1 Limite et continuité

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Francine Rochon
il y a 7 ans
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1 Limit t ontinuité. Préliminirs. Consiérons l fontion ont l grph st illustré issous.. Détrminr prmi ls rltions illustrés i-ssous lls qui rprésntnt s fontions. ) ) ) f) Détrminr, si lls istnt, ls vlurs suivnts l fontion f(). ) f( ) ) f( ) ) f() ) f() ) ) g) h) Détrminr si ls énonés suivnts sont vériiqus. ) L point (, ) fit prti l fontion f. f) L point (, ) fit prti l fontion f. g) L fontion f(), [, ]. h) L fontion f(), [, ] \ {}. i) L fontion f(), [, [ ], ]. j) L fontion f(), [, ] [, ]. k) [, ], tl qu f() = 0 l) [, ], tl qu f() 0. Détrminr prmi ls grphs illustrés i-ssous u qui rprésntnt s fontions.. Consiérons ls fontions suivnts : f() =, g() =, h() = +. Détrminr, si lls istnt, ls quntités suivnts. ) ) ) f() ) g() ) h(0) ) h( ) ) f() f) f( ) g) f() + h() h) f() g() ( ) i) f g() ( ) j) g f() k) (f g h)() ) ). Détrminr l éqution l roit = + qui pss pr ls points suivnts. ) (, ) t (, ) ) (, ) t (, ) ) (, ) t (, ) ) (, ) t = ) f)

2 6. Consiérons l fontion f() = ont l grph st illustré i-ssous. f() 0. Soit l polnôm P () = + +. ) C polnôm -t-il s zéros? ) Eist-t-il un ftoristion pour P ()? Trouvr ls zéros s fontions suivnts. ) f () = ) f () = ) f () = + ) f () = + ) f () = ( )( + ) f) f 6 () = ( )( )( + ). Ftorisr ls polnôms suivnts. Détrminr l éqution l roit = + qui pss pr ls points suivnts. ) (, f()) t (, f()) ) (, f( )) t (, f()) 7. Consiérons l fontion f() éfini pr moru, si < 0,, si 0 <, f() = 6, si <,, si <. 7 Détrminr, si lls istnt, ls quntités suivnts. ) ) ) + ) ) + f) +. Fits ls ivisions polnomils suivnts. ) + ) ) ) Trouvr ls omins s fontions suivnts ) f() = ) f() = + ) f( ) ) f(0) ) f() ) f() ) f(.99) f) f() g) f(.0) h) f(7) ) f() = ) f() = + ) f() = f) f() = +. Fontion. Limit 8. L polnôm P () = +8 put églmnt s érir sous l form P () = ( ) ( + ) ) Put-on l ftorisr vntg? (Pourquoi?) ) Vérifir qu = st un zéro P () ns ls u forms onnés ns l qustion. ) Trouvr, si possil, tous ls zéros u polnôm P (). 9. Soit l polnôm P () = 8. ) Détrminr si l inôm ( ) st un ftur P (). ) Détrminr si l inôm ( + ) st un ftur P ().. Consiérons l fontion f() ont l grph st illustré i-ssous. =

3 Évlur, s ils istnt, ls nomrs suivnts. ) f( ) ) f() f() + f() ) lim f() f() g) lim + f() h) lim f() i) lim f() j) lim f() + 6. Consiérons l fontion f() ont l grph st illustré i-ssous. 9. Évlur, si possil, ls limits mnés shnt qu lim f() =, lim (f() + g()) f() lim h() = 0, lim (f() g()) (f() + h()) g() =, g() = 7 ) lim (f() g()) f() g() g) lim g (f()) h) lim f (g()) 0. Clulr ls limits suivnts. = ( )( + ) + = = Évlur, si lls istnt, ls limits suivnts. f() ( ) ( ) + ) lim f() f() + g) lim f() 0 h) lim f() = 7. Pour hun s fontions suivnts, trouvr intuitivmnt (soit n fisnt un squiss u grphiqu ou n tntnt un pproh numériqu) ls trois limits suivnts : ) f() = ) f() = ) f() = lim f(), 0 lim f(), lim f() + ( ) ) f() = ) f() = 9 8. Trr l squiss un fontion f() nt ls propriétés iniqués. i) [, ], t.q. f() = 0 ii) f() 0, [0, ] iii) lim f() iv) f() = v) lim 0 + f() = vi) lim f() = 0. Soit l fontion si < 0 f() = si 0 < 6 si > Clulr ls quntités mnés. ) f(0) f() 0 f() 0 + f() 0 ) f() f() g) f() h) lim f(). Algèr l infini. Évlur ls limits i) lim + f() j) lim f() k) f() l) lim f() ) lim ( ) 0 g) lim h) lim +

