Résumé de cours de mathématiques

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1 1 Algèbre Résumé de cours de mathématiques 1.1 Les nombres entiers et décimaux Décomposer les grands nombres Pour faciliter la lecture et l écriture des grands nombres, il faut laisser un espace entre les classes. Les chiffres sont groupés par trois (unités, dizaines et centaines). Un espace sépare le nombre écrit dans chaque classe. On peut décomposer un nombre par classe de plusieurs façons : En utilisant la décomposition additive. Par exemple : = En utilisant la décomposition multiplicative et additive. Par exemple : = (57 x ) + (638 x 1 000) Il faut s aider du découpage en classe pour lire les grands nombres. Pour lire un grand nombre : Il faut lire le nombre écrit dans chaque classe et dire le nom de la classe (milliard, million, mille) en commençant par la classe la plus grande. Il n y a pas de mot pour nommer la classe des unités. Pour écrire un grand nombre : Il faut écouter le nom de la classe la plus grande pour connaître la taille du nombre. Il faut écrire trois chiffres dans chaque classe (u, d, c). Il ne faut pas oublier d écrire un zéro s il n y a pas de centaine ou de dizaine. 1.2 Opérations L'addition Additionner et soustraire les décimaux Quand on effectue une addition ou une soustraction de nombres décimaux, il faut : Aligner les virgules les unes au-dessous des autres. Aligner les chiffres comme pour les nombres entiers : le chiffre des unités sous le chiffre des unités, le chiffre des dizaines sous le chiffre des dizaines, le chiffre des dixièmes sous le chiffre des dixièmes, etc. Commencer les calculs par les chiffres les plus à droite. Ne pas oublier les retenues : les retenues fonctionnent comme avec les nombres entiers. Écrire la virgule dans le résultat sous les autres virgules. Quand on effectue une addition ou une soustraction avec des nombres entiers et décimaux, il faut transformer le nombre entier en nombre décimal. Tous les nombres entiers peuvent s écrire sous la forme d un nombre décimal. Exemple : Résumé de cours de mathématiques 1/11

2 51 = 51,0 Dans le cas d une soustraction, il faut écrire autant de zéros après la virgule que l autre nombre décimal en contient. On peut rechercher l ordre de grandeur du résultat d un calcul avec des nombres décimaux pour obtenir rapidement une réponse approchée. Pour trouver l ordre de grandeur de la somme 48, ,965, il faut chercher le nombre le plus proche de 48,43 : c est 48 ; puis le nombre le plus proche de 52,965 : c est 53. On ajoute , ce qui fait 101. Cet ordre de grandeur permet de contrôler le résultat exact qui est 101, La division Effectuer la division décimale de deux entiers Quand on effectue une division, on cherche à réaliser un partage en parts égales. S il n y a pas de reste, la division est terminée. Un grand-père donne 20 à ses quatre petits-enfants. Combien d argent chaque enfant recevra-t-il? Il faut calculer 20 : 4. Dans 20, combien de fois 4? Réponse : 20 = 4 x 5 Il n y a pas de reste. Le reste = 0. Chaque enfant reçoit 5. Mais dans d autres divisions, il peut y avoir un reste. Il faut alors continuer la division pour partager le reste. On écrit un zéro à la droite du reste. On écrit une virgule juste après le dernier chiffre du quotient. Le quotient devient alors un nombre décimal avec un chiffre après la virgule. Résumé de cours de mathématiques 2/11

3 Quand on a calculé un quotient avec un chiffre après la virgule et que le reste n est pas égal à zéro, on peut continuer de la même façon. On écrit un zéro à la droite du reste. On continue la division. Le quotient est alors un nombre avec deux chiffres après la virgule. On peut continuer ainsi tant que le reste n est pas égal à zéro. Il existe des divisions qui ne se finissent jamais. On s arrête en général à 2 ou 3 chiffres après la virgule. On ne cherche un quotient décimal que si cela a du sens. Quand on divise des euros, on cherche un quotient décimal à deux chiffres après la virgule : ils correspondent aux centimes. Quand on divise des unités de mesure du système métrique, on cherche un quotient décimal à deux ou trois chiffres après la virgule : ils correspondent aux sous-multiples de l unité partagée. Diviser un nombre décimal par un entier Quand on divise un nombre décimal par un nombre entier : Il faut effectuer la division de la partie entière du dividende jusqu au chiffre des unités qui est placé juste avant la virgule. Jusque-là, c est une division classique. Résumé de cours de mathématiques 3/11

