5. Interférences et diffraction des ondes mécaniques a) Réflexion d un signal à l extrémité d'une corde

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1 5. Interférences et diffraction des ondes mécaniques a) Réflexion d un signal à l extrémité d'une corde Lorsqu on produit une onde transversale dans une corde tendue, il est clair qu en réalité, cette corde n est pas de longueur infinie. Que se passe-t-il alors si l onde arrive à l extrémité de la corde? interférences et diffraction page 1

2 On constate donc que le signal revient en arrière. On dit que le signal incident a été réfléchi par l extrémité de la corde. Signal incident et signal réfléchi ont la même célérité. La réflexion s effectue avec un changement de sens de l élongation lorsque l extrémité est fixe sans changement de sens quand l extrémité est libre Si on continue à produire une onde, il se peut alors que l onde incidente rencontre l onde réfléchie. Que se passe-t-il alors? b) Superposition des petits mouvements Lorsqu en un point P d un milieu élastique se superposent deux ou plusieurs signaux, on admet que : Lorsque deux signaux colinéaires de faible amplitude se superposent en un point M, l élongation résultante y est égale à la somme algébrique des élongations y 1 et y 2 que provoqueraient en M les deux signaux en se propageant seuls. y = y 1 + y 2 Attention au signe de y 1 et y 2! Il se peut donc que les signaux se renforcent pendant leur croisement, ou se détruisent!! Après leur rencontre, les signaux continuent à se propager indépendamment l un de l autre dans leur sens initial Le phénomène observé est appelé «interférence» interférences et diffraction page 2

3 c) Interférence, conditions d interférence L interférence est un phénomène qui résulte de la superposition de deux ondes de même nature et de même fréquence. Les sources émettrices de ces ondes doivent être cohérentes. Deux sources d'ondes sont synchrones si elles sont en phase. Deux sources d'ondes sont cohérentes si elles présentent une différence de phase constante l'une par rapport à l'autre. d) Interférence dans un milieu à une dimension : expérience de Melde! Dispositif expérimental Un vibreur anime l extrémité A d une corde tendue d un mouvement vibratoire sinusoïdal. À l extrémité B, au contact de la poulie, prend naissance une onde réfléchie de même fréquence et même célérité qui se propage en sens inverse. On peut varier o la longueur utile AB = l de la corde o la tension F T de la corde mesurée par un dynamomètre o la fréquence f du vibreur. interférences et diffraction page 3

4 ! Observations Pour un réglage convenable, la corde vibre en plusieurs fuseaux d égale longueur. Les extrémités des fuseaux sont appelées nœuds, les milieux des fuseaux sont appelés ventres de vibration. L extrémité fixée au vibreur peut être assimilé à un nœud; l autre extrémité est aussi fixe est par conséquent il s agit aussi d un nœud. Vu de loin, le système paraît immobile; il n y a pas de progression le long de la corde: le phénomène est appelé onde stationnaire. L éclairage stroboscopique permet de voir que la corde se déforme sur place. L amplitude de vibration est nulle aux nœuds, elle est maximale aux ventres. La longueur d un fuseau est égale à!/2. L aspect de la corde dépend de la tension F T de la corde; de la longueur! de la corde; de la fréquence f du vibreur. L apparence en fuseaux n est obtenue que pour des valeurs discrètes de ces paramètres. Le nombre n de fuseaux diminue quand on augmente la tension de la corde (sans modifier sa longueur ni la fréquence); augmente quand on augmente la longueur utile de la corde (sans modifier sa tension ni la fréquence); augmente lorsqu on augmente la fréquence du vibreur (sans modifier ni la longueur ni la tension).! Interprétation Une onde stationnaire résulte de l interférence entre deux ondes qui se propagent suivant la même direction, mais en sens contraires: l onde incidente issue de la source et l onde réfléchie qui prend naissance à l extrémité fixe. Ces deux ondes ont même fréquence et même amplitude. Aux ventres ces deux ondes arrivent constamment en phase: il y a interférence constructive. L amplitude résultante est égale à la somme des amplitudes des ondes composantes. Aux nœuds ces deux ondes arrivent constamment en opposition de phase: il y a interférence destructive. L amplitude résultante est égale à la différence des amplitudes des ondes composantes, donc elle est nulle. interférences et diffraction page 4