4 . Évlur ls limits Évlur ls limits. ) lim g) lim h) lim ln( ) ) Eprimr l quntité qu ls onsommturs sont prêts à htr n fontion u pri u in. ) Comin ins ls onsommturs hètront si l pri st fié à,0$? ) Évlur lim P 0 + Q(P ) ) Epliqur ns l ontt l répons otnu n (). ) Évlur lim P Q(P ) f) Dns l ontt, st-il plusil otnir un tll répons? g) Détrminr l pri u-là uqul ls onsommturs n sont plus intérssé à htr l prouit. ( ) lim ( ) ) g) lim 7 7 h) lim i) lim sin + +. Évlur ls limits. + j) lim + k) lim l) lim m) lim ( ) / n) lim log ( + + ) o) lim log ( ) p) lim q) lim + ( ) + ( ) 6. D qul(s) ôté(s) ls limits suivnts istnt-tlls? ± ± 8 8 ± ± ln( + ) 7. L pri fié pour un in influn irtmnt l quntité in qu ls onsommturs sont prêts à htr (plus l pri st s, normlmnt, plus on hèt). Supposons qu on puiss trouvr l pri P un in onné n fontion l quntité Q in qu ls onsommturs sont prêts à htr pr l fontion P = 7 Q Inétrmintion 8. Dns l ontt l étu s limits, qull st l ifférn ntr ls prssions n ist ps t inétrminé? 9. Évlur ls limits suivnts Évlur ls limits suivnts Évlur ls limits suivnts. ( ) + ( ) ) lim Évlur ls limits suivnts

5 . Évlur ls limits suivnts Continuité t smptots ) =. Pour hun s fontions suivnts, étrminr t lssr tous ls points isontinuité. ) = = ) = f) ) g) ) =. Trouvr touts ls isontinuités s fontions onnés.

6 ) f() = + + ) f() = 6 + ) f() = { 7 si k si > 6. Trouvr touts ls isontinuités s fontions onnés. + si < ) f() = si si < ) f() = si 7. Sur qul(s) intrvll(s) l fontion onné st-ll ontinu? si ( + + ) ) f() = si < < si = si > ) f() = ) f() = ) f() = { k si + k si > 9 si k si > 9 si 0 k si > 0. Évlur ls limits. : Évlur ls limits suivnts. ( + ) ) lim ) f() = ) f() = ( ) / 8. Trr un fontion éfini sur l intrvll frmé [0, ] tll qu i) f(0) < 0 ii) f() > 0 iii) f() 0 ) L fontion f() qu vous vz onné st-ll ontinu sur [0, ]? ) Eist-t-il un fontion ontinu sur [0, ] qui stisfit u onitions i) à iii)? 9. Un ompgni trnsport éfini son trif omm suit : $ pour un olis kg ou moins ; pour un olis ont l mss s situ ntr kg t 0kg, l oût n ollrs st égl u oul l mss n kg ; pour un olis 0kg ou plus, l oût st égl u qurt u rré l mss. ) Donnr l fontion C(m) qui onn l oût trnsport n fontion l mss m u olis. ) Qul st l omin tt fontion? ) Ctt fontion st-ll ontinu sur son omin? Évlur ls limits. + ( ) ( ) ) lim ( ) + ( + 6 ) ( 8 ) + 0. Pour qull vlur k l fontion f() st-ll ontinu n tout point? 6

7 . Trouvr touts ls smptots horizontls t vrtils s fontions suivnts. ) = + ) f() = ) = + ) f() = + ) = + f) f() = + g) = log h) = ln ( ). Trouvr touts ls smptots horizontls t vrtils s fontions suivnts : ) ) f() = + si < 0 f() = + si si < si si > 7