4 Une fois qu on a terminé la division de la partie entière : Il faut partager la partie décimale du dividende en commençant par les dixièmes. On écrit une virgule après le dernier chiffre du quotient. On abaisse le chiffre des dixièmes du dividende et on continue la division, on écrit le chiffre des dixièmes au quotient. S il y a des centièmes, on abaisse ensuite le chiffre des centièmes du dividende et on continue la division, on écrit le chiffre des centièmes au quotient. Et ainsi de suite. Quand le dividende (un nombre décimal) est plus petit que le diviseur (un nombre entier) : Il faut écrire 0 au quotient et écrire une virgule après le quotient. Il faut barrer la virgule du dividende et continuer la division comme s il s agissait de deux nombres entiers. Attention! Chaque fois qu on abaisse un chiffre du nombre à diviser (le dividende), on doit écrire un chiffre au résultat (le quotient). Si le nombre obtenu après avoir abaissé un chiffre est plus petit que le diviseur, alors on doit écrire un zéro au quotient avant d abaisser un autre chiffre. 1.3 Grandeurs et mesures Mesurer une durée Les nombres sexagésimaux servent à mesurer des durées. Ils utilisent la base 60. Notre système de numération décimale utilise la base heure = 60 minutes soit encore 1 h = 60 min. 1 minute = 60 secondes soit encore 1 min = 60 s. 1 heure = secondes (qui s obtient en faisant 60 x 60). On peut additionner et soustraire ces nombres, mais il faut souvent les convertir. Résumé de cours de mathématiques 4/11

5 Un chauffeur roule pendant 1 h 56 min le matin, puis pendant 2 h 48 min l après-midi. Quelle est la durée de son trajet? Il faut poser l opération 1 h 56 min + 2 h 48 min en plaçant les minutes sous les minutes, et les heures sous les heures. Il faut ajouter les minutes ensemble, puis les heures ensemble. Si on obtient plus de 60 minutes, il faut convertir les minutes en heures. Un avion décolle à 13 h 41 et atterrit à 18 h 35. Quelle est la durée de son vol? Il faut poser l opération 18 h 35 min 13 h 41 min en plaçant les minutes sous les minutes, et les heures sous les heures. Pour soustraire les minutes, on ne peut pas enlever 45 à 35 ; il faut transformer des heures en minutes : il faut enlever 1 h au nombre d heures : 18 h 1 h = 17 h il faut transformer cette heure en minutes (1 h = 60 min) et l ajouter au nombre de minutes : 35 min + 60 min = 95 min on obtient : 18 h 35 = 17 h 95 min. On peut maintenant calculer la soustraction équivalente : 17 h 95 min 13 h 41 min. 1.4 Fractions Passer de la fraction décimale à l écriture à virgule Une fraction décimale est une fraction qui a un nombre entier au numérateur et une puissance de 10 (c est à dire 1, 10, 100, 1000,...) au dénominateur. Le segment AB représente l unité. L unité est partagée en 10 dixièmes. Une fraction décimale est toujours comprise entre deux nombres entiers qui se suivent. Par exemple : 0< 3 10 <1 ou encore 1< <2 Tout nombre entier peut s écrire sous la forme d une fraction décimale. Un nombre décimal est un nombre qui peut s écrire sous la forme d une fraction décimale ou d une écriture à virgule. Résumé de cours de mathématiques 5/11

6 1 Le point R qui correspond à la fraction 10 Le point S qui correspond à la fraction s écrit aussi 0,1. s écrit aussi 1,2. On peut partager chaque dixième en 10 centièmes. Le point R correspond aussi à la 10 fraction 100 Un centième s écrit sous la forme et s écrit aussi 0,01. Une fraction décimale donne lieu à plusieurs écritures équivalentes =1,2= =1+0,2 Le nombre décimal comprend une partie entière et une partie décimale. 1.5 Proportionnalité, échelles Reconnaître des situations de proportionnalité Les énoncés pour lesquels on ne peut pas répondre par le calcul ne correspondent pas à des situations de proportionnalité. On peut présenter les calculs dans un tableau de proportionnalité. Il y a proportionnalité dans un tableau de nombres lorsqu on passe d une ligne à l autre en multipliant ou en divisant par un même nombre. Les recettes correspondent à des situations de proportionnalité. A partir des quantités données pour 4 personnes, on peut calculer les quantités pour 10 personnes. Résumé de cours de mathématiques 6/11

7 Il y a proportionnalité sur un graphique lorsque tous les points sont alignés avec le point 0. Les tableaux nous montrent la consommation de carburant de deux voitures B et C en fonction du nombre de kilomètres parcourus. Pour la voiture B, il y a proportionnalité entre la consommation de carburant et la distance parcourue en km. Ce n est pas le cas pour la voiture C. Calculer avec la règle de trois On utilise la règle de trois pour résoudre un problème de proportionnalité. Une voiture consomme 6 L aux 100 km. Combien va-t-elle consommer pour 425 km? On peut résoudre ce problème avec un tableau de nombres : pour passer de 100 à 425, il faut arriver à voir les relations entre les nombres. Avec la règle de trois, on n a pas besoin de chercher de relation entre les nombres. Résumé de cours de mathématiques 7/11