5 Supposons que deux ondes sinusoïdales se déplacent en sens inverse sur une corde et se rencontrent. Soit t 0 l instant où deux crêtes sont exactement au même endroit. La figure à gauche ne montre qu une partie de la corde comportant 2 crêtes. On représente l aspect à chaque 1/8 de période. Les ondes se déplacent alors d un huitième de longueur d onde. L onde résultante est telle que des points restent constamment immobiles (A, C, E), ce sont les nœuds d oscillation. L amplitude de ces points est donc nulle d autres points présentent une amplitude maximale (B et D), ce sont les ventres d oscillation. L amplitude de ces points est 2A (où A représente l amplitude de la source) tous les autres points ont une amplitude bien déterminée, appelée amplitude propre. Cette amplitude est différente en chaque point et est comprise entre 0 et 2A la distance séparant deux nœuds qui se suivent est de!/2 la distance qui sépare un ventre et un nœud immédiatement voisin est de!/4 Remarque : En réalité, l amplitude des ventres est bien supérieure à 2A, car il y a de multiples réflexions à chaque extrémité fixe. Cette aptitude d amplifier le mouvement de la source est une propriété très importante des systèmes d ondes stationnaires : il s agit d un phénomène de résonance! interférences et diffraction page 5

6 ! Etude théorique cf cours! Application aux instruments à cordes La corde, tendue entre deux points fixes, vibre en un nombre entier de fuseaux, donc sa longueur est égale à un multiple de la demi-longueur d onde:! c n F! = n " = n " = " T 2 2f 2f µ avec n = nombre de fuseaux c = célérité le long de la corde f = fréquence de la vibration F T = tension de la corde µ = masse linéaire de la corde Pour F T, c et µ donnés, on obtient une onde stationnaire seulement pour les fréquences vérifiant la relation: f = n 2l " F T µ avec n " # (fréquences propres de la corde) La valeur n = l correspond au son le plus grave que la corde puisse émettre: c est le son fondamental. La corde vibre alors en un seul fuseau. Aux valeurs n = 2, 3... correspondent des sons plus aigus, appelés harmoniques. La formule des cordes vibrantes montre que la fréquence du son fondamental augmente avec la tension de la corde, propriété utilisée pour accorder les instruments; plus la masse linéaire est grande, plus la fréquence du son émis est faible, donc plus le son est grave, pour une tension et une longueur données; plus la corde est courte, plus la fréquence est élevée, donc plus le son émis est aigu, pour une tension et une masse linéaire données. Remarque : Tout système élastique limité dans l'espace peut être considéré comme oscillateur mécanique présentant un nombre (presque) infini de fréquences propres. Le système vibre avec amplitude maximale si la fréquence excitatrice correspond à l'une des fréquences propres. (Il y a résonance!) interférences et diffraction page 6

7 Modes d une onde stationnaire, ou harmoniques, sur une corde avec un noeud à chaque extrémité. Une corde pincée, grattée ou frappée vibre toujours simultanément selon plusieurs modes, et produit donc plusieurs notes. C est cette superposition des notes qui donne à l instrument son timbre particulier. Une corde vibrante ne peut pas ébranler une grande quantité d air. Elle ne peut donc pas à elle seule produire un son d une grande intensité. C est pourquoi les instruments à cordes sont toujours soit reliés à des caisses de résonance, soit reliés à des amplificateurs électroniques. interférences et diffraction page 7

