Chapitre 5 : Ensembles

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1 Chapitre 5 : Ensembles Dans ce chapitre, nous introduisons rigoureusement la notion d'ensemble qui sera particulièrement utilisée lors de l'étude des probabilités. Après avoir introduit les dénitions d'ensembles et de sous-ensembles, nous nous intéresserons aux notions d'intersection, d'union et de complémentaires d'ensembles, avant de traiter du produit cartésien. Table des matières 1 Ensembles et sous ensembles 2 2 Intersection, Union et Complémentaire Intersection Union Complémentaire Un type d'ensembles particuliers : le produit cartésien d'ensembles 8 29 septembre Pierre-Yves Madec - pmadec@hotmail.fr 1

2 1 Ensembles et sous ensembles (Les billes de Fernand) Fernand collectionne les billes. Il en a 47. L'ensemble que nous considérons ici est la collection des billes de Fernand. Cet ensemble est constitué d'éléments qui sont ici les billes. (Les paires de chaussures d'augustine) Augustine a dans son armoire 15 paires de chaussures. L'ensemble est la collection des paires de chaussures (et non pas des chaussures!). Les éléments qui constituent cet ensemble sont donc les paires de chaussures. Il y a donc 15 éléments dans cet ensemble (et non pas 30!). Dénition (Ensemble, Élément) On appelle ensemble toute collection d'objets, appelés éléments. 1. L'ensemble des nombre pairs peut être noté E = {0, 2, 4, 6,... } mais il peut aussi être noté de manière descriptive en écrivant E = {n N, n est pair} qui se lit "E est l'ensemble des entiers naturels tels que n est pair". 2. 1, n = {i N, 1 i n}, à ne pas confondre avec [1, n]... Dénition Soit E et F des ensembles. x E ssi x est un élément de E (on dit aussi que "x appartient à E"). x E ssi x n'est pas un élément de E (on dit aussi que "x n'appartient pas à E"). F E ssi tout élément de F appartient à E. On dit alors que F est un sousensemble (ou une partie) de E, ou bien que l'ensemble F est inclus dans l'ensemble E. F E ssi l'ensemble F n'est pas inclus dans l'ensemble E. E = F ssi E F et F E. Remarque(s) L'ensemble qui ne contient rien est appelé l'ensemble vide et est noté. Pour illustrer la situation, on peut réaliser un diagramme de Venn : 2

3 Remarque(s) 1. Pour montrer que A B, on prend un élément x quelconque dans A et on montre que x appartient à B. 2. Par convention, l'ensemble vide est inclus dans n'importe quel ensemble. Donner les diérentes relations d'inclusions entre les ensembles : ˆ A = {2, 5, 4, a}, B = {4, 5, a}, C = {a} et D = {2, 20, 4}. ˆ E = {x R, x 2 2 = 0} et F = [ 10, 10]. Dénition (Ensemble des parties d'un ensemble) L'ensemble de toutes les parties de l'ensemble E est noté P(E). Soit E = {1, 3, 4}. Expliciter toutes les parties de E. En déduire P(E). 3

4 2 Intersection, Union et Complémentaire Dans cette section, tous les ensembles considérés A, B etc sont inclus dans un ensemble "plus gros" E. 2.1 Intersection Dénition (Intersection) L'intersection des ensembles A et B est l'ensemble, noté A B, déni par : A B = {x E x A et x B}. En français : A B est l'ensemble des éléments qui sont à la fois dans A et dans B. Illustration : Cas A et B non-disjoints : A B Cas A et B disjoints : A B = Soit A = { 2, 1, 15} et B = {1, 2, 15}. Que vaut A B? Soit A = N et B = [1; 10[. Que vaut A B? 4

5 Propriété 1 L'intersection est : 1. commutative : A B = B A, 2. associative : (A B) C = A (B C) = A B C, 3. admet un élément neutre pour l'intersection : E, car A E = A. L'associativité de nous permet de dénir une intersection de n ensembles comme ci-dessous : Notation Pour n entier naturel non nul, on note n A k = A 1 A 2... A n. k=1 2.2 Union Dénition (Union) L'union des ensembles A et B est l'ensemble, noté A B, déni par : A B = {x E x A ou x B}. En français : "A B est l'ensemble des éléments qui sont dans A ou dans B". Illustration : Cas A et B non-disjoints : A B Cas A et B disjoints : A B = 5

6 Remarque(s) On a toujours les inclusions suivantes : (A B) A (A B), (A B) B (A B). Propriété 2 L'union est : 1. commutative : A B = B A, 2. associative : (A B) C = A (B C) = A B C, 3. admet un élément neutre pour l'intersection :, car A = A. L'associativité de nous permet de dénir une union de n ensembles comme ci-dessous : Notation Pour n entier naturel non nul, on note n A k = A 1 A 2... A n. k=1 Propriété 3 (Distributivité) A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C). Soit A = [0; 7], B = N et C =]3, 10[. Calculer A (B C) et (A B) (A C). Calculer A (B C) et (A B) (A C). 6

7 2.3 Complémentaire On rappelle que tous les ensembles considérés dans cette section sont inclus dans l'espace E. Dénition (Complémentaire) Le complémentaire de l'ensemble A, noté A est déni par : A = {x E x A}. En français, "A est l'ensemble des éléments qui ne sont pas dans A". Propriété 4 ("faciles") 1. A = A, 2. = E, 3. E =, 4. A A =, 5. A A = E. Illustration : 7

8 Propriété 5 ("moins faciles") 1. A B = A B (Loi de Morgan 1) 2. A B = A B (Loi de Morgan 2) Illustration : 3 Un type d'ensembles particuliers : le produit cartésien d'ensembles (Les chaussures d'augustine (suite)) Nous avons souligné le fait que les éléments étaient des paires de chaussures et non de simples chaussures. Nous pouvons donc noter l'ensemble des chaussures d'augustine de la manière suivante : C = {(1 g, 1 d ), (2 g, 2 d ),..., (15 g, 15 d )}. Dénition Produit cartésien de deux ensembles Le produit cartésien de deux ensembles A et B est l'ensemble noté A B, (se lit "A croix B") déni par : A B = {(x, y), x A et y B}. En français, "A B est l'ensemble de tous les couples (x, y) où x A et y B". Donner quelques exemples d'éléments appartenant à ˆ {0, 1} N : 8

9 ˆ {bille rouge, bille bleue} {croissant, pain au chocolat} : Dénition (Produit cartésien : généralisation) On peut généraliser le produit cartésien de la manière suivante. Pour n entier naturel supérieur ou égal à 2, on considère n ensembles A 1, A 2,... A n. Le produit cartésien de ces n ensembles noté A 1 A 2... A n est l'ensemble des n-uplets (x 1, x 2,..., x n ) avec x 1 A 1, x 2 A 2,..., x n A n. On a donc : A 1 A 2... A n = {(x 1, x 2,..., x n ), i 1, n, x i A i }. Notation Si A = B, A A est noté A 2. On généralise cette notation en posant A n = A A... A pour tout entier n N. }{{} n fois 1. R 2 = 2. R n = 3. N n = Au lieu de dire x, y R, on peut dire (x, y) R 2. Fin du chapitre 9