8 Le principe de la règle de trois consiste à ramener le calcul à l unité. Ce calcul se fait par étapes avec deux opérations. 1-On écrit les données de la situation. 2-On calcule pour une unité : on pose une division. 3- On calcule pour le nombre demandé dans la question : on pose une multiplication. Voici un problème à résoudre par la règle de trois : 24 repas de cantine ont coûté 132. Combien coûtent 30 repas? 1 repas coûte : 132 : 24 ou 132/24 soit 5, repas coûtent 30 fois plus soit Géométrie plane 2.1 Triangles Construire un triangle avec un programme Les triangles sont des polygones à 3 côtés. Le triangle rectangle possède un angle droit. Le triangle isocèle a deux côtés égaux et deux angles égaux. Le triangle équilatéral a trois côtés égaux et trois angles égaux. Les triangles qui n ont pas de propriétés particulières sont des triangles quelconques. On marque les 2 ou 3 côtés égaux par un petit trait oblique. Pour construire un triangle rectangle : Tracer un cercle de 3 cm de rayon. Tracer un diamètre BC de ce cercle. Placer un point A sur un endroit du cercle. Relier ce point A au point B, puis au point C. Résumé de cours de mathématiques 8/11

9 Vérifier avec l équerre que l angle BAC est un angle droit. Pour construire un triangle isocèle : Tracer un segment FG de 4 cm de longueur. Ouvrir le compas. Piquer la pointe en F et tracer un arc de cercle assez grand. Recommencer la même chose en piquant le compas en G, sans changer l ouverture du compas. Marquer le point H à l endroit où se coupent les deux arcs de cercle. Pour construire un triangle équilatéral : Tracer un segment IJ de 5 cm de longueur. Ouvrir le compas avec un écartement de 5 cm. Piquer la pointe en I puis en J et tracer deux arcs de cercle qui se coupent en un point K. 2.2 Périmètres et aires Calculer une aire Les aires sont des surfaces. Les surfaces se mesurent. L unité de surface est le mètre carré, noté m². On peut exprimer les surfaces avec des multiples ou des sous-multiples du mètre carré (). On sait calculer l aire des figures géométriques à partir de leurs mesures. Pour calculer l aire d un carré, on multiplie la mesure du côté par la mesure du côté, ce qui donne la formule : A ire du carré=côté côté Pour calculer l aire d un rectangle, dont les dimensions sont L pour la longueur et l pour la largeur, on multiplie la mesure de la longueur par la mesure de la largeur, ce qui donne la formule : A ire du rec tan gle=l ongueur l arg eur Pour calculer l aire d un triangle, on utilise la formule suivante : Aire du triangle= (base hauteur ) 2 Pour utiliser ces formules de calcul d aires, toutes les mesures doivent être exprimées dans la même unité. On veut calculer la surface d un morceau de mur rectangulaire (L = 1,20 m et l = 60 cm) pour le recouvrir de petits carreaux de mosaïque. Il faut exprimer toutes les mesures dans la même unité : 1,20 m = 120 cm. A ire du rec tan gle=120 cm 60 cm=7200 cm 2 =0,72 m 2 3 Géométrie dans l'espace 3.1 Les solides Reconnaître les solides droits Résumé de cours de mathématiques 9/11

10 Pour construire un solide, il faut tracer son patron. Les traits en pointillés indiquent les endroits de pliage. Sur le patron du cube, on peut compter 6 faces en forme de carré. Sur le patron du pavé (qu on appelle aussi parallélépipède rectangle), on peut compter 6 faces en forme de rectangle. Pour décrire les solides, il faut utiliser un vocabulaire spécialisé : Les solides sont limités par des faces. Les faces se rejoignent en formant des arêtes. Les arêtes se rejoignent en formant des sommets. Un polyèdre est un solide dont toutes les faces sont planes. Ses faces peuvent avoir des formes différentes. Certains solides ont des propriétés particulières. Il faut savoir les désigner par leur nom. Le parallélépipède rectangle, appelé aussi le pavé, possède six faces qui sont des quadrilatères égaux deux à deux et qui sont parallèles deux à deux. Le cube est un parallélépipède rectangle particulier. Le cylindre a un disque comme base. Le prisme a une base et une face triangulaire et trois faces rectangulaires. La pyramide a un rectangle comme base et 4 faces triangulaires. Calculer le volume du pavé droit Pour calculer le volume d un pavé droit, on multiplie les trois dimensions (longueur, largeur, hauteur). Ces dimensions doivent être exprimées dans la même unité. Pour calculer le volume du parallélépipède rectangle, on multiplie la longueur par la largeur par la hauteur, ce qui donne la formule : Volume du pavé = L x l x h Pour calculer le volume du cube, on multiplie le côté par le côté par le côté, ce qui donne la formule : Volume du cube = c x c x c L unité de volume principale est le mètre cube, noté m 3 Le mètre cube correspond au volume d un cube de 1 m d arête. Il correspond au calcul 1 m 1 m 1 m=1 m 3 On exprime aussi les volumes avec des sous-multiples du mètre cube m 3 Le décimètre cube : dm 3 Résumé de cours de mathématiques 10/11

11 Le centimètre cube : cm 3 Le millimètre cube : mm 3 Pour passer d une unité de volume à l autre, il faut multiplier ou diviser par Il existe une correspondance entre les unités de volume et les unités de capacité. Résumé de cours de mathématiques 11/11

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