8 !"#$%&%'(')*""()+$%&!"#$%&%#'()*'+',-$.#'/#0.1#' Par quelle force faut-il tendre une corde de longueur 0,5 m et de masse 0,8 g pour que le son fondamental émis soit le la de fréquence 220 Hz? Quelles sont les fréquences des deux premiers harmoniques après le son fondamental émis par cette corde dans les mêmes conditions? (F = 77,44 N ; f'=440 Hz ; f" = 660 Hz)!"#$%&%#'())'+',-$.#'.#'21&/3$#' La corde ré d une guitare a pour fréquence fondamentale 293,7 Hz; la corde sol voisine vibre à 392 Hz. La longueur des parties vibrantes des deux cordes est 65 cm. On souhaite raccourcir la partie vibrante de l une des deux cordes de manière qu elle sonne à la même fréquence que l autre. a) Quelle corde faut-il raccourcir? Motiver! b) De combien faut-il la raccourcir? c) Quelle est la longueur d onde de la vibration sonore produite alors par les deux cordes? (La célérité du son dans l air est 340 m/s.) (a : raccourcir ré ; b :!l = 16,3 cm ; c : " = 86,7 cm)!"#$%&%#'()4'+'516#$6-7&/&-0'.#'.#1"'-0.#7'6$-2$#77&8#7' Les équations d onde de deux ondes voyageant en sens contraire sur une corde sont = 0,03! sin[ "( 10t x) ] et y ( x, t) = 0,03" sin[ #( 10t 2x) ] y ( x, t) ! ( toutes les grandeurs sont indiquées en unités SI ) a) Déterminer la longueur d onde et la période. b) Ecrire l équation d onde de l onde stationnaire qui résulte de la superposition des deux ondes. c) Trouver la position des deux nœuds les plus près de x = 0 (pour x > 0). (x=1/4m et 3/4m) d) Trouver la position des deux ventres les plus près de x = 0 (pour x > 0). (x=1/2m et 1m) e) Trouver l amplitude A à x =!/8. (A=3 2 cm) interférences et diffraction page 8

9 !"#$%&%#'()9'+' Un vibreur S 1 est animé d'un mouvement oscillatoire sinusoïdal vertical de fréquence 30 Hz et d'amplitude 2 cm. A la date t = 0, il passe par sa position la plus basse. a) Déterminer l'équation horaire de S 1 dans un repère Oy orienté vers le haut. (y S1 (t) = 0,02 sin(60" t # "/2) b) S 1 est relié à une corde élastique horizontale de longueur 56 cm sur laquelle prend naissance une onde qui progresse à la célérité de 2,4 m/s. Déterminer l'équation du mouvement d'un point M situé à la distance de x = 20 cm de S 1. Comparer l'état vibratoire de S 1 et de M. (y M1 (0,2;t)= 0,02 sin(60" t # 11"/2), S 1 et M en phase) c) A l'autre extrémité de la corde se trouve un deuxième vibreur S 2, identique à S 1 mais qui passe par sa position la plus haute à la date t = 0. Écrire l'équation horaire de S 2. (y S2 (t) = 0,02 sin(60" t + "/2) d) Comment peut-on qualifier les 2 sources S 1 et S 2? Peuvent-elles donner naissance à un phénomène d'interférences? (S 1 et S 2 en opposition de phase donc cohérentes) e) Écrire l'équation horaire du mouvement du même point M qu'en b) sous l'effet de l'onde progressive issue de S 2. Comparer l'état vibratoire de S 2 et de M. (y M2 (0,2;t)= 0,02 sin(60" t # 17"/2), S 2 et M en phase) f) Quel est l'état vibratoire du point M sous l'effet des ondes issues de S 1 et S 2 ensemble? (y M (0,2 ;t)=0 $ M est un nœud) interférences et diffraction page 9

10 e) Interférences dans un milieu à deux dimensions (=cours de M. Mousset (cf. Dispositif expérimental Une fourche munie de deux pointes est fixée à l extrémité d un vibreur. Les pointes O 1 et O 2 ont ainsi même fréquence. Elles font naître à la surface de l eau des ondes circulaires. * Observations A la surface libre du liquide on observe des rides fixes, bien nettes entre O 1 et O 2. Elles ont la forme d arcs d hyperboles dont les foyers sont O 1 et O 2. On les appelle des lignes ou des franges d interférence. Elles disparaissent si l une des pointes vibre sans toucher l eau. * Interprétation Supposons que les deux pointes frappent l eau exactement au même instant: O 1 et O 2 constituent alors deux sources synchrones. Si elles pénètrent à la même profondeur dans l eau, elles constituent des sources synchrones de même amplitude. Avec un choix convenable de l origine des temps (pour que % = 0) leur équation horaire peut s écrire: y = Ym sin! t interférences et diffraction page 10

