élasticité isotrope et matériau de von Mises : λ = 2µn : ε H + 3µ Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR CNRS 7633 ) Plasticité 13 mars / 71

71 Plasticité 3D avec écrouissage Plasticité avec écrouissage : Plus de détails sur mms2.ensmp.fr Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR CNRS 7633 ) Plasticité 13 mars / 71

72 Plasticité 3D avec écrouissage Besson, J., Cailletaud, G., Chaboche, J.-L., and Forest, S. (2001). Mécanique non linéaire des matériaux. Hermès. Doghri, I. (2000). Mechanics of Deformable Solids. Linear and Nonlinear, Analytical and Computational Aspects. Springer Verlag. Germain, P. (1973). Mécanique des milieux continus. Masson. Hill, R. (1998). The Mathematical Theory of Plasticity (1st ed, 1950). Oxford Classic Texts in the Physical Sciences. Lemaitre, J. and Chaboche, J.-L. (1985). Mécanique des matériaux solides. Dunod, Paris. Lubliner, J. (1990). Plasticity Theory. Mc Millan. Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR CNRS 7633 ) Plasticité 13 mars / 71

73 Plasticité 3D avec écrouissage Mandel, J. (1966). Cours de mécanique des milieux continus Tomes I et II. Gauthier Villars / réédition 1994, J. Gabay. Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR CNRS 7633 ) Plasticité 13 mars / 71