8 .7 Solutionnir Solution Solution 9 ) Non. ) Oui. ) Oui ) Oui Solution ) Oui ) Non ) Non f) Non g) Oui h) Oui Solution 0 ) Non, r qu polnôm st toujours positif P () > 0, puisqu hqu trm st gré pir. ) Oui : ( + )( + ). ) Oui ) Non Solution ) f( ) = ) f( ) = ) f() ) f() = Solution ) Oui ) Non ) Fu f) Vri g) Fu h) Vri ) Non f) Oui i) Vri j) Fu k) Vri l) Vri Solution ) = ) Ps zéro ) = t = Solution ) ( ) ) ( )( + ) ) + ) Ps zéro ) = t = f) = 0, =, = t = ) ( )( + ) ) ( )( + ) f) ( )( + ) ) f() = ) g() = 9 ) h(0) = ) h( ) ) 6 f) 6 0 g) h) i) j) k) ( + ) Solution ) ) + ) + 7 ) Solution ) = ) = ) = ) = + Solution ) D f = R ) D f = R\{} ) D f = R\{, } ) D f = [, [ ) D f =], ] [, [ f) D f =], 0] ], ] Solution 6 Solution ) = 6 ) = Solution 7 ) - ) - ) ) ) f) g) - h) - i) - j) ) f( ) = 0 ) f(0) = ) f() = ) f() ) f(.99) = 0.0 f) f() = 0 g) f(.0) = /.99 h) f(7) Solution 6 ) ) ) ) ) f) g) 0 h) - Solution 8 ) Non, près l formul qurtiqu, lorsqu l isriminnt st négtif, il n ps rins. ) Lissé à l étuint. ) Auun utr zéro slon l ftoristion. Solution 7 ) 0 ; ; 9. ) / ; 0 ;. Solution 8 ) ; 0 ; /9. ) /9 ; 0 ;. ) / ; 0 ; /6. Il ist plusiurs réponss possils. 8

9 Solution 6 ) + ) 8 ± ) ) ± Solution 9 ) ) ) ) Impossil lulr. Solution 0 ) - f) / g) 7 h) Impossil lulr. Solution 7 ) Q = 7 P 00 ) 90 ) ) Plus l pri st s (prsqu grtuit), plus ur vnts. ) -00 f) Non (nomr vnts négtif). g),7$ Solution 8 Un form inétrminé st un form n nous prmttnt ps s prononr sur l résultt lors qu un limit qui n ist ps n ps résultt. ) ) Solution 9 Solution ) ) - ) ) ) f) g) h) 0 i) 0 j) 0 k) l) ) ) 0 ) ) / Solution 0 ) / ) / ) ) - ) 08 f) Solution Solution ) ) Solution ) 0 ) 0 ) ) ) 0 ) 0 ) f) ) 0 f) g) h) g) 0 h) ) ) Solution ) 9 ) 9 ) /6 ) / ) ) /6 Solution ) ) 0 ) 0 ) 0 ) 0 f) g) h) i) j) 0 k) l) m) n) o) 0 p) 0 q) Solution ) /8 ) 0 ) ) 0 Solution ) Essntill pr sut infini n = 0 Essntill pr sut infini n = Solution ) Non-ssntill pr éplmnt n = 0 Essntill pr sut fini n = ) ) 0 ) 0 ) 0 ) Non-ssntill pr trou n = 0 Essntill pr sut infini n = 9

10 ) Essntill pr sut infini n = Essntill pr sut fini n = ) Essntill pr sut infini n = Essntill pr sut infini n = f) Essntill pr sut fini n = g) Essntill pr mnqu sur [, ] Essntill pr mnqu sur [, ] Solution ) Auun isontinuité ) = Solution 6 ) = ) Auun isontinuité Solution 7 ) ], [ ], [ ) [, [ ) ], [ ], [ Solution ) ) / Solution ) A.H. n = ; A.V. n =. ) A.H. n = 0 ; A.V. n = t =. ) Ps A.H. ; A.V. n = 0. ) A.H. n = ; A.V. n =. ) A.H. n = 0 ; A.V. n =. f) A.H. n = 0 ; ps A.V. g) Ps A.H. ; A.V. n = 0. h) A.H. n = 0 ; A.V. n = t n =. Solution ) A.H. n = ; ps A.V. ) A.H. n = 0 t n = ; ps A.V. Solution 8 Afin stisfir u onitions i) à iii), l fontion f() oit néssirmnt voir un sut (fini ou infini) sur l intrvll [0, ]. Pr onséqunt, ll n put ps êtr ontinu sur t intrvll. Solution 9 ) C(m) = ) ]0, [ si 0 < m m si < < 0 0.m si 0 ) Non, il un isontinuité à 0 kg. Solution 0 ) k = 9 ) k = / ) k = 0 ) Auun. Solution ) ) / ) ) ) 0 f) / Solution ) 0 ) ) 0 ) 0 ) 6/8 f) 0 0

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