11 Soit M un point de la surface de l eau situé à la distance d 1 de O 1 et à la distance d 2 de O 2. Si ces distances sont petites on pourra négliger l'amortissement des ondes. L onde venant de O 1 impose au point M une élongation! t d1 " y1 = Ym sin 2# % $ & ( T ' ) L onde venant de O 2 impose au point M une élongation! t d2 " y2 = Ym sin 2# % $ & ( T ' ) L'élongation résultante en M est y = y 1 +y 2 (superposition des petits mouvements) * Interférence constructive L amplitude du mouvement résultant est maximale et égale à 2Y m aux points où les 2 vibrations y 1 et y 2 sont en phase. sin a = sin b! a = b + n " 2 #, n $Z! t d "! t d " = # $ ( % ) = $ ( % ) + & $ ' Z + T *, + T *, 1 2 y1 y2 2 2 k 2, k! d2 " d1 = k #! = 2k #, k $Z 2 A chaque valeur de k correspond une hyperbole. Les points qui obéissent à la condition k = 0 sont ceux appartenant à la médiatrice de O 1 O 2. Les points qui obéissent à la condition k & 0 appartiennent à une famille d hyperboles de foyers O 1 et O 2. * Interférence destructive L amplitude du mouvement résultant est minimale ou nulle aux points où les 2 vibrations y 1 et y 2 sont en opposition de phase. sin a =! sin b " a = b + (2n ' + 1) #, n' $Z! t d1 "! t d2 " y1 = # y2 $ 2% ' # ( = 2% ' # ( + ( 2k ' + 1 )%, k' & Z * T ) + * T ) +! d2 " d1 = ( 2k ' + 1 )#, k' $Z 2 Les points qui obéissent à cette condition appartiennent à une autre famille d hyperboles interférences et diffraction page 11

12 de foyers O 1 et O 2 qui s intercalent entre les précédentes. A chaque valeur de k correspond une hyperbole. * Points intermédiaires L état vibratoire en un point M dépend donc de la différence des distances de ce point aux deux sources: d! d = " est appelée différence de marche. 2 1 * Conclusions Il y a interférence constructive en M, si la différence de marche est égale à un nombre pair de demi-longueurs d onde. L amplitude en M est alors maximale, égale à 2Y m. Il y a interférence destructive en M, si la différence de marche est égale à un nombre impair de demi-longueurs d onde. L'amplitude en M est alors minimale, égale à 0. Si aucune de ces conditions n est remplie, l amplitude en M est comprise entre 0 et 2Y m. * Construction de la figure d interférence Choisissons pour la distance O 1 O 2 un multiple de!/2. On prépare la figure en traçant des cercles concentriques de centres O 1 et O 2, et de rayons!/2, 2!/2, 3!/2, etc. Puis on cherche, pour k=0, des points faciles à repérer qui correspondent à la condition d interférence constructive d 2 -d 1 =0. On relie ces points par une courbe pour obtenir une frange d amplitude maximale. C est la médiatrice de O 1 O 2. On procède de même pour k=1 et on trace la frange d amplitude maximale correspondant à k=1. De même pour k=-1, k=2, k=-2, etc. On obtient ainsi toutes les franges d amplitude maximale. On obtient également toutes les franges d amplitude minimale en procédant de même pour les valeurs de k. interférences et diffraction page 12

