Ils permettent d'établir avec rigueur les écritures recherchées. Ils sont à compléter, en autonomie, au fur et à mesure des besoins et des cours.

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1 OUTILS MATHEMATIQUES utilisés en SCIENCES DE L'INGENIEUR Ces notions indispensables constituent la base des outils à savoir utiliser aisément lors des études des systèmes et pour résoudre les problèmes abordés en mécanique. Ils permettent d'établir avec rigueur les écritures recherchées. Ils sont à compléter, en autonomie, au fur et à mesure des besoins et des cours. 1- Repère et base - Coordonnées d un point 3- Vecteurs 4- Produit scalaire et produit vectoriel 5- Changement de base 6- Dérivation 7- Trigonométrie 8- Calcul intégral Page 1

2 1- REPERE R i et BASE B i POURQUOI FAIRE? Un repère est destiné à situer un objet dans un espace 3D afin d'exprimer et de visualiser les grandeurs physiques régulièrement rencontrées en mécanique (forces, vitesses, vecteurs position..) ainsi que leur évolution temporelle. Dans un mécanisme, on liera un repère (avec sa base associée) par sous ensemble en mouvement. CONSTITUTION et REPRESENTATION d un repère Il est constitué d un centre 0 1 et de 3 axes orthogonaux deux à deux. On le note : R 1 (O 1, ) Un repère est direct car le passage d un axe à un autre s effectue selon une convention de signe (règle du tire bouchon ou de la main droite) : - positif de vers, vers et vers, - négatif pour les autres situations. O 1 CONSTITUTION et REPRESENTATION d une base notée C est un trièdre repère. Ortho : constitué de 3 vecteurs unitaires orthonormés directs portés par les 3 axes du (produit scalaire : voir 4 de ce document) Normés : Direct : (produit vectoriel : voir 4 de ce document) Cette base est utilisée pour exprimer les composantes des vecteurs : ex : Page

3 - COORDONNEES d'un POINT M dans R Elles expriment le cheminement du centre du repère vers M Coordonnées cartésiennes, cylindriques, sphériques : Voir cours et aides vidéo interactives flash disponible sur le cahier de textes numérique z P Coordonnées cartésiennes dans le repère R(O, ) : P(x P, y P, z P ) cart,r O y P x P Coordonnées cylindriques dans le repère R(O, ) : P(r,, z) cyl,r Coordonnées sphériques dans le repère R(O, ) : P(,, ) sph,r Page 3

4 3- VECTEURS 1 Composantes Ce sont les valeurs algébriques des projections d'un vecteur dans le repère. Ici : ce sont les 3 valeurs : 3, 4, -6 pour le vecteur V dans le repère R 1 Ecritures (s appuyant sur le repère R 1 (O 1, )) - analytique (équation vectorielle) : 3 4 (exemple) matricielle : 3 V 4 dans le repère R Norme d'un vecteur V = 3 5 ( 6) Attention : les 3 composantes doivent provenir du même repère. 4 Opérations vectorielles Somme vectorielle analytique : Soient : et Alors : Somme vectorielle graphique : = = = Page 4

5 4- PRODUIT SCALAIRE ET PRODUIT VECTORIEL 4.1 Produit scalaire Soient deux vecteurs U et V de l espace vectoriel. On appelle produit scalaire de U et V, le nombre réel (noté scalaire) : Expression littérale : U. V U V cos( U, V ) Représentation / signification : U H v Le signe du produit scalaire est inclus dans la valeur algébrique. A H u V représente la valeur de la projection du vecteur U sur l axe ayant pour vecteur unitaire. Propriétés : Symétrie Bilinéarité U. V V. U U.( V W) U. V U. W Multiplication par un scalaire k( U. V ) ( ku ). V U.( kv ) Cas produit scalaire nul: U 0 ou V 0 ou cos( U, V ) 0 U et V orthogonaux Calcul à partir des composantes exprimées dans la même base : u v 1 1 U.V u. v u.v u.v u.v u v 3 3 Page 5

6 4. Produit vectoriel On appelle produit vectoriel de W = U V tel que : W est orthogonal à U V, et U et à V U et V, le vecteur : W forment un trièdre direct (règle du tire bouchon ou de la main droite) U V U V sin( U, V ) Propriétés : Antisymétrie U V ( V U ) Bilinéarité U ( V W) U V U W Multiplication par un scalaire k( U V ) ( ku ) V U ( kv ) Cas où le produit vectoriel est nul: U 0 ou V 0 ou sin( U, V ) 0 U et V sont colinéaires Applications très utilisées en cinématique dans les bases : Soit une base directe ; on a : Soient repères 1 et en rotation d angle = autour de ; alors on a : Calcul à partir des composantes exprimées dans la même base : u1 v u 1.v 3 u 3.v Sur x 1 U V u v u 3.v 1 u 1.v 3 Sur x u v u 1.v u.v 1 Sur x Produit mixte C'est le scalaire : U.( V W ) On montre que U.( V W) W.( U V ) V.( W U ) Il sera donc noté ( U, V, W) et les propriétés précédentes seront retrouvées par permutation circulaire. Page 6

7 5- CHANGEMENT DE BASE (Attention : vecteurs unitaires) Application pour un vecteur non unitaire : Le changement de repère (base) permet d'exprimer les composantes d'un vecteur dans un nouveau repère. V V. n V. (c o s. x s in. y ) Vx V. c o s. x e t Vy V. s in. y Exercice changement de base : Pour chaque figure ci dessus, donnez le signe de 10, exprimez les vecteurs de B 1 dans B 0. Page 7

8 6- DERIVATION Notations ( Fonctions cosinus et sinus Si f est une fonction de la variable x : Par ex : Fonctions composées Exemples à connaitre par cœur : On peut aussi retenir sous la forme : Dérivation vectorielle d W(t) dt d W(t) dt R k /R i W(t) R i R k Page 8

9 7- TRIGONOMETRIE : FORMULAIRE Page 9

10 8- CALCUL INTEGRAL Exemple : = Page 10