13 frange correspondant à k=1 interférences et diffraction page 13

14 Exercez-vous à représenter toutes les franges d interférence! interférences et diffraction page 14

15 f) Interférences dans un milieu à trois dimensions (=cours de M Mousset) Détection des ondes acoustiques Les ondes sonores ou acoustiques sont des ondes longitudinales qui se propagent dans tout milieu élastique, en particulier dans l air. L onde se propage dans toutes les directions de l espace à partir de la source. L oreille mise à part, le détecteur de choix est le microphone. Sa pièce maîtresse est une membrane élastique que l onde sonore met en vibration. Les vibrations mécaniques de la membrane sont ensuite transformées en vibrations électriques, c.-à-d. en tension alternative qu on peut visualiser sur l écran d un oscilloscope. Expérience Deux haut-parleurs P 1 et P 2, alimentés par un même générateur basse fréquence (f = 1500 Hz), sont placés l un à côté de l autre. Un microphone mobile est relié à un oscilloscope. Observations Quand on déplace le microphone parallèlement à l alignement des deux haut-parleurs, l amplitude de la vibration sonore qu il détecte passe alternativement par un minimum et par un maximum. Ces variations de l amplitude du son détecté peuvent être observées non seulement dans le plan des deux haut-parleurs, mais dans tout l espace compris entre eux. Interprétation L onde sonore détectée résulte de l interférence entre les deux ondes acoustiques cohérentes émises par les deux haut-parleurs. Il y a interférence constructive (amplitude maximale) en tout point M pour lequel la différence de marche des deux ondes acoustiques est telle que! P1 M " P2 M = 2k #, k $Z 2 Il y a interférence destructive (amplitude minimale) en tout point N pour lequel la différence de marche des deux ondes acoustiques est telle que! P1 N " P2 N = ( 2k ' + 1 )#, k' $Z 2 interférences et diffraction page 15

16 g) Diffraction des ondes mécaniques Tant qu une onde (rectiligne ou circulaire) ne change pas de milieu ou ne rencontre pas d obstacle, elle se propage en ligne droite. Que se passe-t-il lorsqu une telle onde passe près des bords qui lui font obstacle? passage près du bord d un obstacle Des ondes rectilignes se déplacent vers un obstacle. o La longueur d onde est petite Les ondes passant à côté de l obstacle continuent en ligne droite, et derrière l obstacle il n y a pratiquement pas d ondes (= ombre) Il y a donc, comme on s attendait, propagation rectiligne (photo 1) o La longueur d onde est grande On constate que derrière l obstacle apparaissent aussi des ondes. Une partie des ondes a donc été déviée, on parle de diffraction (photo 2). (en Allemand : Beugung) passage à travers une fente Des ondes rectilignes se déplacent à travers une fente. o La longueur d onde est petite vis à vis de la largeur de la fente : Les ondes traversent la fente presque en ligne droite (photo 3) o La longueur d onde est comparable ou plus grande que la largeur de la fente : On observe derrière la fente des ondes semi-circulaires dont la fente est le centre (photos 4+5). La fente se comporte comme une source ponctuelle!! interférences et diffraction page 16

17 passage de part et d autre d un obstacle Des ondes rectilignes sont envoyées sur un obstacle. o La longueur d onde est petite vis-à-vis de la largeur de l obstacle : Derrière l obstacle, il n y a pratiquement pas d ondes. (photo 6) o La longueur d onde est comparable ou plus grande que la largeur de l obstacle : Il y a des plus en plus d ondes diffractées derrière l objet (photo 7). À quelque distance d un petit obstacle, les ondes se reforment comme si l objet n existait pas! (photo 8). Il n y a donc plus d ombre derrière l obstacle! propriétés des ondes diffractées L'onde diffractée a même fréquence que l'onde incidente. Les deux milieux de propagation étant identiques, les deux ondes ont même célérité. Les deux ondes ont donc aussi même longueur d'onde. applications, exemples o Lorsqu on parle en tenant sa main directement devant sa bouche, on est encore entendu : les ondes sonores sont simplement diffractées par la main! Quelle est d ailleurs la longueur d onde d une onde sonore? o Réception des ondes radio. Les ondes radio des stations «Moyenne Fréquence» (Mittelwelle, khz) ou «Basse Fréquence» (Langwelle, khz) ont des longueurs d ondes variant de 100 à 1000 m respectivement de 1 à 10 km. (à vérifier par le calcul!!!) Ces ondes suivent donc la courbure de la Terre et ne sont pas arrêtées par des obstacles. Par contre les ondes de la bande FM (Ultrakurzwelle, Mhz) sont caractérisées par des longueurs d onde de quelques mètres. Ces ondes sont donc très peu diffractées, et c est pour cette raison qu elles sont difficilement reçues au fond de vallées ou derrière des obstacles. interférences et diffraction page 17